Parte superior do formulário (UFMS 2010)

Dado o sistema a seguir, e considerando log o logaritmo na base 10, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).

1) log ( x – 9y ) = 0

2) log (x + 9y) = 1

4) ( x + y ) = 10

8) ( x × y ) = 10

16) ( x ÷ y ) = 10

CERTOS: 1, 8, 16.

Vamos lá. Pede-se os valores de "x" e de "y" no sistema abaixo: 3⁸ʸ⁻˟ = 0,11111..... . (I) e log(x) - log(y) = 1 . (II) Veja que 0,1111...... = 1/9. Assim, a nossa igualdade (I) acima, ficará sendo: 3⁸ʸ⁻˟ = 1/9 ----- mas 1/9 = 1/3² = 3⁻². Assim, substituindo 1/9 por 3⁻², temos: 3⁸ʸ⁻˟ = 3⁻² ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo: 8y - x = - 2 . (III) Agora vamos trabalhar com a igualdade (II), que é esta: log(x) - log(y) = 1 ---- veja que loga - logb = log(ab). Assim: log(xy) = 1 ------ como a base é 10, então o que temos aí é a mesma coisa que: 10¹ = xy, ou: xy = 10 . x = 10/y . (IV) Mas, conforme (III), temos que: 8y - x = - 2 ---- vamos substituir "x" por "10/y", conforme encontramos em (IV) acima. Assim: 8y - 10/y = - 2 ----- mmc = y. Assim: 8y*y - 10 = -2y 8y² - 10 = - 2y --- passando (-2y) para o 1º membro e ordenando, ficamos com: 8y² + 2y - 10 = 0 ---- dividindo ambos os membros por "2", vamos ficar apenas com: 4y² + y - 5 = 0 ---- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes: y' = -5/4 <-- descartada, pois não há logaritmo de números negativos. y'' = 1 Assim, concluímos que y = 1 <-- Esse é o valor de "y". Agora vamos lá para a igualdade (IV), que é esta: x = 10/y ----- substituindo "y" por "1", ficamos com; x = 10/1 x = 10 <--- Esse é o valor de "x". Assim, sintetizando, temos que: x = 10 e y = 1 Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução também assim: S = {10; 1} É isso aí. OK? Adjemir. Resposta 2 3^(8y - x) = 1/9 = 3⁻² 8y - x = -2 logx - logy = 1 log x/y = log 10 x/y = 10 Novo sistema é: 8y - x = -2 x/y = 10 Da primeira: x = 8y + 2 Substitui na segunda: (8y + 2) / y = 10 8y + 2 = 10y 10y - 8y = 2 2y = 2 y = 1 Da segunda: x/y = 10 x = 10 resposta: x = 10 ; y = 1

1) Calcule: Log5 625 + Log 100 - Log3 27?

Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.

O Log5 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:

Podemos resolver a equação exponencial decompondo 625 em fatores primos:

Ou seja, 625 = 54, o que nos leva ao valor de x:

Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se lembra disto,

convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria.

Então 4 é o Log5 625:

O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100:

O valor de x agora é óbvio.

Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo algarismo 1

seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.

Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de base dez é igual a

dois (102 = 100), isto é, x = 2.

Então 2 é o Log 100:

Por último, o Log3 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base também 3 para obtermos 27:

Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como fizemos com o

Log5 625.

Realizando as substituições na expressão original temos:

Log5 625 + Log 100 - Log3 27 = 3.

2) Considerando-se Log7 10 = 1,1833. Qual é o Log7 70?

Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto.

Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos

conhecidos. Um é o Log7 10, obtido do enunciado e o outro é o Log7 7 que como sabemos é igual a 1.

É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:

Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log7 70:

O Log7 7 = 1 pois:

Conforme o enunciado, o Log7 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos:

Log7 70 = 2,1833.

3) Calcule o Log3 5 sabendo que o Log3 45 = 3,464974?

Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos.

O Log3 45 é fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fácil de calcular, que nos permita do

Log3 45 chegar ao Log3 5.

Uma forma de partindo de 45 chegarmos a 5, é dividirmos 45 por 9.

Como podemos facilmente calcular o Log3 9, vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um quociente para

solucionarmos esta questão.

A partir do explicado acima podemos escrever que:

Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente temos:

O , visto que 3 elevado ao quadrado é igual a 9:

Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado:

Log3 5 = 1,464974.

4) -1,494850 é um logaritmo decimal na forma negativa. Qual é a sua forma preparada?

Obtemos a característica subtraindo 1 da parte inteira (-1), resultando em -2 e a escrevemos utilizando o traço sobre a

mesma, sem o sinal de negativo:

A mantissa obtemos subtraindo de 1 o número formado por "0," seguido da parte decimal 494850:

Logo a mantissa é igual a 505150.

Já que a característica é igual a 2 e a mantissa é igual a 505150, o logaritmo decimal na forma preparada é igual a

2,505150.

Na forma preparada o logaritmo decimal é 2,505150.

5) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 1,511883?

Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes.

A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 (-1):

Para a segunda parte subtraímos o 0,511883, referente à mantissa precedida de "0,", de 1:

Concluindo subtraímos as partes obtidas:

A forma negativa deste logaritmo decimal é -0,488117.

6) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 na sua forma negativa. Qual é o logaritmo decimal de 200?

Já que Log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que ela não é a parte

decimal do logaritmo informado.

Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e menor que 1 e no caso deste exercício o

logaritmando é igual a 0,2.

Para a obtenção da mantissa do Log 0,2, simplesmente vamos subtrair 0,698970. Estamos considerando apenas os

algarismos da parte decimal (698970) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o "0," na frente:

Portanto a mantissa do Log 0,2 é igual a 301030.

Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula, possuem a

mesma mantissa, então ambos os logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a mantissa 301030. O que difere neles é

a característica.

Para obtermos a característica do Log 200, basta subtrairmos 1 do número de algarismos da parte inteira de 200:

Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030, o logaritmo decimal de 200 é igual a 2,301030.

Log 200 = 2,301030.

7) Utilizando a tábua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961.

Atribuindo à variável x a raiz quadrada de 961, podemos escrever a seguinte equação:

Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equação equivalente:

Agora vamos recorrer à propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor de M natural, diferente de zero, o

logaritmo da raiz na base b é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo de N, também na base b:

Aplicando a propriedade temos:

Chegamos então à seguinte equação:

Recorrendo à tábua de logaritmos vamos obter o log 961.

Para isto vamos começar procurando pela mantissa do log 9,61 que se encontra no cruzamento da linha 96 com a

coluna 1, que é 982723.

Na linha 96 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 9,61 a 9,69, ou de 961 a 969 se você

preferir.

A mantissa do log 961 é igual a 982723, já a sua característica é igual a 2, visto que este é o número de algarismos da

sua parte inteira reduzida em uma unidade:

Portanto, o log 961 = 2,982723.

Desconsiderando-se os erros de arredondamento, 2,982723 é o expoente ao qual 10 deve ser elevado para obtermos

961:

Voltando à equação temos:

Note que o resultado foi arredondado em seis casas decimais, pois esté o número de algarismos que estamos

utilizando nas mantissas da tábua de logaritmos.

Temos então à seguinte equação:

Já vimos que os logaritmos decimais com característica igual a 1 são de números maiores, ou iguais a 10 e menores

que 100.

Então a raiz quadrada de 961 encontra-se entre os números 10 e 100, mas que número será este?

Procuremos pela mantissa 491362 na tábua de logaritmos.

Ela é encontrada na linha 31, coluna 0.

Isto quer dizer que números como 0,31; 3,1; 31 e 310, dentre outros, que diferemm entre si apenas pela posição da

vírgula, possuem a mesma mantissa 491362.

Destes números relacionados, apenas o número 31 situa-se entre os números 10 e 100, portanto 31 é a raiz quadrada

de 961.

Apenas para que você tenha noção disto, este procedimento todo se resume a isto:

A raiz quadrada de 961 é 31.

8) A diferença entre dois números positivos é 4207,5 e a diferença entre os logaritmos decimais destes dois

números é igual a 2. Que números são estes?

Vamos chamar de M o número maior e de N o número menor.

O enunciado diz que:

Isto quer dizer que ambos os logaritmos possuem a mesma mantissa e sendo assim eles diferem entre si apenas pela

posição da vírgula, significando que se dividirmos o número maior pelo número menor o resultado será igual a 102:

Através do enunciado também sabemos que:

Podemos então montar o seguinte sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas:

Vamos isolar a variável M da segunda equação:

Agora vamos substituir a variável M da primeira equação:

Substituindo o valor da variável N da primeira equação:

Os números são 4250 e 42,5.

9) Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y.

Para a resolução deste problema vamos partir do princípio que:

Esta é a propriedade que nos permite realizar a mudança de base de um logaritmo.

Recorrendo a ela temos:

Como o Log27 6 = x, podemos realizar tal substituição na equação. Além disto iremos aproveitar para escrever o

logaritmando 24, no denominador da fração, como o produto de 6 por 4:

Agora vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto:

Já que o Log27 6 = x e o Log27 4 = y, vamos realizar estas substituições na equação:

Portanto:

.

10) Se o Log60 3 = x que o Log60 6 = y, qual é o Log18 2?

O objetivo desta questão é escrevermos o Log18 2 em função de x e y.

Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log18 2, passemos pelos Log60 3 e de

Log60 6.

Para começar vamos passar o Log18 2 para a base 60.

Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo:

Então para a = 2, b = 18 e c = 60, temos:

O logaritmando 2, no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3, assim como o logaritmando 18,

no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto é nos direcionarmos aos

logaritmos no enunciado:

No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade do

logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado:

Pronto, agora chegamos a um ponto no qual só precisamos trocar o Log60 3 e o Log60 6 por x e y respectivamente:

.

(PUCRS) A solução real para a equação , com a>0, a≠1 e b>0, é dada por a^(x + 1) = b/a ----> a*a^(b + 1) = b ---> a^(x + 2) = b loga[a^(x + 2)] = logab (x + 2)*logaa = logab x + 2 = logab x = loga(b) – 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- "Se log 2 = a e log 3 = b, determine o valor de log 5 em função de a e b."

Para realisá-lo, você precisa conhecer as propriedades dos logaritmos. Você sabe que 2 + 3 = 5. Você não pode, no

entanto, afirmar que log 2 + log 3 = log 5.

Para deixar seu cálculo mais claro, reescreva o problema evidenciando a base do logaritmo - que, quando não está

escrita, vale 10. Fica assim:

Veja que foram apresentadas a base dos logaritmos. Reescrevendo a questão, portanto, ela ficaria:

log102 = a, log103 = b, log105 = ?, em função de a e b.

Tente, agora, encontrar alguma relação entre 5 e os outros números em questão (10, 5 e 2). Você pode ter, por

exemplo:

Como o logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos (uma das propriedades dos logaritmos), você pode

ter:

Como log1010 = 1:

log5 = 1 - a

Seu exercício está resolvido!

Exercício resolvido, utilizando mudança de base

Retome a fórmula de mudança de base:

Simplifique:

log25 . log72

A primeira vista parece uma grande confusão, mas nota-se que existe uma base 2 e um log de 2. Logo, deve-se mudar

para a base 2.

Nota: No caso de dúvida entre várias bases que sejam múltiplos (ex: 3, 9, 81, ...), em princípio, escolhe-se a menor.

Resolvendo com a mudança de base para 2:

Note que como os dois logaritmos possuem base 2, pode se usar a fórmula de mudança de base ao inverso, logo:

No geral, vale a recomendação de sempre pensar e analisar os problemas por alguns instantes e determinar a melhor

estratégia de resolução.

Exercício resolvido de logaritmo, com a propriedade de logaritmo da potência

À primeira vista, um problema complexo, com muitas bases diferentes, mas, ao ser analisado parte por parte:

pois, somente um número elevado a zero resulta em 1;

também um log que a base ajuda bastante;

é um pouco mais interessante, mas, nada de amedrontar, pois as bases se "aparentam" entre

si, logo:

Utilize a propriedade do logaritmo de potência:

Finalmente:

Fórmula de mudança de base:

Mudando para a base 2:

Retornando à equação original com os resultados:

Como se pode notar, ao se analisar um problema como um todo e, em seguida, parte por parte, pode-se chegar a

resoluções facilíssimas.