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2 Parte

Matemtica

Prof. Pacher

Data de impresso: 28/02/2007

Polcia Rodoviria Federal

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MATERIAL DIDTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAO

Em 2004, 60% das

Vagas do TRF no PR e SC

Daniel dos Santos Biu (PR)

Marcos Antronio Santos (SC)


Prof Pacher Matemtica

Atualizada 28/02/2007 Neste curso os melhores alunos esto sendo preparados pelos melhores Professores

1

SISTEMAS DE EQUAES DEFINIO Sistema de equaes o conjunto de equaes que so satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores das incgnitas. As equaes que formam um sistema, so denominadas equaes simultneas. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Sistemas de equaes lineares o conjunto de equaes com todas as incgnitas de expoente 1 (um) ou, tambm denominadas de grau 1 (um). SOLUO DE UM SISTEMA Soluo de um sistema o conjunto de valores, um para cada incgnita, pelos quais as incgnitas devem ser substitudas, para que todas as equaes se reduzam a igualdades numricas ou a identidades algbricas. Costuma-se dizer que este sistema de valores verifica ou satisfaz todas as equaes. Um sistema de equaes pode ter uma nica soluo, mais de uma soluo ou no ter nenhuma soluo. SISTEMAS DE DUAS EQUAES LINEARES COM DUAS INCGNITAS o sistema formado por duas equaes lineares com duas incgnitas. O sistema neste formato, ser estudado neste captulo. RESOLUO POR ADIO Consiste em adicionar termo a termo semelhantes nos membros, para eliminar uma das incgnitas. H quatro casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes da incgnita a eliminar. No estudo para resoluo de sistemas de equaes, apresento testes que possibilitaro fazer contato com os quatro casos. EXERCCIO RESOLVIDO

01. Seja o sistema linear:

x + y = 21x - y = 3

Resoluo:

x + y = 21+

x - y = 3

242x = 24 x = x = 122

Substituindo x=12 em qualquer uma das equaes, obtemos y=9. Resultado final (12; 9). RESOLUO POR COMPARAO Consiste em isolar a mesma incgnita nas duas equaes e, compar-las pela igualdade. EXERCCIO RESOLVIDO


x + y = 21x - y = 3

Resoluo: isolando (I)isolando (II)

x + y = 21 x x =21- yx - y = 3 x x = 3+y

Fazendo a comparao ( I ) = ( II ), obtemos a equao:

21 - y = 3 + y 2y = 24 y = 12

Substituindo y=9 em qualquer uma das equaes, obtemos x=12. Resultado final (12; 9). RESOLUO POR SUBSTITUIO Consiste em isolar uma incgnita arbitrariamente a eliminar e substitu-la na outra equao. EXERCCIOS RESOLVIDOS


x + y = 21x - y = 3

Resoluo: isolando

x + y = 21 (I) x x =21- yx - y = 3 (II)

Substituindo x =21- y na equao ( II ), obtemos: (21 - y)- y=321 - y - y = 3-2y = -182y = 18y = 9

Substituindo y=9 em qualquer uma das equaes, obtemos x=12. Resultado final (12; 9). 02.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmo e pagou a dvida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmo de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00? Resoluo: I) Duas grandezas, nmero de notas e valor das notas com duas incgnitas nmero de notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Neste caso possvel elaborar um sistema de duas equaes com duas incgnitas.

x = nmero de notas de R$ 5,00 y = nmero de notas de R$ 10,00 5x + 10y = 55

x + y = 7 ...se desejar pode dividir a 1 equao por 5

x + 2y = 11x + y = 7 .......isole o x na 2 equao

x + 2y = 11x = 7 - y .......substitua x = 7 - y na 1 equao x

+ 2y = 11 (7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11 y = 4. Resposta: 4 notas de R$ 10,00




2

TESTES Resolva os prximos sistemas lineares:

01. {x + y = 17x - y = 5

02. {2x + 5y = 18x = 60 - y

03.

2x - 3y = 3

3x + 2y = 37 04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferena de preo entre uma boneca e uma bola R$ 15,00 e que a soma dos preos de duas bonecas com duas bolas R$ 118,00 , podemos afirmar que o preo de um dos brinquedos : a) R$ 15,00. b) R$ 80,00. c) R$ 65,00. d) R$ 37,00. e) R$ 10,00.

05. (FCC) Com um balde de gua, eu encho 3 garrafas. Com uma garrafa, eu encho 5 copos. Assim, o nmero de copos necessrios para encher 1 balde : a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20

06. (FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu quadro de funcionrios. Numa 1a etapa contratou 20 mulheres, ficando o nmero de funcionrios na razo de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2a etapa foram contratados 10 homens, ficando o nmero de funcionrios na razo de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de funcionrios dessa empresa era: a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 e) 200

07. (FCC) Em um terreiro h galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 ps. Quantas so as galinhas e os coelhos? 08. (FCC) A soma de dois nmeros 50 e o maior deles igual ao dobro do menor, menos 1. Quais so os nmeros? 09. Um copo cheio de gua pesa 325g. Se jogarmos metade da gua fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio ? a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g

10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um nmero x como os 3/5 do nmero y, obtm-se 84. Se o nmero x metade do nmero y, ento a diferena y-x igual a: a) 18 b) 25 c) 30 d) 45 e) 60 11. Cachorro quente com uma salsicha por $ 15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $ 18,00.O gerente sabe quantos sanduches vendeu contando os pes. Com essa promoo ele "faturou" $ 810,00. Quantas salsichas foram consumidas nos sanduches sabendo que usou 46 pes? 12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas 38 000e o nmero de guarda-chuvas o triplo do de bicicletas, ento o nmero de guarda-chuvas . 13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmo. Juntos eles tm 30 anos. A idade de Roberto : a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 10 14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Trs balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala b2 custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O nmero de balas do tipo b1 vendidas foi: a) 114 b) 113 c) 112 d) 111 e) 110 15. Trs latas iguais de massa de tomate mais uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de atum (todas iguais s anteriores) custam, juntas, R$ 3,40.Qual o preo de uma lata de massa de tomate? a) R$ 0,65 b) R$ 0,70 c) R$ 0,75 d) R$ 0,80 e) R$ 0,95 16. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos trs : a) 48 b) 72 c) 58 d) 60 e) 34




3

17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00 ficarei com 3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$ 4.000,00. Nestas condies, Paulo possui a importncia de R$: a) 1.200 b) 1.680 c) 1.600 d) 2.320 e) 2.400

18. (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus para 37 veculos entre "Fuscas" e motos. Somente dois "Fuscas" trocaram tambm o pneu de estepe. Quantas motos trocaram pneus? 19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga ser igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava? 20. (FGV-SP) Num ptio existem automveis e bicicletas. O nmero total de rodas 130 e o nmero de bicicletas o triplo do nmero de automveis. Ento, o nmero total de veculos que se encontram no ptio : a) 50 b) 42 c) 52 d) 54 e) 62

21. Num ptio existem automveis e motocicletas. O nmero total de rodas 130 e o nmero de veculos 40. Quantos veculos de cada tipo se encontram no ptio? 22. (FCC) Um criador tinha num stio unicamente cachorros de raa e paves. Contando os ps de todos os animais, observou que o total de ps era igual ao quadrado do nmero de paves. Uma semana depois, vendeu seis cachorros e dois paves e verificou que de novo o fato se dava, ou seja, o nmero total de psera o quadrado do nmero de paves. Assim, podemos afirmar que, antes da venda, havia no stio um nmero de cachorros igual a: a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12

23. (UDE-SC) Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. Logo, o nmero de cestas que ele acertou foi: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele tem 100 moedas, num total de 76 reais. Quantas moedas de um valor ele tem a mais do que a de outro valor ? a) 48 b) 4 c) 8 d) 52 e) 96 25. (BANESPA). Um fazendeiro cria galinhas e coelhos. Num dado momento, esses animais somam um total de 50 cabeas e 140 ps. Pode-se concluir que a razo entre o nmero de coelhos e o nmero de galinhas : a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 3/4 26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmo e pagou a dvida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmo de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 27.(OCM) Um zoolgico tem vrios macacos e vrias girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos e das girafas obtm-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos macacos e quantas girafas h no zoolgico? (Um macaco tem duas pernas.) a) 8 m e 7 g b) 9 m e 6 g c) 7 m e 8 g d) 6 m e 9 g e) 8 m e 9 g 28.(ESAF) Um copo completamente cheio de gua pesa 275 gramas. Mas se metade da gua for jogada fora, seu peso cair para 165 gramas. Ento, o peso deste copo em gramas: a) 32,5 b) 42,5 c) 55 d) 75 e) 110 29.(FGV-SP) Em uma prova de 20 questes, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto por cada questo no respondida corretamente. Andr obteve 20 pontos. Qual seria a nota de Andr, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos? a) 12 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24




4

30.(OBM) No alvo abaixo, uma certa pontuao dada para a flecha que cai na regio A e outra para a flecha que cai na regio B. Alberto lanou 3 flechas: uma caiu em B e duas em A, e obteve 17 pontos. Carlos tambm lanou 3 flechas: uma caiu em A e duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos pontos so atribudos para uma flecha que cai na regio A? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 31. (FCC) Na entrada de um estdio, em um dia de jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados Mauro, Norberto e Orlando. O nmero das revistadas por Mauro correspondeu a 3/4 do nmero das revistadas por Orlando, e o nmero das revistadas por Orlando correspondeu a 14/13 do nmero das revistadas por Norberto. O nmero de pessoas revistadas por: a) Mauro foi 45. b) Norberto foi 54. c) Orlando foi 52. d) Norberto foi 42. e) Mauro foi 42. 32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4 m2 de um piso tipo A e alguns metros quadrados de um piso tipo B. O piso tipo A custa o dobro do piso tipo B. Ao anotar o pedido, o vendedor trocou os tipos de piso, ou seja, 4 m2 de piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o pedido ficar 50% mais caro. A quantidade de piso tipo B no pedido original era: a) 32 b) 16 c) 8 d) 6 e) 4 33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o nmero de arremessos convertidos pelo jogador nesta partida foi: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 34.(CESPE) A diferena entre dois nmeros 144 e o quociente entre eles 5. Um desses nmeros : a) 35 b) 180 c) 60 d) 80

35.(UNB-CESPE) A metade da diferena entre dois nmeros 325 e o dobro de seu quociente 28. Calcule o menor: a) 28 b) 25 c) 14 d) 50 36.(CESPE) Dois nmeros tais que, multiplicando-se por 5 e o menor por 6, os produtos so iguais. Se o maior deles, diminudo de 3 igual ao menor aumentado de 1, ento um deles : a) 4 b) 7 c) 18 d) 24 37.(UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 composta de 42 moedas de, 1 centavo e de 50 centavos. A diferena entre as quantidades de moedas de 1 centavo e 50 centavos de: a) 6 moedas b) 7 moedas c) 8 moedas d) 9 moedas e) 10 moedas 38.(UNB-CESPE) Dois trabalhadores recebem juntos R$ 1.080,00 por 20 dias de trabalho. O mais especializado recebeu R$ 4,00 a mais do que o outro, por dia de trabalho. A diria do operrio menos especializado foi de: a) R$ 23,00 b) R$ 23,50 c) R$ 24,00 d) R$ 24,50 e) R$ 25,00 39.(ESAF) Numa eleio em que dois candidatos disputaram I mesmo cargo, votaram 2 150 eleitores. O candidato vencedor obteve 148 votos a mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos nulos, quantos votos obteve cada candidato? a) 1 149 e 1 001 b) 1 100 e 952 c) 1 223 e 1 075 d) 1 028 e 880 e) 1 001 e 907

A

B




5

GABARITO SISTEMA DE EQUAO DO 1 GRAU

01 11 e 6 02 94 e -34 03 9 e 5 04 D 05 D 06 B 07 18 e 5 08 17 e 33 09 C 10 D 11 86 12 3 000 13 E 14 A 15 A 16 C 17 C 18 18 19 7 e 5 20 C 21 25 e 15 22 E 23 E 24 B 25 C 26 C 27 A 28 C 29 E 30 C 31 E 32 B 33 C 34 B 35 D 36 D 37 C 38 E 39 D

FUNES DO 1 GRAU FUNO CONSTANTE Uma funo dita constante quando do tipo f(x) = k , onde k um nmero real que no depende de x . Exemplos: a) f(x) = 9 b) f(x) = -2 Nota : o grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o grfico a seguir:

FUNO DO 1 GRAU Uma funo dita do 1 grau , quando do tipo y = ax + b , onde a 0 . Exemplos : 01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 ) 02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5). CARACTERSTICAS DA FUNO DO 1 GRAU I) O grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta decrescente quando a0.

III) Na funo f(x) = ax + b , se b = 0 , f dita funo linear e se b 0, f dita funo afim . IV) O grfico intercepta o eixo dos x na raiz da equao f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a . V) O grfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), que o termo independente b, onde b chamado coeficiente linear . VI) O valor a chamado coeficiente angular e d a inclinao da reta. VII) quando a funo linear, ou seja, y = f(x) = ax , o grfico uma reta que sempre passa na origem, no ponto (0, 0).




6

PRATICANDO 01.(NC.UFPR) Calculando o valor numrico da

expresso 22

2

ba)ba(

+

, para 0,25a = e ,0,15b = obtemos o valor: a) 1,75 b) 4,00 c) 2,50 d) 3,20 e) 3,75 02. Assinale a alternativa que corresponde a funo de acordo com o grfico:

a) f(x)= -x+2 b) f(x) = -x/2 + 1 c) f(x)= -x/2 + 2 d) f(x)=4x e) f(x)= -x 03. Obtenha a funo do 1 grau na varivel x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0): a) y= x/3 b) y=-x/3 + 1 c) y= 2x d) y= x/3 +1 e) y= -x 04. O grfico abaixo representa a funo f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

a) a = 0 ; b = 0 b) a > 0 ; b > 0 c) a < 0 ; b > 0 d) a > 0 ; b = 0 e) a > 0 ; b < 0 05. ( UF-MA ) A representao da funo y = -3 uma reta : a) paralela aos eixo das ordenadas b) perpendicular ao eixo das ordenadas c) perpendicular ao eixo das abscissas d) que intercepta os dois eixos e) nda

06. ( PUC - SP ) O grfico abaixo o da reta y = ax + b, quando :

a) a < 2 b) a < 0 c) a = 0 d) a > 0 e) a = 2 07. ( ITAJUBA-MG ) O grfico abaixo pode representar qual das expresses ?

a) y = 2x - 3 b) y = - 2x + 3 c) y = 1,5 x + 3 d) 3y = - 2x e) y = - 1,5x + 3 08. ( FGV - SP ) O grfico da funo f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n : a) 13/5 b) 22/5 c) 7/5 d) 13/5 e) 2,4 09. ( PUC - MG ) Uma funo do 1o grau tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Ento f(0) igual a : a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1 10. ( FUVEST-SP ) A funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria : a) f(x)= x-3 b) f(x)= 0,97x c) f(x)=1,3x d) f(x)=-3x e) f(x)= 1,03x




7

11. ( UF-RN ) Seja a funo linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 ento o valor de y para x = -1 : a) 3 b) 4 c) -7 d) -11 e) nda 12. ( MACK - SP ) A funo f definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) : a) 0 b) 2 c) -5 d) -3 e) -1 13. ( UNIFOR ) Seja a funo f de R em R definida por f(x) = mx + t representada pelo grfico abaixo. Nestas condies:

a) m = 2t b) t = 2m c) m = t d) m + t = 0 e) m - t=4 14. (AFA)

O Sr. Souza, esposa e filhos optaram pelo passeio acima anunciado e, aproveitando as frias escolares, passaram 5 dias hospedados no Hotel Fazenda B fazendo todas as refeies, gastando ao todo 1100 reais, dos quais 280 reais cobriram despesas com telefone, frigobar e lazer. correto afirmar que a) a famlia levou 6 filhos. b) as despesas com refeies totalizaram 400 reais. c) no chal sobraram 4 acomodaes. d) se no tivessem ocorrido as despesas extras com

frigobar, telefone e lazer, eles poderiam ter ficado mais 1 dia e teriam economizado ainda 120 reais.

15.(FAE-PR) Dois nmeros inteiros positivos so tais que a sua soma mais a sua diferena mais o seu produto igual a 50. Quantas so as possveis solues para esse problema? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. A funo f representada graficamente por Pode-se concluir que a) se f(x) < 0 ento x > a. b) se f(x) < 0 ento x < 0. c) se x < a ento f(x) < 0. d) se 0 < b < a e x > b ento f(x) > f(b). 17 .(EPCAR) A reta do grfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve tomar, em funo de seu peso (dado em Kgf), num tratamento de imunizao. A quantidade total de soro a ser tomada ser dividida em 10 injees idnticas. Quantos ml de soro receber um indivduo de 65 Kgf em cada aplicao? a) 20 b) 2 c) 40 d) 4 18. (EXPCEX) Sabendo que a funo y = ax + b, pode-se afirmar que: a) O grfico da funo passa sempre pela origem. b) O grfico da funo corta sempre o eixo das

ordenadas. c) O zero da funo b/a. d) A funo crescente para a < 0 . e) O grfico da funo nunca passa pela origem. 19.(NC.UF-PR) Qual das histrias melhor se adapta ao grfico abaixo?

Hotel Fazenda B

Chals com acomodao para at 10 pessoas. Diria do Chal: 80 reais

Refeio opcional (14 reais por dia por pessoa)

f

0 a

y

x

0

ml

Kgf 80

10

50 20

30

tempo

distncia de casa




8

a) Sa de casa calmamente, mas quando vi que poderia me atrasar, comecei a caminhar mais rpido.

b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a sensao de ter esquecido as chaves do escritrio. Parei para procur-las na minha mala, mas no as encontrei. Voltei para busc-las e depois pude seguir para o escritrio.

c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir viagem.

d) Logo que sa de casa encontrei um amigo que no via h muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois segui para o escritrio.

e) Sa de casa sem destino, dei uma volta na quadra e resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e resolvi no sair mais de casa.

20.(ACAFE-SC) Suponha que uma companhia de gua cobre o consumo residencial pela seguinte tabela:

Faixa de consumo por m3

Valor em reais por m3

0 - 10 1,20 11 - 25 2,00

mais de 25 2,50 O proprietrio de uma residncia, que num determinado ms consumiu 27m3 de gua, pagar, em reais: a) 55,00 b) 67,50 c) 54,00 d) 45,00 e) 47,00 21. (ACAFE-SC) Dois atiradores, A e B, numa srie de 20 tiros num alvo com a forma indicada na figura abaixo, obtiveram os resultados que esto anotados no quadro dado.

atiradores 50 30 20 10 0 A 5 4 3 7 1 B 6 2 3 8 1

Observando a mdia de pontos dos atiradores A e B, a alternativa correta : a) O atirador B superou o atirador A em 2 pontos. b) O atirador A teve melhor desempenho que o atirador

B. c) Os atiradores tiveram o mesmo desempenho. d) A mdia de pontos do atirador B de 20 pontos. e) A mdia de pontos do atirador A de 24 pontos.

22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilnea, ambos correndo com velocidade constante. A distncia (d) que cada um percorre mostrada no grfico abaixo.

0

d(m)

10 20 30x100

200300400500

t(min)

AB

Com base no grfico, a alternativa correta : a) A mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min. b) B percorre 1km em 20 min. c) B mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. d) A e B correm na mesma velocidade. e) A percorre 400m em 30 min. 23.(MACK-SP) Considere as funes f (x) = 3 x 5, g (x) = 3x2 + 2x 4 h(x) = x x2 e o nmero real

)2(h)1(g)0(fA = .

Ento 5 . A 1 vale: a) 1/6 b) 6 c) 6 d) 5 e) 1/5

GABARITO

FUNO DO 1 GRAU

01 B 02 C 03 D 04 E 05 B 06 B 07 C 08 B 09 C 10 B 11 A 12 E 13 C 14 C 15 D 16 A 17 D 18 B 19 A 20 E 21 C 22 B 23 B

0102030

50




9

EQUAES DO 2 GRAU DEFINIO toda a equao que pode ser reduzida forma: ax2 + bx + c = 0 a 0 Em que: x a incgnita a, b e c so constantes reais denominadas coeficientes. c o termo independente RESOLUO Nas equaes, costume chamar os valores que satisfazem as equaes de razes. Resolver uma equao significa determinar o seu conjunto-verdade, isto , o conjunto de suas razes. Para a equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0 Use a formula de Bskara 2-b b - 4acx =

2a

O conjunto soluo :

S=

2 2-b + b - 4ac -b - b - 4ac;

2a 2a

Consideraes Para a equao do 2 grau, quando o

discriminante da equao, radicando na frmula de Bskara:

2b - 4ac = I) Quando > 0, maior que zero, a equao

tem duas razes reais e diferentes entre si..

S=

2 2-b + b - 4ac -b - b - 4ac;

2a 2a

II) Quando = 0, igual a zero, a equao tem duas razes reais e iguais.

S=

-b -b;

2a 2a

III) Quando < 0, menor que zero, a equao tem duas razes no reais e diferentes entre si.

S = conjunto vazio, as razes no so reais.

OBTER AS RAZES PELO PRODUTO E SOMA (RELAES DE GIRARD) Seja a equao: 1x2 - Sx + P = 0 a = 1 e x1 e x2 as razes da equao, ento podemos ter: soma x1 + x2 = S produto x1 . x2 = P

EXERCCIO RESOLVIDO 01. Em certo momento, o nmero de funcionrios presentes em uma agncia bancria era tal que, se ao seu quadrado somssemos o seu qudruplo, o resultado obtido seria 572. Se 10 deles sassem da agncia, o nmero de funcionrios na agncia passaria a ser: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Resoluo: x o nmero de funcionrios x2=quadrado de x 4x=qudruplo de x (x-10) o que o teste solicita I) x2+4x=572 x2+4x-572=0 Aplicando a frmula de Bhskara, temos:

2-b b - 4acx =

2a

2-(4) (4) - 4(1)(-572)

x =2(1)

-4 48

x =2

x1=-26 no serve por ser negativo. x2=22 serve II) Resposta: (x-10)=(22-10)=12

PRATICANDO 01. (FUVEST) O conjunto verdade da equao x + 2 2 -1+ =

2 x - 2 2

02. Sobre a equao (x + 2) (x + 3) = x + 6x + 3 verdade que: a) x igual a 0 b) x igual a 3 c) x igual a 6 d) todos os nmeros so solues e) x igual a 2 03. 6x2 x 1 = 0 04. x2 - 8x + 7 = 0 05. x2 - 6x + 9 = 0 06. x2 - 2x + 5 = 0 07. 3x2 + 12x = 0 08. 9 - 4x2 = 0 09. x2 - 5x + 6 = 0




10

10. O nmero de solues inteiras da equao x - 3 4 4- =x - 4 x x(x - 4)

a) 0 b)1 c)2 d)3 e) 4 11. A razo entre a soma e o produto das razes da equao 2x2 - 7x + 3 = 0. a) 7/3 b) 7/2 c) 3/2 d) 3/7 e) 2/7 12. Qual o menor nmero que se deve somar a cada fator do produto de 5 x 13 , para que este produto , aumente de 175 unidades ? a) 7 b) 25 c) 7 d) 25 e) 13

13. Qual o menor valor de "x" de modo que a diviso de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da adio de 0,5 com "x"? a) 0,5 b) 0,5 c) 1 d) 1 e) 0

14. A soma de um nmero e o seu quadrado 4032. Qual esse nmero ? a) 66 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64

15.(MACK-SP) Se (x y)2 (x + y)2 = 20, ento x . y igual a: a) 1 b) 0 c) 10 d) 5 e) 20

16.(ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de gua a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse nmero x corresponde raiz positiva da equao x( x-2 ) = 21 + 2x, o volume de gua que vaza por hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, : a) 504ml b) 540ml c) 5040ml d) 50,4ml e) 5400ml

17. (EXPCEX-97) Sejam m e n dois nmeros inteiros positivos tais que m e n so mpares consecutivos, com m.n=483. Nestas condies, o valor de m+n igual a: a) 64 b) 52 c) 46 d) 44 e) 32

GABARITO

EQUAO DO 2 GRAU

01 1 e -2 02 B 03 -1/3 e 1/2 04 1 e 7 05 3 06 Vazio em R 07 -4 e 0 08 -3/2 e 3/2 09 2 e 3 10 B 11 A 12 D 13 C 14 D 15 D 16 A 17 D

FUNO DO 2 GRAU VRTICE DE UMA PARBOLA Toda a funo do 2 grau tem um ponto de mximo ou de mnimo. f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a 0 PONTO DE MXIMO V( xv , yv ) O ponto de mximo ponto de maior ordenada ( yv ) da funo: f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a < 0 Obs.: O coeficiente a de x2 NEGATIVO. REPRESENTAO GRFICA PONTO DE MNIMO V( xv , yv ) O ponto de mnimo ponto de menor ordenada ( yv ) da funo: f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a > 0 Obs.: O coeficiente a de x2 POSITIVO.

xv 0

y

V

yv

Ponto de mximo




11

REPRESENTAO GRFICA CCULO DO VRTICE DA FUNO DO 2 GRAU CLCULO DA ABSCISSA xv DO VRTICE

a2b

vx =

Ou tambm, calculando a mdia aritmtica das razes ( x1 e x2 ):

22x1x

vx+

=

CLCULO DA ORDENADA yv DO VRTICE (MXIMO OU MNIMO)

a4c)a4-2b

vy = (

Ou tambm, substituindo xv na funo: c)vx(b

2)vx(a)vx(f ++= IMAGEM DA FUNO DO 2 GRAU Imagem 1) Se a > 0 vyy 2) Se a < 0 vyy

PRATICANDO 01. (ACAFE-SC) A funo f(x) = x2 - 2x + 1 tem mnimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. (PUC-MG) O valor mximo da funo f(x) = - x2 + 2x + 2 : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir na expresso y= - x2 +2x : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. (UEL-PR) Se x e y so as coordenadas do vrtice da parbola y= 3x2 -5x + 9, ento x + y igual a: a) 5/6 b) 31 /14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12 05. (MACK-SP) O ponto (k, 3k) pertence curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; ento k pode ser: a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 4 06. (UF-CE) Considere a funo f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) vrtice do grfico de f o ponto (1; 4); b) f possui dois zeros reais e distintos; c) f atinge um mximo para x = 1; d) grfico de f tangente ao eixo das abscissas. e) nda 07. (UF-GO) Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) : a) {0; 1 } b) {- 1 ; 0} c) {1 } d) {- 2; 3} e) {3; 4} 08. (PUC-RS) A imagem da funo f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 1, o intervalo: a) [-1; ) b) (-1; ) c) [0; ) d) (- ;-1) e) (- ;-11 ] 09. (UEPG-PR) Seja a funo f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu conjunto - imagem : a) {y E IR/y 4} b) {y E IR/-4




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11.(FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa dado por L = - x2 + 30x - 5, onde x a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal mximo possvel? 12.(UNIFAP-FUNDAP) Segundo afirmam os Fisiologistas, o nmero N de batimentos cardacos por minuto, para um indivduo sadio e em repouso, varia em funo da temperatura ambiente T, em graus Celsius, e dado pela funo N(T) = (0,1) T2 4 T + 90. a) Essa funo possui mximo ou mnimo? b) A que temperatura o nmero de batimentos cardacos por minuto de uma pessoa sadia e em repouso ser 90? c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto com refrigerao de 20 C, qual ser o nmero de seus batimentos cardacos por minuto? 13.(FAE-PR) Para se produzir x unidades de um certo produto, uma empresa tem como expressar o seu custo por C(x) = x2 - 50 x + 2500. Analise as proposies a seguir: I) A empresa deve produzir 25 unidades para que o

custo seja mnimo. II) O custo mnimo da empresa de R$ 2500,00. III) O custo de produo de 10 unidades maior que o

custo de produo de 30 unidades. Assinale a alternativa correta: a) Apenas I est correta. b) Apenas I e II esto corretas. c) Apenas I e III esto corretas. d) Apenas II e III esto corretas. e) Todas esto corretas. 14. (UF-PR) Um grupo de funcionrios vai viajar para participar de um congresso. Eles tiveram a idia de fretar um nibus no qual todos viajariam juntos e cada um pagaria o preo do fretamento dividido pelo nmero de pessoas. Ao pesquisar os preos, descobriram que uma empresa de turismo s aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada nibus, e calculava o preo (em reais) do fretamento do nibus pela frmula p(x) = x2 + 70x + 50, onde x representa o nmero de passageiros. Considere as seguintes afirmaes a respeito dos preos nessa empresa. I) Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagar mais de

R$ 30,00. II) Se viajarem 30 pessoas, o preo do fretamento ser

menor do que o preo correspondente a 40 pessoas. III) Existe um nmero x de pessoas para o qual o preo

do fretamento igual a R$ 1.150,00. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I verdadeira. b) Somente a afirmativa II verdadeira. c) Somente a afirmativa III verdadeira. d) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.

15. (UF-PR) Se a soma de dois nmeros 14/3 e o produto 5/3, ento um dos nmeros : a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 16. (UF-RG) O movimento de um projtil, lanado para cima verticalmente, descrito pela equao y=-40x2+200x. Onde y a altura, em metros, atingida pelo projtil x segundos aps o lanamento. A altura mxima atingida e o tempo que esse projtil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: a) 6,25 m, 5s b) 250 m, 0 s c) 250 m, 5s d) 250 m, 200 s e) 10.000 m, 5s 17. (EXPCEX) O projtil disparado por um canho, posicionado num ponto de altitude igual a 200 metros, atinge um alvo localizado num ponto de altitude igual a 1200 metros. Considerando-se que: I) A trajetria descrita pelo projtil dada pela equao

2x34x

38y = ,

II) Com x e y em quilmetros, e referenciada a um sistema cartesiano com origem no canho. III) O alvo atingido quando o projtil encontra-se no ramo descendente da sua trajetria. Nas condies acima descritas, pode-se afirmar que a distncia horizontal entre as posies do canho e do alvo : a) 0,5 km b) 1,0 km c) 1,5 km d) 2,0 km e) 2,5 km 18. (EXPCEX) Um curral retangular ser construdo aproveitando-se um muro pr-existente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros trs lados, sero utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a rea do curral seja a maior possvel, a razo entre as suas menor e maior dimenses ser: a)0,25 b)0,50 c)0,75 d)1,00 e)1,25




13

19. (EXPCEX) Na criao de um determinado animal para abate, o criador dispe de estudos que lhe informam que o custo da criao evolui no tempo

segundo a relao 2200t 222t120

2PC ++= ; o

preo obtido pelo criador ao vender o produto evolui no tempo segundo a relao

2200t 232t120

2PV ++= ; onde PC e PV so respectivamente os preos de custo e de venda da arroba de carne, em reais, e t, o tempo de engorda, em dias. Nestas condies pode-se afirmar que o tempo de engorda que fornece maior lucro (PV PC) em dias de: a) 20 . b) 30 . c) 90 d) 60 e) 50 20.(UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um terreno retangular plantao de mudas. Para limitar o terreno, dever estender 1000 m de tela ao longo de trs de seus lados o quarto lado coincidir com um muro reto. Nestas condies calcule, em metros quadrados, a maior rea possvel de ser limitada. 21.(UNB-CESPE) Em um terreno, que tem a forma de um tringulo retngulo com catetos medindo 30 m e 40 m, deseja-se construir uma casa retangular de dimenses x e y, como indicado na figura que segue. Nessas condies, para que a rea ocupada pela casa seja a maior possvel, o valor de seu semi-permetro, em metros, dever ser igual a

a) 30 b ) 35 c) 40 d) 45 e) 50

GABARITO

FUNO DO 2 GRAU

01 B 02 B 03 A 04 E 05 E 06 A 07 A 08 A 09 D 10 4 e 16 11 220 12 a) mnimo b) 40 c) 50

13 C 14 A 15 E 16 C 17 C 18 B 19 B 20 125 000 21 B

INEQUAO DO 1 GRAU

DEFINIO Chama-se inequao do 1 grau a toda sentena aberta do tipo: ax + b > 0 ax + b 0 ax + b < 0 ax + b 0 , onde a R* e b R. Resolver em R, uma inequao do 1 grau, determinar o conjunto de todos os valores da varivel x para os quais a desigualdade fique satisfeita. INEQUAES DO 2 GRAU

DEFINIO Chama-se inequao do 2 grau a toda sentena aberta do tipo: ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c 0 com a R*, b R e c R; Resolver, em R, uma inequao do 2 grau, determinar o conjunto de todos os valores da varivel x para os quais a desigualdade fique satisfeita. EXISTNCIA DE UMA FUNO Seja y = f(x) uma funo de varivel x, para as funes que seguem devemos impor a condio de existncia:

1 0)xf()xf(1y =

2 0)xf(P )xf(y = RA

3 0)xf()xf(

1yRAP

>=




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TESTES 01. Resolva em IR a inequao, 2x 10 < 4. 02. Resolva em IR a inequao, 3x + 5 2. 03. Resolva em IR a inequao, -x-2 -2 + x. 04. Resolva em IR a inequao, x 3 3-x. 05. Resolva em IR a inequao, x2 5x + 4 > 0. 06. Resolva em IR a inequao, x2 5x + 4 0. 07. Resolva em IR a inequao, x2 4x + 4 > 0. 08. Resolva em IR a inequao, x2 4x + 4 0. 09. Resolva em IR a inequao, x2 4x + 4 < 0. 10. Resolva em IR a inequao, -x2 + 3x - 4 > 0. 11. (FCC) Perguntaram a Jos quantos anos tinha sua filha e ele respondeu: "A idade dela numericamente igual maior das solues inteiras da inequao 2x2 31x 90 < 0." correto afirmar que a idade da filha de Jos um nmero a) quadrado perfeito. b) primo. c) menor que 10. d) divisvel por 4. e) mltiplo de 6. 12. (CESGRANRIO-RJ) O conjunto soluo da inequao x2 - 3x - 10 < 0 : a) (- , - 2) b) (- , - 2) (5, ) c) (- 2, 5) d) (0, 3) e) (3, 10) 13. (UF-SE) O trinmio y = x2 + 2kx + 4k admitir duas razes reais e distintas se, e somente se: a) k > 4 b) k > 0 e k 4 c) k < 0 ou k > 4 d) k 0 e k 4 e) 0 < k < 4

SISTEMA DE INEQUAES 14. (CESCEM-SP) O conjunto de valores de x que satisfaz o sistema de inequaes

+02x2x

034x2x :

a) 0 < x < 1 b) IR c) x < 0 ou x > 3 d) 2 < x < 3 e) nda 15. (UNESP) Os valores de x IR que satisfazem o

sistema 5 b) 3 < x < 5 ou x < -2 c) -2 < x < 5 d) X > 6 e) x < 3 18. ( PUC - PR ) A soluo da inequao ( x - 2 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 : a) x < - 2 ou 2 < x < 5 b) -2 < x < 2 ou x > 5 c) -2 < x < 2 d) x > 2 e) x < 5

19. (UF-SE) O conjunto soluo da inequao

052x3x

+ em R :

a) [ -3, 5/2 ) b) ( -3, 5/2 ) c) [-3 , 5/2 ] d) ] - , -3 ] e) ] -, -3 ] [ 5/2. [

20. (UEL-PR) Quantos nmeros inteiros satisfazem a

inequao 0x1x-4 + ?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6




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GABARITO

INEQUAES 01 x < 7 02 1x 03 0x 04 3x 05 x4 06 4x1 07 Reais { 2 } 08 Reais 09 Vazio 10 Vazio 11 B 12 C 13 C 14 A 15 C 16 E 3x 17 B 18 A 19 A 20 D

PROGRESSO ARITMTICA (PA)

DEFINIO: Uma seqncia (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de nmeros reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente at o ltimo termo an, uma progresso aritmtica (PA), se a diferena entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (resto) constante real, denominado razo ( r ) da progresso. r = a 2 - a 1 r = a 3 - a 2 r = a 4 - a 3

. . . . . . . . .

r = a n - a n-1 EXERCCIOS RESOLVIDOS 01. Verificar se a seqncia (2, 4, 6, 8, 10) uma progresso aritmtica (PA) de razo 2. Resoluo r = a 2 - a 1 = 4 2 = 2 r = a 3 - a 2 = 6 4 = 2 r = a 4 - a 3 = 8 6 = 2 r = a 5 - a 4 = 10 8 = 2 A constante 2, obtida pela diferena, conforme mostra quadro, define a seqncia como uma progresso aritmtica (PA) de razo. FRMULA GERAL DA RAZO ( r ) r = a n+1 - a n

Para todo o n pertencente aos naturais positivos

CLASSIFICAO DE UMA PROGRESSO ARITMTICA Seja r a razo de uma progresso aritmtica (PA), temos que: 1 PA estritamente crescente r > 0 2 PA estritamente decrescente r < 0 3 PA constante r = 0 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSO ARITMTICA (PA) A definio de progresso aritmtica (PA), sugere que: a 2 = a 1 + 1r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r e assim sucessivamente Generalizando para termo de ordem n (n = ao nmero de termos da progresso), temos a frmula geral: a n = a 1 + ( n-1 )r Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a frmula do termo geral abrangente, : a n = a k + ( n-k )r Por exemplo: 01. Na seqncia (10, 6, 2, ...), calcular o dcimo termos. Resoluo: a n = a 1 + ( n-1 )r

a 10 = a 1 + (10 - 1)r a 10 = 10 + 9(-4) a 10 = 10 - 36 a 10 = -26

r=a2-a1=6-10 = -4

PROGRESSO ARITMTICA COM TRS TERMOS Forma simplificada para a representao de uma progresso aritmtica com trs termos em duas variveis. ( x - r , x , x + r ) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSO ARITMTICA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progresso aritmtica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an . Segue a frmula para o somatrio de qualquer progresso aritmtica.

1 nn (a + a )S = n2 n igual ao nmero de termos somados. an o ltimo termo.

EXERCCIOS RESOLVIDOS 01. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de progresso aritmtica (2, 5, 8, ...). Resoluo: I) Dados para clculo da soma: a1=2, n=20 e a20 no foi fornecido, dever ser calculado, veja item II.




16

II) Pela frmula do termo geral, a n = a 1 + ( n-1 )r

a 20 = a 1 + ( 20-1 )r a 20 = 2 + 19x3 a 20 = 2 + 57 a 20 = 59

r=a2-a1=5-2=3

II) A soma dos 20 primeiros termos, S20. 1 nn (a + a )S = n2

20(2 + 59)S = 20

2

20S = 6110

20S = 610

TESTES

01. Determine os seis primeiros termos da seqncia definidos pela lei de formao an=1+2n, com n pertencente aos nmeros naturais diferentes de zero. 02. Determine o 20 termo da seqncia (26, 31, 36, 41,...). 03.(NC.UFPR) Quais das seqncias abaixo constituem Progresso Aritmticas? I. (1, 6, 11, 16, 21, 26) II. (-8,-6,-4,-2,0) III. (19,17,15,13,11) IV. (1, 2 , 3 , 2, 5 ) V. (-5/2, -1/2, 3/2, 7/2, 11/2) VI. (2x, 3x/2, x, x/2, 0, -x/2) Esto corretas as proposies: a) I, II, IV, V e VI b) I, II, III, V e VI c) I, III, IV, V e VI d) I, II, III, IV e VI e) II, III, IV, V e VI 04.(NC.UFPR) Em uma progresso aritmtica, o 11 termo excede o 2 em 27. Sabendo-se que o 5 termo 14, ento o 12 : a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37 05. Determine o sexto termo de uma seqncia em que a1=2 e a10=47. 06. Qual o 100 numeral mpar? 07. Quantos nmeros pares existem entre 43 e 535? 08. Calcule a soma dos 20 primeiros termos mltiplos de 3 positivos.

09. A soma dos n primeiros nmeros naturais mpares dada por: 10. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam trs termos de uma progresso aritmtica. 11. A seqncia: 3y, y+1,5 uma progresso aritmtica. Determine a razo. 12. Sabendo que a seqncia (1-3x, x-2, 2x+1,...) uma PA, ento o 10 termo da PA (5-3x, x+7,...), : 13. Em uma progresso aritmtica em que a4=12 e a9=27. Calcular a5. 14. Numa progresso aritmtica com 51 termos, o 26o 2. A soma dos termos dessa progresso : a) 13 d) 104 b) 52 e) 112 c) 102 15.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterizao exata a seguinte: so anos bissextos aqueles que so divisveis por 4, mas no por 100; a exceo a essa regra so os anos divisveis por 400, que tambm so bissextos. Assim, o nmero de anos bissextos entre 1895 e 2102 : a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 51 16. Anos bissextos so os mltiplos de 4 que no so mltiplos de 100 e, alm desses, os mltiplos de 400. Quantos anos bissextos h no conjunto {2015, 2018, 2020, 2100, 2400}? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. O termo geral de uma progresso aritmtica dado por an=3n+7 , n natural positivo. Calcule o valor de a1 e r. 18. Num programa de condicionamento fsico uma pessoa comea correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia seguinte, 500 metros no prximo dia e assim sucessivamente at chegar aos dois quilmetros por dia. A partir de que dia ela estar correndo dois quilmentros por dia? 19. Determine o sexto termo de uma seqncia em que a1=2 e a10=47. 20. Qual o 100 numeral mpar?




17

21. (FCC) Assinale a opo que apresenta corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 22. (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma progresso aritmtica (PA) dada pela frmula

2

n23nnS

+= , ento a soma do quarto com o sexto termo dessa PA a) 25 b) 28 c) 31 d) 34 23. (EXPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a equipe que percorre uma determinada distncia em menor tempo, revezando seus atletas a cada 800 metros. A equipe Verde utilizou a ttica de organizar seus atletas na ordem crescente de suas velocidades. Sabe-se que o atleta menos veloz dessa equipe gastou 5 minutos no revezamento e que a diferena de tempo entre dois atletas consecutivos foi sempre de 30 segundos. Sabendo que a equipe Verde realizou a prova em 26 minutos, a distncia total percorrida foi de a) 4000 metros. b) 4160 metros. c) 6400 metros. d) 10400 metros. e) 20800 metros. 24. Numa progresso aritmtica com 51 termos, o 26o 2. A soma dos termos dessa progresso : a) 13 b) 104 c) 52 d) 112 e) 102 25.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua realizao. Na primeira semana de treinamento ele percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre km a mais que na semana anterior e assim sucessivamente. O maratonista: a) percorrer 50 km no treino da 37 semana; b) percorrer 50 km no treino da 38 semana; c) percorrer 50 km no treino da 39 semana; d) percorrer 50 km no treino da 40 semana; e) percorrer 50 km no treino da semana da maratona. 26.(FAE-PR) Em um plano especial de consrcio, uma pessoa pagar 50 prestaes, cujos valores esto em progresso aritmtica totalizando R$ 11.125,00. Concluda a metade do prazo do plano, o total pago de R$ 4.000,00. Com base nessas informaes, qual o valor da primeira prestao? a) R$ 97,50 b) R$ 100,00 c) R$ 115,00 d) R$ 160,00 e) R$ 222,50

27. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); ento pegou sua coleo de bolitas e formou uma seqncia de T (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos pode-se, seguindo o mesmo padro, afirmar que ele possua a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 230 bolitas. c) menos de 220 bolitas. d) exatamente 300 bolitas. e) exatamente 41 bolitas. 28.(FAE-PR) Partindo-se de dois quadrados de lado unitrio e acrescentando-se progressivamente outros quadrados de lados tambm unitrios, pode-se representar a soma dos primeiros inteiros pares e positivos, conforme a figura. Essa soma dada por: 2 2 + 4 2 + 4 + 6 + ... a) n2 b) n2 - n c) n2 + 1

d) 2

nn2 +

e) n2 + n

GABARITO

PROGRESSO ARITMTICA

01 (3,5,7,11,13) 02 121 03 B 04 C 05 27 06 199 07 246 08 630 09 2

n 10 4 11 7 12 89 13 15 14 C 15 A 16 B 17 10 e 3 18 18 19 27 20 199 21 B 22 B 23 C 24 E 25 E 26 B 27 B 28 E




18

PROGRESSO GEOMTRICA (PG) DEFINIO: Uma seqncia (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de nmeros reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente at o ltimo termo an, uma progresso geomtrica (PG), se a diviso entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (quociente) constante real, denominado razo ( q ) da progresso geomtrica.

21

aq =a

32

aq =a

43

aq =a

.

nn-1

aq =a

EXERCCIO RESOLVIDO 01. Verificar se a seqncia (2, 4, 8, 16, 32) uma progresso geomtrica (PG). Resoluo

4 22

= =21

aq =a

16 28

= =43

aq =a

8 24

= =32

aq =a

32 216

= =54

aq =a

A constante 2 obtida pela diviso, conforme mostra quadro, define a seqncia como uma progresso geomtrica (PG) de razo 2. FRMULA GERAL DA RAZO ( q )

n

n-1

aq =a

Para todo o n pertencente aos naturais positivos

CLASSIFICAO DE UMA PROGRESSO GEOMTRICA Seja q a razo de uma progresso geomtrica (PG), temos que: 1 PG estritamente

crescente a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1

2 PG estritamente decrescente

a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1

3 PG constante q = 1 4 PG alternante a1 0 e q < 0 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSO GEOMTRICA (PG) A definio de progresso geomtrica (PG), sugere que: a 2 = a 1 x q1 a 3 = a 1 x q2 a 4 = a 1 x q3 a 5 = a 1 x q4 a 6 = a 1 x q5 e assim sucessivamente

Generalizando para termo de ordem n (n = ao nmero de termos da progresso), temos a frmula geral: a n = a 1 x q n-1 Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a frmula do termo geral abrangente, : a n = a k x q n-k EXERCCIO RESOLVIDO 01. Na seqncia (3, 6, 12, ...), calcular o dcimo termos. Resoluo: a n = a 1 x q n-1

a 10 = a 1 x(q) 10-1 a 10 = 3 x (2) 9 a 10 = 3 x 512 a 10 = 1536

r=a2/a1=6/ 3= 2

PROGRESSO GEOMTRICA COM TRS TERMOS Forma simplificada para a representao de uma progresso geomtrica com trs termos em duas variveis.

( xq

, x , x q )

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSO GEOMTRICA FINITA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progresso geomtrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an . Segue a frmula para o somatrio de qualquer progresso geomtrica finita.

n

1n

a (q - 1)S =q - 1

n igual ao nmero de termos somados. an o ltimo termo.

EXERCCIO RESOLVIDO

01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de progresso geomtrica ( 1, 2, 4, ...). Resoluo: I) Dados para clculo da soma: a1=1, n=10 e a10 no foi fornecido, dever ser calculado, veja item II.

II) Pela frmula do termo geral, a n = a 1 x q n-1

a 10 = a 1 x q 10-1 a 10 = 1 x (2) 9 a 10 = 1 x 512 a 10 = 512

r=a2/a1=2-1=2

II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.

n1

na (q - 1)S =

q - 1

10

n1(2 -1)S =

2 -1

n1(1024 -1)S =

2 -1

n1023S =

1

nS = 1023




19

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSO GEOMTRICA INFINITA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progresso geomtrica de razo 1




20

16.(FAE-PR) Diz a lenda que um jovem hindu ofereceu ao seu rei um jogo que inventou para ser praticado sobre um tabuleiro: o xadrez. O jovem pediu sua recompensa em gros de trigo, na seguinte seqncia: 1 gro de trigo para a primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda casa, 4 pela terceira casa, 8 pela quarta casa e assim sucessivamente, at a sexagsima quarta e ltima casa do tabuleiro. O rei riu julgando ser insignificante o pedido, mas no pde atend-lo quando soube da enorme quantidade de gros calculada por seus assessores! Supondo que se leve 1 s para contar 3 gros de trigo, qual o tempo necessrio para contar os gros das dez primeiras casas do tabuleiro? a) 17,2 s b) cerca de 34 s c) 5 min 41 s d) 2 min 52 s e) 17 min 3 s 17. (FCC) Numa PG, o quarto termo 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 : a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7

18. (FCC) A seqncia (x, x 4, 3

4x , ...) uma

progresso geomtrica decrescente. O quarto termo dessa progresso : a)2/3 b)4/9 c)1/3 d)2/9 e)1/9 19. (BB) Numa PG, o quarto termo 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 : a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7 20.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma seqncia infinita 4n2 + 6n, ento a seqncia uma a) seqncia limitada. b) progresso aritmtica. c) progresso geomtrica de razo 8. d) progresso geomtrica decrescente. 21.(EPCAR) O valor de x na equao

4

27

5

x

5

x3

5

x9 =+++ L igual a

a) 53

b) 25

c) 34

d) 845

22. (EXPCEX) Numa progresso geomtrica (PG) crescente de 5 termos, o primeiro e o ltimo correspondem, respectivamente, s razes da equao x2 - 51x + 144 = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG a)12 b)24 c)28 d)36 e)42 23.(EXPCEX) Sendo

.....125

16

25

4

54 Y e ....

1263X ++++=+++= , o calcule (X + Y ) . 24.(UFF-RJ) Considere a seqncia (x1, x2, ... , xn, ...) tal

que 21

1x = e xn+1 = 0,5 x n. Determine o valor de k de

modo que 1021

kx = . 25.(ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de gua provocou a perda de 2 litros de gua no primeiro dia. Como o orifcio responsvel pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, o nmero total de litros de gua perdidos, at o 100 dia, foi de: a) 2046 b) 1024 c) 1023 d) 2048 e) 512

GABARITO

PROGRESSO Geomtrica

01 (3,5,7,11,13) 02 121 03 B 04 C 05 27 06 199 07 246 08 630 09 2

n 10 4 11 7 12 89 13 15 14

35- 15 610 16 54 17 10 e 3 18 18 19 27 20 199 21 B 22 B 23 C 24 E 25 E 26 B 27 B 28 E




21

PROPRIEDADES DA POTENCIAO E RADICIAO POTENCIAO Definio Se n N e a R , defini-se: i)

na = a a a ... an fatores n>11442443

ii) 1 zeroa = a e a = 1 iii) 1 -nSe a 0, = ana Propriedades

m n m+n1) a a = a

m n m-n2) a a = a com a 0

n n n3) a b = (a b)

n n n4) a b = (a b) com b 0

n m nm5) (a ) = a

RADICIAO Definio

nn a = x x = a Propriedades

n n n1) a b = a b

n n n2) a b = a b

n m nm3) a = a

pnm pmn4) a = a (p 0)

m mn n5) a = ( a )

Potncia de um expoente racional

mmnna = a

EQUAES EXPONENCIAIS

toda a equao do tipo x x1 2a = a , em que a base

um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variveis reais. Procedimento para resolver uma equao exponencial

x x1 2a = a

/ /simplifique a base

x x e iguale os expoentes1 2a = a x = x1 2

TESTES 01. Se 8x = 32, ento x igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4

02. Se 8x-9 = 16x/2, ento 3 x igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3 03. O valor de x que satisfaz a equao 33x-1 . 92x+3 = 273-x : a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5

04. Sendo x = (22)3 , y = 322 e z =

232 , calcule x . y . z : a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220 05. Se 2x = 2048, ento, x vale : a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 06. ( FCC - BA ) A soluo da equao 0,52x = 0,251-x um nmero x, tal que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0

07. Se -x+213(7 ) =

343, x1/2 valer:

a) 7 b) -9 c) 49 d) 3 e) 1

08. A soma das razes da equao 11+x7 + = 8x7

, :

a)0 b)-1 c)1 d)7 e)8




22

09. A raiz da equao x x(7 - 2 10)(7 + 2 10) =9 um nmero: a) irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo 10. Se 3x - 32-x = 23, ento 15 - x2 vale: a)16 b)15 c)14 d)11 e)6 11.(UEPG-PR) A soma das razes da equao (2x)x+3 = 16 : a) -3 b) 4 c) -4 d) 0 e) 3

12. A expresso 3+x x-32 - 2x x-32 + 2

igual a:

a) 2x b) 2-x c) 2-3 d) 7 e) 8 13.(UEL-PR) Para todo x real, a expresso 3x + 3x+1 +3x+2 +3x+3 +3x+4 +3x+5 equivalente a:

a) 3 15x6 + b) 5 . 3x c) 6 . 3x d) 243x e) 364 . 3x 14.Se x IR e 7 5x = 243, ento 297(7 3x) igual a: a)11 b)13 c)15 d)17 e)16 15. Se y = 10x um nmero entre 1000 e 100 000, ento x est entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100 16.(FAE-PR) O montante da aplicao de um capital de R$ 100,00, por t anos, dado pela expresso M(t) = 100 . (1,5)t. Sabendo-se que o montante obtido foi de R$ 337,50, o tempo durante o qual o capital ficou aplicado foi de: a) 9 meses; b) 12 meses; c) 18 meses; d) 24 meses; e) 36 meses.

17. O produto das solues da equao 2x 2-x = 5 (1 2-x) a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 18. (EXPCEX) A soma das razes da equao 3 3 41x x+ = : a) 2 b)-2 c) 0 d)-1 e) 1 19. (EXPCEX) O valor da soma das razes reais da

equao 10 10 03 12 1

x

x

+ = :

a)3 b)1 c)0 d)9 e)2 20. (EXPCEX) A soma e o produto das razes da

equao 125243

53.9

9xx2

=

so, respectivamente: a) 1 e -12 b) 7 e 12 c) 2 e -8 d) -1 e 12 e) 7 e 10

GABARITO

EXPONENCIAL 01 B 02 E 03 E 04 C 05 B 06 A 07 D 08 B 09 E 10 D 11 A 12 D 13 E 14 A 15 C 16 E 17 A 18 E 19 A 20 A




23

LOGARITMOS Definio Chama-se logaritmo de um nmero N>0 numa base a, com a>0 e a 1 , o expoente x a que se deve elevar a base a para que a potncia obtida seja igual a N. Simbolicamente

xlog N = x a = Na Condio de existncia

N > 0 positivo

a > 0 e a 1

x qualquer valor real

Conseqncias da definio

Ateno !

1) log 1 = 0a2) log a = 1a

log N a3) = N

4) log N (nao existe) 15) log N (nao existe) -a6) log (-N) (nao existe) a

a

%

%

%

Propriedades 1) log M + log N = log M Na a a

M2) log M - log N = loga a a N

p3) log N = p log Na a1p4) log N = log Na ap

Mudana de base

log Nnovabaselog N =a log anovabase

Observe: I) A nova base deve ser positiva e diferente de um. II) O N continua sendo logaritmando e, o a passa a ser logaritmando (deixa de ser base).

EQUAES LOGARTMICAS toda a equao do tipo a 1 a 2log x = log x , em que a base um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variveis reais positivas. Procedimento para resolver uma equao exponencial

a 1 a 2log x = log x

/ /a 1 a 2log x = log xsimplifique os log e aiguale os logaritmandos x = x1 2

TESTES 01.( MACK - SP ) Se log3 1/27 = x, ento o valor de x : a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3 02. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente: a) 2, 1 e -3 b) 1, 0 e -2 c) 3, 1 e -2 d) 4, -2 e -3 e) 3, 0 e -2 03. Se log ( 2x -5 ) = 0, ento x vale: a)5 b)4 c)3 d)7/3 e)5/2 04.( FGV - RJ ) O valor de log9 27 igual a: a)2/3 b)3/2 c)2 d)3 e)4

05. Se

yx27 = 9log x = 2y

, ento x + y igual a:

a)5/3 b)10/9 c)8/9 d)2/3 e)5/9 06. Se log16 N = - 1/2, o valor de 4N : a)1 b)4 c)1/4 d)16 e)1/16




24

07. ( FEMPAR - PR ) Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7, log4 (xy+8y) igual a: a) 0,5 b) 2,5 c) 2,0 d) 1,5 e) 1,0 08. Seja K a soluo da equao log4 ( log2x ) = -1. O valor de k4 : a)1/8 b)1/2 c)1 d)4 e)2 09. O nmero real x, tal que logx ( 9/4 ) = 1/2 : a) 81/16 b) -3/2 c) 1/2 d) 3/2 e) -81/16 10. Seja loga 8 = - 3/4, a > 0. O valor da base a : a)1/16 b)1/8 c)2 d)10 e)16 11. O logaritmo de 7 5 na base 1/625 igual a: a)7 b)5 c)1/7 d)-1/28 e)8 12. Se x + y = 20 e x - y = 5 ento log ( x2 - y2 ) igual a: a) 100 b) 2 c) 25 d) 12,5 e) 15 13. A soluo da equao log2 0,5 + log2x - log2 2 = 2 est contida no intervalo : a) [ 10, 12 ] b) [ 5, 7 ] c) [ 2, 4 ] d) [ 0, 1 ] e) [ 8, 9 ] 14. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, ento log 60 vale: a) 1,77 b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141 15. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 : a) 376,29000 b) 188,15000 c) 1,9030900 d) 2,9818000 e) 2,0969100

16. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual ser o valor de log 28 ? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 17. Se log 2 = 0,3010 ento log 5 igual a: a) 0,6990 b) 0,6880 c) 0,6500 d) 0,6770 e) 0,6440 18. Se log2 b - log2 a = 5, ento o quociente b/a vale: a)10 b)25 c)32 d)64 e)128 19. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga

: a) 0,62 b) 0,31 c) -0,48 d) 0,15 e) 0,14 20. O valor de log ( 217,2) - log ( 21,72 ) : 21. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 325 : a) 15,050 b) 13,725 c) 11,050 d) 9,675 e) 7,525 22.Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 : a) 2,40 b) 2,70 c) 2,80 d) 3,40 e) 3,80 23. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log23 : a) 1,6 b) 0,8 c) 0,625 d) 0,5 e) 0,275 24. ( ESAL) O valor de x tal que log 64 8 = x : a)2 b)3 c)2/3 d)1/2 e)3/2 25. ( CONSART - SP ) A soluo da equao log8x + log8 (3x-2) = 1 dada por:




25

26. O conjunto verdade da equao 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) : 27. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 : a) 3,459 b) 3,594 c) 3,954 d) 5,493 e) 5,943 28. (FCC) Que nmero real soluo da equao 5x-1 + 5x + 5x+1 = 62? (Considere: log 2 = 0,30) a) 3/7 b) 8/7 c) 10/7 d) 12/7 e) 15/7 29.(FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a melhor aproximao da soluo da equao 2x = 80. a) 6,1 b) 6,3 c) 6,5 d) 6,6 e) 6,7 30.(UFF-RJ) Determine o valor de x na equao log x + log x2 + log x3 + ... + log x18 =342. 31.(FGV-SP) Se x um nmero real positivo e diferente de 1, a soluo da equao ( ) ( ) 33,2log4,18log xx = um nmero real a) divisor de 12 b) mltiplo de 3 c) menor que 1 d) maior que 5 32.(EPCAR) Sabendo que a, b e c so trs nmeros inteiros e positivos e que log ab = 12,6 e log ac = 0,2,

ento log cb igual a

a) 6,3 b) 2,52 c) 12,8 d) 12,4 33 .(EPCAR) O valor da expresso

2

)a a a(alog(alog , onde a um nmero inteiro e a

2 a) 2a b) 1 c) 2a d) 1 34. (EXPCEX) Sabendo que log M + log N = 0, pode-se afirmar que: a) M e N so nulos b) M e N tm sinais contrrios c) M o inverso de N d) M e N so nmeros inteiros positivos

35.(FEM-PR) Se log 2 = P e log 3 =m, com P 1, o valor de 45 27log :

a) )P1(4

3

b) P44

P4

c) )P1(4

m3

d) )P1(3

m4

e) )P1(3

2

36.(UEPG-PR) A expresso

log

31 81 + log10 0,001 + log10

3 10 vale:

a) -34

b) 34

c) -320

d) -321

e) -3

19

37.(PUC-PR) Se 3 5 x =32 ,ento 3 - x igual a:

a) 12

b) 14

c) 14

d)

e) 12




26

GABARITO

LOGARITMOS 01 B 02 C 03 C 04 B 05 B 06 A 07 B 08 E 09 A 10 A 11 D 12 B 13 A 14 A 15 E 16 B 17 A 18 C 19 A 20 1 21 E 22 A 23 A 24 D 25 2 26 6 27 C 28 C 29 B 30 100 31 A 32 D 33 D 34 C 35 C 36 C 37 A

FUNO EXPONENCIAL E FUNO LOGARTIMICA

Considere a funo xy = a , denominada funo exponencial, onde a base a um nmero positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condies, ax um nmero positivo, para todo x R, onde R o conjunto dos nmeros reais. Denotando o conjunto dos nmeros reais positivos por R+* , poderemos escrever a funo exponencial como segue:

+f : R R * , <




27

TESTES 01. Se f ( x ) = 161+1/x, ento f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) igual a : a)11 b)13 c)15 d)17 e)16 02. Seja a funo composta

x2 , para - 1 x 1f(x) = 1

, para x > 1x

ento f ( 0 ) - f ( 3/2 ) igual

a: a)5/2 b)5/3 c)1/3 d)-1/3 e)2/3 03. Se y = 10x um nmero entre 1000 e 100 000, ento x est entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100 04. Seja a funo f: IR em IR definida por f ( x ) = 2x . Ento f ( a+1) - f (a) igual a: a) 2 b) 1 c) f(a) d) f(1) e) 2f(a) 05. (UFPR) Uma cidade cuja populao vem diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se o ritmo de diminuio se mantiver, ento o nmero de habitantes daqui a t anos, P(t), calculado aplicando-se a frmula: P(t) = t)9,0.(30000 . Supondo que o ritmo de diminuio se mantenha, correto afirmar: Daqui a 2 anos, a populao ser de: 06. (FATEC-SP) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminuiu em funo do tempo devido desintegrao radioativa. Essa variao pode ser descrita pela funo exponencial dada por m = mO.2-xt . Nessa sentena, m a massa (em gramas) no tempo t (em anos), mO a massa inicial e x uma constante real. Sabendo-se que, aps 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor x : a)-3 b)1/3 c)-22 d)1/22 e)1/3

07.(FAE-PR) O nmero de bactrias B em uma determinada cultura, aps t horas, pode ser

determinado por meio da equao t

30B(t) = 800 2 . Aps quanto tempo o nmero de bactrias o quntuplo do nmero inicial? (Considere log 2 = 0,30) a) 65 horas; b) 68 horas; c) 70 horas; d) 72 horas; e) 75 horas. 08.(UNIOESTE-PR) A quantia de R$ 5.000,00 aplicada taxa fixa de 2% ao ms. Em se tratando de juros compostos e no havendo retirada, o nmero de meses necessrios para que o montante ultrapasse R$ 7.000,00 : Considere log 102 = 2,008 e log 14 = 1,146. 09. (UNESP-SP) A trajetria de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da gua (t = 0) at o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um observador atravs do seguinte modelo matemtico

0 , 2 th (t) = 4 t - t 2 , com t em segundos, h(t) em metros e 0 t T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da gua durante este salto foi a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 10 10.(NC.UF-PR) Experincias feitas com um certo tipo de bactria mostraram que o nmero de indivduos numa cultura, em funo do tempo, pode ser aproximado pela expresso F(t) = 50.20,4.t, sendo t o tempo medido em horas. Aps quantas horas essa cultura ter 800 indivduos? a) 10 horas b) 12 horas c) 15 horas d) 18 horas e) 24 horas




28

11. (FEPAR-PR) Enquanto a caderneta de poupana proporciona rendimentos prximos a 1% ao ms, o State Bank oferece uma taxa mensal de 4% para as pessoas que o procuram para fazer aplicaes de suas economias. O clculo do capital final se faz pela frmula: tif )i1(CC += , na qual C f = capital final; Ci = capital inicial; i = taxa ao ms, em percentagem; t = tempo de aplicao, em meses. Para que um capital inicial de R$ 1000,00 resulte num montante final de R$ 1601,00 no Banco citado, necessrio um perodo de aplicao de, aproximadamente: (Dados: log 1,601 = 0,2043 e log 1,040 = 0,0170) a) 6 meses b) 4 meses c) 12 meses d) 15 meses e) 18 meses 12. (UEL-PR) Em certa cultura de bactrias, o nmero de bactrias presentes no instante t determinado

pela funo k tN (t) = N e 0 , onde N0 o nmero inicial de bactrias e k uma constante positiva. Sabendo-se que o nmero de bactrias duplica ao final das duas primeiras horas, calcule o tempo necessrio para que a populao de bactrias atinja 96 N0 .

( Use : 59,12log3log

e

e onde e 2,71 ) a) 12 horas, 16 minutos e 24 segundos. b) 12 horas, 58 minutos e 15 segundos. c) 12 horas e trinta segundos. d) 13 horas, 10 minutos e 48 segundos. e) 13 horas e meia. 13. A frmula N = 6 . 108 . V -3/2 relaciona, numa dada sociedade, o nmero N de indivduos que possuem renda anual superior ao valor V, em reais. Nessas condies, pode-se afirmar que , para pertencer ao grupo dos 600 indivduos mais ricos dessa sociedade preciso ter no mnimo uma renda anual de a)R$ 10.000,00. b)R$ 100.000,00. c)R$ 1.000.000,00. d)R$ 10.000.000,00. e)R$ 100.000.000,00. 14. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equao 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante dever usar a calculadora para obter os seguintes nmeros: a) log 2, log 5 e log 5 log 2 b) log 2, log 5 e log 5 log 2 c) log 2, log 5 e log 25

d) 25 e log

25

e) 5 e log 5

15.(FGV-SP) Adotando-se os valores 30,02log = e 48,03log = , a raiz da equao 60x5 = vale

aproximadamente: a) 2,15 b) 2,28 c) 41 d) 2,54 e) 2,67

GABARITO

FUNES EXDPONENCIAIS E

LOGARTMICAS 01 B 02 C 03 C 04 C 05 24300 06 D 07 C 08 19 09 E 10 A 11 C 12 D 07 C 08 19 09 E 10 A 11 C 12 D 13 A 14 B 15 D

ESTATSTICA

MDIAS MDIA ARITMTICA (MA) Mdia aritmtica de n parcelas (n>1), a soma de todas as parcelas{x1,x2,x3,...xn}, dividida pelo nmero (quantidade) dessas parcelas (n). FRMULA

x + x + x +...+ xn1 2 3MA =n

MDIA ARITMTICA PONDERADA (MAP) Mdia aritmtica ponderada de n (n>1) parcelas {x1,x2,x3,...xn} e seus respectivos pesos {p1,p2,p3,...pn}, igual a soma dos produtos das parcelas com os seus respectivos pesos, dividida pela soma dos seus pesos. FRMULA

p x + p x + p x +...+ p xn n1 1 2 2 3 3MAP =p + p + p +...+ pn1 2 3

MDIA GEOMTRICA (MG) Mdia geomtrica de n parcelas (n>1), a raiz n-sima do produto dos n fatores {x1,x2,x3,...xn}. FRMULA

nMG = x x x ...xn1 2 3




29

MDIA HARMONICA (MH) Mdia harmnica o inverso da mdia aritmtica dos inversos das parcelas n parcelas {x1,x2,x3,...xn}. FRMULA

1MH =

1 1 1 1+ + +...+

x x x xn1 2 3n

ESTATSTICA

Noes de Estatstica A Estatstica trata do conjunto de mtodos utilizados para a obteno de dados, sua organizao em tabelas e grficos e a anlise desses dados. NOTAES Populao o grupo observado, geralmente numeroso. Amostra um subconjunto da populao observada. FREQUNCIAS Freqncia absoluta (F) o nmero de vezes que a varivel assume valor. Freqncia relativa (f) o quociente entre a freqncia absoluta e o nmero de elementos da populao estatstica (N). A freqncia relativa geralmente dada na forma de porcentagem.

Fif =i N

VARINCIA (V) A idia bsica de varincia tomar os desvios dos valores x; em relao mdia aritmtica (x, - MA). Mas a soma desses desvios igual a 0 (por uma propriedade da mdia). Uma opo possvel, ento, considerar o total

dos quadrados dos desvios 1

n

i= (xi-MA)2 e expressar a

varincia (V) como a mdia dos quadrados dos desvios absolutos, ou seja:

2in

(x - MA)i=1V =

n

ou 2 2 2 2) ) ) )1 2 3 n(DA + (DA + (DA +...+ (DAV =

n

DESVIO ABSOLUTO (DA)

DA = x - MAi DESVIO ABSOLUTO MDIO (DAM)

x - MA + x - MA + x - MA + ... + x - MAn1 2 3DAM =n

ou

1 2 3 nDA +DA +DA +...+DADAM =n

DESVIO PADRO (DP)

DP = V 2(DP) = V

V=varincia

EXERCCIOS RESOLVIDOS 01. Dada a seqncia {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}, a sua moda : a) 54 b) 5 d) 1 e) 6,75 Resoluo Para responder este teste basta conhecer a definio de moda, que segue: Definio: Denominamos MODA o valor que ocorre com maior freqncia em uma srie de valores. Ento, basta de acordo com a definio, procurar o valor que mais se repete. Na srie do enunciado, o valor que mais se repete valor 1. Resposta, letra: D

02. (ICMS-MG-Adaptada) Um candidato obteve, nas diversas provas de um concurso, as seguintes notas com os respectivos pesos:

Matria nota peso Portugus x1 = 66 p1 = 3

Contabilidade x2 = 63 p2 = 3 Estatstica x3 = 70 p3 = 2

Direito x4 = 79 p4 = 2 Calcule mdia aritmtica ponderada. Resoluo:

Substituindo os dados na frmula. I)

p x + p x + p x + ... + p xn n1 1 2 2 3 3MAP =p + p + p + ... + pn1 2 3

3 66 + 3 63 + 2 70 + 2 79MAP =

3 + 3 + 2 + 2

198 +189 +140 +158

MAP =10

685MAP =

10, finalmente: MAP = 68,5

03. (TTN) A media aritmtica da distribuio e igual a:

Coluna 1 Coluna 2 Classe

Peso (kg) Freqncias Simples

Absolutas 2 4 9 4 6 12 6 8 6 8 10 2

10 12 1 a) 5,27 kg b) 5,24 kg c) 5,21 kg d) 5,19 kg e) 5,30 kg




30

Resoluo: I) Para obter a mdia com intervalo de classe e a freqncia absoluta, calcule o ponto mdio (mdia aritmtica) de cada intervalo de classe.

Classe Peso (kg)

Ponto mdio da classe.

2 4 2 4

32

+ =

4 6 4 6

52

+ =

6 8 6 8

72

+ =

8 10 8 10

92

+ =

10 12 10 12

112

+ = III) A seguir a tabela com todas as informaes para obter a mdia desejada.

Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3

Classe Peso (kg)

Freqncias Simples

Absolutas

Ponto mdio da classe

2 4 f1 = 9 x1=3 4 6 f2 = 12 x2=5 6 8 f3 = 6 x3=7

8 10 f4 = 2 x4=9 10 12 f5 = 1 x5=3

Na coluna 2 representa a freqncia (ou peso) que ocorre cada um dos pontos mdios.

f x + f x + f x + ... + f xn n1 1 2 2 3 3MAP =f + f + f + ... + fn1 2 3

9 3 +12 5 + 6 7 + 2 9 +111

MAP =9 +12 + 6 + 2 +1

27 + 60 + 42 +18 +11MAP =

30

27 + 60 + 42 +18 +11MAP =

30

158MAP =

30 finalmente MAP = 5,666... 5,27

TESTES 01.Calcular a mdia aritmtica entre os nmeros 3, 4, 6, 9 e 13. 02. Calcular a mdia geomtrica entre os nmeros 12, 45 e 50. 03. Calcular a mdia harmnica entre os nmeros 1, 3 e 6. 04. (FUVEST) Ache a mdia aritmtica dos nmeros 35

, 134

e 12

.

05. (SANTA CASA) A mdia aritmtica dos elementos de um conjunto de 28 nmeros 27. Se retirarmos desse conjunto trs nmeros, de valores 25, 28 e 30, a mdia aritmtica dos elementos do novo conjunto : 06. (PUC) A mdia aritmtica de um conjunto de 12 nmeros 9. Se os nmeros 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a mdia aritmtica dos restantes : 07. (UBERABA) Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a cada R$ 1,50 cada e 2 doces a R$ 2,50 cada. O preo mdio por doce foi de: 08. Um fabricante de caf misturou caf x de R$ 750,00 o Kg com caf y de R$ 950,00 o Kg. Qual o valor do Kg da mistura de 15 kg de caf x com 15 kg de caf y. 09. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de gua de uma famlia durante os 5 primeiros meses de 2003.

Meses Consumo (m3) Janeiro 12,5 Fevereiro 13,8 Maro 13,7 Abril 11,4 Maio 12,1

O consumo mensal mdio dessa famlia durante os 5 meses foi: a) 11,3 m3 b) 11,7 m3 c) 12,7 m3 d) 63,5 m3 e) 317,5 m3




31

10. (ICMS/MG) As alturas dos jogadores de basquete da Seleo Brasileira so 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m e 2,05 m. A mdia de altura dessa seleo, em m, de: a) 2,01 b) 2,02 c) 2,03 d) 2, 04 e) 2,05 11. Determine a mdia geomtrica dos nmeros 1, 4 e 16: 12. Calcule a mdia ponderada dos nmeros 5, 8 e 9 com pesos 4, 6 e 10, respectivamente: 13. Qual a mdia harmnica entre os nmeros 2 e 3? 14. Sabe-se que os nmeros 2, 5, 7 e 11 tm pesos iguais a 1, 2, 3 e 5, respectivamente. Qual mdia ponderada entre esses nmeros? 15. (FCC) A mdia aritmtica de quatro nmeros 25. A mdia aritmtica de trs desses nmeros 21. O nmero que consta no primeiro grupo de nmeros e no consta no segundo grupo : a) 37 b) 39 c) 47 d) 48 e) 59 16. (OBM) A mdia aritmtica de seis nmeros 4. Quando acrescentamos um stimo nmero, a nova mdia 5. O nmero que foi acrescentado : a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11 17. (UF-PR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a mdia das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as fraes (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenao do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a mdia das idades caiu para 20 anos. Como nesse perodo nenhum dos alunos da turma fez aniversrio, qual a idade do aluno que desistiu? a) 41 anos b) 25 anos c) 29 anos d) 33 anos e) 37 anos

18.(UFPR) Um automvel pode ser abastecido com gasolina e lcool, em qualquer proporo. O motorista parou num posto em que o preo de um litro de gasolina era R$ 2,50 e o de lcool era R$ 2,00. Foram colocados no tanque de combustvel 16 litros de gasolina e 24 litros de lcool. Qual o preo por litro do combustvel misto obtido nesse abastecimento? a) R$ 2,45. b) R$ 2,40. c) R$ 2,32. d) R$ 2,20. e) R$ 2,18. 19. A distribuio dos salrios de uma empresa dada na seguinte tabela:

Salrio em R$ Nmero de funcionrios 500,00 10

1.000,00 5 1.500,00 1 2.000,00 10 5.000,00 4

10.500,00 1 a) Qual a mdia dos salrios dessa empresa? 20. Dois torneiros, Paulo e Joo, concorrendo a uma vaga em uma metalrgica, submeteram-se ao seguinte teste de preciso: cada um deles construiu quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de dimetro. A tabela abaixo descreve o desempenho de cada um.

Di-metro em cm

Di-metro em cm

Di-metro em cm

Di-metro em cm

Mdia do Di-metro em cm

Paulo 4,8 5,2 5,0 5,0 5,0 Joo 4,7 5,3 5,0 5,0 5,0

Como os dimetros mdios foram iguais, o critrio de desempate foi a regularidade, isto , quem teve o desempenho mais regular foi o merecedor da vaga. a) Calcule o desvio padro do conjunto de dimetros obtidos por Paulo e Joo. (Use a aproximao

2 1,41= ) b) Qual dos dois candidatos teve o desempenho mais regular? 21. (ICMS-MG) Os tempos gastos por cinco operrios para fazer um trabalho foram: 4 min, 6 min, 7 min, 8 min, 10 min. A varincia dessa distribuio : a) 4,0 b) 3,5 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0 22. (ICMS-MG) O desvio padro do conjunto de dados A = {6, 10, 4, 8, 7} igual a: a) 1,25 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 e) 4,0




32

23. (GDF) Uma empresa que possui 5 mquinas copiadoras registrou em cada uma delas no ltimo ms ( em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cpias, respectivamente. O valor da varincia desta populao : a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25 e) 12 24. A tabela a seguir representa uma pesquisa sobre o peso (em quilogramas) de um grupo de pessoas,

Peso kg FA VM 40 | 44 1 42 44 | 48 3 46 48 | 52 7 50 52 | 56 6 54 56 | 60 3 58

Total 20

Determine a media aritmtica. 25.(PUC-SP) O histograma seguinte apresenta a distribuio de freqncia das faixas salariais numa pequena empresa.

14

12 10 8 6 4 2

0 500 1000 1500 2000 2500

Com os dados disponveis, pode-se concluir que a mdia desses salrios , aproximadamente: a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00 26. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e obtiveram os seguintes resultados:

Matria Manoel Maria Matemtica 9,0 9,0

Fsica 9,0 6,0 Qumica 8,0 6,0 Biologia 5,0 6,0

Portugus 5,0 8,0 Histria 5,0 7,0

Geografia 6,0 7,0 Ingls 7,0 6,0

a) Qual a mdia de notas de cada um?

Resposta: 7,0 Manoel e 6,9 Maria.

b) Pelo clculo do desvio padro, determine qual dos candidatos teve a maior variabilidade.

27. Uma mquina empacotadora de leite est regulada para que cada embalagem contenha 1 000 ml. No entanto, o perfeito empacotamento depende de vrios fatores, como variao da temperatura ambiente, variao da corrente eltrica, bom funcionamento mecnico da mquina etc. O controle de qualidade desse laticnio obteve amostras com suas respectivas freqncias. Determine a porcentagem, em relao ao total das amostras, que est acima da mdia mais o desvio padro.

Capacidade (ml) Freqncia 994 6 995 6 998 8

1 000 20 1 010 10 1 050 10

28.(FUVEST) A distribuio dos salrios de uma empresa dada na tabela a seguir:

Salrio Funcionrios 500 10

1 000 5 1 500 1 2 000 10 5 000 4

10 500 1 Total 31

a) Qual a mdia e qual a mediana dos salrios dessa empresa?

Resposta: R$ 2 000,00 e Md=1 500,00

b) Suponhamos que sejam contratados dois novos funcionrios com salrios de R$ 2 000,00 cada. A varincia da nova distribuio de salrios ficar menor, igual ou maior que a anterior? 29.(UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1, x2, x3, x4} a mdia aritmtica de X definida por:

1 2 3 4x + x + x + xx =

4 e a varincia de X definida

por: 1 2 2v = (x - x) + ... + (x - x)414

. Dado o conjunto X={2, 5, 8, 9}, pede-se: a) Calcular a mdia aritmtica de X. b) Calcular a varincia de X. c) Quais elementos de X pertencem ao intervalo

x - v, x + v ?




33

30.(FGV-SP) A tabela a seguir representa a distribuio de freqncias dos salrios de um grupo de 50 empregados de uma empresa, num certo ms.

Nmero de classe

Salrio do ms em R$

Nmero de empregados

1 1 000 | 2 000 20 2 2 000 | 3 000 18 3 3 000 | 4 000 9 4 4 000 | 5 000 3

O salrio mdio desses empregados, nesse ms, foi de: a) R$ 2 637,00 b) R$ 2 420,00 c) R$ 2 520,00 d) R$ 2 400,00 e) R$ 2 500,00 31.(NC.UFPR) Em uma escola, para verificao da aprendizagem em certa disciplina, so aplicadas trs provas, com pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Para um aluno ser aprovado nessa disciplina, deve ser no mnimo 5,0 a mdia aritmtica ponderada das notas que ele obtiver nas trs provas relativamente aos pesos mencionados. Se nas duas primeiras provas um dos alunos obteve notas 4,0 e 3,5, respectivamente, ento, para que seja aprovado, a nota mnima que ele deve obter na terceira prova : a) 6,0 b) 6,1 c) 6,2 d) 6,3 e) 6,4 32.(NC.UFPR) A mdia aritmtica de 3 nmeros (x, y e z) 6, e a mdia aritmtica ponderada desses nmeros relativa aos pesos 1, 3 e 4, respectivamente, 6,75. Sabendo-se que z = 6, ento um dos outros dois nmeros : a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

GABARITO ESTATSTICA 01 7 02 30 03 2 04 29/20 05 26,92 06 7 07 1,85 08 8,50 09 C 10 C 11 4 12 7,9 13 2,4 14 8 15 A 16 E 17 A 18 d 19 2000 20 a) Paulo DP= 0,016 Joo DP= 0,018 b) Paulo 21 7 22 C 23 B 24 51,4 25 E 26 a)Manoel 7,0 e Maria 6,9 b) Manoel 1,7 e Maria 1,1 27 17% 28 Ficar menor 29 a) 6,0 b) 7,5 c) 5 e 8 30 E 31 D 32 E




34

INTRODUO AOS CONJUNTOS

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definio.

ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS

1 CONJUNTO i O conjunto de todos os brasileiros. ii O conjunto de todos os nmeros naturais. iii O conjunto dos nmeros naturais tal que

x Para afirmar que - 5 no um nmero natural (N) , escrevemos: - 5N.

ALGUMAS NOTAES PARA CONJUNTOS

1 Extenso: Os elementos do conjunto esto dentro de duas chaves { }, separados por vrgula ou ponto e vrgula

i A = { a, e, i, o, u }

ii N = { 1; 2; 3; 4; ... } o 2 Compreenso: O conjunto descrito por uma ou

mais propriedades. i A = { x : x uma vogal}

ii N = { x : x um nmero natural} o 3 Diagrama de Venn-Euler Os conjuntos so

mostrados delimitados por uma regio.

SUBCONJUNTOS Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, ento, que A um subconjunto de B, ou seja BA . Observaes: > Todo o conjunto A subconjunto dele prprio, ou seja

AA ; > O conjunto vazio, por conveno, subconjunto de qualquer conjunto, ou seja A . ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO: um conjunto que no possui elementos. O conjunto vazio representado por { } ou . CONJUNTO UNIVERSO: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e tambm contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U. REUNIO DE CONJUNTOS A reunio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. { }BxouAx:xBA =

INTERSEO DE CONJUNTOS A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. { }BxeAx:xBA =

A B

A B

A B

A B

A




35

Quando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos.

Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. O conjunto vazio representado por { } ou . DIFERENA DE CONJUNTOS A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. { }BxeAx:xBA = Do ponto de vista grfico, a diferena pode ser vista como:

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C A B, a diferena entre os conjuntos A e B, ou seja, o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. { }BxeAx:xBABAC == Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, dado por:

Ou tambm:

Quando no existe dvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais so: c=U e Uc=.

DIFERENA SIMTRICA A diferena simtrica entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem reunio dos conjuntos A e B e no pertencem interseo dos conjuntos A e B. { }BAxeBAx:xBA = A situao grfica para a diferena simtrica :

TEORIA DOS CONJUNTOS Smbolos

: pertence : existe

: no pertence : no existe

: est contido : para todo (ou qualquer que seja)

: no est contido : conjunto vazio

: contm N: conjunto dos nmeros naturais

: no contm Z : conjunto dos nmeros inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos nmeros racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos nmeros irracionais

: se, e somente se

R: conjunto dos nmeros reais

: A interseco B

: A unio B

a - b: diferena de A com B

a < b: a menor que b

: a menor ou igual a b

a > b: a maior que b

: a maior ou igual a b

: a e b

: a ou b

A B

A B

A B

C A B

A B

A - B

A B

A B

A - B




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TESTES 01. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lem o Jornal A, 29% lem o jornal B, 13% lem A e B, 22% lem o jornal C e 6% lem B e C, 14% lem A e C e 6% lem os trs jornais. a) Quanto por cento no l nenhum desses jornais? b) Quanto por cento l os jornais A e B e no l o C? c) Quanto por cento l pelo menos um jornal? 02.(EPPG) Numa pequena cidade com 400 residncias, 60% delas tm gua encanada, 45% dispem de sistema de esgoto e 5% no tm gua encanada nem esgoto. Nessas condies, verdade que : a) 60 residncias tm gua encanada e esgoto. b) 120 residncias no tm gua encanada. c) 200 residncias tm gua encanada mas no esgoto. d) 160 residncias tm esgoto mas n

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