FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: A utilização de recursos tecnológicos, como alternativa no aprendizado dos logaritmos

Autor Everley Maria Chicanoski Ranzolin

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Doze de Novembro – Ensino Profissional e Médio

Rua Belém, 2776

Município da escola Realeza

Núcleo Regional de Educação

Francisco Beltrão

Professor Orientador Clezio Aparecido Braga

Instituição de Ensino Superior

Unioeste

Relação Interdisciplinar

Geografia, Física, Biologia e Química

Resumo

A Matemática, sendo uma ciência que tem como ferramenta outras disciplinas e tem como papel

fundamental inserir o indivíduo, entre outras, no mundo do trabalho,bem como desenvolver o raciocínio lógico, tem nos estudiosos da Matemática, uma importante preocupação. Este trabalho tem como meta aproximar os conceitos dos logaritmos por meio de contextualizações e exemplos práticos, sem deixar de abordar os conceitos inerentes ao tema. A história dos logaritmos será abordada durante o desenvolvimento das aulas concomitante aos exercícios, expandindo a discussão através de pesquisas. Trabalhar a relação entre as funções logarítmicas e exponencial, abordar a Matemática financeira, aguçando a curiosidade dos alunos por meio de cálculos sobre aplicações e transações financeiras. Uso de mídias tecnológicas para

a experimentação matemática, aplicada ao uso dos logaritmos e sua relação com outras áreas do conhecimento, propondo novos métodos, permitindo construção, interação trabalho colaborativo.

Palavras-chave Logaritmos, mídias tecnológicas, experimentação

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo

Alunos da 1ª Série do Ensino Médio

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL – PDE

EVERLEY MARIA CHICANOSKI RANZOLIN

Professora PDE 2012

PROFESSOR DOUTOR CLEZIO APARECIDO BRAGA

Professor Orientador

UNIDADE DIDÁTICA

A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO ALTERNATIVA NO

APRENDIZADO DOS LOGARITMOS

REALEZA – PR

2012

APRESENTAÇÃO

Logaritmo, palavra essa que vem da composição de duas palavras gregas,

logos=razão e aritmos=números, e que há muito preocupa estudiosos e

matemáticos, que se debruçam em pesquisas para encontrar uma forma fácil,

moderna e agradável de explicar números e logaritmos naturais.

O estudo dos logaritmos amplia o estudo da função exponencial,

principalmente, pelo fato de trabalhar com equações exponenciais que possuem

bases diferentes.

A função logarítmica pode ser relacionada a várias situações concretas, entre

elas a escala Richter, que serve para medir a quantidade de energia liberada por um

abalo sísmico, ou para medir a intensidade sonora de um ambiente, para calcular o

pH (potencial hidrogeniônico) de uma solução,na computação é utilizado na base 2

para representar dígitos de informação (bits) e ainda no cálculo de uma população

de seres vivos entre várias outras aplicações.

Embasados no exposto podemos afirmar que a Matemática é uma ciência

que serve como ferramenta para o progresso de outras áreas de conhecimento,

como Economia, Física, Química, Biologia, Geografia, Sociologia, Psicologia,

composição musical, coreografia, Arte, computação, esporte, etc. Auxilia, também,

no desenvolvimento da capacidade de expressão e de raciocínio, no sentido de

comportar um amplo espectro de relações, regularidades e coerências que, além de

despertarem a curiosidade, aumentam a capacidade de generalizar, projetar, prever

e abstrair – condições essenciais para o exercício de qualquer atividade profissional.

Dessa forma, o processo de ensino-aprendizagem da Matemática contribui

com a formação da cidadania, possibilitando a inserção do indivíduo no mundo do

trabalho, da cultura e das relações sociais. Para que estejam de acordo com as

atuais necessidades da sociedade, os conhecimentos matemáticos precisam ser

contextualizados, relacionando os conteúdos entre si e com outras áreas do saber,

de forma a dar significado ao conhecimento escolar, bem como a incentivar o

raciocínio e a capacidade de aprendizagem. Esta UNIDADE DIDÁTICA, tem como

meta aproximar os conceitos matemáticos de logaritmos da realidade dos alunos,

por meio de contextualizações e exemplos práticos, sem deixar de abordar os

conceitos inerentes ao tema.

A proposta apresentada, busca trazer para a educação escolar, mais

precisamente no 1a série do Ensino Médio, do Colégio Estadual Doze de Novembro,

um ensino da matemática, diferente daquele que prescrevia métodos pautados no

rigor das demonstrações, para um ensino baseado nas explorações indutivas e

intuitivas, potencializando o uso de mídias tecnológicas para experimentação

matemática aplicados ao uso dos logaritmos. Atividades outrora utilizando, não

somente, lápis, papel e quadro de giz, podem agora ser complementados por

computadores, pois permitem aos estudantes construção, interação, trabalho

colaborativo e novas possibilidades de investigação, construindo um conhecimento

menos formal. Portanto, nossa proposta, insere uma nova forma de ensinar e

aprender logaritmos, valorizando o processo de produção de conhecimentos a partir

das mídias tecnológicas.

UM POUCO DA HISTÓRIA DOS LOGARITMOS

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar

simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações

mais simples de soma e subtração. Napier foi um dos que impulsionaram fortemente

seu desenvolvimento perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor

dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham

trabalhado com ele. Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era

realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos

com somas ou subtrações.

O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma

progressão geométrica

b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …

os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a

soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

PA (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16394)

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;

• 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

• como 8+5=13,

• 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.

Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma

simples operação de adição. Enquanto Napier trabalhava com uma progressão

geométrica, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o

problema dos logaritmos. Juntos elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de

modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência

conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja,

os logaritmos dos dias de hoje.

Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou

no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de

cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus

universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e

rápidas calculadoras, ninguém mais usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de

cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um

instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores

de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção

e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar

as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier

tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá. A principal dessas razões é

de natureza teórica. Embora eles tenham sido inventados como acessório para

facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento da matemática e das ciências em

geral veio mostrar que diversas leis matemáticas e vários fenômenos naturais e

mesmo sociais são estreitamente relacionados com os logaritmos. Assim sendo, os

logaritmos, que no princípio eram importantes apenas por causa das tábuas,

mostraram ter apreciável valor intrínseco.

DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

O logaritmo x de um número N é o expoente a que se deve elevar um número

a para que a igualdade a x = N seja verificada.

ax = N ↔ ����� = x ( com N > 0, a>0 e a ≠ 1)

Em que N: antilogaritmo ou logaritmando

a : base

x : logaritmo

Os alunos irão para o laboratório, pesquisar sobre a história dos logaritmos.

Sugestão de sites:

m3.ime.unicamp.br/recursos/1279

www.brasilescola.com › Matemática › Logaritmo

www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/logaritimo/logaritimo-1.php

Após a pesquisa, irão assistir um vídeo sobre conceitos básicos dos

logaritmos, que se chama: Logaritmo – A aparição, o vídeo se encontra no site:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/genre.php?genreid=45&le

tter=L

Atividade

1.Aplicando a definição, determine o valor de cada logaritmo:

a) ���� ��= x b) ��� � = z c) ���� � �= y

2. (UNIRIO-RJ) O índice de desenvolvimento humano (IDH) é uma medida

comparativa de riqueza, alfabetização, educação, esperança de vida, natalidade e

outros fatores para diversos países do mundo. É uma maneira padronizada de

avaliação e medida do bem-estar de uma população, especialmente bem-estar

infantil. Todo ano, os países da ONU são classificados de acordo com essas

medidas. Para se calcular o índice de desenvolvimento humano-renda, determina-se

o PIB per capita do país em dólares (P), e, em seguida, aplica-se a fórmula:

IDH – R = ��������

���

Se um determinado país possui IDH - R = ��

, pode-se afirmar que seu PIB per

capita (P) é:

a) US$ 8.500,00

b) US$ 9.000,00

c) US$ 9.500,00

d) US$ 10.000,00

e) US$ 10.500,00

3. Determine o valor da expressão:

����� ��� � ������� ���� � �� ������ ����� � � ��� � �

�

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

I. ���� � = 0

II. ���� � = 1

III. ���� = ���� ! → b = c

IV. a ����� = N

Observações:

Quando se escreve ���" e não se indica a base, está subentendido que esta é 10,

então������� " = ����� "

Atividade

1.Usando as conseqüências da definição, determine o valor de a nas seguintes

igualdades:

a) �����#� �� = a

b) ������ � = a

c) 7 log 7 3 = a

d)������� � = a

2. Supondo que exista o logaritmo de a na base b, marque V para os itens

verdadeiros e F para os falsos. Logaritmo é:

( ) o número a que se eleva a para obter b.

( ) o número a que se eleva b para obter a.

( ) a potência de base b e o expoente a.

( ) a potência de base a e o expoente b.

( ) a potência de base 10 e o expoente a.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

Dessa forma para M > 0, N > 0 e a > 0 e a ≠ 1, são válidas as propriedades:

• Logaritmo do produto

�������$%&�'= ���� %�� ���� �

• Logaritmo do quociente

����(

)�= ����% �*����� �

• Logaritmo da potência

���� % n = n. ����%

Atividade

1. Com os dados ����� = 0,3 e ��� = 0,48, obtenha os logaritmos a seguir:

a) ��� ��

b) ����+

�

c) ��� �

d) ��� ��

2. (UERN) Sejam a, b e c números reais positivos. Sabendo-se que o valor de b é

243, é correto afirmar que

����&,

-��������

,&-

� é igual a:

a) 20

b) 15

c) 12

d) 10

3. (UNESP) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1 900 no ano x ( x ≥ 1900), é dada por L(x) =

12(199.�./0 �1��– 651). Considerando ./0 �= 0,3, uma pessoa dessa

região que nasceu no ano 2 000 tem expectativa de viver:

a) 48,7 anos.

b) 54,6 anos.

c) 64,5 anos.

d) 68,4 anos.

e) 72,3 anos.

MUDANÇA DE BASE

A calculadora auxilia um logaritmo na base 10 (tecla log) ou base e (tecla In).

Entretanto, nem sempre se resolvem problemas em que a base envolvida é 10 ou e.

Como é possível então obter um logaritmo, cuja base é diferente desses valores?

Para N > 0, a>0, a ≠ 1, k > 0 e k ≠ 1, pode-se escrever que:

���� � = ���2 �

���2 �

Atividade

1. Utilizando a calculadora, determine os logaritmos a seguir:

a) ���� =

b) ���� ��=

c) ����� � =

2. Uma pessoa aplica $ 18.000 à taxa de 1,50% ao mês durante 8 meses.

Determinar o valor acumulado ao final deste período.

3. Qual é o valor de x = ��� � . ���� �. ������3 ?

4. Se a e b são números reais, tais que log b a = 2, então qual é o valor de

K = ���, �² + ���, � . ���� + ���, �& ?

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Toda equação em que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em

ambos, é denominada equação logarítmica. Quando uma equação exponencial não

puder ser resolvida apenas cancelando as bases e igualando os expoentes, pode-se

utilizar o artifício de aplicar log em ambos os membros.

1,05 n = 2

��� ���� n = ���

n ��� ���� = ���

n = ���

��� ���� com o auxílio de uma calculadora, obtém-se:

n = 0,301... = 14,2 meses

0,021...

Atividade

1.Determine o Conjunto Solução das equações logarítmicas:

a) ���$1 � ' - ���$ 1 * ' = ��� 4

b) ���$1 � ' = - 1 + ��� 1

2. As instituições financeiras usam o regime de juro composto, tanto para aplicações

quanto para empréstimos. Um banco oferece um tipo de aplicação financeira a uma

taxa de juros de 8% ao ano. Em quantos anos o valor aplicado será duplicado?

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Denomina-se função logarítmica, toda função f: R * + → R que associa cada número x ao número ���� 1 por meio de

y= f(x) = ���� 1 com a > 0 e a ≠ 1

a) f(x ) = ���� 1 x y 4 2 2 1 1 0

�

� - 1

�

� - 2

Fonte: Gráfico construído no software Geogebra

Quando a > 1, a função é crescente x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

b)f(x) = ���561

X Y

4 -2

2 -1

1 0

�

� 1

�

� 2

Fonte: Gráfico construído no software Geogebra

Quando 0 < a < 1, a função é decrescente x1 < x 2 → f(x1) > f(x2) Observações: • Os gráficos das funções crescente e decrescente não intersectam o

eixo das ordenadas ( eixo y) . • O domínio da função logarítmica é R*+ e a imagem é R.

ATIVIDADE

1. Construa as funções logarítmicas utilizando o software Geogebra.

a) f(x) = ��� 1 b) f(x) = ���5

71

APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS EM OUTRAS ÁREAS DO CONHECIMENTO

Após todos os conceitos trabalhados, os educandos estarão aptos para

perceber a aplicação dos logaritmos em várias áreas do conhecimento, como:

Biologia, Física, Química, Música, Arte, Geografia e outras.

MATEMÁTICA, MÚSICA E TERREMOTO, QUAL A RELAÇÃO?

Quem não gosta de curtir uma música num final de tarde? No carro, na

balada, no quarto, e se o professor deixar, até na sala de aula em alguns momentos

os alunos escutam música!

Mas, o que a música tem a ver com terremoto? Não é o barulho!

Qual e o limite suportável do som no ouvido humano? Que tal medir o barulho

tolerável numa sala de aula? Ou num ambiente de trabalho?

Para perceber a onda sonora, o tímpano humano necessita que ele tenha no

mínimo intensidade física corresponde a 10 – 12 w/m2 (potencia por área), a

chamada limiar de audibilidade, e, no máximo, de até 1 w/m2 para a limiar da dor.

A grandeza nível sonoro obedece a uma escala logarítmica, sendo definida

por:

N = 10 ���8

8�

Em que I e a intensidade do som e Io é um nível de referência definida por

convenção internacional, que e utilizada como o limiar da audibilidade.

A unidade mais utilizada é o decibel (dB) em homenagem a Alexandre Graham Bell

(1847-1922), que inventou o telefone. Em decibéis (dB), como fica o limiar da

audição? E o limiar da dor (dB)?

De

A tabela a seguir apresenta os níveis de intensidade de algumas fontes sonoras comuns em dB. Fonte DB Descrição Fonte DB

0 Limiar da audição Respiração normal 10 Quase inaudível Sussurros de folhagens 20 Murmúrio (5 m) 30 Muito silencioso Biblioteca 40 Escritório tranquilo 50 Silencioso Conversação normal 60 Tráfego pesado 70 Fábricas em geral 80 Caminhão pesado 90 Prejudicial a audição Ronco de uma pessoa dormindo ? Metro antigo 100 Construção civil (3 m) 110 Concerto de rock (2 m) 120 Limiar da audição dolorosa Metralhadora 130 Decolagem de um jato 150 Motor de um foguete de grande porte 180

Atividade

Observando a tabela anterior, responda:

a) Qual e aproximadamente a intensidade sonora dos ruídos normais da sua sala de

aula?

b) Quantas vezes a intensidade do som de uma banda de rock e superior a

intensidade de uma conversação normal?

c) Qual e o limite do som tolerável numa sala de aula?

E OS TERREMOTOS?

Com um tremor de 9,1 graus na escala Richter, a província de Aceh, na Ilha

da Indonésia de Sumatra, foi atingida por um Tsunami. Mais de 200 mil pessoas

morreram no Sri Lanka, na Tailândia, na Indonésia e na Índia, em 2004.Analise os

efeitos do terremoto em diversos níveis de intensidade e calcule a energia mecânica

(E) liberada pelo abalo (medida em joules), entendendo que a equação foi obtida

com base na equação logarítmica proposta por Charles Francis Richetr (1900-1985).

Uma das equações logarítmicas utilizada é:

M= 0,67. log E – 3,25.

Interprete a tabela abaixo e calcule a intensidade dos terremotos com base na

equação logarítmica:

Número médio de terremotos de várias magnitudes por ano no mundo:

Magnitude Efeito Nº médio por ano

- 2,5 Normalmente não sentido, mas registrado 900 000

2,5 a 6,0 Geralmente sentido; danos pequenos a

moderados às estruturas;

31 000

6,1 a 6,9 Potencialmente destrutivo; especialmente em

áreas povoadas;

100

7,0 a 7,9 Grandes terremotos;resultam em grandes danos; 20

+ 8 Grandes terremotos; resultam em destruição total. 1 a cada 5 anos

Fonte: apostila de Matemática Positivo, 1ª série- 4º volume , p.6, Curitiba, 2012.

- Espera-se que os alunos interpretem que essa tabela é “aberta”, portanto não é

possível determinar um limite máximo de graus;

- Ainda que cada terremoto tenha uma intensidade única, os efeitos de cada abalo

sísmico variam bastante devido à distância, às condições do terreno, às condições

das edificações e de outros fatores físico locais.

No site http://psicoterapiabrasil.blogspot.com.br/2012_07_08_archive.html,

acessado em 25/10/2012. Há a notícia do Terremoto ocorrido no Chile, em 2010,

que registrou 8,8 graus na escala Richter, destruindo casas, rodovias e pontes.

Aproximadamente 700 pessoas morreram.

E no site http://diganaumanovaordemmundial.blogspot.com.br/2011/05/mais-

de-650000-mortos-por-tsunamis-e.html acessado em 15/10/2012. Um terremoto de

9,0 graus na escala Richter, ocorrido em 11 de março de 2011, abalou o norte do

Japão, causando um tsunami que devastou várias cidades da costa japonesa. Foi o

quarto maior terremoto do mundo desde 1900.

Os alunos irão assistir na TV multimídia o vídeo: Logaritmo – Terremoto Brasileiro,

disponível no:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/genre.php?genreid=45&le

tter=L acessado em 26/12/2012.

Atividade

1. O terremoto que atingiu o Chile em 27 de fevereiro de 2010 teve uma intensidade

de aproximadamente 9 graus na escala Richter, e seus efeitos foram sentidos em

várias regiões, inclusive em São Paulo a 2 850 km de distância. A escala Richter é

usada para medir a intensidade de um terremoto e é determinada pelo fórmula

empírica (simplificada)

I = �

� ���

9

9�, na qual E é a energia liberada no terremoto, em quilowatt hora, e

Eo = 7.10 -3 kwh.

Determine o intervalo correspondente à energia liberada no terremoto no Chile, em

gigawatt-hora ( 1 giga = 10 6 quilo)

Atividades Diversas das várias aplicações dos logaritmos.

1.Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que

se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200g. Utilize a seguinte expressão:

Q = Q0 * e–r.t, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

2.(EMESCAM – ES) O pH do suco gástrico presente no estômago humano varia no

intervalo de 1 a 3. O valor do pH está relacionado com a concentração de íons

hidrogênio através da equação

pH = - �����:;�< . Assinale abaixo o número correto de vezes que a concentração

de íons hidrogênio diminui quando o pH aumenta de 1 para 3.

a)25 vezes.

b)50 vezes.

c)100 vezes.

d)200 vezes.

e)400 vezes.

3.(PUCSP) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de

x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano,

após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? (use:

��� = 0,30)

a) 1 ano e 8 meses.

b) 2 anos e 3 meses.

c) 2 anos e 6 meses.

d) 3 anos e 2 meses.

e) 3 anos e 4 meses.

4.(UFPE) Admita que, quando a luz incide em um painel de vidro, sua intensidade

diminui 10%. Qual o número mínimo de painéis necessários para que a intensidade

da luz, depois de atravessar os painéis, se reduza a ��� de sua intensidade?

(Dado? Use a aproximação para o logaritmo decimal ��� = 0,48).

5. Para combater uma enfermidade, uma pessoa adulta precisa tomar x gotas de

certo remédio a cada 6 h. Sabendo que o número de gotas é solução da equação

��� 1 = 1 + 1, quantas gotas desse remédio essa pessoa tomará em um dia?

���

MATEMÁTICA FINANCEIRA - JUROS COMPOSTOS

A Matemática que iremos abordar, está embasada no estudo dos logaritmos,

com o objetivo de despertar a curiosidade dos alunos, quanto a percepção da

Matemática Financeira nos dias de hoje, visto que, aplicações, empréstimos e

transações financeiras, de modo geral, estão presentes na vida diária.

Atividade

Os alunos irão resolver os problemas relacionados as aplicações financeiras,

farão os gráficos no software Geogebra de cada um deles, para fazer as devidas

comparações.

1.Um banco oferece um tipo de aplicação financeira a uma taxa de juros de 8% ao

ano. Em quantos anos o valor aplicado será duplicado?

2.Uma pessoa resolve fazer uma aplicação de um capital inicial igual a R$ 10.000,00

e deseja saber o tempo necessário para que o capital dobre e triplique, sendo a taxa

de juros de 5% ao mês.

3.Quanto se abre uma conta-corrente em um banco, normalmente é oferecido ao

cliente um limite de crédito. Ao fazer uso desse crédito, o correntista está utilizando

um empréstimo disponibilizado pelo banco que normalmente cobra juros altos por

esse serviço. Supondo que um banco cobre juros de 8% ao mês, se um cliente

utilizar R$ 700,00 do limite de crédito, em quantos meses aproximadamente a dívida

será de R$ 1.200,00? ( Dados: �����

+ = 0,234 e ��� ���� = 0,033)

“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não

possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.

LOBACHEVSKY, Nicolai Ivanovich. Disponível em: http//

www.somatemática.com.br/frases.php.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARTIGUE, M; DOUADY, R; MORENO, L. (1995). Ingeniería didática en educación matemática: un esquema para la investigación y la innovavación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Bogotá: Pedro Gómez. CARAÇA, B.J; (1984) Conceitos Fundamentais da Matemática.Lisboa.Livraria Sá da Costa Editora. BRASIL. Ministério da Educação. PCN + Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, 2008. BROUSSEAU, G. Fondements et méthods de La didactique des mathématiques. In: Recherches dem Didatique des Mathématiques, v. 7/2. Grenoble, 1986. D’AMBROSIO, Ubiratan (2001). Tecnologias de informação e comunicação: reflexos na matemática e no seu ensino. UNESP, Rio Claro, SP.

Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática.(2008). Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Curitiba, Pr.

FARAGO, Jorge Luiz (et al.) Apostila Positivo de Matemática. Volume 4.Editora Positivo. 1º edição. Curitiba, 2010.

FERREIRA, Ronize Lampert; BISGNIN, Eleni.(2007). O Estudo De Logaritmo Por Meio De Uma Seqüência De Ensino: A Engenharia Didática Como Apoio Metodológico. Centro Universitário Franciscano. Santa Maria, RS.

LOBACHEVSKY, Nicolai Ivanovich. Matemática. Disponível em: http// www.somatemática.com.br/frases.php.

SANTOS, A.T.C. O ensino da função logarítmica por meio de uma sequência didática ao explorar suas representações com o uso do software Geogebra. 2011. 200 f. Dissertação, (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC. São Paulo. 2011. SANTOS, Vânia Maria Pereira dos (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática: Métodos alternativos. Instituto de Matemática – UFRJ. Projeto Fundão – SPEC/PADCI/CAPES – SR1/SR2/SR5/ UFRJ – CNPq – FNDE.

PAVANELLO, Regina Maria. Educação matemática e criatividade. a educação matemática em revista. Blumenau. v. 2.

VALENTE, Wagner Rodrigues (Org.) Avaliação em matemática: história e perspectivas atuais. Campinas: Papirus, 2008.

SOUZA, Joamir. Coleção Novo Olhar Matemática. 1ª edição. São Paulo. Editora FTD. 2010. Volume 1.

REFERÊNCIAS ON LINE

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