Material Complementar Matemtica N1

3 Anos 2012

Escola Estadual de Ensino Fundamental, Mdio e Ed. de Jovens e Adultos Divina Providncia

Prof. Joscres O. ngelo

LogaritmosQuando estudamos no 9 ano potncias, aprendemos situaes problemas que envolviam expoentes. L por exemplo acabamos por exemplo, aprendendo que 5 elevado potncia 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta: - Qual o nmero (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25? Voc deve estar pensando: -Mas isso eu resolvo com exponenciais!!! Sim, porque essa bem fcil, as difceis no saem to simples assim. Vamos comear de baixo. O logaritmo serve para isso! Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:

Onde "x" o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25. Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, potncia 2) para obtermos 25, chegamos concluso que o logaritmo de 25 na base 5 2:

Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:

No exemplo anterior, , temos ento que: A base 5, O logaritmando 2,5 O logaritmo de 25 na base 5 2. Note que, anteriormente, dissemos que "x" o expoente de "b", e na figura acima est escrito que "x" o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO UM EXPOENTE. Agora, com esta breve introduo, podemos escrever uma primeira defino de logaritmo (hei, ainda no a oficial, mas o que temos at agora):

Logaritmo de um nmero N, na base b, o nmero x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N.Esta a apenas uma definio, voc deve ter entendido bem o que est escrito acima para que possamos a prxima etapa deste estudo bsico sobre logaritmos, onde poderemos ver quais as condies que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer para termos um logaritmo. No podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer nmero em qualquer base. Existem algumas regras para que o logaritmo exista, so as: condies de existncia dos logaritmos. Para mostrar quais so estas condies, vou dar um EXEMPLO ERRADO para cada restrio existente, para que voc veja o absurdo que seria se elas no existissem. Veja primeiro o exemplo abaixo:

Ex. 1: Quanto vale Ou seja, queremos saber obtermos -16. Voc j sabe atravs saber) quando estamos tratando de Chegamos ento a um absurdo. Por sinal do logaritmando:

? qual o expoente que devemos elevar o nmero 4 para de estudos nos anos anteriores (ou pelo menos deveria potenciao de que no h valor para este expoente. causa deste tipo de absurdo, h uma restrio quanto ao

PRIMEIRA CONDIO DE EXISTNCIA (logaritmando): O logaritmando deve ser um nmero positivo. Veja que esta primeira restrio j inclui o fato de que o logaritmando deve ser diferente de ZERO. Duvida? Experimente encontrar o logaritmo de ZERO na base 3 (log30).Veja o prximo exemplo errado para ilustrar a prxima restrio: Ex. 2: Quanto vale ? Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero -4 para obtermos 4. Novamente chegamos em um absurdo, no h expoente que faa isso. Ainda olhando para a base: Ex. 3: Calcule . Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4. Por definio j sabemos que a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, no existe expoente para a base 1 que resulte 4. Absurdo!

Ex. 4: Calcule . Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Absurdo! Com estes trs exemplos sobre a base do logaritmo, chegamos na segunda condio de existncia.

SEGUNDA CONDIO DE EXISTNCIA (base): A base deve ser um nmero positivo diferente de 1.

Note que dito que a base deve ser um nmero positivo, ou seja, no pode ser ZERO tambm.Portanto, resumindo as trs condies em um quadro s: CONDIES DE EXISTNCIA

logbN = x1 2 3 N>0 b>0 b1

T, e voc deve estar se perguntanto: Como que isso cai no vestibular ou no enem? Uma maneira muito comum de cair a questo perguntar o domnio de uma funo com logaritmos. Bem, eu sei que vocs sabem mas s lembrando que domnio o conjunto dos nmeros para os quais a funo existe, devemos apenas aplicar as condies de existncia no logaritmo para encontrar seu domnio. Veja o exemplo abaixo: 1) Qual o domnio da funo real definida por ?

Vemos que a base j est definida, vale 5. Portanto, no devemos aplicar a condio de existncia na base, somente no logaritmando.

arrumando termos,

As razes da funo do segundo grau so 2 e 3 e o grfico tem concavidade para baixo. Desenhando a parbola:

Portanto, os valores nos quais a parbola retorna valores positivos esto no intervalo entre 2 e 3. Este ser o domnio: Domnio =

Bem, alunos, com a idia bsica vista nessa primeira etapa podemos dar mais um passo. Agora sim em direo a aplicabilidade do logaritmo tal qual precisamos aprender para o tenebroso Enem e cobrada no vestibular e no nosso caso em juros compostos. Lembrando que o logaritmo um expoente, podemos enunciar a equivalncia fundamental dos logaritmos: EQUIVALNCIA FUNDAMENTAL

Note que temos, na expresso acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no incio do estudo de logaritmos: "Qual o expoente x que devemos elevar a base b para resultar N". Esta equivalncia muito importante, pois muitos exerccios sobre logaritmos necessitam dela para sua resoluo. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade est nos dois sentidos, ou seja, voc pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos. Vamos a dois exemplos antes de nosso exerccio basico: Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6? Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como: Onde x o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado. Agora, para resolver, aplicamos a equivalncia fundamental:

Camos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lio anterior). Fatorando o . (Cortando as bases)

Portanto, log6 216 = 3 Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equao ?

Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalncia fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

Este o valor de x

Bem isso s para comear!!!