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Funções Elementares

do Cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina

Campus Joinville

Bacharelado Interdisciplinar em Mobilidade

Prof. Dr. Milton Procópio de Borba

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Conteúdos da Aula

� Função exponencial;

� Função logarítmica;

� Funções trigonométricas;

� Funções trigonométricas inversas;

� Funções hiperbólicas;

� Funções hiperbólicas inversas.

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Função exponencial� Chamamos de função exponencial de base � a

função � de � em � que associa a cada real x o

número real ��, sendo � um número real tal que

0 < � ≠ 1,

ou � ∶ �→��→� = �(�) = ��

� Domínio⇒ ���(�) = �

� Imagem⇒ ��(�) = (0, +∞)

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GRÁFICO:

PROPRIEDADES:

Com relação a função � � = ��, podemos afirmar:

(i) A curva que a representa está toda acima do eixo das

abscissas, pois � = �� > 0, para todo � ∈ �.

(ii) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).

(iii) � � = �� é crescente se � > 1e decrescente se

0 < � < 1.

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Função logarítmica� Dado um número real � , tal que 0 < � ≠ 1, chamamos de

função logarítmica de base � a função de 0,+∞ em �

que se associa a cada �o número �����, isto é,

� ∶ 0, +∞ →�

�→� = �����

� Domínio⇒ ��� � = 0,+∞

� Imagem⇒ ��(�) = �

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GRÁFICO:

PROPRIEDADES:Com relação ao gráfico da função � � = �����(0 < � ≠ 1) ,

podemos afirmar:

(i) Está todo do lado direito do eixo dos y.

(ii) Corta o eixo das abscissas no ponto (1,0).

(iii) � � = ����� é crescente se � > 1e decrescente se 0 < � < 1.

(iv) É simétrico ao gráfico da função g � = �� em relação a reta

� = �(funçõesinversas)

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Logaritmos NaturaisUma escolha conveniente para a base do logaritmo é a base (.

O logaritmo na base ( = 2,7182818284590452353602874. . .

(número de Neper) é chamado logaritmo natural e tem a

seguinte notação:

���(� = ln�

definido por: ���(� = ln � = � ⇔ (3 = �

Exemplo: Encontre x se ln � = 5.

Usando a definição temos

ln � = 5 ⇒ (5 = �

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Funções trigonométricas

� Função seno

� Função cosseno

� Função tangente

� Função cotangente

� Função secante

� Função cossecante

senx

cos x

tagx

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Função seno� Função seno é a função � de � em � que a cada � ∈

�faz corresponder o número real � = 6(7�, isto é,

� ∶ �→�

�→� = 6(7�

� Domínio⇒ ���(�) = �

� Imagem⇒ ��(�) = [−1, 1]

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Função seno – Gráfico:

“A função seno é periódica e seu período é 2ππππ”

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Função cosseno

� Função cosseno é a função � de � em � que a cada

� ∈ �faz corresponder o número real � = cos�,

isto é,

� ∶ �→�

�→� = cos�

� Domínio⇒ ���(�) = �

� Imagem⇒ ��(�) = [−1, 1]

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Função cosseno – Gráfico:

“A função cosseno é periódica e seu período é 2π”

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Função tangente, cotangente, secante e cossecante

x

xx

sen

cos cotg

:cotangente

=

⇒

xx

sen

1 cosec

:cossecante

=

⇒

0sen

:condição*

≠x

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Z},2

/{(tg) ∈+≠∈= nnxRxDom ππ

Z},/{(cotg) ∈≠∈= nnxRxDom π

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Z},/{(cosec) ∈≠∈= nnxRxDom π

Z},2

/{(sec) ∈+≠∈= nnxRxDom ππ

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Funções trigonométricas inversas

�: − =>⁄ , = >⁄ → −1,1 ,

� � = sen �

�AB: −1,1 → − =>⁄ , = >⁄ ,

�AB � = �CD sen �

�: 0, E → −1,1 ,

� � = cos �

�AB: −1,1 → 0, E ,

�AB � = �CD cos �

� = �CD cos � ⇔ � = cos �

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A função � = �CD cos �pode também ser definida pela equação:

F = GHI IJKL = M

N− GHIKOPL.

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Funções trigonométricas inversas

�: (−E2R , E 2R ) → �,

� � = S� � �AB:� → (− =>⁄ , = >⁄ )

�AB � = �CD S� �

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Funções trigonométricas inversas

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Funções trigonométricas inversas

� = �CD sec � = �CD cos(1 �R )

21

Funções trigonométricas inversas

� = �CD cos(D � = �CD 6(7(1 �R )

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Funções hiperbólicas

� Seno hiperbólico:

� Cosseno hiperbólico:

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Funções hiperbólicasAplicação

A curva formada por um fio de telefone ou de luz é

representada pelo cosseno hiperbólico:

� = cosh � �⁄ , � ∈ �

CATENÁRIA

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Funções hiperbólicas

xx

xx

ee

ee

x

xx

−

−

+

−==

⇒

cosh

senh tgh

:ohiperbólic tangente

xx

xx

ee

ee

x

xx

−

−

−

+==

⇒

senh

cosh cotgh

:ohiperbólic cotangente

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Funções hiperbólicas

xxeex

x−

+==

⇒

2

cosh

1sech

:ohiperbólic secante

xxeex

x−

−==

⇒

2

senh

1cosech

:ohiperbólic cossecante

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Função Inversa do Seno Hiperbólico: a função inversa do

seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e

denotada por arg senh, é definida como segue:

Funções hiperbólicas Inversas

Temos Dom (arg senh x) = Im (arg senh x) = R

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Função Inversa do Cosseno Hiperbólico: para definirmos a

função inversa do cosseno hiperbólico, precisamos restringir

seu domínio.

�: 0, +∞ → 1,+∞ ; � � = cosh �

Temos Dom (arg cosh x) = [1, +∞) e Im (arg cosh x) = [0, +∞)

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Função Inversa da Tangente, Cotangente e Cossecante

Hiperbólica: para a definição das inversas destas funções não

necessitamos restringir seus domínios.

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Função Inversa do Secante Hiperbólica: para definirmos a

função inversa da secante hiperbólica, precisamos restringir

seu domínio.

�: 0, +∞ → (0,1]; � � = sech �

��� �C� 6(DV = 0, 1�� arg 6(DV = [0, +∞)