Centro Universitrio UNA / Unidade Raja

EQUAES DIFERENCIAIS Lista de Exerccios 2: Equaes Diferenciais de 1 ordem - Aplicaes

Professora: Bruna A. Gonalves e Maria Clara Monteiro

1. Mostre que y = sen(x)cos(x) cos(x) uma soluo do problema de valor inicial + = 0 = 1

2. Determine os valores da constante r para os quais a funo y(t) soluo da equao dada.

a) = ; + = 0 c) =

; 6 = 0

b) = ; 2 = 0 d) =

; = 0

3. Determine qual ou quais funes = , = " = "# so solues da equao + 3 + + 2 = 0.

4. Um tanque contm 20kg de sal dissolvidos em 5000L de gua. gua salgada com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min. A soluo misturada completamente e sai do tanque mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?

5. Um tanque contm 1000L de gua salgada com 15kg de sal dissolvido. gua pura entra no tanque a uma taxa de 10L/min. A soluo mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. Determine:

a) Quanto sal h no tanque aps t minutos? b) Quanto sal h no tanque aps 20 minutos? 6. Um barril com 2000L de cerveja contm 4% de lcool (por volume). Cerveja com 6% de lcool bombeada para dentro do barril a uma taxa de 20L/min e a mistura bombeada para fora do barril mesma taxa. Qual a porcentagem de lcool depois de uma hora?

7. Suponha que uma cultura de bactrias inicie com 200 bactrias e cresa a um taxa proporcional ao seu tamanho. Considere que depois de 1 hora existam 8000 bactrias.

a) Encontre a equao para o nmero de bactrias aps t horas. b) Quando essa populao alcanar 40000 bactrias?

8. O ncleo radioativo plutnio 241 decai de acordo com a equao diferencial &'& =0,0525) onde Q est em miligramas e t em anos.

a) Determinar a meia vidado plutnio. b) Se 50mg de plutnio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutnio existir daqui a 10 anos?

9. O einsteinio 253 decai a uma taxa proporcional quantidade de nucldeo presente. Determinar a meia vida se o material perde um tero da sua massa em 11,7 dias.

10. O rdio 226 tem a meia vida de 1620 anos. Achar o intervalo de tempo no qual uma amostra deste nucldeo se reduz a trs quartos da sua massa original.

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EQUAES DIFERENCIAIS Lista de Exerccios 2: Equaes Diferenciais de 1 ordem - Aplicaes

Professora: Bruna A. Gonalves e Maria Clara Monteiro

11. O cardume de atum do Pacfico foi modelado pela equao diferencial &*& = + ,1 *-. onde

y(t) a biomassa (massa total dos membros da populao) em quilogramas no instante t (medido em anos), a capacidade de suporte estimada como / = 8 102+, "+ = 0,71 por ano. a) Se 0 = 2 102kg, calcule a biomassa um ano depois. b) Quanto tempo levar para a biomassa alcanar 4 102kg? 12. Os bilogos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a capacidade suporte (a populao mxima de peixes daquela espcie no lago) como 10 000. O nmero de peixes triplicou no primeiro ano.

a) Presumindo que o tamanho da populao de peixes satisfaa a equao logstica, encontre uma expresso para o tamanho da populao depois de t anos.

b) Quanto tempo levar para que a populao aumente para 5000 peixes? 13. Admitamos que uma xcara de caf quente obedea lei do resfriamento de Newton. Se a temperatura do caf for 93,3C, logo depois de coado, e um minuto depois for 87,8C, num ambiente a 21,1C, determinar o instante em que a temperatura do caf 65,6C.

Respostas

2a) r = 0 ou r = 2 b) r = 0 ou r = -1 c)r = 0 ou r = -1/3 d)r = 0 ou r = -2 3) f3 soluo 4) = 150 130" 55 ; 30 = 38,1+

5) = 15" 55 ; 20 = 12,3+ 6) 4,9% 7) = 200",89 b) 1,44horas 8) ) = 5"5,5;; b) 10 = 29,6 9) + 0,0347 19,97 20 dias 10) + 0,0004 719,20 720 anos

11a) = = >5@ABC,@DE b) 1,55 anos

12a) = = 5555FABD,DGCGE b) 2,69 anos

13) H = 21,1 + 72"5,528F t= 6,3 min