Universidade Federal Rural do Semi-ÁridoDepartamento de Ciências Exatas e NaturaisDisciplina: Álgebra Linear Período: 2013.1Profa Suene Campos

Lista 5: Transformações Lineares

1. Determine quais das seguintes aplicações são transformações lineares.

(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x− y)(b) T : R2 → R dada por T (x, y) = xy

(c) T :M(2, 2)→ R dada por T

((a bc d

))= det

(a bc d

)(d) T : P2 → P3 dada por T (ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + c

(e) T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (x, y, z).1 20 −11 1

(f) T : R→ R dada por T (x) = |x|(g) T : P2 → P2 dada por T (p(t)) = t2p′′(t)

(h) T :M(2, 2)→M(2, 2) dada por T

((a bc d

))=

(1 00 0

)(a bc d

)+

(a bc d

)(i) T :M(2, 2)→M(2, 2) dada por T

((a bc d

))=

(1 20 1

)(a bc d

)−(a bc d

)(1 20 1

)(j) T : P3 → R2 dada por T (p(t)) =

(∫ 0

−1 p(t)dt,∫ 1

0p(t)dt

)(k) T : P3 → P4 dada por T (p(t)) = tp(t+ 1)

(l) T : R2 → P2 dada por T (a, b) = ax2 + bx+ (a+ b)

2. (a) Ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) =(0,−1).(b) Encontre v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2).

3. (a) Determine a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).

(b) Ache T (1, 0) e T (0, 1).

(c) Determine a trasnformação linear S : R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0,−2) eS(0, 0, 1) = (0, 0).

(d) Determine P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T e mostre que P é transformação linear.

4. Seja T : R3 → R2 uma transformação linear de�nida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) =(3, 4).

(a) Determine T (x, y, z).

(b) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2).(c) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0).

5. Seja T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 2, 0), T (0, 1, 0) = (0, 0, 2) e T (0, 0, 1) = (−1, 0, 3).. DetermineT (x, y, z) e o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (5, 4,−9).

6. Determine a transformação linear T : P2 → P2 tal que T (1) = x, T (x) = 1− x2 e T (x2) = x+ 2x2.

7. Determine as dimensões do núcleo e da imagem de cada transformação linear do Exercício 1.

8. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares.

(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x− y, x+ y)

(b) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z)

1

9. Ache uma transformação linear T : R4 → R4 tal que Ker(T ) = [(1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)] e Im(T ) =[(1,−1, 0, 2), (0, 1,−1, 0)]

10. Determine, quando possível, uma transformação linear T com as características pedidas.

(a) T : R3 → R3 e T é sobrejetora.

(b) T : R3 → R2 e Ker(T ) = {(0, 0, 0)}(c) T : R3 → R2 e ImT = {(0, 0)}(d) T : R2 → R2 e Ker(T ) = {(x, y) ∈ R2/x = y}(e) T : R3 → R3 e Ker(T ) = {(x, y, z) ∈ R3/z = −x}

11. Determine uma transformação linear T : R3 → R3 tal que Ker(T ) = [(1, 2,−1), (1,−1, 0)]

12. Determine uma transformação linear T : R3 → R2 tal que Ker(T ) = [(1, 0,−1)]

13. Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que ImT = [(1, 3,−1, 2), (2, 0, 1,−1)]

14. Mostre que cada uma das transformações lineares de R3 em R3 a seguir é invertível e determine T−1.

(a) T (x, y, z) = (x− 3y − 2z, y − 4z,−z)(b) T (x, y, z) = (x, x− z, 2x+ y − z)

15. Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x). Prove que T é um isomor�smo e exiba T−1.

16. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3. Sendo

[S]αβ =

2 04 00 −4

Dê a expressão para S(x, y).

17. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3 e

[T ]αβ =

1 01 10 −1

(a) Determine T .

(b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), determine [S]αβ .

(c) Determine γ base de R3 tal que [T ]αγ =

1 00 00 1

18. Seja β a base canônica de M(2, 2). Se T :M(2, 2)→ R2 é dada por T

((a bc d

))= (a+ d, b+ c).

(a) Determine [T ]βα onde α é a base canônica de R2.

(b) Se S : R2 → M(2, 2) e [S]αβ =

2 11 −1−1 00 1

. Determine S e, se for possível, v tal que S(v) =

(1 00 1

)19. Seja T : R3 → R3 tal que amatriz em relação à base canônica é 1 1 0

−1 0 10 −1 −1

(a) Determine T (x, y, z)

(b) Qual a matriz de T com relação à base β = {(−1, 1, 0), (1,−1, 1), (0, 1,−1)}?(c) T é invertível? Justi�que.

2

20. Seja T : R3 → R2 tal que

[T ]β1

β2=

(1 0 −1−1 1 1

)sendo β1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e β2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2, respectivamente.

(a) Determine T (x, y, z)

(b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço.

(c) Determine Ker(T ) e uma base para esse subespaço.

(d) T é injetora? T é sobrejetora? Justi�que.

GABARITO

2 (a) T (x, y, z) = (2x+ y, y− z), (b) v = (x, 3− 2x, 1− 2x); 4 (a) T (x, y, z) = (3x− y− z, 4x− y− z),(b) v = (1, 6 − z, z), (c) v = (0,−z, z). 5 T (x, y, z) = (−z, 2x,−2y + 3z) e v = (2,−3,−5); 6

T (a+ bx+ cx2) = b+(a+ c)x+(−b+2c)x2; 11 T (x, y, z) = (0, 0, x+ y+3z); 12 T (x, y, z) = (x+ z, y);

13 T (x, y, z) = (x + 2y, 3x,−x + y, 2x − y); 17 (a) T (x, y) =(x−y2 , x−y2 , 2x+ 4

); 20 (a) T (x, y, z) =

(−2y+ z,−x+y), (b) ImT = R, (c) Ker(T ) = {(x, x, 2x), x ∈ R}, (d) T não é injetora mas é sobrejetora.

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