logaritmos y trigonometria

8/2/2019 logaritmos y trigonometria

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ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA

D E P A R T A M E N T O D EC I E N C I A S B Á S IC A SSS



Indice

Contenido

Unidad N° ": Lógica y CuantificadoresLógicaTablas de VerdadConectivos Lógicos u Operadores Lineales Negación, ConjunciónDisyunción, CondicionalBicondicionalEjerciciosTablas de Verdad para Proposiciones CompuestasEjerciciosClasificación de Proposiciones CompuestasLeyes del Algebra Proposicional

EjerciciosLógica CuantificacionalEjerciciosValor de verdad funcion ProposicionalEjercicios Negación de ProposicionesAutoevaluación

&'

(789

9 "1"3"51619

1921242932

Unidad N° 2: Conjuntos

ConjuntosFormas de escribir un conjuntoTipos de Conjuntos

SubconjuntosPropiedades de los SubconjuntosEjerciciosOperaciones con conjuntosEjerciciosFiguras achuradasPropiedades de los ConjuntosProblemas de aplicaciónAutoevaluación

353637

404142434452535561

Unidad N° 3: Relaciones y Funciones

Propiedades del Producto CartesianoRelaciónRepresentación GráficaDominio y RecorridoPlano CartesianoGráfico de algunas relacionesEjerciciosFunciónEjercicios

646667687071728384

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Tipos de funcionFunción InyectivaFunción SobreyectivaFunción Biyectiva y Función InversaAnálisis CompletoAutoevaluación

8891919394112

Unidad N° 4: Función Exponencial y Logarítmica

Función exponencial y logarítmicaPropiedades de la función ExponencialAplicaciones de la Función ExponencialFunción LogarítmicaPropiedades de la Función LogarítmicaLogaritmos Decimales o ComunesLogaritmos naturalesPropiedades de los LogaritmoEcuaciones exponencialesEcuaciones LogarítmicasSistemas de ecuaciones logarítmicas y ExponencialesAutoevaluación

106108109113115117118121124127

129131

Unidad N° 5: Trigonometría

TrigonometríaSistemas de MedidaAngulos CotermialesAngulo en posición estándar Velocidad angular Funciones trigonométricasSignos de la funciones trigonométricasProblemas aplicados

Angulos de elevación y depresiónGráfico de las funciones trigonométricasGráfico de la función senoIdentidadesLey de los Senos Ley de losCosenos EcuacionesTrigonométricasFunciones trigonométricas inversas

133135139142141142145145

153156164175181186192194

Unidad N° 6: Números Complejos

Números ComplejosRepresentación gráfica de los números ComplejosOperaciones con complejosForma polar de un número complejoRaíces de un número complejo

198199202205210

Unidad N° 7: Polinomios

PolinomiosOperaciones con PolinomiosTeorema del cuociente y del restoTeorema fundamental del álgebra

216216218220

2

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Unidad N° 8: Inducción Matemática

Inducción Matematica 225

Unidad N° 9: Teorema del Binomio

Teorema del BinomioFórmula general del Binomio

230230

Bibliografía 235

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CAPITULO I

LOGICA YCUANTIFICADORES

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LOGICA

La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido unargumento dado.

El razonamiento lógico se emplea en matemática para demostrar teoremas; en Ciencias de laComputación para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Físicas y Naturales, parasacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver unamultitud de problemas.

Ciertamente usamos en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.Toda estructura matemática necesita tener un razonamiento válido a través de un lenguaje que sea de usouniversal.

Propos ición : Es una expresión con sentido en algún lenguaje que afirma o niega algo y que nos proporciona información.

Las proposiciones se denotan con la letras :ß ; ß < ….etc..Eje m plo 1:

El pizarrón es verde# $ œ (A ella le gusta la música

: À ; À < À

Si observa las proposiciones, pueden ser Verdaderas o Falsas, no aceptan ambigüedades.

No son proposiciones:

a) el interruptor b) #B $ œ '

c) ¿Qué hora es ?

Estos enunciados no son proposiciones porque no tienen sentido, no afirman ni niegan.Valor de Verda d : Es una función que define una proposición. El valor de verdad puede ser

Verdadero (V) o Falso (F).

Tablas de Verdad

Una Tabla de Verdad es una forma de resumir el valor de verdad de las proposiciones.Esta se construye de acuerdo al número de proposiciones distintas que se den.

El número de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresión

8 representa el número de proposiciones dadas.

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¡¡ Veamos cómo funciona !!

Si hay una sola proposición, 8 œ ", resolvemos # " œ #. Esto significa que se pueden dar dos posibles valores de verdad y la tabla que resulta es:

Si hay # proposiciones distintas : y ;, 8 œ #ß entonces resolvemos

# # œ %

Esto significa que se pueden dar cuatro combinaciones de valores de verdad y la tabla que resultaes :

Si hay tres proposiciones , 8 œ $ß resolvemos

# $ œ )

Es decir, se pueden dar ocho combinaciones de valores de verdad y la tabla es:

...y así sucesivamente.

Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. Son proposiciones simples las que se danen el ejemplo anterior :

El pizarrón es verde# $ œ (A ella le gusta la música

: À ; À < À

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: ; <Z Z ZZ Z JZ J ZZ J JJ Z ZJ Z JJ J ZJ J J

: ;Z ZZ JJ ZJ J

:ZJ




Son compuestas aquella que se unen mediante símbolos llamados Conectivos.

Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos:

Son símbolos que permiten relacionar una o más proposiciones.Los conectivos son: la negación ( µ ), la conjunción ( • ), disyunción ( ” ), condicional ( Ä )

y bicondicional ( Ç ).

¡¡ Veremos cada uno de ellos a continuación!!

"Þ Negaci ó n : µ :

Dado un enunciado : , se puede formar otro enunciado que se llama negación de: ß escribiendo "es falso que..." o "no..." antes de la proposición : .

Simbólicamente se representa por

Eje m plo 1 :

: : el día está nubladoµ : : el día no está nublado

El valor de verdad de la negación depende del valor de verdad de la proposiciónoriginal. Si : es verdadero, entonces µ : es falso y viceversa.

La tabla de verdad que resume esto es:

La Conjunción: : • ;#Þ

Dos proposiciones simples cualquiera se pueden unir mediante la palabra "y" para formar una proposición compuesta, que se llama Conjunción.Simbólicamente se denota por

Eje m plo 1 :

: À Está nublado; À Hace frío

: • ; : Está nublado y hace frío.

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: • ;

: µ :

Z JJ Z

µ :




La tabla de verdad es:

$Þ La Disyunción : : ” ;

Dos enunciados cualquiera se pueden combinar mediante la palabra "o"( en el sentido y/o) para formar un nuevo enunciado que se llama disyunciónde los dos enunciados previos. Simbólicamente se denota por:

Eje m plo :

: : La puerta se abre; : La silla es de madera

: ” ; : La puerta se abre o la silla es de madera


La condicional : : Ä ;%Þ

Muchos enunciados en matemática son de la forma "si : entonces ;".llaman condicionales y se les denota por:

Estos se

Eje m pl o :: : son las 10 de la mañana; : la clase es de matemática

: Ä ; : Si son las 10 de la mañana entonces la clase es de matemática


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: ; : Ä ;Z Z ZZ J JJ Z ZJ J Z

: Ä ;

: ; : ” ;Z Z ZZ J ZJ Z ZJ J J

: ” ;

: ; : • ;Z Z ZZ J JJ Z J

J J J




La bicondicional : : Ç ;&Þ

Otro enunciado muy usado es el de la forma ": sí y sólo si ;".llaman bicondicionales y se les denota por :

Los cuales se

Ejemplo

: : Hoy voy a ir al cine; À Hace calor

: Ç ; : Hoy voy a ir al cine, sí y sólo si, hace calor


Ejercicios

M ) Þ Sean las proposiciones

: À El va a la fiesta; À Ella es su polola

Escriba con palabras los siguientes enunciados:

µ ;: ............................................................................................................"Ñ

# Ñ ; ” µ : À ………………………………………………………………......

µ µ : : ………………………………………………………………………$ Ñ

µ µ ; : ……………………………………………………………………..Þ Þ% Ñ

& Ñ µ : Ç ; :

Ð : • µ ; Ñ Ä ::'Ñ

(Ñ : Ä µ ; :

M MÑ Þ Sean las proposiciones:

: À Tengo dinero; À Hoy dejaré de fumar

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: ; : Ç ;

Z Z ZZ J JJ Z JJ J Z

: Ç ;




Escriba los siguientes enunciados verbales en forma simbólica usando : y ;:

"Ñ No tengo dinero

Si tengo dinero entonces hoy no dejaré de fumar # Ñ

Tengo dinero, sí y sólo si, hoy dejo de fumar $ Ñ

% Ñ No es verdad que, hoy no dejaré de fumar

No es verdad que, no tengo dinero y que hoy no dejaré de fumar & Ñ

Es falso que, no tengo dinero o que hoy dejaré de fumar 'Ñ

Respuesta

MÑ Þ

") Ella no es su polola#) Ella es su polola o él no va a la fiesta$) No es verdad que, él no va a la fiesta%) No es verdad que, ella no es su polola&) El no va a la fiesta, sí y sólo si, ella es su polola'Ñ Si él va a la fiesta y ella no es su polola, entonces él va a la fiesta() Si él va a la fiesta, entonces ella no es su polola

M MÞ

"Ñ# Ñ$ Ñ% Ñ&Ñ' Ñ

µ :: Ä µ ;: Ç ;µ µ ;µ Ð µ : • µ ; Ñµ Ð µ : ” ; Ñ

USO DE PARENTESIS

El uso de paréntesis es un símbolo que forma parte de la lógica secuencial, el uso de ellos eslógico y no retórico, sin los paréntesis las fórmulas o expresiones lógicas pueden carecer de sentido.

En el siguiente ejemplo, puede observar que las expresiones son claramente distintas:

+Ñ : Ä Ð; ” <

,Ñ Ð: Ä ; Ñ ”

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TABLAS DE VERDAD PARA RESOLVER PROPOSICIONES CO M PUESTAS

Una manera de mostrar la relación entre el valor de verdad de una proposiciónT Ð:ß ; ß Þ Þ Þ Ñy los valores de verdad de las proposiciones :ß ;ß Þ Þ Þes medianteuna tabla de verdad.

Eje m plo

Sea la proposición µ Ð : • µ ;

Pri m er o :

Se completan las dos primeras columnas correspondientes a las proposiciones: y ;

Segundo:

Se resuelve el paréntesis de la proposición, desde adentro hacia afuera:

Luego, se va completando la expresión que está dentro del paréntesis

Þ Þ Þy por último: se completa toda la expresión en la tabla

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: ; µ ; Ð : • µ ; Ñ

Z Z J JZ J Z ZJ Z J JJ J Z J

: ; µ ;Z Z JZ J ZJ Z JJ J Z

: ;Z ZZ JJ ZJ J

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Por lo tanto, la solución de µ Ð : • µ ; Ñ está dada en la última

Existe otra forma de completar la tabla de verdad de µ Ð : • µ ; Ñ y esla

Se escribe toda la expresión en la tabla colocando cada parte de ésta enun cuadrado de la tabla

Se va completando la tabla de la siguiente forma:

La solución de µ Ð : • µ ; Ñ está dada en la columna denegación Ð µ Ñ.

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: ; µ Ð: • µ ; ÑZ Z Z Z J JZ J J Z Z ZJ Z Z J J J

J J Z J J Z

: ; µ Ð: • µ ; Ñ

Z Z Z J JZ J Z Z ZJ Z J J JJ J J J Z

: ; µ Ð: • µ ; ÑZ Z Z JZ J Z ZJ Z J JJ J J Z

: ; µ Ð: • µ ; Ñ

: ; µ ; Ð : • µ ; Ñ µ Ð : • µ ;Z Z J J ZZ J Z Z JJ Z J J ZJ J Z J Z




Ejercicios

MÞ Construya la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas:

"Ñ Ð : • µ ; Ñ Ä

# Ñ Ð µ : ” ; Ñ Ç µ ;

$ Ñ µ Ð : Ä ; Ñ • :

%Ñ Ð : ” µ ; Ñ ” Ð µ : • µ

& Ñ µ Ð : Ä < Ñ • ;

'Ñ Ò µ : Ä Ð ; • < Ñ Ó Ç µ ;

M MÞ Si

: À Cecilia Bolocco es Primera Dama; À " " œ #< À # & Á %

Determine el valor de verdad de:

"Ñ Ð< ” µ ; Ñ • : Ó ”

# Ñ µ Ð µ ; Ä µ : Ñ ” µ < Ó Ç

M M M Ñ Þ Si

: À $ B $ C œ; À & B C œ (< À & C B œ "" B œ "ß C Á #ß C − ‘


"Ñ Ò Ð: ” ; Ñ • µ < Ó Ä µ ;

# Ñ µ Ò Ð µ ; Ä µ : Ñ ” µ <

$ Ñ Ð µ : ” < Ñ Ä µ ;

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Respuesta

" Ñ

# Ñ

$ Ñ

% Ñ

& Ñ ‡‡

'Ñ ‡‡

M MÞ " Ñ J # Ñ Z

M M MÞ Los valores de verdad de las proposiciones son:: À J ; À J < À J

"Ñ Ò Ð: ” ; Ñ • µ < Ó Ä µ;

Ò ÐJ ” J Ñ • µ J Ó Ä µJ Ò Ð J Ñ • Z Ó Ä Z

J Ä Z

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: ; µ : µ ; : ” µ ; µ : • µ ; ”Z Z J J Z J ZZ J J Z Z J ZJ Z Z J J J J

J J Z Z Z Z Z

: ; : Ä ; µ Ð: Ä ; Ñ µ Ð: Ä ; Ñ •Z Z Z J J

Z J J Z ZJ Z Z J JJ J Z J J

: ; µ : µ ; µ : ” ; Ð µ : ” ; Ñ Ç µ ;Z Z J J Z JZ J J Z J JJ Z Z J Z JJ J Z Z Z Z

: ; µ ; : • µ ; Ð: • µ ; Ñ Ä : Z Z J J ZZ J Z Z ZJ Z J J Z

J J Z J Z




# Ñ µ Ò Ð µ ; Ä µ : Ñ ” µ < Ó

µ Ò Ð µ J Ä µ J Ñ ” µ JÓ

µ Ò Ð Z Ä Z Ñ ” Z Ó

µ Ò Z ” Z Ó

µÒZ

Ó

$ Ñ Ð µ : ” < Ñ Ä µ ; Ð µ J ” J Ñ Ä µ

J Ð Z ” J Ñ Ä ZÐ Z Ñ Ä Z

Z

Cl a sific a ci ó n de l a s Pr o p o sici o nes C o mpuest a s

Tautología

Una proposición T Ð:ß ;ß Þ Þ Þ Ñes una tautología si todos los valores de verdad de su últimacolumna son Verdaderos, sean cuáles sean los valores de verdad de sus proposiciones.

Contradicción

Una proposición T Ð:ß ;ß Þ Þ Þ Ñes una Contradicción si todos los valores de verdad de su últimacolumna son Falsos, sean cuáles sean los valores de verdad de sus proposiciones.

Contingencia

Una proposición T Ð:ß ;ß Þ Þ Þ Ñes una Contingencia si todos los valores de verdad de su últimacolumna son Verdaderos y Falsos.

Eje m ploDemuestre que la siguiente proposición es una tautología

µ Ð : ” µ ; Ñ Ç Ð µ : • ;

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Respuesta

Por lo tanto, µ Ð : ” µ ; Ñ Ç Ð µ : • ; Ñ es una

Ejercicios

De las expresiones lógicas dadas, determine cuál de ellas es Tautología, Contradicción oContingencia.

+ Ñ Ð µ : • ; Ñ Ä µ ; , Ñ : ” µ Ð : • µ ; Ñ Ç <

Observación 1:

Cuando las proposiciones que se relacionan por el conectivo Ä determinan una Tautología,entonces la expresión es una implicancia lógica y el conectivo cambia a Ê

Ejercicio

Demuestre que la siguiente expresión es una implicancia lógica

Ð : • ; Ñ Ä Ð : Ç ;

Observación 2:

Cuando las proposiciones que se relacionan por el conectivo Ç determinan una Tautología,entonces la expresión es una equivalencia lógica y el conectivo cambia aÍ

Eje m plo

En el ejercicio anterior, la expresión

µ Ð : ” µ ; Ñ Ç Ð µ : • ; Ñ es una Tautología, por lo tanto la

µ Ð : ” µ ; Ñ Í Ð µ : • ;

Un ejemplo de equivalencia lógica son las leyes Proposicionales.

Le y es del Algebra Propos icional

Idempotencia"Þ

+Ñ : • : Í:

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G I N I O G O M E Z: ; µ : µ ; : ” µ ; µ Ð: ” µ ; Ñ µ : • ; Ç

Z Z J J Z J J Z

Z J J Z Z J J ZJ Z Z J J Z Z ZJ J Z Z Z J J Z




#Þ No Idempotencia

+Ñ : • J Í . Ñ : ” Z Í

,Ñ : ” J / Ñ : • µ :

-Ñ : • Z 0 Ñ : ” µ :

Conmutatividad$Þ

+Ñ : • ; Í ; •

,Ñ : ” ; Í ; ”

- Ñ : Ç ; Í ; Ç

%Þ Asociatividad

+Ñ Ð : • ; Ñ • < : • Ð;

,Ñ Ð : ” ; Ñ ” < : ” Ð; ”

Distributividad&Þ

+ Ñ Ð : • ; Ñ ” < Ð: ” < Ñ • Ð ; ”

, Ñ Ð : ” ; Ñ • < Í Ð : • < Ñ ” Ð; < Ñ

Absorción'Þ

+Ñ : ” Ð : • ; Ñ Í

,Ñ : • Ð : ” ; Ñ Í

Negación(Þ

+Ñ µ J Í V,Ñ µ Z Í J- Ñ µ Ð µ Z Ñ Í

De Morgan)Þ

+ Ñ µ Ð : • ; Ñ µ : ”

, Ñ µ Ð: ” ; Ñ Í µ : • µ

Condicionales*Þ

+Ñ Ð: Ä ; Ñ Í µ : ”

, Ñ Ð: Ä ; Ñ Í µ ; Ä µ

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"!Þ Doble Implicación

Ð : Ç ; Ñ Í Ò Ð: Ä ; Ñ • Ð ; Ä

Usando las leyes proposicionales también es posible encontrar otra expresión equivalente a la quese da, esto se hace simplificando la proposición compuesta dada.

Eje m plo

Simplifique la expresión Ð : ” ; Ñ Ä µ : e indique cada paso que

Respuesta

Ð : ” ; Ñ Ä µ :µ Ð : ” ; Ñ ” µ :Ð µ : • µ ; Ñ ” µ :

µ : ” Ð µ : • µ ; Ñ

Por CondicionalDe Morgan

ConmutatividadAbsorción

Por lo tanto:Ð : ” ; Ñ Ä µ : µ

Ejercicios

I) Simplifique las siguientes expresiones, justifique cada paso:

"Þ : Ä ; Ä Ð: • ; Ñ

#Þ

: ” Ð µ ; Ä

$Þ Ð: • ; Ñ Ä Ð µ : ”

% Þ µ : Ä Ð ; Ä µ

II) Niegue las siguientes expresiones, justifique cada paso:

"Ñ µ : •

#Ñ : ” Ð ; • µ : Ñ

$Ñ Ð : ” ; Ñ Ä Ð µ : • ;

%Ñ : Ä Ð µ : Ä ;

III) Demuestre que, justifique cada paso:

1 Ñ Ò µ : Ä Ð µ ; • : Ñ Ó Í :

# Ñ Ò Ð: Ä ; Ñ ” Ð µ : Ä µ ; Ñ Ó Í

$ Ñ Ò : ” Ð ; • µ : Ñ Ó Í Ð : ”

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%Ñ Ò Ð : Ä µ ; Ñ ” µ ; Ó Í Ð µ : ” µ

&Ñ Ò Ð : ” µ ; Ñ Ä Ð µ : • ; Ñ Ó Í µ :

Respuesta

I) "Þ Z #Þ : ” ; $Þ Z %Þ Z

II) "Ñ : ” µ ; #Ñ µ : • µ $ Ñ : %Ñ J

LOGICA CUANTIFICACIONAL

Es una rama de la lógica que utiliza determinados símbolos llamados CUANTIFICADORES, loscuales permiten indicar el número de elementos de un conjunto que al ser sustituidos en un enunciado

hacen de él una proposición verdadera.Función lógica o proposicional

Es una afirmación que contiene una o más variable.Las funciones proposicionales se denotan por letras minúsculas, y las variables se escriben dentro

de un paréntesis, por ejemplo:

: ÐB Ñ , ; ÐB Ñß <ÐC Ñ son funciones proposicionales, B e C son

Eje m plo 1 :

Sea E œ Ö "ß #ß $ × y la función proposicional

: Ð B Ñ : B # Ÿ & , B − E

Determine qué valores cumplen la función.

Respuesta

Sustituiremos cada elemento de E en la función proposicional : ÐB Ñ.

Sea B œ " Ê : Ð" Ñ œ " #

Ÿ &VŸ &

Sea B œ # Ê : Ð #Ñ œ #

# Ÿ & V% Ÿ &

Sea B œ $ Ê : Ð $Ñ œ $ #&

&Ÿ & V

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Observe que :" todos los elementos que están en A cumplen la proposición : ÐB Ñ ", esto se puede simbolizar por el

cuantificador: a y es el Cuantificador Universal.

a se lee " para todo " , " todo"

Simbólicamente escribimos todo el enunciado de la siguiente forma:

Esta función lógica es cuantificada.

Eje m plo 2 :

Sea E œ Ö "ß !ß " × y ; Ð B Ñ À l B l $ œ

Determine qué valores del conjunto A cumplen con la proposición

Respuesta

Sustituiremos todos los elementos

B œ " , ; Ð " Ñ À l " l $ œ %" $ œ %

% œ % Z

B œ ! ß ; Ð ! Ñ À l ! l $ œ %! $ œ %

$ œ % J

B œ " ß ; Ð " Ñ À l " l $ œ %" $ œ %% œ % Z

Observe que sólo algunos elementos de A cumplen la proposición ; Ð B Ñ , esto se simboliza por otro cuantificador: b , llamado Cuantificador Existencial.

b se lee "existen " , "algunos elementos " o " existe al menos un …"

Simbólicamente escribimos todo el enunciado de la siguiente forma:

Eje m plo 3:

Sea E = Ö # ,È$ß $ × y < Ð B Ñ À B # ' œ

Determine qué valores del conjunto A cumplen con la proposición

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b B ß B − E ß ; Ð B Ñ À l Bl $ œ

Ð b B − E Ñ Ð ; Ð B ÑÀ l Bl $ œ % Ñ

Ð a B − E Ñ Ð : Ð B Ñ À B # Ÿ & Ñ




Respuesta

Sustituiremos cada elemento en < Ð B Ñ

B œ # , <Ð # Ñ À Ð # Ñ #' œ Ð # Ñ

%

%

' œ "' F

B œ È$ ß < Ð È$ Ñ À Ð È$ Ñ # ' œ ÐÈ$ Ñ

$ ' œ ÐÈ$ Ñ # ÞÐÈ$ Ñ#

V

B œ $ , < ( $ ) : ( $ ) # + 6 œ ( $ )%

* ' = )"

F

En este ejemplo, de todos los elementos de A , sólo È$ cumple con la proposición, esto sesimboliza por b!, el cual es otro Cuantificador Existencial.

b! se lee "existe un único "

Del ejemplo anterior: b! B − E , < Ð BÑ À B # ' œ B% ß E œ Ö #ß $ß

Eje m plo

Sea :Ð B Ñ una función proposicional, sobre el conjunto ‘, use cuantificadores para escribir:

Todo real cumple con :ÐB Ñ

Respuesta

a B ß B − ‘ ß : Ð B

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Ejercicios

Sea :Ð B Ñ una función proposicional, sobre el conjunto ‘, use cuantificadores para escribir lossiguientes enunciados.

a) Existe un real que cumple con : Ð B Ñ : ……………...............………………….

b) Algún real cumple con : Ð B Ñ : ………………………………………..……….

c) Todo real al cuadrado es positivo o cero : ……………………………………….

d) La ecuación # B $ œ ! tiene solución única en ‘ :Þ Þ Þ Þ Þ......................................……………………………………………….

e) Existe por lo menos un real tal que su raíz cuadrada no es real :.............................…………………………………………………………..

0 ) No todos los números enteros son positivos :........................................................................................................................

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Respuesta

a) b)c)d)

e)f)

b B ß B − ‘ , : Ð B Ñ

B #a B ß B − ‘ , ! b x B ßB − ‘ , : Ð B Ñ À # B $ œ

b B ß B − ‘ ,ÈB Â ‘ b B ß B − ™ ß B Ÿ !

Pero, ¿Se podrán agrupar de alguna formatodos los elementos de un conjunto quecumplen con una proposición

Si, en un conjunto llamado Conjunto de Validez.

Por lo tanto, el conjunto de validez es aquel en el cual están todos lo valores para los cuales la proposición es verdadera.

Su notación es Z : , : indica la proposición.

¡¡ Veamos un ejemplo de esto !!

Eje m plo

Sea E œ Ö #ß $ß % ×ß = Ð B Ñ À B " #

Respuesta

Sea B œ # = Ð # Ñ À # " #" # J

B œ $ = ( $ ) : $ " ## # J

= ( % ) : % " #

$ #

B œ %

Z

Es decir, el conjunto de Validez es Z=

= Ö %× , ya que sólo el % cumple con la proposición= ÐB Ñ.

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Valo r de Verdad de una función proposicional

El valor de verdad de una función proposicional depende del cuantificador y del conjunto devalidez.

¡¡ Más ejemplos !!

Eje m plo

Sea E œ Ö "ß # ß $ × y la función:

a B , B − E ß : Ð B Ñ : # B " œ &

Respuesta:

Si sustituimos cada elemento de E en : Ð B Ñ, se observa que sólo cuando B œ #, la proposición secumple, es decir:

: Ð # Ñ : # Ð# Ñ

" œ &% " œ && œ &

Z : œ Ö #×

Como la función lógica decía que:

Para todos los elementos de A se cumple la proposición : Ð B Ñ, obviamente esto es FALSO, yaque sólo se cumple para un elemento.

Por lo tanto : a B , B − E , : Ð B Ñ : # B " œ & es

Ejercicios

Determine el conjunto de validez y el valor de verdad para cada función lógica dada:

Sea E œ Ö #ß "ß !ß "ß #

a) a B , B − E , : Ð B Ñ À B # Ÿ

b) B , B − E , ; Ð B Ñ À l B l b "

c) B , B − E , < Ð B Ñ À B " bx

d) a B , B − E , : Ð B Ñ À B # Ÿ

e) b B , B − E , = Ð B Ñ À $l B l "

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Respuesta

a) Z : œ Ö #ß

Valor de verdad : Falso

b) Z ; œ Ö

#ß

"ß !ß "ß #

Valor de verdad : Verdadero

c) Z < œ Ö #ß "ß !


d) Z : œ Ö "ß !ß "ß #


e) Z = œ Ö #ß "ß !ß "ß #

Valor de verdad : Verdadero

Ahora, recurriremos a las tablas verdad vistas anteriormente, pero las llamaremos Tablas dedoble Entrada para resolver las siguientes funciones lógicas:

Eje m plo


a B , B − E , : Ð BÑ Ç Ò : Ð B Ñ Ä ; Ð

E œ Ö "ß !ß "ß # × con :

: Ð B Ñ : # B " Ÿ %

; Ð B Ñ : B $ B #

Respuesta:

Se construye la tabla de doble entrada:

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: Ð B Ñ ; Ð B Ñ : Ð B Ñ Ä ; Ð BÑ : Ð BÑ Ç Ò : ÐB Ñ Ä ; Ð B ÑÓ"

!"#




Luego, se sustituyen los elementos de E, en cada una de las proposiciones, para determinar cuáles de ellos cumplen con la proposición dada:

Conjunto de Validez Z Ð:ß ; Ñ œ Ö "ß !ß "×

Valor de verdad: Falso

¿Y qué pasa si el conjunto es el de los números reales?

Veamos un ejercicio en el cuál el conjunto es el de los números reales.

Eje m pl o :

b B , B − ‘ ß B + 1 ! ” B $

3Ñ Para determinar elsolución Total:

Conjunto de Validez, se resuelven las inecuaciones y se determina la

B " !B

” B $ "” B %

Recuerda que los conjuntos soluciones en los reales se representan con intervalos.

La solución es :

Conjunto de validez : Ó _ ß " Ò Y Ó %ß

3 3Ñ Para determinar el Valor de verdad, se lee el cuantificador y se compara con el Conjunto deValidez.

Valor de Verdad : Verdadero

Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios , determine:

a) b)c)

Tabla de verdadConjunto de validezValor de verdad

26

V I R

G I N I O G O M E Z: Ð B Ñ ; Ð B Ñ : Ð B Ñ Ä ; Ð BÑ : Ð BÑ Ç Ò : ÐB Ñ Ä ; Ð B ÑÓ

" Z Z Z Z

! Z Z Z Z" Z Z Z Z# J Z Z J




Sea E œ Ö #ß "ß !ß "ß # × y la función"Þ

b B , B − E , µ : Ð B Ñ Ç Ò ; Ð B Ñ • µ < Ð

: Ð B Ñ À B # # B " œ

; Ð B ÑÀ

B

" !

< Ð B Ñ À B − ‘

Sea E œ Ö !ß "ß #ß $ß %× y la función proposicional:#Þ

b B , B − E , Ò Ð µ ; Ð B Ñ • µ : Ð B Ñ Ñ Ä <Ð B

: Ð B Ñ À #B " Ÿ

; Ð B Ñ À B $ !

< Ð B Ñ À B es divisible por #

$Þ E œ Ö !ß "ß #ß $ß % × y la función

b B , B − E , : Ð BÑ Ç Ò Ð µ : Ð BÑ ” < Ð B Ñ ÑÄ ; Ð

: Ð B Ñ À B $ &

; Ð B Ñ À B # " Ÿ $

< Ð B Ñ À B !

%Þ b B , B − ‘ ß #B + 1 Ÿ " • #B $

#B $ b x B , B − ‘ ß B + # Ÿ "&Þ &

%

& B ('Þ a Bß B − ‘ß $B # " • *

%

27

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

"Þ

a)"

b)

c)

= Ö " ×Z Ð:ß ;ß < ÑVerdadero

#Þ

a)"

b)

c)

= Ö !ß "ß #ß $ß % ×Z Ð:ß ;ß < ÑVerdadero

$Þ

a)" #

b) Z Ð:ß ;ß < Ñ œ Ö !ß "ß #ß $ß % d) Verdadero

4) VerdaderoZ œ Ó _ ß !Ó

5) Z œ Ó _ß #$Î#Ò Falso

'Ñ Z œ Ó % $ Î&ß "Ò, Falso

28

V I R

G I N I O G O M E Z

:ÐB Ñ ;ÐB Ñ <ÐB Ñ µ :Ð B Ñ µ :ÐB Ñ ” <Ð B Ñ " Ä ;Ð B Ñ : Ð B ÑÇ #! Z Z J J J Z Z" Z Z Z J Z Z Z# J J Z Z Z J Z$ J J Z Z Z J Z% J J Z Z Z J Z

:ÐB Ñ ;ÐB Ñ <ÐB Ñ µ :Ð B Ñ µ ;ÐB Ñ µ ;Ð B Ñ • µ : Ð B Ñ" Ä <Ð B Ñ! Z Z Z J J J Z" Z Z J J J J Z# J Z Z Z J J Z$ J Z J Z J J Z% J Z Z Z J J Z

: ÐB Ñ ; ÐB Ñ <ÐB Ñ µ :Ð B Ñ µ <ÐB Ñ ;ÐB Ñ • µ <ÐB Ñ µ :Ð B Ñ ÇÒ"

Ó

# J J Z Z J J J" Z J Z J J J Z

! J J Z Z J J J" J Z Z Z J J J# J Z Z Z J J J




NEGACION DE PROPOSICIONES QUE CONTIENEN CUANTIFICADORES

Para negar una proposición cuantificada hay que cambiar el cuantificador y negar la proposicional reduciéndola al máximo usando las leyes proposicionales.

función

Por ejemplo:

E es un conjunto numérico cualquiera b B ß B − Eß : Ð B Ñ Ä ;ÐB Ñ

La negación es :

µ Ð b B ß B − Eß : Ð B Ñ Ä ;ÐB Ñ

La negación de b es a

La negación de a es b

La negación de : Ð B Ñ Ä ; ÐB Ñ la desarrollaremos

µÒ: Ä ;

Ó

µ Ò µ : ” ; Ó

: • µ ;

Por lo tanto, la expresión negada de:

b B ß B − Eß : Ð B Ñ Ä ; ÐB Ñ resulta

a B ß B − Eß : Ð B Ñ• µ ;

Es incorrecto escribir: B Â E

La negación de:

29

V I R

G I N I O G O M E Z




y viceversa.

Ejercicios

Sean las siguientes proposiciones, encuentre su negación:

"Þ b B ß B − Eß : Ð B Ñ ” ;#Þ a B ß B − Eß µ : Ð B Ñ Ä ;

$Þ b B ß B − Eß Ð µ : Ð B Ñ ” ; ÐBÑ Ñ Ä : Ð B

%Þ a B , B − ‘ ß # B + 1 Ÿ " • #B $

&Þ b B ß B − Eß & B " B ” ' B "

30

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

"Þ a B ß B − Eß Ð µ : Ð B Ñ • µ ; ÐB Ñ

#Þ b B ß B − Eß Ð µ : Ð B Ñ • µ ; ÐB Ñ

$Þ

a B ß B − Eß µ : Ð B Ñ

4. b B , B − ‘ ß # B + 1 " ” #B $ &

&Þ a B ß B − Eß & B " B • ' B $

Un poco de historia...

George Boole (1815-1864), hombre modesto y autodidacta, hijo de un humilde zapatero inglés, publicó The Mathematical Analysis of Logic. Este y otros trabajos fueron motivo de su nombramientocomo profesor de matemáticas (pese a carecer de títulos universitarios) del Queens College (hoy University

College) de Cork, en Irlanda. Allí escribió su tratado An Investigation of the Laws of Thought, on Whichare Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (Londres, 1854). La idea fundamental —sustituir por símbolos todas las palabras utilizadas en lógica formal —

31

V I R

G I N I O G O M E Z




AUTOEVALUACION

Demuestre que Ð : Ä ; Ñ Ä µ ; Í µ ; .Jusqtifique cada"Ñ

Si

: À # $ß

# Ñ

<À

El fútbol es un paso de baile;À

% ! ß

Determine el valor de verdad de

µ : Ð BÑ Ç Ò ; Ð B Ñ • µ <

$ Ñ Determine en el siguiente ejercicio:

a) b)c)

Tabla de verdadConjunto de validezValor de verdad

b x B , B − E , Ò Ðµ : Ð B Ñ • ;ÐB Ñ Ñ Ä :ÐB ÑÓ • µ ; Ð

E œ Ö #ß "ß !ß "ß # × con :

: Ð B Ñ : # l B l " Ÿ

; Ð B Ñ : B# B $

% Ñ Sean las proposiciones

con C Á "ß C − ‘: À # $ œ "ß; À & C œ %< À $ $

$ "!

Determine el valor de verdad de

Ð µ < • µ : Ñ ” µ Ð: Ä ; Ç µ ;Ó

32

V I R

G I N I O G O M E Z




RESPUESTAS

"Ñ Ð : Ä ; Ñ Ä µ ; µCondicionalCondicional

Ley de MorganAbsorción

Ð µ : ”µ Ð µ :

; Ñ Ä µ ;” ; Ñ ” µ ;

( : • µ ; Ñ ” µ ;µ ;

2) Z

$ Ñ

Ð " Ñ Ð# Ñ

V de Verdad : F ZE À Ö "ß !ß "ß #×

% Ñ : À J ; À J < À J

Ð µ < • µ : Ñ ” Ò µ Ð: Ä ; Ñ Ç µÐ Z •

ZZ

Z Ñ ” Ò µ ÐJ Ä J Ç Z Ó

” Ò µ” J

Z

Z Ç Z Ó

33

V I R

G I N I O G O M E Z

:ÐB Ñ ;ÐB Ñ µ :Ð B Ñ µ ;ÐB Ñ µ : Ð B Ñ • Ð " ÑÄ :ÐB Ñ Ð # Ñ• µ ; Ð B Ñ# Z Z J J J Z J

" Z J J Z J Z Z

! Z J J Z J Z Z" Z J J Z J Z Z# Z J J Z J Z Z




CAPITULO II

CONJUNTOS

34

V I R

G I N I O G O M E Z




CONJUNTOS

En el lenguaje cotidiano, decimos un curso de Algebra, un montón de libros de matemática,un cajón de ropa, la ciudad de Concepción , etc., es decir, usamos muchas palabras para expresar una misma idea.matemáticos prefieren la palabra Conjunto para expresar lo mismo.

Lo

Por lo tanto, podemos definir Conjunto como sigue:

Un conjunto es una colección de objetos que está bien definido y se denotan por letras mayúsculas.

Estas letras pueden ser A, B, C, etc.

Algunos ejemplos de conjuntos son :

Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3

: A œ ÖJugadores de la Selección chilena año 1999×: B œ Ö+ß /ß 3 ß 9ß ? ×: C œ Önúmeros naturales mayores que # y menores que '

¿...Pero , sabes cómo se llaman los objetos de un conjunto ?

Cada objeto de un conjunto se llama elemento del conjunto.Y si el elemento está en el conjunto se dice que pertenece al conjunto en caso contrario se dice no pertenece, est

se simboliza − o Â

Observe que los elementos de un conjunto se escriben entre llaves Ö ×

En la siguiente tabla se muestra un paralelismo entre este lenguaje simbólico y cotidiano.

En matemática, los elementos de un conjunto, se designan por B , C , D , + , , ß . . ..ß etc, es decir, cualquier letrminúscula.

¿Te has dado cuenta que en ocasiones es más fácil interpretar las cosas cuando se presentan en formagráfica ? ... en los conjuntos pasa algo similar, de ahí que es útil el uso de Diagramas de Venn.

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V I R

G I N I O G O M E Z

Lenguaje Cotidiano Lenguaje SimbólicoMarcelo Salas integra la Selección Chilena del año 200$ Marcelo Salas − AEl Chino Ríos (que es tenista), no integra la Selección Chilena Chino Ríos Â A




GG

Los Diagrama de Venn-Euler nos permiten visualizar en forma sencilla e instructiva los conjuntos y surelaciones, presentan por ejemplo las siguientes formas:

For m as de escri b ir un conjunto :

Usualmente un conjunto se escribe de dos maneras:

1) Por Comprensión: En esta forma se escribe una característica de loselementos

E œ ˜BÎB es un árbol autóctono de Chile™Por ejemplo:

2) Por Extensión: Escritura en la cual los elementos se identifican.

Por ejemplo: E œ ˜ Raulí, Avellano, Coihue, Roble, ...™

Ej ercicio s

I) Sea G el conjunto de numeros naturales menores que 5:

a) Escriba el conjunto por Comprensión

b) Escriba el conjunto por Extensión

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O M E Z

V I R

G I N I O



http://slidepdf.com/reader/full/logaritmos-y-trigonometria 38/247G

Respuestas

a) G œ Ö B − Î B &× b) G œ Ö "ß #ß $ß % ×

Algunos tipos de Conjuntos son:

Conjunto Vacío este conjunto es aquel que no tiene elementos. Se simboliza por g 9

Ö ×

Ejemplo 1 : Conjunto de canciones rancheras interpretadas por el grupo Kiss

Ejemplo 2 : Önúmeros que pertenezcan al conjunto de los números naturales y que seannegativos ×

Conjunto Universo: Es el conjunto que contiene todos los elementos a los cuales pudiéramos hacer referencia en un momento dado, estos pueden ser infinitos o finitos.

Ejemplo 1: El conjunto de jugadores de un equipo de fútbol es finito

Ejemplo 2: El conjunto de los números Enteros es infinito

Conjuntos Disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común

Ejemplo 1 : El conjunto de alumnos aprobados en Algebra es un conjunto disjunto con el delos alumnos reprobados

Ejemplo 2 : Sea E œ Ö "ß #ß $ × y F œ Ö %ß &ß '×. Los conjuntos A y B no tienen ningún

elemento en común

Conjuntos Numéricos: Son aquellos conjuntos formados por números y que tienen unnúmero infinito de elementos

37

G O M E Z




Ejercicios

1) De los conjuntos dados, indique cuál de ellos es o son vacíos:

a) A œ ÖB − /! B " ×

b) B œ ÖB − ™ / !

B

"

c) C œ ÖB − ‘ / ! B "

#Ñ Determine en qué caso, el par de conjuntos dados es disjunto:

a) A œ Ö ", #, $ × B œ Ö &, *, ! ×

b) A B œ Ö "ß #ß & ×œ Ö "ß # ß $ ×

c) A œ Ö Tenistas Top Ten Ranking ATP tour × B œ Ö Tenistas chilenos ×

Marque con una w wB w w3) Determine a qué conjunto pertenece el número dado.

38

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

1) Son conjuntos vacíos A y B

2) Son disjuntos los conjuntos dados en (a) y en (c)

Para escribir un conjunto existen ciertas reglas universalmente aceptadas.

3)

¿ Existen otros conceptos importantes de conocer en los conjuntos ?

Si, en los conjuntos podemos definir otros conceptos, los cuales nos servirán para resolver más problemaEstos son los de Igualdad y Subconjuntos, que se definen a continuación.

Dados dos conjuntos cualquiera A y B

ì Igualdad: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, no importa el ordede éstos. La igualdad se representa por A œ B

Eje m plo 1:

Sean los conjuntos E œ Ö "ß #ß $ ×ß F œ Ö #ß "ß $ × y G œ ÖB − Î B Ÿ $×

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V I R

G I N I O G O M E Z




VV

Respuesta

Los conjuntos A y B muestran claramente que ambos tienen los mismos elementos aunque en distinto orden. Econjunto C está escrito por comprensión y dice que los elementos de este conjunto son números naturales menores iguales a 3, es decir, quienes cumplen esta condición son los números ", # y $. Por lo tanto:

E œ F œ G

Eje m plo 2:

Sean los conjuntos A œ ÖB − ™ Î # B Ÿ ! × y B œ Ö "ß !×

Respuesta

Estos conjuntos son iguales, porque A tiene elementos del conjunto ™ y estos son Ö "ß !×

Por lo tanto, A œ B

ì Subconjunto: Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A es también un elementdel conjunto B, es decir, A está contenido en B.

Simbólicamente:

A © B significa " A es un subconjunto de B o igual a B"Gráficamente, esto se muestra en la figura:

Si un conjunto no es subconjunto de otro se denota por:

Eje m plo 1: La sección 1 de Construcción Civil es un subconjunto de toda la carrera de Construcción Civil.

Eje m plo 2 : Sea A œ Ö "ß #ß $ × y B œ ˜1™, el conjunto B tiene un sólo elemento y éste está en el conjunA, por lo tanto , B © A

Ahora bien , los subconjuntos cumplen ciertas propiedades que conviene saber, ya que nos facilitan lcomprensión de los conjuntos y sus problemas.

40

I R G

I N I O

G O M E Z




Propiedades de l o s subconjunto s :

Estas propiedades se cumplen para cualquier conjunto A

1) El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto:

g © A

Todos los conjuntos son subconjuntos de sí mismo:2)

A © A

3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto Universo U:

A © U

Todas estas propiedades son útiles para un conjunto denominado conjunto de las partes o conjunto potencia.

Curioso nombre, pero se llama Conjunto de las Partes porque está formado por todos los subconjuntos de u

conjunto dado. El número de elementos (o cardinalidad ) de él está dado por la solución de la expresión: # 8 , donde "" indica la cardinalidad del conjunto original. Su notación es T ÐE Ñ .

Eje m plo:

Sea Q œ Ö+ß , ß -×. Determinar su Conjunto Potencia.

Respuesta:

El conjunto M tiene $ elementos, es decir 8 œ $, por lo tanto el conjunto potencia tiene#$ œ ) elementos y estos son:

T ÐQ Ñ œ šgß Ö+ ×ß Ö ,×ß Ö - ×ß Ö+ß , ×ß Ö,ß - ×ß Ö+ß -×ß Ö+ß ,ß

41

V I R

G I N I O G O M E Z




Observe que los elementos de T (Q ) se escriben entre llaves Ö × y algunos de los subconjuntosdeterminados por las propiedades de los subconjuntos dadas anteriormente.

fuero

Ejercicios

I) Sean E œ Ö

$ß ! ß & ×ß F œ Ö !ß &ß

$ ×ß G œ Ö !ß & ×Þ Determinar si las proposiciones son Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indiquela razón:

a) C © A ..........

b) A œ B ..........

c) C − A ..........

d) C © B ..........

e) A Á C ..........

f) g œ Ö g× ..........

g) A © B ...........

h) g © B ...........

II) Sea A œ Ö +ß , ×Þ Encontrar T ÐE Ñ y luego determine si las siguientesson Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razón:

a) + © T ÐE Ñ .....Þ........

b) Ö+× − T ÐEÑ .............

c) Ö+× © T ÐEÑ ........ÞÞ......

d) ÖÖ+×× © T Ð E Ñ .............

e) Ö+ß ,× © T ÐEÑ ..............

Respuesta

I)a) V

b) Vc) Fß C no es un elemento de A.d) Ve) Vf) F, la expresión Ög×, representa un conjunto que tiene un elemento y este es gg) Vh) V

II)

42

V I R

G I N I O G O M E Z




El Conjunto Potencia tiene ## œ % elementos y es T Ð E Ñ œ šgß Ö+×ß Ö, ×ß Ö+ß ,

a) F, porque " + " es un elemento y la notación © representa subconjunto b) Vc) F, porque Ö+× representa un elemento de T Ð E Ñd) V

e) F, porque Ö+ß ,× es un elemento de T Ð E Ñ

¿Hay más que saber de los conjuntos ? ¡¡ Por supuesto que sí !!. Y son las operaciones que se realizan conellos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Los conjuntos nos permiten resolver problemas cotidianos a través de las operaciones que se pueden definir coellos.

Tomemos dos conjuntos cualquieras, a los cuales llamaremos A y B

La Unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A o B o ambos.La unión de A y B se representa simbólicamente por A B

A B œ ˜ B Î B − E ” B −

A continuación, se presentan tres formas gráficas distintas de cómo se pueden relacionar losachurado representa la unión de ellos.

conjuntos,

Eje m plo 1:

Sean E œ Ö +ß , ×ß F œ Ö +ß -ß . × Determine A

43

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

El conjunto A B œ Ö +ß ,ß -ß . × es el conjunto que tiene los elementos de A o

Nótese que cada elemento se escribe una sola vez aunque se haya repetido más deuna, como es el caso de la letra "+" que aparece dos veces.

Eje m plo 2:

Un ejemplo gráfico se presenta a continuación con los conjuntos A, B y C. Se achuró la unión del conjunto y C.

A

¡¡ PERO, HAY MAS ....!!.

Si, la Intersección de los conjuntos A y B se define como el conjunto formado sólo por los elementos que tieneen común A y B.

La intersección se representa por A B

Simbólicamente, se escribe:

A B œ ˜ B Î B − A • B −

Gráficamente, lo achurado representa en cada caso la intersección de A y B.

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V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo 1:

Sean E œ Ö +ß , ×ß F œ Ö +ß -ß . ×Þ El conjunto A B œ Ö+× es el conjunto formado por el elemento quese

Eje m plo 2:

En la figura lo achurado representa A

... Porque es lo que te falta para formar un todo.

Se define Complemento de un conjunto de la siguiente forma: sea A un conjunto cualquiera, el complement

de A son todos aquellos elementos que están en el Universo, pero que no están en A.w

ASimbólicamente, se representa por A- o

A- œ ˜ B − Y Î B Â E

45

V I R

G I N I O G O M E Z




Consecuencias de esta definición

Gráficamente, A- se representa en lo achurado

Consecuencias de esta definición

Eje m plo 1:

Sean Y œ ˜ ", #, $, %, &, ', (, ), * ™ß E œ ˜ B − Y Î B es un número

Determine E-

Respuesta:

El conjunto E está formado por los números pares que están en el conjunto Universo Y dado: E œ ˜#%ß 'ß )™

Luego, E- œ ˜ "ß $ß &ß (ß * ™, es decir, son todos aquellos elementos que están en el Universo y que están en E.

46

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo 2:

En la figura lo sombreado representa E-

... Y por último, podemos definir otro concepto.....

La Diferencia entre dos conjuntos A y B, la cual se denota por E F, es el conjunto formado por todos l

elementos que están en A y no están en B.

La Diferencia entre B y Aß la cual se denota por F E es el conjunto formado por todos los elementos questán en B y no están en AÞ

Pero ¡¡ OJO !!

Por ejemplo:

Dados los conjuntos: E œ ˜ "ß #ß $ ™ y F œ ˜ #ß %ß '

La diferenciaLa diferencia

E F œ Ö "ß $ ×F E œ Ö% ß ' ×

Por lo tanto, E F Á F EÖ"ß $ × Á Ö% ß ' ×

Simbólicamente:

E F œ ÖB − E • B Â F ×

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V I R

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E F Á F




Gráficamente, se representa en lo achurado:

Eje m plo 1:

Sean E œ Ö +ß , ×ß F œ Ö +ß -ß . ×Þ Determine E F y F

Respuesta

Para determinar la diferencia entre A y B, al conjunto A se le quitan los elementos que tenga de B, lo cual d

como resultado la letra " , "ß es decir ß E F œ Ö,×

De igual forma se determina el conjunto FE œ Ö -ß . ×

Esto muestra claramente que: E F Á F E

Eje m plo 2:

En la figura, lo achurado representa A C

Como consecuencia de estas definiciones, tenemos las siguientes propiedades con respecto al conjunto Universy al conjunto Vacío:

48

V I R

G I N I O G O M E Z




Ejercicios

"Þ Sea el conjunto U œ Ö B − ™ : $ Ÿ B ( × y sean los conjuntos:

A œ Ö B − U : $

B

(×

B œ Ö B − U : es divisible por #×

Determinar:

+Ñ A B , Ñ C A

.Ñ ÐD C - Ñ --Ñ ÐC A Ñ

/Ñ ÐA B Ñ- 0 Ñ Ò ÐA-

D) ÐC B-

#Þ Sea U œ Ö B − ™ Î " B Ÿ (

A œ Ö B − U Î B # ×B œ Ö B − U Î % Ÿ B (×

Encuentre:

+ Ñ ÐA B Ñ - , Ñ ÐA B Ñ - ÐC

- Ñ ÐA C Ñ - ÐA B Ñ

. Ñ Ò A ÐB C Ñ Ó

$Þ

Con A œ Ö +ß ,ß Ö-× ×. Encuentre el conjunto Potencia de A

Sean los conjuntos:%Þ

A œ Ö "ß #ß % ß & ß ( × B œ Ö (ß )ß * × C œ Ö "ß #ß $, % ×

¿Es verdad que:

+ Ñ ÐA ÐA B Ñ Ñ - œ A- , Ñ ÐA C) ÐA B Ñ ©

-Ñ ÐA B Ñ ÐB A- Ñ œ

Sea U œ ‘ y sean:&Þ

A œ Ö B − U : B "! × B œ Ö B − U : $ Ÿ B $Þ&C œ Ö B − U : B ! ” B $ ×

Determinar :

+Ñ A- B

- Ñ ÐA C Ñ -

, Ñ ÐF A Ñ C -

. Ñ Ò A ÐB C Ñ Ó

49

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

U œ Ö $ß #ß "ß !ß "ß #ß $ß % ß & ß '×A œ Ö %ß &ß ' ×

B œ Ö

#ß #ß %ß ' ×C œ Ö &ß ' ×

"Þ

+ Ñ A B œ Ö %ß ' ×- Ñ ÐC A Ñ B œ Ö & × / Ñ (A B)-

C œ U Ö &ß '

, Ñ C A œ Ö %ß &ß' ×. Ñ ÐD C - Ñ - œ U0 Ñ [ (A-

D Ñ ÐC B- Ñ Ó œ Ö

U œ Ö !ß "ß #ß $ß % ß & ß 'ß ( ×A œ Ö $ß %ß &ß 'ß ( ×B œ Ö %ß &ß ' ×C œ Ö $ß %ß &ß 'ß ( ×

#Þ

+ Ñ ÐA B Ñ - C œ Ö !ß "ß # , Ñ ÐA B Ñ - ÐC A Ñ œ Ö !ß "ß #- Ñ ÐA C Ñ - ÐA B Ñ œ Ö !ß "ß. Ñ Ò A ÐB C Ñ Ó- œ Ö !ß "ß # ×/ Ñ ÐC A Ñ B - œ Ö %ß &ß ' ×

# $ œ )$Þ

T ÐA Ñ œ š Ö+×ß Ö,× ß Ö Ö-× ×ß Ö+ß ,×ß Ö+ß Ö-× ×ß Ö,ß Ö-× ×ß Ö+ß ,ß Ö-× ×ß 9

+ Ñ Ð A ÐA B Ñ Ñ- œ A-

B-

, Ñ ÐA C Ñ ÐA B Ñ © A

Si, ambos conjuntos son igualesSiSi

%Þ

U œ ‘

A œ Ó _ ß "!Ò

&Þ

C œ Ó _ ß $ Ò Ó !ß _

+ Ñ A- B œ Ò "!ß _ Ò Ò $ß

$Þ &Ò

, Ñ ÐB A Ñ C - œ 9. Ñ ÒA ÐB C Ñ Ó- œ Ò $ ß! Ó Ò "!ß

Pero, todo esto también se puede resolver usando diagramas de Venn, achurando lo que se pide, veamos uejemplo.

50

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo:

Achurar la solución de ÐA B Ñ C

i) Primero achuramos A B, como se ve en la

ii) Luego, a la figura achurada le quitamos C

ÐA B Ñ

Ejercicios

Achure lo que se pide en cada ejercicio, en la figura dada:

, Ñ ÐA B Ñ -+ Ñ ÐA C Ñ

- Ñ A ÐB C Ñ . Ñ A- ÐB A Ñ

/) ÐA B Ñ- ÐC 0 Ñ B ÐA C

1 Ñ ÐA B C Ñ

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V I R

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http://slidepdf.com/reader/full/logaritmos-y-trigonometria 53/247G

Respuesta

- Ñ

g) 9

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O M E Z




Los conjuntos también cumplen ciertas reglas, las cuales rigen a sus operaciones. A continuación se da una listde estas reglas o propiedades y luego unos ejercicios en los cuales serán utilizadas éstas con la forma de resolución.

Propiedades de l o s Conjuntos

Sean tres conjuntos cualquieras A, B y C:

1) Asoci a tividad

a) Ð A B Ñ C œ A Ð B C Ñ

#Ñ Conmutatividad

a) A B œ B A

3) Distributi v id a d

a) A

Ð B

C Ñ œ Ð A

B Ñ

Ð A

C Ñ

%Ñ De Morgan

a) Ð A B Ñ - œ A- B

-

5) Absorción

a) A Ð A B Ñ œ A b) A Ð A B Ñ œ A

6) No Idempotencia

a) A g œg b) A g œc) A U œd) A U œe) A A- œ

7 Ñ Invo luci ó n

53

V I R

G I N I O G O M E Z




Ð A- Ñ - œ A

8) Diferencia

a) A B œ A B

9) Idempotencia

a) A A œA

Para resolver ejercicios en los cuales se usan las propiedades, conviene desarrollar el lado de la expresión qu

presenta mayor dificultad justificando cada paso.

Eje m plo 1:

Usando las propiedades dadas, demostrar que:

E œ E

ÐE

-

Respuesta:

Desarrollaremos la segunda parte de la expresión para llegar a la primera parte:

E Ð E- F ÑE Ð E-

F - Ñ -

E Ò Ð E- Ñ -Ð F - Ñ-

ÓE Ð E F ÑE

De MorganDe MorganInvolución

Absorción

Luego: E Ð E- F Ñ œ E

Eje m plo 2:

Usando las propiedades dadas demuestre que ÐE F Ñ ÐF E- Ñ œ E

Respuesta

Desarrollaremos la primera parte de la expresión para llegar a la segunda parte:

ÐE F Ñ ÐF E- ÑÐE F Ñ Ò ÐF E- ÑÓ - ÐE F Ñ Ò F -

(E-

Ñ

- ÓÐ E

F Ñ

ÐF-

E)E ÐF F -

Ñ E 9

De MorganDe Morgan

InvoluciónDistributividad No Idempotencia

No Idempotencia

E œ ÐE F Ñ ÐF Luego:

54

V I R

G I N I O G O M E Z




¿ Y puedo aplicar todo esto en algún problema real .... ?

Si, los Problemas con enunciados son un buen ejemplo de la utilización de las operaciones de conjuntos.resolverlos, el lenguaje cotidiano es transformado a lenguaje matemático.

Par

Eje m plo "

En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en unaencuesta, realizada a personas, a las que se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen serefieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles:solamente té , té y café , ninguna de las dos bebidas , etc.

Observe las preguntas y sus respectivas respuestas

1) ¿Cuántas personas tomaban té?2) ¿Cuántas personas tomaban café?$Ñ ¿Cuántas personas tomaban té y café?

Rta. 6 personas.Rta. 9 personas.

Rta. 4 personas.

%Ñ ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.&Ñ ¿Cuántas personas no tomaban té?'Ñ ¿Cuántas personas no tomaban café?

Rta. 6 personas.Rta. 3 personas.

(Ñ ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.)Ñ ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?*Ñ ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas."!Ñ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas?

Rta. 7 personas.

Rta. 11 person

55

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo #

En una encuesta realizada a '# consumidores de comida rápida se revela que:"! comen sólo papas fritas y hamburguesas, "# comen sólo completos, % comen sólo papas fritas, $ comen ltres tipos de alimentos, $$ comen al menos dos de estos tipos de comida y #& comen papas fritas. Si todnombran alguna de las alternativas, encuentre:

a) ¿Cuántas personas comen completos y hamburguesa? b) ¿Cuántas personas comen sólo completos?c) ¿Cuántas personas comen exactamente dos tipos de esta comida?

Respuesta:

Se designa cada conjunto del problema con una letra mayúscula convenientemente. LlamaremosU al conjunto universo el cual está formado por el total de consumidores de Comida Rápida dados en el problema, los cuales son '#, P será el conjunto de consumidores de Papas Fritas, H el conjunto deconsumidores de Hamburguesas y C los consumidores de Completos. Esto en notación conjuntista es:

U œ ÖB Î B consumidores de Comida Rápida×P œ ÖB − U Î B consumidores de Papas Fritas×H œ ÖB − U Î B consumidores de Hamburguesa×C œ ÖB − U Î B consumidores de Completos×

Las "! personas que consumen sólo Papas Fritas y Hamburguesas indica que no consumenCompletos, es decir, es ÐP H Ñ C œ "!

Los "# consumidores de Completos no consumen ninguna de las otras comidas rápidas, sóloCompletos, es decir, C ÐP H Ñ

Los % consumidores de sólo Papas Fritas tampoco consumen las otras comidas rápidas, es decir,P ÐH C Ñ.

Las $ personas que consumen los tres tipos de comidas están dados por la solución del conjuntoÐP H C Ñ

Las $$ personas que consumen al menos dos de los tres tipos de comida rápida significa queconsumen como mínimo dos tipos distintos, es decir,

ÐP H Ñ ÐH C Ñ ÐP C Ñ ÐP H C Ñ œ "$

Los #& consumidores de Papas Fritas también son consumidores de Hamburguesas y Completos,es decir, es todo el conjunto P.

Completaremos la información en la figura dada a continuación:

56

V I R

G I N I O G O M E Z




Las respuestas al problema planteado son:

a) C H œ "&"& personas comen completos y hamburguesas.

b) C ÐP H Ñ œ "#"# personas comen sólo completos.

c) Ò ÐP H Ñ C Ó Ò ÐH C Ñ P Ó Ò ÐP C Ñ H Ó œ $!$! personas comen exactamente dos tipos de esta comida.

Proble m as con enunciados

"Þ En una investigación a mil estudiantes de un Instituto se determinó que 720tenían cassettes, 670 poseían CD y 540 tenían ambas cosas. Determinar:

a) ¿Cuántos estudiantes tienen cassettes o CD?

b) ¿Cuántos estudiantes no tienen cassettes ni CD?c) ¿Cuántos estudiantes tienen sólo CD?d) ¿Cuántos estudiantes tienen sólo cassettes?

#. Se investigó un grupo de 5500 personas en relación con la estrategiaa seguir con objeto de conservar el combustible. De éstas, 2000opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500 dijeron quelo apropiado sería fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personasindicaron que lo apropiado sería la aplicación de ambos procedimientos.El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas.Determinar:

a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior.

b) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto?c) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el impuesto, perono el racionamiento?d) ¿Cuántas personas no aceptarían en forma voluntaria ninguno de losdos cursos de acción?

57

V I R

G I N I O G O M E Z




En una elección de directorio de una empresa asistieron 595 de ununiverso de 703 accionistas. Según los estatutos de la empresa cadaaccionista recibe una papeleta con los nombres de todos los candidatosy en donde el accionista marcará, si lo desea, hasta dos preferencias.De los resultados de la elección se determinó la siguiente informaciónreferente a las tres primeras mayorías.

El candidato A obtuvo 324 preferencias, 47 de los accionistas sólovotaron por A, 203 votaron por A y no por B, 164 votaron por C y B,358 votaron por C y 42 votaron sólo por B. Determinar:

$Þ

a) ¿Quién obtuvo la primera mayoría? b) ¿Quién obtuvo la segunda mayoría?c) ¿Cuántos votaron por dos candidatos?d) De todos lo asistentes, ¿cuántos no votaron por C?e) ¿Cuántos sólo votaron por C?f) ¿Cuántos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres?g) ¿Cuántos accionistas no se hicieron presente?h) ¿Cuántos accionistas votaron por los tres candidatos?

%Þ

De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes 80 compranPepsodent, 60 compran solamente Odontine, 20 compran solamente Signal,14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran Odontine y Signal, 12compran Pepsodent y Signal y 10 compran todos. El resto compra otra marca.

a) ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? b) ¿Cuántos no compran estos dentríficos?c) ¿Cuántos compran solamente Pepsodent?d) ¿Cuántos compran Signal?e) ¿Cuántos no compran Odontine?f) ¿Cuántos compran Signal u Odontine?

&Þ Se realizó una encuesta a 200 alumnos de Ingeniería en Ejecución en diversas

disciplinas acerca de la forma en que ocupaban su tiempo libre,30 dicen que sólo leen, 60 dicen que sólamente escuchan música,20 dicen que sólo estudian, 16 dicen que leen y escuchan música, 50 dicen queestudian, 16 dicen que escuchan música y estudian y 8 hacen las tres cosas .De acuerdo a la encuesta, responda las preguntas dadas:

a) Grafique la información. b) ¿Cuántos sólo leen o estudian?c) ¿De los que opinan, cuántos dicen que no leen?d) ¿Cuántas personas no contestan alguna de estas tres alternativas?e) ¿Cuántas personas escuchan música, pero no leen?f) ¿Cuántas personas estudian y escuchan música, pero no leen?

6) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertosmedios de transporte (bicicleta,motocicleta y automóvil). Los datos de la encuestafueron los siguientes: Motocicleta solamente: 5, Motocicleta: 38, No gustan delautomóvil: 9, Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3, Motocicleta yautomóvil pero no bicicleta: 20, No gustan de la bicicleta: 72, Ninguna de las trescosas: 1, No gustan de la motocicleta: 61 .

1.¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?2.¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?3.¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

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4.¿A cuántos le gustaban las tres cosas?5.¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipoA o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricadonada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B,

(Ñ

+Ñ ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos?,Ñ ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A?-) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

II) Demuestre que: ( Justifique cada paso )

Ð E - F Ñ E œ E -

F -

a)

b)

Ð E F - Ñ - Ð E F Ñ œ F - c)

d) Ð E - F - Ñ E œ

E Ð E - F Ñ - œ 9e)

Ò E Ð E F Ñ Ó- œ Y

Ð E F Ñ - E - œ E

f)

g)

Ò ÐE F Ñ - E Ó

- Eh)

Respuesta

"Þ

+ Ñ )&!- Ñ "$! , Ñ "&!. Ñ ")!

#Þ + Ñ

, Ñ "#&!. Ñ #(&!

- Ñ (&!

$Þ + Ñ G. Ñ #$(1 Ñ"!)

, Ñ F/ Ñ $)2 Ñ ninguno

- Ñ % % "0 Ñ #(

%Þ + Ñ "(! , Ñ $! - Ñ '%

59

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. Ñ % #+ Ñ

/ Ñ ""' 0 Ñ "!'&Þ

, Ñ '%/Ñ ')

- Ñ ))0 Ñ )

. Ñ & #

"Ñ 99 personas.$Ñ 46 personas.

&Ñ 14 personas.

#Ñ ninguna.%Ñ 10 personas.

'Ñ

(Ñ +) 9 días; ,) 6 días; -) 11 días.

60

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AUTOEVALUACION

"Ñ Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo Aß 25 personas consumían sólo Bß"0 personas consumían sólo C ß 15 personas consumían A y B, pero no Cß 80 personasconsumían B y C, pero no Aß 8 personas consumían C y A, pero no Bß 17 personas no

consumían ninguno de los tres productos.

+Ñ ¿Cuántas personas consumían A?.,Ñ ¿Cuántas personas consumían B?-Ñ ¿Cuántas personas consumían C?.Ñ.¿Cuántas personas consumían A, B y C? ./Ñ ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?0 Ñ ¿Cuántas personas consumían A o B?1 Ñ¿Cuántas personas no consumían C ?2Ñ ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A?

Dada la siguiente figura, achure lo que se pide# Ñ

E G Ò Ð G E Ñ Ð F Y E G ÑÓ

Demuestre que, Justifique cada paso$ Ñ

ÐE F Ñ F G œ g

% Ñ Sea E œ Ö gß !× . Determine si las siguientes proposiciones son V o F

+ Ñ Ö!× © T Ð E Ñ,Ñ Ög × © T ÐE Ñ-Ñ g © T ÐE Ñ.Ñ Ög × − T ÐE Ñ0 Ñ ! − E

Res pu estas

+ Ñ 68 personas.-Ñ 138 personas./Ñ 183personas.1 Ñ 62 personas.

, Ñ 160 personas..Ñ 40 personas.

0 Ñ 173 personas.2 Ñ 42 personas.

"Ñ

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# Ñ

ÐE F Ñ F G œ gÐE F G Ñ F G

ÐE F G Ñ F

$ ÑDiferencia

Diferencia

Asociatividad No Idempotencia No Idempotencia

E ( FG

E g

F )

% Ñ + Ñ Z-Ñ Z0 Ñ Z

, Ñ J. Ñ Z

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CAPITULO III

RELACIONES YFUNCIONES

63

V I R

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RELACIONES Y FUNCIONES

Uno de los aspectos más importantes en la ciencia es establecer relaciones entre varios tipos defenómenos. Una vez que se conoce la relación es posible hacer predicciones.

Por ejemplo, a un economista le gustaría ser capaz de predecir las tasas de interés, un ingeniero puede usar una fórmula para predecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas.

Veamos particularmente qué ocurre con la matemática.

Considere el conjunto A = Ö "ß #ß $ß %ß & ×ß la representación gráfica del producto A ‚ A que sellama Producto Cartesiano, y se lee " A cruz A " se hace mediante un diagrama cartesiano, como se ve enla figura:

Cada elemento de A ‚ A es un par ordenado de la forma Ð+ß

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

Para todo A, B y C conjuntos cualquiera se tiene:

Asocia tividad"Ñ

A ‚ ÐB ‚ C Ñ œ ÐA ‚

64

V I R

G I N I O G O M E Z




Distributi v id a d# Ñ

3Ñ Respecto de la Intersección

A ‚ ÐB C Ñ œ ÐA ‚ B Ñ ÐA

3 3Ñ Respecto de la Unión

A ‚ ÐB C Ñ œ ÐA ‚ B Ñ ÐA

El Producto Cartesiano No es Conmutativo$ Ñ

A ‚ B Á B ‚

Volvamos al ejercicio anterior:

Suponga que de todos los puntos de A ‚ A sólo necesitamos a aquellos que cumplen la siguiente

condición:

"La suma de sus componentes es 8 o mayor que 8 "ß en lenguaje matemático decimos:

A ‚ A œ šÐ " ß" Ñ ßÐ "ß# Ñ ßÐ "ß$ Ñ ßÐ " ß%Ñ ßÐ " ß&Ñ ßÐ # ß" Ñ ßÐ # ß# Ñ ßÐ # ß$ Ñ ßÐ # ß%Ñ ßÐ # ß&Ñ ß

($ ß " Ñ ßÐ$ ß # Ñ ßÐ$ ß $ Ñ ßÐ$ ß % Ñ ßÐ$ ß & Ñ ßÐ % ß" Ñ ßÐ % ß# Ñ ßÐ % ß$Ñ,Ð % ß%Ñ ßÐ % ß&Ñ ß

Ð & ß" Ñ ßÐ & ß# Ñ ßÐ & ß$ Ñ ßÐ & ß%Ñ ßÐ & ß& Ñ›

Es decir, los siguientes pares cumplen con V:

V œ Ö Ð$ß & Ñß Ð%ß % Ñß Ð%ß & Ñ ßÐ&ß $ Ñß Ð&ß % Ñß Ð&ß &Ñ ×

¿Qué puede decir

de R?

Si observa, V es un subconjunto de A ‚ A, es decir, que también es un conjunto de paresordenados y que además cumplen una condición.

65

V I R

G I N I O G O M E Z




GG

Vamos a llamar a V, Relación Binaria, la cual defininiremos de la siguiente forma:

Esto se representa graficamente en la figura :

Si Ð+ß , Ñ es un elemento de A ‚ A y Ð+ß , Ñ − V, entonces lo

Si el par Ð+ß , Ñ no está en la relación, entonces:

Eje m plo de Relaciones:

+Ñ Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y su número de matrícula.

,Ñ Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y las materias que cursa

-Ñ Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y su calificación en elPrimerSemestre

.) Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y su número de teléfono

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O M E Z

V I R

G I N I O

+ V , Í Ð +, , Ñ Â

+ V , Í Ð +, , Ñ − V




Ejercicios

Sea A œ Ö "ß #ß $ ×ß determine las siguientes relaciones:

1 Ñ V " = Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î + Ÿ ,

2Ñ V # œ Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î + ,

$Ñ V $ œ Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î + " œ ,

%Ñ V % œ Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î + # Ÿ $

& ÑV& œ Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î + œ

'Ñ V' œ Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î , œ

Respuesta

" Ñ V " œ Ö a"ß " bß a"ß # bß a"ß $ bß a#ß # bß a#ß $ bß a$ß $b

# Ñ V # œ Ö a#ß " bß a$ß " bß a$ß #b $Ñ V $ œ Ö Ð"ß # Ñß a#ß $b ×

%Ñ V % œ Ö Ð"ß " Ñß Ð"ß # Ñß a"ß $b &Ñ V & œ Ö a"ß " bß a"ß # bß a"ß $b ×

'Ñ g

Representación Gráfica

Generalmente una relación se representa por el Método de la flecha, en forma de tabla, como

conjunto de pares ordenados, en forma gráfica o en forma de Ecuación.

El primero como su nombre lo dice se traza una flecha del dominio al Codominio.En forma de tabla se escribe el dominio en la primera columna y el Codominio en lasegunda.Como conjunto de pares ordenados de números reales, se escribe el conjunto de puntos separados por unacoma.Y en forma gráfica, se marcan los correspondientes puntos del conjunto en el plano cartesiano ésta recibeel nombre de gráfica de la relación.

Eje m pl o : Forma de Flechas

Sea A œ Ö "ß #ß $ß % × y V œ Ö Ð+ß , Ñ − A ‚ A Î + œ ,

67

V I R

G I N I O G O M E Z




Esta forma de diagrama indica que la Relación es una Correspondencia de A en A.

Una relación V de un conjunto A sobre el conjunto A también se puede escribir como:

V À A Ä A

Suponga otra relación V que va de un conjunto A a un conjunto B, como el siguiente ejemplo:

V À A Ä B

La Relación V es: V œ Ö Ð+ß , Ñ − V Î + , ×

y los pares que la forman son:

V œ Ö Ð"ß # Ñß Ð"ß % Ñß Ð"ß 'Ñß Ð#ß % Ñß Ð#ß 'Ñß Ð$ß % Ñß Ð$ß 'Ñß Ð%ß 'Ñ

El conjunto A se llama de PARTIDAEl conjunto B se llama de LLEGADA

Se llama DOMINIO de la relación al conjunto de los elementos de A que están relacionados conlos de B, son los primeros elementos del par ordenado.

Eje m plo 1 : En la relación V el Dominio es el conjunto:

Dom V œ Ö "ß #ß $ß % ×

Se llama RECORRIDO de la relación V al conjunto de aquellos elementos de B con los que sehan relacionados los elementos de A, son los segundos elementos del par ordenado.

68

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo 2: En la Relación V el Recorrido es el conjunto:

Rec V œ Ö #ß %ß '

EjerciciosDetermine el Dominio y Recorrido de las siguientes relaciones:M Ñ

1) V " œ Ö Ð"ß # Ñß Ð#ß $Ñ ×

2) V # œ Ö Ð+ß , Ñß Ð+ß - Ñß Ð+ß . Ñ ×

3) V $ œ Ö Ð"ß # Ñß Ð#ß "Ñ ×

4) V % œ Ö Ð"ß " Ñß Ð#ß $ Ñß Ð#ß %Ñ ×

5) V & œ Ö Ð"ß " Ñß Ð#ß # Ñß Ð$ß $ Ñß Ð%ß %Ñ ×

La gráfica de C œ È% B# es una semicircunferencia con centro en el origen y radio #ß comoM MÑ se ve en la figura. ¿Cuál es du dominio ?

69

V I R

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VV

RespuestaM Ñ 1) H97 V " œ Ö "ß # × V/- V " œ Ö #ß $ ×

2) H97 V # œ Ö + × V/- V # œ Ö ,ß -ß .

3) H97 V $ œ Ö "ß # × V/- V $ œ Ö "ß # ×

4) H97 V % œ Ö "ß # × V/- V % œ Ö "ß $ß % ×

5) H97 V & œ Ö "ß #ß $ß % × V/- V & œ Ö "ß #ß $ß % ×

[ #ßM MÑ

Observación: Para los ejercicios que desarrollaremos a continuación usaremos el par Ð B ßC Ñ en vez delÐ+ß , Ñ usado anteriormente.

Una relación también puede describirse enunciando una regla que defina la correspondencia entre

B e C, si no se especifica ninguna restricción para el dominio, entonces se supone que es el conjunto detodos los números reales Ð‘ Ñ para los que el par ÐBß C Ñ es real.

Eje m plo:

V œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ B & ×

Otra forma de representar graficamente una relación es a través de un Plano Cartesiano.

Plano Cartesiano

El Plano Cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamada cada una Eje,que se intersectan en un par común llamado Origen, el cuál es Ð ! ß! Ñ.

Cada par Ð B ßC Ñ se llama Punto ÐB ß C Ñ.

y

Eje m plo : En el siguiente ejemplo graficaremos el punto T Ð$ß

70

I R G

I N I O

G O M E Z




Ejercicios

Marque los siguientes puntos en el plano cartesiano dado:

A Ð " ß "ÑB Ð $ß !ÑC Ð #ß #ÑD Ð !ß# Ñ

ALGUNAS RELACIONES I M PORTANTES

Veámos cómo se grafican algunas relaciones en ‘Þ

Eje m plo:

Grafique la relación:

$V œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ B $ ×

%

71

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

Esta Relación representa todos los puntos en ‘ que cumplen la condición $

C œ B $ Þ Para graficar la Relación sólo es necesario asignar dos valores arbitrarios a B y%

reemplazarlos en la relación Ð para este tipo de relación, es más práctico asignar los valores B œ ! e C œ ! ) . Con esto obtenemos dos puntos, los cuáles unimos con una línea continua, obteniendo así la LINEARECTA.

Si B œ ! ßSi C œ ! ß

C œ $B œ %

Dos pares de la relación son T " Ð! ß $ Ñ y T# Ð %ß !

La gráfica resultante es una LINEA RECTA.

Ejercicios

Grafique

V" œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ " B %×+ Ñ #

, Ñ V " œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ #B " × - Ñ V # œ Ö ÐBß C Ñ Î #C B œ % ×

. Ñ V $ œ Ö ÐBß C Ñ C B œ ! / Ñ V % œ Ö ÐBß C Ñ Î #C B œ $

72

V I R

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G

VV

0 Ñ V & œ Ö ÐBß C Ñ Î " œ #C B × Respuesta

+ Ñ

73

I R G

I N I O

O M E Z




GRAFICO DE OTRAS RELACIONES

Existen muchas relaciones que tienen otras formas.

Por ejemplo

:

Ambas relaciones al representarlas gráficamente generan una Parábola.

Analizaremos los dos tipos:

I)

La gráfica de una función cuadrática de ésta forma es una parábola que se abre hacia abajo o haciaarriba, como se muestra a continuación :

Una forma de graficarla es asignando varios valores a B para así obtener C, lo cual es poco práctico de hacer. Otra forma es considerando los siguientes puntos:

"Ñ Eje de simetría

El gráfico de relaciones de la forma C œ + B # ,B - , tienen un Eje de Simetría, el cual

una recta paralela al eje C o el eje y que se obtiene al resolver la expresión: C œ ,#+

# Ñ Análisis de concavidad

Si el valor de + !, entonces el gráfico es cóncavo hacia arriba.

Si el valor de + !, entonces el gráfico es cóncavo hacia abajo.

Intersección con el eje X$ Ñ

Para determinar los puntos que intersectan al eje B, se utiliza la ecuacióncuadrática:

, „ ,# %B œ

#+

74

V I R

G I N I O G O M E Z

V ={ (B,C ) / C œ +B# ,B -× V œ ÖÐBß C ÑÎ B œ +C# ,C -×




De aquí obtenemos los puntos Ð B"

ß ! Ñ y ÐB#

ß !Ñ

Intersección con el eje Y% Ñ

Determinamos la ordenada (que corta al eje C) , cuando B œ !, y así obtenemos

el punto Ð ! ßC Ñ.

Vértice& Ñ

Determinamos el vértice de la parábola a través de la expresión:

,Z œ ß CŒ #+

,El valor de C se obtiene al reemplazar el valor encontrado en B œ en la expresión original

#+obteniéndo así C.

Eje m plo 1:

Grafique la relación V œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ B# %B

Respuesta

El eje de simetría es paralelo al eje C: B œ #"Ñ

+ œ "ß es decir, se cumple + !ß por lo tanto, la parábola es cóncava haciaarriba.

# Ñ

Para esta relación, tenemos que + œ "ß , œ %ß - œ $ ,reemplazamos

en$ Ñ

Ð %Ñ ÈÐ % Ñ# %Ð$ ÑB œ œ $" #

Ð %Ñ ÈÐ % Ñ# %Ð$ ÑB œ œ "# #

Por lo tanto, los puntos son Ð $ ß! Ñ y Ð"ß !Ñ

Veamos la intersección con el eje C (cuando B œ ! ):% Ñ

C œ B# %B $ œ !# ! $ œ $

Luego, el punto es: Ð!ß $ Ñ

, Ð %Ñ %& Ñ El vértices es: B œ œ œ œ #

#+ # Ð " Ñ #

C œ ## %Ð# Ñ $ œ % ) $ œ "

Por lo tanto, Z œ Ð#ß " Ñ

75

V I R

G I N I O G O M E Z




GG

Considerando todos estos valores tenemos la gráfica de la relación:

C œ B#%B $

Estudiemos la relación que presenta la siguiente forma:

II)

La gráfica de una función cuadrática de ésta forma es una parábola que se abre hacia la derecha ohacia la izquierda, como se muestra a continuación :

76

O M E Z

V I R

G I N I O




1) Eje de Simetría

El gráfico de esta relación también es una parábola, sólo que su eje de simetría es el eje B, unarecta paralela al eje B, y que se obtiene al resolver B œ ,

#+

2) Análisis de Concavidad

Si + ! , la parábola es cóncava hacia la derecha.Si + ! ß la parábola es cóncava hacia la izquierda.

$ Ñ Intersección con el eje ] Para determinar los puntos que cortan al eje C se resuelve la ecuación cuadrática:

, „ ,# %C œ

#+

Los puntos que se obtienen son Ð !ßC" Ñ y Ð!ß C# Ñ

Intersección con el eje\ % ÑDeterminamos el punto que corta al eje B, cuando C œ ! , es decir, el puntoÐ B ß! Ñ

VérticeDeterminamos el vértice de la parábola a través de la expresión:&)

,Z œ Bß Œ #+

,

El valor de B se obtiene al reemplazar el valor encontrado en C œ en la expresión original#+obteniéndo así B.

Eje m plo 2:

Grafique la relación V œ Ö ÐBß C Ñ Î B œ C# )C "&

Respuesta

77

V I R

G I N I O G O M E Z




Del ejemplo, se tiene:

"Ñ El eje de simetría es paralelo al eje B: C œ %

# Ñ + œ " !ß entonces la parábola es cóncava hacia la derecha.

$ Ñ + œ "ß , œ )ß - œ

Ð ) Ñ „ ÈÐ ) Ñ# %Ð"& ÑC œ

#

C" œ $ C# œ &

Por lo tanto, los puntos son Ð !ß $ Ñ C Ð!ß& Ñ

En la expresión: B œ C# )C "& reemplazamos C œ ! obteniéndose:% Ñ

B œ ! # )Ð!Ñ "& œ

Luego, el punto de intersección con el eje B es: Ð " & ß!Ñ

Del ejemplo, obtenemos que el vértice es:& Ñ

, Ð ) Ñ )C œ œ œ œ %

#+ # Ð " Ñ #

B œ %# ) Ð %Ñ "& œ "' $# "& œ

Por lo tanto, Z œ a "ß % b

Luego, la gráfica de la relación B œ C# )C "&

Proble m a de Aplicación

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanzaviene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t 2 (t en segundos y h en metros).

a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio.c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?

78

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

b) 80 metros. c) 2 segundos.

Ejercicios

Realice un análisis completo de las siguientes relaciones y grafíquelas:

0" œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ B#8B ×

0# œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ #B# 'B ×

0$ œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ B# ' B ) ×

V$ œ Ö Ð Bß C Ñ Î B œ C# (C "!"#

× V& œ Ö ÐBß C Ñ Î B œ #C# &C $

1)

2)

$)

%)

&)

¿ Y qué pasa en los casos en que la Parábola no corta al eje B ?. Observe el siguiente ejemplo

V' œ Ö ÐBß C Ñ Î B œ #B# "#B

79

V I R

G I N I O G O M E Z

Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicasccccc



V

Observe que, la Parábola no corta el eje\. Esto ocurre siempre cuando la expresión,# % + - !Þ

Respuesta

80

I R G

I N I O

G O M E Z




Volvamos nuevamente al concepto estudiado anteriormente: Dominio y Recorrido de unaRelación.

81

V I R

G I N I O G O M E Z




¿existe otra forma de determinar dominio yrecorrido de una relación?

Sí, a través del gráfico de éstas.

Eje m plo

Dado el siguiente gráfico:

En esta relación C œ #B $ß la gráfica representa una línea recta y como no hay restriccionesel dominio, ni en el recorrido se tiene que:

H97 V œ ‘ V/- V œ ‘

82

V I R

G I N I O G O M E Z




GG

Ejercicios

Determine en los siguientes gráficos, el dominio y recorrido de las siguientes relaciones:

Respuesta

"Þ H97 V œ #ß ' V/- V œ Ö $×

#Þ H97 V œ &ß _ V/- V œ ‘

$Þ H97 V œ "ß " V/- V œ "ß "

%Þ H97 V œ ‘ V/- V œ Ó _ ß &

&Þ H97 V œ Ò %ß _ Ò V/- V œ Ò #ß _ Ò

'Þ

H97 V œÓ

_ß & V/- V œ ‘

observe que los siguientes diagramas representan relaciones:

83

O M E Z

V I R

G I N I O




VV

En estas relaciones sólo algunas de las relaciones cumplen la siguiente condición:

Estas relaciones que cumplen la condición mencionada reciben el nombre específico de:FUNCION

Una definición alternativa es:

Del ejemplo anterior, observe que:

V " œ Ö Ð+ß " Ñß Ð+ß # Ñ ×

V # œ Ö Ð+ß # Ñ ßÐ,ß "Ñ ×

V $ œ Ö Ð+ß " Ñ ßÐ,ß "Ñ ×

84

I R G

I N I O

G O M E Z




GG

V % œ Ö Ð+ß " Ñ ßÐ+ß # Ñ ßÐ,ß "Ñ ×

Lo cual reafirma que sólo son funciones V # y V $

EjerciciosI) Determine en los siguientes diagramas, cuáles de las relaciones dadas son funciones:

II) Determine en los siguientes conjuntos cuáles representan funciones:

1) Ö Ð"ß # Ñß Ð"ß $ Ñß Ð"ß % Ñß Ð"ß &Ñ ×

2) Ö Ð"ß # Ñß Ð#ß # Ñß Ð$ß #Ñ ×

3) Ö Ð"ß + Ñß Ð#ß + Ñß Ð$ß + Ñ

4) Ö Ð"ß # Ñß Ð#ß $ Ñß Ð%ß &Ñ ×

III) Determine en los siguientes gráficos, cuáles de las relaciones dadas son funciones:

85

O M E Z

V I R

G I N I O




GG

Respuesta

I) Son funciones las relaciones V y V II) Son funciones los ejercicios 2), 3) y 4)#"

III) Son funciones ")ß %) C 5)

86

O M E Z

V I R

G I N I O




N o ta ción:Usualmente las funciones se denotan con las letras 0ß 1ß 2ß .ÞÞ,etc. y la función 0 de un conjunto

\ a uno ] se representa por medio de la notación:

0 À \ Ä

Los elementos de \ se llaman preimagen. La variable B se llama variable independiente.Los elementos de ] que están relacionados con \ se llaman imagen. La variable C sellama

A menudo una función se define por medio de una fórmula explícita.Se puede pensar en una función 0 como en una máquina. El dominio es el conjunto de entradas (la

materia prima)para la máquina, la regla describe la forma de procesar la entrada y los valores de la funciónson las salidas de la máquina.

Ejemplo

Si 0Ð B Ñ œ B

", evaluar con B œ $ en una máquina-función

87

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo 1:

Sea la función definida por la expresión: 0 ÐB Ñ œ B#

La función está definida de ‘ en ‘ , ya que el cuadrado de un número real es un número real!

positivo o cero. Para hallar los valores de C, le asignamos valores a B y los reemplazamos en la fórmula

0 ÐB Ñ:

Ê 0 Ð$Ñ œ Ð$ Ñ# œ *

Ê 0 Ð %Ñ œ Ð % Ñ# œ "'

Sea B œ $

Sea B œ %

Ê 0 Ð!Ñ œ Ð!Ñ# œ !Sea B œ !

V/- 0 œ ‘Luego, se tiene que: H97 0 œ ‘!

La representación gráfica de 0 ÐB Ñ œ B# es una Parábola. ¡¡¡Grafíquela Ud. !!!

Eje m plo 2:

Estudios empíricos indican que el período de vida de un mamífero en cautiverio está relacionadocon el tamaño del cuerpo por medio de la función potencia:

P ÐQ Ñ œ Ð""ß )Ñ Q !

¿Qué predice esta función para el período de vida de un elefante de %Þ!! ! kg en un zoológico?

Respuesta

Se tiene que Q œ %Þ!!!

P Ð%Þ!!!Ñ œ Ð ""ß )Ñ %Þ!! ! !ß#

Por lo tanto, un animal en cautiverio vive aproximadamente '# años.

Ejercicios

1) De la misma pregunta ¿Qué predice esta función para el período de vida en unhombre de )! kg recluido en una prisión?

La distancia en pies que un objeto recorre el vacío está dada por =Ð> Ñ œ "' >#

donde > es tiempor en =. Encuentre# Ñ

+ Ñ =Ð! Ñ , Ñ = Ð" Ñ - Ñ = Ð# Ñ . Ñ = Ð$ Ñ

$) La velocidad del sonido en el aire varía con la Temperatura según el modelo:

@Ð X Ñ œ $$ß "%& ÈX Î#($

donde @ es la velocidad del sonido en centímetros por segundo y X es la temperatura del aire en gradosKelvin . ¿En qué día viaja más rápidamente el sonido de fuegos artificiales detonadores: 18 de septiembre( X œ $"! o O ) o 1° de enero ( X œ #(! o O )?

88

V I R

G I N I O G O M E Z


mailto:@%C3%90X

mailto:@%C3%90X

mailto:@%C3%90X

mailto:@%C3%90X

mailto:@%C3%90X



La función que transforma la temperatura de grados Fahrenheit a grados Celsius está dada por G% Ñœ & Ð J $# Ñ*

+Ñ Determine cuantos grados Celsius son 80 grados Fahrenheit,Ñ Determine cuántos grados Faherenheit son 30 grados Celsius

Respuesta

"Ñ# Ñ$ Ñ% Ñ

#)ß $ años+ Ñ !

18 de septiembre+ Ñ #( 9 G

, Ñ "' - Ñ '% . Ñ " % %

, Ñ )' 9 J

TIPOS DE FUNCIONES

Función Par

0 es par Í 0 Ð BÑ œ 0 ÐB Ñ ß a B − Dom Ð0

Función Impar

0 es impar Í 0 Ð B Ñ œ 0 ÐB Ñ ß a B − Dom

Nota: Las funciones pares son simétricas respecto del eje y. Las funcionesimpares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

Ejercicios

Dtermine si las siguientes funciones son Par o Impar

"+Ñ C œ l B l , Ñ C œ

B

. Ñ 1ÐB Ñ œ B %- Ñ 0 ÐB Ñ œ B # "Respuesta

Son Par Ð+Ñ ßÐ- Ñ y Ð. ÑEs Impar Ð, Ñ

Función por tramos

Una regla que defina una función puede incluir más de una fórmula. Una función definida de estamanera se llama Función definida por Tramos.

89

V I R

G I N I O G O M E Z




VV

Eje m plo:

#B B Ÿ !1 Ð B Ñœ œ

B " B !

Esta función es una sola, pero se da en dos partes o tramos.

Si queremos determinar 1 Ð # Ñ reemplazamos B œ # en el primer tramo,1 Ð # Ñ œ Ð # Ñ# œ %

es decir, que

Para determinar 1 Ð &Ñ, consideramos el segundo tramo, es decir, 1 Ð & Ñœ & " œ '

La gráfica de la función 1 Ð B Ñes:

Función Constante

Si - representa un elemento de cualquier conjunto, entonces la función 0 definida por 0 ÐB Ñ œ - para todos los B del dominio de 0 se llama función constante.

El gráfico de una función constante es:

Eje m pl o :

Sea la función constante definida por: 0 ÐB Ñ œ &

Suponga que el dominio de 0 es el conjunto ‘ de números reales, entonces:

0 ÐÈ$ Ñ œ & ß etc. ¡¡Grafïquela Ud.!!0 Ð $ Ñ œ 0 Ð#Ñ œ &ß

90

I R G

I N I O

G O M E Z




G

Ejercicios

Determina el valor de la función para el punto señalado:

% ##B Bœ

B & B Ÿ "B "

2) Sea 0 ÐB Ñ œ

Hallar:

+ Ñ 0 Ð!Ñ œ-Ñ 0 Ð&Ñ œ

, Ñ 0 Ð $Ñ

Ý B%Ý B Á „ "

B œ "B œ "

B# "3) Sea 0 ÐB Ñ œ ÛÝ B # Ü B $

Hallar:

a) 0Ð $ Ñ œ- Ñ 0 Ð" Ñ œ

, Ñ 0 Ð' Ñ œ.) 0Ð " Ñ œ

El precio del metro cuadrado de un material plástico para suelos depende de la cantidad que% Ñcompremos, B, C es el precio en $ y viene dado por la funcion 0 ÐB Ñ definida

Ú "! !ß !& B0 ÐB Ñ œ Û (ß & !ß !# ÐB

& !Ñ

si ! Ÿ B Ÿ &!si &! Ÿ B Ÿ "!!si "! ! Ÿ B Ÿ &!!

¿Cuál será el precio si compro $! ! 7# ?

91

O M E Z

V I R

G I N I O




G

Respuesta

1)

#) a) ! b) "&$ c) "!

$) a) "! b) $(%Ñ $ 'ß "

c) $ d) %

FUNCION INYECTIVAUna función es inyectiva si a cada elemento del dominio

recorridole corresponde un sólo elemento del

En otras palabras,

Eje m plos

Los siguientes conjuntos son funciones que van de los conjuntos Q a R ß con Q œ Ö #ß $ß % × yR œ Ö "ß #ß $ß % ×, pero sólo algunos cumplen la condición descrita anteriormente.

Determine cuál (es) es (son ) inyectiva(s):

1) E œ Ö Ð# ß " Ñ ßÐ$ ß # Ñ ßÐ % ß"Ñ × 2) F œ Ö Ð # ß" Ñ ßÐ $ ß# Ñ ßÐ % ß$ Ñ ×

3) G œ Ö Ð#ß # Ñß Ð$ß $Ñ ×

Respuesta

Son inyectivas F y G .

92

O M E Z

V I R

G I N I O




FUNCION SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva si todas las imágenes tienen preimagen.

Es decir, todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con un elemento deldominio, no sobra ningún elemento.

El conjunto de llegada se denomina también CODOMINIO de la función.

Luego, se puede escribir que una función 0 es sobreyectiva si:

Eje m plo

Determine cuál(es) de la(s) siguiente(s) funciones son sobreyectiva(s):

Respuesta:

Sólo el ejemplo 2) es una función sobreyectiva.

Ejercicios

I) Determine cuáles de las siguientes funciones son inyectivas y/o sobreyectivas si:

0 À Q Ä R

Q œ Ö #ß $ß % × R œ Ö "ß #ß $ß % ×

E œ Ö Ð#ß " Ñß Ð$ß # Ñß Ð%ß #Ñ ×

F œ Ö Ð#ß # Ñß Ð$ß $ Ñß Ð%ß %Ñ ×

G œ Ö Ð # ß" Ñ ßÐ$ ß " Ñ ßÐ % ß"Ñ ×

93

V I R

G I N I O G O M E Z




H œ Ö Ð # ß" Ñ ßÐ$ ß $ Ñ ßÐ % ß# Ñ ×

II) Determine en cuál de los siguientes diagramas se presenta una función sobreyectiva:

Respuesta

I) Es inyectiva F y HII) Son sobreyectivas 1)ß 2)ß 3) y 5)

FUNCION BIYECTIVA

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Por ejemplo, en el diagrama y en el sistema cartesiano se muestran funciones biyectivas:

94

V I R

G I N I O G O M E Z




FUNCION INVERSA

Una función tiene inversa, sí y sólo si, es biyectiva.

Ejemplo :

Si una función es 0 ÐB Ñ su inversa:

Para obtener la inversa de una función, primero se debe determinar si esta es biyectiva y luego law wB w wforma de la inversa, para ésto se despeja la variable

Eje m pl o :

Sea 0 ÐB Ñ œ Ö ÐBß C Ñ Î C œ #B & ×. Determine la Forma de la función Inversa

Respuesta

Como la ecuación de esta función es una línea recta, la función es biyectiva. Su inversa se obtienedespejando B de la ecuación C œ #B &

C #B œ &

#B œ & C Î Þ "

#B œ C &

Luego, se intercambian las variables C por B:

0 "ÐB Ñ œ š ÐB ß C Ñ Î C œ B &

Por lo tanto: ›#

95

V I R

G I N I O G O M E Z




Ejercicios

Dadas las siguientes funciones, determine sólo la forma que tiene su función inversa:

"Þ J œ Ö Ð Bß C Ñ Î B #C œ "! ×

#B # Þ K œ Ö Ð B ßC Ñ Î C œ ×&

$Þ L œ Ö Ð Bß C Ñ Î $B &C œ "

B #C%Þ M œ Ö ÐBß C Ñ Î œ "! ×

&

Respuesta

""Þ J œ Ö Ð Bß C Ñ Î C œ #B "! ×

& $"

# Þ K œ Ö Ð B ßC Ñ Î C œ B ×# #

& "

$ Þ L œ Ö Ð B ßC Ñ Î C œ B ×$ $

%Þ M œ Ö Ð Bß C Ñ C œ #B &!

Sea 0 : A Ä B una función, entonces:

Resu m iendo

") 0 se dirá inyectiva si:

Es decir, a imágenes iguales, preimágenes iguales.

96

V I R

G I N I O G O M E Z




#) 0 se dirá sobreyectiva o epiyectiva si: a C − B , b B − A , C œ 0 ÐB Ñ

En forma equivalente V/- 0 œ B

3 33) 0 se dirá biyectiva, sí y sólo si, es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Observación: Si 0 : A Ä B no es Inyectiva, ni Sobreyectiva se puede encontrar unarestricción sobre A y B de modo que 0 : A' Ä B' sea Inyectiva y Sobreyectiva, es decir, redefinir lafunción 0 Þ

¡¡ Ahora, hagamos un análisis algebraíco completo para un ejercicio en particular !!

Eje m plo " :

Determine si la función es biyectiva ( de no serlo redefínala ):

0 : ‘ Ä ‘

B Ä 0 (B) œ B #

Respuesta

Dominio de la función:Codominio de la función:Recorrido de la función:

H97 0 œ ‘

G9. 0 œ ‘

!V/- 0 œ ‘

Por lo tanto, 0 no es sobreyectiv a.

!Restricción: Se cambia el codominio ‘ por el recorrido ‘

0 : ‘ Ä ‘+!

Sólo resta analizar su inyectividad: 0 (B1 ) œ 0 (B2 Ê B1 œ B2

Sea 0 (B1 ) œ 0 (B2

) (B" )# œ (B# )

#

Luego: B1 œ B# ó B1 œ B#

Por lo tanto, 0 no es inyectiv a.

Restrinjamos el dominio de la función de ‘ a ‘ para hacerla inyectiva.!

97

V I R

G I N I O G O M E Z

G9. Á V/- 0




Ahora, 0 es inyectiva y sobreyectiva:

Redefinida , se tiene:

Por lo tanto, 0 es biyectiva.

Eje m plo # :

Sea 0 : ‘ Ä ‘ definida por: 0 (B) œ #B " ¿Es 0 una función biyectiva?. Si lo es, determine

0 1su inversa

Respuesta:

") Inyectividad:

0 (B1 ) œ 0 (B#

)#B1 " œ #B# "

# B1 œ # B#

Î " Î À #¾ 0 es inyectiva.

#) Sobreyectividad:

Para determinar el recorrido de 0 , despejamos B en función de C. Luego, analizamos las posiblesrestricciones para la variable C:C œ #B "

C " œ #B

C "œ B No existen restricciones para C.

#

Por lo tanto, V/- 0 œ ‘ œ G 9. 0 y se tiene que 0 es

98

V I R

G I N I O G O M E Z




V

Como 0 es inyectiva y sobreyectiva, se tiene que 0 es Biyectiva.

Luego, existe la función inversa de 0 y se define de la siguiente forma:

Observación: El estudio de una función debe considerar los siguientes pasos:

1) Para determinar el DOMINIO de una función se analizan las posiblesindeterminaciones que puede tener la fórmula que define a dicha función:

2) Para determinar el RECORRIDO de una función, primero se debe despejar B enfunción de C en la fórmula que define la función.Luego, se verifican para la expresión que resulta de lo anterior:

3) Graficar la función para verificar el Dominio y Recorrido encontrados.

4) Para verificar la inyectividad, además, del método analítico (visto anteriormente) está el métodográfico que consiste en trazar una recta paralela al eje B.

Si la recta corta a la gráfica de la función en un solo punto a lo largo de toda sugráfica, entonces la función es inyectiva.

99

I R G

I N I O

G O M E Z




Si la recta corta a la gráfica de la función en dos o más puntos entonces lafunción no es inyectiva. Para redefinir la inyectividad se debe restringir eldominio de la función.

5) Para verificar la sobreyectividad basta comparar el Recorrido encontrado con el Codominio de lafunción. Esto es:

Si G9. 0 œ V/- 0 entonces 0 es sobreyectiva.Si G9. 0 Á V/- 0 entonces 0 no es sobreyectiva.Si el codominio no está dado en forma explícita se supone que G9. 0 œ ‘.Para redefinir la sobreyectividad se cambia el codominio dado por el recorrido que se ha

determinado.

6)dada.

Para determinar la función inversa se debe cumplir la condición de biyectividad de la función

Luego de esto, se define la función inversa 0 "À V/- 0 Ä H97 0

B Ä C œ 0 "

ÐB Ñ B en la expresión que resulta del despeje anterior.

Eje m plos a desarrollar en clases:

B $ Realice un análisis completo de la función definida por:

Ejercicios

0 ÐB Ñ œ" #B

Indique si los valores dados para B: pertenecen al dominio de estas funciones:M Ñ È# àB œ ! à # à $ß & à !ß #&

Determine el Dominio de las siguientes funciones:M MÑ

a) C œ %B &

0 (B) œ B$ (B b)

1(+) œ+ $

c)+ "

( B d) :(B) œ

B # $

<(>) œ È% #e)

f) =(>) œ > # %> $

1(2) œ È&2 $g)

100

V I R

G I N I O G O M E Z




, $:(,) œ Êh)

, #

II) Determine el Recorrido de las siguientes funciones:

a) 0 (B) œ )B

;(B) œ #B # % b)

<(B) œ $B # "#Bc)

> & d) =(>) œ

#> %

=(2) œ 2 e)

:(;) œ È; f)

7(-) œ & $-g) #- "

III) Analice Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad para las siguientes funciones y luegodetermine la función inversa ( restrinja si es necesario):

a) 0 : ‘ Ä ‘ ; 0 (B) œ % #B

# b) 1 : ‘ Ä ‘ ; 1(B) œ B *!

!Èc) : : [ #, ; :(B Ñ œ &B "!Ä ‘

=(>) œ$> #

d) = : ‘ Ö"× ;‘ > "

7(>) œ > # % e) 7 : ‘ Ä [ %, ;

Respuesta

M Ñ

MM )

a) b) c) ‘ Ö 1× d) ‘‘ ‘

$e) > Ÿ # f) ‘ g) 2 h) , # ó , $

&

II)

101

V I R

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d) ‘ Ö"

a) b) c)‘ C % C "##

$! !

e) f) g)‘ ‘ ‘ Ö ×#

III)

0 1(B) œ % B

0 1 : ‘ Ä ‘a) ;#

Ä ‘ ;1 " À Ò *, _ Ò 1 1 (B) œ B b)!

#

: 1 (B) œB "!

: " : ‘ Ä [ #, _ [ ;c)

! &

> # = " : ‘ Ö $× Ä ‘ = 1(>) œd)

> $

7 " : [ %, _ [ Ä ‘

< " (>) œ È> e)!

Un poco de historia.....

El término Función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés RenéDescartes para designar una potencia B8 de la variable B.

En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse avarios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido eldefinido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Unavariable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables B e C estánasociadas de tal forma que al asignar un valor a B entonces, por alguna regla o correspondencia, se asignaautomáticamente un valor a C, se dice que C es una función (unívoca) de B. La variable B, a la que seasignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable C, cuyos valoresdependen de la B, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de B constituyen el dominio de

definición de la función y los valores que toma C constituye su recorrido".

102

V I R

G I N I O G O M E Z




AUTOEVALUACION

#% B si # Ÿ B #œ

B " si # Ÿ B %"Ñ Sea 0 ÐBÑ œ

determine + Ñ 0Ð # Ñß , Ñ 0 Ð# Ñß - Ñ 0 Ð

# Ñ Grafique la siguiente relación, analizando concavidad, Eje de Simetría,Intersección con ejes X e Y y vértice

V œ Ö ÐBß C Ñ − ‘# ÎB œ C # %C &×

Sea 0 À E © ‘ Ä ‘

B Ä 0 ÐB Ñ œ

$ ÑB # $ B

Determine:+ Ñ Dominio de 0 ÐB Ñ,Ñ Recorrido de 0 ÐB Ñc) Inyectividad.Ñ Sobreyectividad/Ñ Función Inversa (restrinja si es necesario

0Ñ 0 Ð &Ñ1 Ñ 0 Ð $Ñ2Ñ 0 " Ð $ Ñ

En 1897 un profesor de Física propuso que la temperatura X en gradosFahrenheit, en un termómetro "criquet" está dada por

% Ñ

BX ÐB Ñ œ %!

%

donde B es el número de chillidos del grillo por minuto. Si el número de chillidosse aumenta en 10, determine en cuánto aumentó la temperatura

103

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

" Ñ + Ñ 0Ð # Ñ œ ! , Ñ 0 Ð# Ñ œ 0 Ð%Ñ œ no está definido en la función

Concavidad+ œ " ! Ê Concavidad hacia la izquierda

# Ñ

E j e d e Si m etría

,C œ ß C œ #

#+

Intersección eje \

B œ & Ê Ð&ß ! Ñ

Intersección eje Y C #

%C & œC " œ "ß C # œ & Los puntos son:T" Ð!ß " Ñ ßT#Ð!ß

Vértice

,Z Ð Bß Ñ ß Z Ð*ß # Ñ

#+

Gráfico

+ Ñ Dom 0 œ ‘ Ö $×

$ Ñ

-Ñ 0 ÐB" Ñ œ 0 ÐB#

B # B #" #œ

$

B" $

B#

ÐB" # Ñ Ð $ B# Ñ œ ÐB# # Ñ Ð $ B" Ñ

& B" œ &B#

Por lo tanto 0 es Inyectiva

. Ñ G 9. 0 œ ‘ ß Rec 0 œ ‘

104

V I R

G I N I O G O M E Z




0 No es Sobreyectiva, luego restrinjimos

0 À ‘ Ä ‘B #

B Ä 0 ÐB Ñ œ$ B

función Inversa

0 "À ‘

Ö"×

Ä ‘$B #

B "

0 Ñ 0 Ð &Ñ œ $Î)

"

1Ñ 0 Ð $Ñ œ indeterminación3Ñ 0 " Ð%Ñ œ #

!si X œ ! , X Ð !Ñ œ %! œ % !% Ñ

%

"!

%! œ %! œ % #ß &X œ "! , X Ð!Ñ œ %

Por lo tanto aumentó #ß & º F% #ß & %! œ #ß & .

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V I R

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CAPITULO IV

FUNCION EXPONENCIAL YLOGARITMICA

106

V I R

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FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARIT M ICA

Este tipo de funciones nos permiten representar situaciones de la vida real.

UN EJE M PLO REAL

Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos, enespacios de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en

estos casos, a partir de una célula, en un día?

Es decir, las bacterias crecen a razón de # B Þ

si B son los intervalos de 15 minutos: en una hora hay 2 % = "' bacterias , en dos horas 2) = #&'ß es2 # %Þ % œ #*' = (ß * · " !#) .decir, en un día ,

Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muydeprisa

Una función exponencial es una función definida por una ecuación de la forma:

0 ÐB Ñ œ , B , en la cual , ! C , Á

Para que la función tenga sentido y se pueda dibujar ß la base , debe ser , !ß ¿por

"Por ejemplo si , œ # , ¿cómo se definiría ( # ) # ? Seguro que sabrás que " es#raiz cuadrada de #, la cuál no existe. Lo mismo pasaría con otros valores de B, por lo que la función no tendría sentido.

Es claro que si , œ !, se trata de la función 0, sin interés.

Habrás observado también que la función cuando , " es muy distinta que cuando, " , y además que cuando , œ " se trata de una recta, es decir, de la función y =1, que es una recta horizontal.

107

V I R

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tiempo (min) bacterias

15 738ß B œ " 2

30 738ß B œ # 4

45 738ß B œ $ 8

60 738ß B œ % 16




Gráfica de funciones exponenciales

Para graficar estas funciones se construye una tabla de valores conveniente para B y se determinanlos valores de C al haber reemplazado B en la ecuaciónÞ

La función es siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de B), dependiendo

de los valores de la base ",".

Ejemplo À Grafique C œ $B

Respuesta

Haga una tabla de valores de la función C œ $ B y a partir de ella, grafíquela

En este ejemplo , œ $, es decir, la función es creciente.

Eje m plo

B$Grafique C œ Œ

&

Respuesta

En este ejemplo , œ $ ß por lo tanto la función es decreciente.&

108

V I R

G I N I O G O M E Z




Si observa las gráfica vistas en los ejemplos dados notará que se mantienen característicascomunes, de aquí obtenemos las propiedades siguientes:

Propiedades de la función Exponencial

* La función existe para cualquier valor de B. El dominio de la función exponencial es elconjunto de los números reales.

* Los valores de C son siempre positivos (prueba cuantos valores desees para B). Por tanto: LA FUNCIÓN SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS para cualquier valor de B. El recorrido de 0 es el conjunto de los números reales positivos.

* En todos los casos la función pasa por un punto fijo, la gráfica de la función intersecta al eje ] cuandoB œ !. Generalmente, el punto Ð!ß "Ñ

* El eje \ es una asíntota horizontal para la gráfica de la función exponencial, es decir,se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el casoen que ! , " y hacia la izquierda en caso de , ".

* La función 0 es inyectiva.

Ejercicios

Grafique las siguientes funciones, determine, además cuáles son crecientes y cuáles decrecientes:M Ñ

B"0 Ð B Ñœ $ B"Þ 0 Ð B Ñœ # Þ Œ

#

B # "0 Ð B Ñœ % B$ Þ 0 Ð B Ñœ % ÞŒ

%

Las amebas, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición). Esto semás o menos rápidamente según las condiciones del medio en que se encuentren (cultivo).

M MÑ realizaSupongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamentecada hora y que, inicialmente, hay una ameba.

109

V I R

G I N I O G O M E Z




a) Calcule el número aproximado de amebas que habrá según pasan las horas ycomplete la tabla .

b) Represente gráficamente estos datosc) Cambie los ejes y represente la función cuyas variables sean, ahora:

B: número de amebasC: tiempo (en horas)

Las sustancias radiactivas se desintegran transformándose en otras sustancias y lo hacen conM M M Ñ mayor o menor rapidez, según de cuál se trate.Supongamos que tenemos 1 kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cadaaño. El resto de la masa no desaparece, sino que se transforma en otro componente químico distinto.

a) Complete la tabla siguiente (utilize la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales):

b) Represente gráficamente los datosc) Cambie los ejes y represente la función cuyas variables son, ahora, B: peso de la sustancia radiactiva (enkg)ß C: tiempo transcurrido (en años)

Respuesta

M Ñ

110

V I R

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ccc

M MÑ + Ñ

M M M Ñ

111

V I R

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APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Muchos Modelos matemáticos que se presentan en ciencias y matemática se pueden representar por funciones exponenciales.

Por ejemplo: La función exponencial se aplica a la química y física. En algunos elementosradioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la leyexponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

El Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente deacuerdo a la función: 7 œ 7 ! / !ß!!& > , donde 7 ! es la masa inicial del Polonio, 7 es la masa al cabode un tiempo y > es el tiempo en días.

El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curvade característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: R œ R ! / 5 > , donde R ! es la población inicial, > es el tiempo transcurrido en años y 5 es una constante. (En 1798, el economista inglésThomas Malthus observó que la relación R œ R ! / 5 > era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, elmundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tanimportante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conocecon el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

Observación:

La función exponencial obedece a todas las leyes de los exponentes.

EL NUMERO e

Quizás ya conozcas un número muy especial llamado número "/". Si no lo conocías, se trata de unnúmero irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es/ œ #ß (")#)")Þ Þ Þ Þ Þen sus seis primeras cifras decimales.

Evidentemente / ", luego la función ya es conocida, siempre creciente.

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Además de escribirse como C œ /B , también se escribe como C œ /B:ÐB Ñ ß por tratarse de la funciónexponencial más utilizada

Debido a su importancia muchas calculadoras con funciones científicas tienen una tecla / B que nos permite calcular los valores de / B directamente.

La función exponencial que tiene por base el número / tiene un especial interés que conocerás mejor cuando se estudien los límites y los logaritmosÞ Por ejemplo, en Cálculo el número / surge del estudio dela función 0 definida por:

8"0 Ð8 Ñ œ " en donde 8 es un entero positivo.Œ

8

Puede probarse que los valores de la función 0 Ð8 Ñ se acercan al número /ßaumenta de valor, es decir:

a medida que 8

8"Œ"

8 Ä / cuando 8 Ä

Ejercicios

"Ñ Usando su calculadora (tres decimales aproximado) determine:

+ Ñ / $ œ , Ñ / & œ

-Ñ / % œ .Ñ / # / ' œ

La curva adoptada por un cable o una cuerda larga que cuelga sobre su propio peso entre dos# Ñsoportes fijos se llama catenaria. Puede probarse que bajo ciertas condiciones un cable colgante asume laforma de la gráfica de la función:

/ BÎ- /

0 ÐB Ñ œ -#

Determine , si - œ #Ðtres decimales aproximado):

+ Ñ 0 Ð # Ñ, Ñ 0 Ð & Ñ- Ñ 0 Ð $ Ñ

Respuesta

"Ñ + Ñ #!ß !)' ÞÞ , Ñ "%)ß % " $ÞÞ Þ - Ñ !ß !")ÞÞ Þ . Ñ % !$ß & '%ÞÞ Þ

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+ Ñ Para - œ # y B œ # se tiene:# Ñ

/ #Î# /0 Ð#Ñ œ # œ $ß !)' ÞÞ

#

, Ñ 0 Ð&Ñ œ "#ß #'5 - Ñ 0 Ð $ Ñ œ %ß (!

Eje m plos de aplicación

El estroncio *! se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la ecuación E œ T /donde T es la cantidad presente en > œ ! y E la cantidad que queda después de > años. Si se!ß!#%) >

colocan &!! milígramos de estroncio *! en un reactor nuclear. ¿Cuánto quedará después de "! años?(Exprese la solución con dos decimales)

Respuesta:

El modelo es E œ T / !ß!#%) > , se reemplazan los datos dados: T œ &!! y > œ

E œ &!! / !ß!#% )Ð"!

E ¸ $*!ß ")Luego:

Después de "! años quedan aproximadamente $*!ß ") miligramos de estroncio *!

Ejercicios: (dos decimales aproximado)

Para el mismo ejercicio dado anteriormente, considere"Ña)

b)T œ "&!! y > œ ), determine E

E œ "& !!!ß > œ ") meses, determine T

2) Si el monto generado por un capital G colocado a una tasa de interés compuesto 3 al cabo de 8

períodos de capitalización es:

Q œ G Ð " 3 Ñ 8

a) Determine el Monto que se obtendrá al cabo de & años al depositarse $" &Þ!! ! a una tasa deinterés de &% anual.

b) Si el Monto obtenido es de $ #!!Þ!! !, la tasa de interés de $% anual y el tiempo transcurrido "&años. ¿Cuál fue el capital?$ Ñ La población mundial T en "*(% era aproximadamente de $ß * miles de millones y la tasa decrecimiento anual del #%. Si se supone un crecimiento continuo entonces T œ $ß * / !ß!# > , donde > esel tiempo en años después de "*(%.

Suponga que no ocurren cambios en la tasa de crecimiento.

+ Ñ Calcule la población para #!!$ . b) En cuánto tiempo la población aumenta al doble

4) En condiciones ideales el número de bacterias presentes en un cultivo en > horas está dada por elmodelo R Ð > Ñœ "Þ!!! / 5 > , 5 es la tasa de crecimiento y "Þ!!! es el número de bacterias en eltiempo

a) ¿ Cuántas bacterias habrá a las $ horas si 5 œ !ß !!" ?

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b) ¿ Cuántas bacterias habrá a las $ horas si 5 œ !ß !# ?

&Ñ Se sabe que la concentración de un fármaco en sangre viene dado por C œ "!!Ð!ß *% Ñ > ßmiligramos, > en horas).

enC

a) ¿Cuál es la dosis inicial?

b) ¿Qué cantidad de ese fármaco tiene el paciente al cabo de " hora? ¿Y de tres horas?c) Represente la función.

Respuesta

1) + Ñ "Þ#$! , Ñ " & & 'ß )&

2) + Ñ $ "*Þ"%%, Ñ $ "#)Þ$(#

$Ñ + Ñ 'ß *( miles de millones, Ñ $ %ß '' años

%Ñ + Ñ "Þ!!$, Ñ *% "ß ('

&Ña) >= 0 Ä C œ "! ! 71 b) > œ " Ä y = 94 mg en 1 hora

> œ $ Ä y = 83 mg en 3 horas

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Otra función muy importante que tienerelación con la función exponencial esla función logarítmica, la cual vamos aestudiar a continuación

FUNCION LOGARIT M ICA

Ya que la función exponencial 0 À ‘ Ä ‘ definida por C œ , B es biyectiva, tiene en

consecuencia una función inversa. Para encontrarla, haremos lo siguiente: Intercambiamos las variables Be C para obtener B œ , C Þ Esta fórmula define a B como una función de C:

C es el exponente al que se eleva la base , para obtener B

Reemplazando la palabra exponente por la palabra logaritmo podemos reformular la definiciónasí:

" C es el logaritmo en la base , de B " y abreviarla utilizando la fórmula:

Esto nos relaciona la función logarítmica con la exponencial.

Por lo tanto, la función logarítmica con base , se escribe:

Es la función inversa de la función exponencial con base ,.

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GRAFICO DE LA FUNCION LOGARIT M O

La gráfica de esta función es simétrica a la gráfica de la función exponencial.Para graficar le asignamos valores a C y al remplazarlas en la función B œ ,C obtenemos valores

de B.

Si la base es mayor que 1, la gráfica de la función es siempre creciente, (se puede observar comocrece "más deprisa", cuanto más pequeña es la base del logarítmo).

Eje m plo:

Graficar: 0 ÐB Ñ œ 691 # B Í # C œ

Ahora grafique usted las siguientes funciones logarítmicas:

Ejercicios

+Ñ 0 ÐB Ñ œ 691 $ B , Ñ 0 ÐB Ñ œ 691 " B#

- Ñ 0 ÐB Ñœ 691 # Ð B" Ñ . Ñ 0 Ð B Ñœ 691 & Ð" B Ñ

¿Qué puede observar que tienen en común estas gráficas?

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Algunas aplicaciones de la función logarít m ica

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos decarácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculodel volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación P = 10 † 691 ( M /M ! ) , donde M es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), M ! es laintensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversaciónen voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de laintensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud V de un terremoto está definidacomo V œ 691 ÐE Î E ! Ñ en la escala de Richter, donde E es la intensidad y E ! es una constante. ( Ees la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a "! ! kilómetros del epicentro del terremoto).

De la función logarít m ica se puede decir que:

‡ El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.‡ El recorrido es el conjunto de todos los números reales.‡ La gráfica pasa por el punto Ð"ß !Ñ‡ Si , ", la función es creciente.‡ Si ! , ", la función es decreciente.‡ 691 , B œ 691 , A , sí y solo si, B œ A * El eje Y es una Asíntota vertical , ya que se acerca al eje Y tanto como se desee,

sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que , " y hacia arriba en casode , " ("SIEMPRE POR LA DERECHA")

En la expresión: se tiene que

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C œ 691 , B




La siguiente tabla muestra el paralelismo entre la forma logarítmica y la forma exponencial:

Eje m plo:

Calcule los logaritmos siguientes:

, la solución es %, porque #% œ "'a) 691 # "' œ ?

b) 691 # ) œ ? , la solución es $, porque #$ œ )

Ejercicios

Encuentre los siguientes logaritmos:

"Š ‹ œ+) log "#& œ ,) log& ( % *

.) log Š"‹ œ-) log & œ" "'

)#&

/) log ' " 0 ) log $ $ œ

1 Ñlog Ð"Î&Ñ '#& œ 2 Ñ log %* ( œ

Respuesta

+ Ñ $ , Ñ # - Ñ . Ñ $Î%

/ Ñ ! 0 Ñ " 1 Ñ % 2 Ñ "Î#

Consecuencias de la definición

NOTA: Lo siguiente es válido para cualquier base , !, , Á

"Ñ El logaritmo de " en cualquier base es "cero"

691 , " œ !

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Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es "# Ñ

691 , , œ 1

El logaritmo de wwc e ro

ww no está definido$ Ñ

691 , ! no está definido

El logaritmo de un número negativo no está definido% Ñ

& Ñ El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base dellogaritmo es el exponente de la potencia

691 , , - œ -

Ejercicios

Encuentre los siguientes logaritmos:

+Ñ 691 # # œ , Ñ 691 $#( œ

. Ñ 691 + + Ð7 " Ñ œ-Ñ 691 %" œ

/ Ñ 691 $ ! œ 0 Ñ 691 & Ð "!Ñ œ

Respuesta

/ Ñ No está definido 0 Ñ No está definido+ Ñ " , Ñ $ - Ñ ! . Ñ 7 "

LOGARIT M OS DECI M ALES O CO M UNES

La base de una función logarítmica puede ser cualquier número real positivo diferente de ". práctica, sin embargo dos son las bases más importante cuando , œ "! y , œ / (#ß (")Þ Þ Þ Þ Ñ

En la

Cuando la base es "! se escribe 691 y se subentiende que la base es "!.

Eje m plo

691 "! "! ! se escribe 691 "!!

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Ejercicios

"Ñ Encuentre Ud. el valor de los siguientes logaritmos (use su calculadora, # decimales):

a) 691 !ß !" b) 691 "!Þ!!!

c) 691 !ß !!!!" d) 691 & 691 $

f)' 691 % $ 691

e) # 691 % ' 691691 $

Se sabe que la concentración de un fármaco en la sangre viene dado por C œ "!!Ð!ß *% Ñ > ß C en2)miligramos, > en horas).

Si queremos que la concentración no baje de 60 mg, ¿al cabo de cuánto tiempo tendremos queinyectarle de nuevo?

Un cultivo de bacterias crece según la función C œ " # BÎ"! (C : miles de bacterias, B: horas).$ Ñ

Calcule cuánto tiempo tardarán en duplicarse.

Respuesta

b) % c) &"Ñ + Ñ

d) !ß ## e) 'ß #( f) "ß &(

"! ! † Ð!ß * %Ñ > œ '! Ê > œ ) 2 "& 738Al cabo de aproximadamente ) 2 "& 738

2 Ñ

" #BÎ"! œ % Ê B œ "! 69 1 $ œ "&ß) 2 ¸$ Ñ 691 #

LOGARIT M OS NATURALES

Si la base , de una función logarítmica es / œ #ß (")#)" )..., entonces

691 / B se escribe 68 B y se subentiende que la base es el número "/"

Eje m plo

691 / "! ! se escribe 68 "!!

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Ejercicios

Determine usando su calculadora los siguientes logaritmos Ðuse tres decimales Ñ:

a) 68 # œ

b) 68 #$% œ

c) 68 & œ

d) # 68 $ 68 % œ

e) $ 68 # & 68 $ 68 "

f) Ð 68 ' % 68 # Ñ # œ

g) 68 / "Î# œ

Respuesta

a) !ß '*$ b) &ß % & &c) "ß '!*d) !ß )""e) (ß &($f) !ß *'#g) "Î# œ !ß &

Muchas veces conviene cambiar la base del logaritmo originalnecesitamos la siguiente definición:

a una base conocida. Para esto

FOR M ULA DE CA M BIO DE BASE

Si " + " y " , " son números positivos diferentes de ", entonces para cualquier número positivoR

691 , R œ

69 1 + R 691 + ,

Eje m plo

Usando la forma anterior, encuentre el valor de 691 ' "), usando su

Respuesta

En este ejercicio podemos ver que , œ ' y R œ ")Como en la calculadora es posible encontrar los logaritmos decimales, cambiaremos a base "!,

entonces + œ "!

691 ")691 ") œ ¸ "ß' 691 '

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Ejercicios

I) Cambie los siguientes logaritmos a la base que se pideÞ Deje expresado:

a) 691 & # a base $

b) 691 % $ a base #

c) 691 & * a base $

II) Encuentre el valor deaproximados):

los siguientes logaritmos usando cambio de base (3 decimales

a) 691 ( #" œ

b) 691 & #"% œ

c) 691 %") œ

d) # 691 & "'

$ 691 %"& œ

e)& 691 # (

œ691 $ )

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Respuesta

a)691 $ #

b)691 # $

c)691 $ *

I)691 $ & 691 # % 691 $ &

II)

a) "ß &'& b) $ß $$%c) #ß !)&d) #ß% " &

Para poder resolver ejercicios con logaritmos es necesario que conozcamos algunas de sus leyes.

PROPIEDADES DE LOS LOGARIT M OS

Sean B e C números reales positivos , ,! • , Á " y "8" es cualquier número real.Entonces:

1)El logaritmo de un producto es igual a la suma de los factores del logaritmo

2) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia de los factores del logaritmo

3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el

logaritmo de la base de la potencia

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Ahora usaremos estas propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

Eje m plo

# $Escriba 691,

Ð B † C Ñ como suma y diferencia de logaritmos

Respuesta691 , Ð B# † C$ Ñ œ 691 , B# 691 , C $

œ # 691 , B $ 691 , C

Ejercicios

Escriba los siguientes ejercicios como suma y diferencia de logaritmos. Desarrolle al máximo:$B † C † D $

‹"

+) 691 ˆB$ † C $ ‰ # ,) 691 Š, ', ,

# #

B C Š B Ð B C Ñ-) 691 .) 691& B$ ‹ # Œ ÈC,

- È$ Ð B % Ñ Ð# B ( Ñ/) 691 0 ) 691

- È& - # , Ë B Ð $ B ( Ñ #

Ð B# & Ñ % Ð ( B * Ñ $ È"#& † & (

g) 691 2) 691$ Œ & & %B Ð B " Ñ

(B †D 3) 691 C Ð C " Ñ %

Respuesta

$ $+Ñ 691 B 691 C, ,# #

, Ñ $ 691 B * 691 C $ 691 D ,, ,

- Ñ 691 ,

B 691 , C 691

,&

"#. Ñ 691 B 691 Ð B C Ñ 691 C# # # #

"%/Ñ

"&

" " "0 Ñ 691 Ð B % Ñ 691 Ð #B ( Ñ 691 B 691 Ð $ B (, , , ,# # #

#1 Ñ % 691 $

Ð B & Ñ $ 691 $

Ð ( B * Ñ 691 $

B 691 $

Ð B " Ñ

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*2 Ñ

#

3 Ñ 691C

B ( 691C

D % 691C

Ð C "Ñ

Veamos los casos al revés, es decir, de unasuma o resta de logaritmos, escribir comoun solo logaritmo

Eje m plo

Escriba como un solo logaritmo la siguiente expresión:

B #$# 691 B $ 691 C 691 7 691 C œ , Œ

C'

7

, , , ,

Observación

Una forma fácil de resolver estos ejercicios es agrupar por signos: Todos aquellos factores a loscuales precede un signo positivo Ð Ñ quedan en el numerador de la fracción , y los que tienennegativo Ð Ñ quedan en la fracción del denominador.

signo

Ejercicios

Escriba como un solo logaritmo:

"a)M Ñ $ 691 , B 691 , C

&

b)%

691 B $ 691 7 & 691 8 691&

c) 691 ,$ 691

,% % 691

,7 691

,B 691

, A

e) 691 7 691 8 "

691 + & 691 , "

$ %

f) 691 7 691 : "

691, , ,&

g) 691 8 691 ; & 691 < "

691+ + + +#

M MÑ Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos

È)#(+ Ñ691 691 È*) 691 œ 691 $

#) *

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" " B "# È, Ñ 691 Ð B $B # Ñ œ 691 B "% % B #

Respuesta

$ &%B B † 8a) 691 b) 691, È& 7 $ † ,

7 % † B † A B C c) 691 d) 691Œ, "#

7 † 8

B C

7 † :e) 691 f) 691 ,

È$ + † , & † È

È&

¡¡Ahora usemos lo aprendido en las ecuaciones exponenciales!!

ECUACIONES EXPONENCIALES

Se llama Ecuación Exponencial a aquellas ecuaciones que tienen la incógnita en el exponente.Algunos ejemplos de ecuaciones son:

$# B#= $

# B "#B # B " œ

Las ecuaciones se pueden presentar de tres formas distintas

CASO 1 : Ecuaciones en las cuales se pueden igualar las bases

Algunas veces las ecuaciones exponenciales pueden resolverse consiguiendo que ambos lados dela expresión, estén expresados como potencias de la misma base e igualando posteriormente losexponentes. Para ello hay que tener muy presentes las propiedades de las potencias.

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Eje m plo

Resuelva la ecuación:

# B œ % B " †

Respuesta

Dado que % œ # # C ) œ # $ ß la ecuación puede escribirse de la siguiente forma:

# B œ % B " † )" #B

# B œ Ð# # Ñ B " † Ð# $ Ñ

# B œ # #B # † # $ 'B

# B œ # % B "

Debido a que la función exponencial es uno a uno, los exponentes se igualan:

B œ % B ""

B œ &

Ejercicios

Encuentre el valor de la incógnita:

"Ñ $ B œ $ #B " ( Ñ $ B œ * B " † #( " #B

#Ñ # B Ð B " Ñ œ % ) Ñ ( #ÐB " Ñ œ $%

$Ñ &

#B "

œ #&

B

† &

$B

%Ñ & B " œ "*Ñ $

B #À

*

#

œ #(

" B

"!Ñ "' % $B † " # B œ % "

&Ñ $ B Ð B % Ñ œ $ % ""Ñ & # BÀ #& #B$ œ "#& #

"#) #( #B œ * #B "'Ñ % B # œ # #B † ) B "

$ B

Respuesta

"Ñ B œ "$Ñ B œ "Î$&Ñ B œ# (Ñ B œ "

#Ñ B œ "ß #

%Ñ B œ "'Ñ B œ (

* Ñ & Î % "!Ñ (Î&""Ñ B œ "!Î$ "#Ñ B œ

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CASO # : Ecuaciones en las cuales no es posible igualar bases

En estos casos para resolverlas debemos usar logaritmos y luego las propiedades de éstos.

Eje m plo

Encuentre el valor de B en:

% B † & B œ '

Respuesta

Para resolver esta ecuación aplicamos logaritmos decimales o naturales en ambos lados de laecuación y luego usamos las propiedades de estos:

% B † & B œ ' Î 691

691 Ð %

B

† &

B

Ñ œ 691 '

691 % B 691 & B œ 691 '

B 691 % B 691 & œ 691 '

B Ð 691 % 691 & Ñ œ 691 '

691 'B œ ¸ !ß

Ð 691 % 691 &Ñ

Ejercicios

Encuentre el valor dedos decimales aproximados):

B en las siguientes ecuaciones exponenciales ( exprese el valor de B con

") ( #ÐB "Ñ œ $ #) % B œ #( #B "

$) $ B % œ # B "' %) / &B # œ $!

&) # B † $ B " œ % ') $" B † % $ œ % B& † ( %B

() # # #B À % % Bœ # B † $ B

)) #B

À %$ B

† ' œ

Respuesta

") B œ !ß (#$) B œ $)ß "*'Ñ B œ !ß "'

#) B œ !ß%) B œ "ß !)( Ñ B œ "ß $

&) B œ !ß "'

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CASO $ : Ecuaciones en las que los términos de la ecuación están separados por sumas y/o restas que no se pueden realizar

# B " #B # B " œ (Ejemplo:

Se trata de conseguir que todas las expresiones exponenciales sean iguales y lo más sencillas posibles

usando las propiedades de las potencias.

# B Þ # " # B

# B Þ # " œ

# BB B

# # Þ # œ#

Conseguido ésto, usamos una variable auxiliar ? œ # B con lo que nos queda la ecuación?

? #? œ#

Ecuación de primer grado que sabemos resolver .?

œ / · 2#

?

#?

%? œ "%(? œ "%? œ #

Una vez resuelta se obtiene ? œ #, con lo que volviendo al cambio realizado al principio:

? œ # B

# B =2 . Ecuación exponencial del tipo que hemos trabajado antes, cuya solución es B œ ".

Ejercicios

+Ñ / B &/ B %/$B œ !

, Ñ & B " & B œ (&!

-Ñ % B # B œ #

.Ñ *B

# Þ $B #

)" œ !/ Ñ % B " # B $ œ $#!

0 Ñ & B & B # & B % œ

(sug: variable auxiliar ? œ / #B

Respuesta

+ Ñ B œ !ß '( y B œ !,Ñ B œ $-Ñ B œ ".Ñ B œ #/Ñ B œ $0Ñ B œ !

ECUACIONES LOGARIT M ICAS

En estas ecuaciones la incógnita se encuentra en el argumento del logaritmoÞLa forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo. Una vez encontrada lasolución es conveniente verificar si esta cumple con la igualdad ya que en algunos casos, algunas de lassoluciones que se obtiene para una ecuación logarítmica pueden no ser válidas.

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Eje m plo 1

Resuelva la ecuación : 691 Ð #B & !Ñ œ #

Respuesta

Como el logaritmo es decimal igualamos logaritmos a ambos lados de la ecuación:691 ( #B &! Ñ œ 691

"!!#B &! œ

"!!

Resolver la ecuación 691 Ð $ B # Ñ œ 691 # 691 B

Respuesta

691 Ð $ B # Ñ œ 691 # †B

$

B#

œ # † BB # # B $ œ !

B œ $ y B œ "

Al Sustituir el valor $ en la ecuación inicial se obtiene

691 Ð ' Ñ œ 691 # 691 Ð

¡logaritmos de números negativos que no existen!. Por tanto la única solución es B œ "

Ejercicios

Encuentre el valor de B (exprese su respuesta con dos decimales):

") 691 $ &B œ 691 $ #) 691 $ Ð ( B Ñ 691 $Ð " B Ñ

"$) # 691 B $ 691 # œ $ 691 B 691# # # #

$#

%) 691 # B 691 # Ð B # Ñ œ $ &) 68 Ð ' B Ñ œ 68 Ð $

') 691 # B œ 691 # & 691 #

() 691 $ B # "' œ

)) 68 ÐB "Ñ œ 68 Ð#B *) 691 $ Ð 68 #B Ñ œ !

"!) 691 Ð#B $ Ñ 691 B œ 691 & "") % 68 B 68 ÐB # Ñ œ 68 B #

"#) 691 Ð 68 B Ñ œ"

' #

"$) 691 ÐB# " Ñ 691 ÐB#

" Ñ œ 691"#

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"% Ñ 68 ÐB $ Ñ 68 ÐB " Ñ œ 68 $ 68 ÐB

"&) # 68 ÐB $ Ñ œ 68 B

"'Ñ 691 ÐB $ Ñ 691 Ð B ' Ñ œ

Respuesta

") B œ $# #) B œ #

"$) B œ %) B œ %

%

&) B œ " ') B œ %&

() B œ „ *( ¸ „ *ß ) )) B œ "'/ &

*) B œ ¸ "ß $' "! ) B œ# #

"#Ñ B œ /È'""Ñ B œ #

"$Ñ B" œ & B# œ & "%Ñ B œ & (B œ ! no vale)

%*Î% no vale

"&Ñ B œ #& „( œ œ)

"' )B œ %

SISTE M AS DE ECUACIONES LOGARIT M ICAS Y EXPONENCIALES

Como el nombre indica, son sistemas de ecuaciones donde una o más de ellas son de tipo exponencial ologarítmica. Los métodos de resolución numéricos son idénticos a los expuestos para las ecuaciones.

Ejemplo .- Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente

#B $ C " œ &

# B " ) · $ C œ ("#Ð+ Ñ

Ð, Ñ

De la ecuaciónn Ð+ Ñ despejamos #B

#B œ & $ C " Ð- Ñ

Reemplazamos lo obtenido en la ecuación Ð, Ñ

# B " ) · $ C œ ("#

# B · # ) · $ C œ ("#Ð & $ C " Ñ· # ) · $ C œ

132

V I R

G I N I O G O M E Z




"! # · $ C " ) · $ C œ ("#

C

"! # ·$

8 · $ C œ ("# Î · $$

$! # · $ C #% · $ C œ #

"$'

$! #? #% ? œ # "

$'#' ? œ #" $'

Reemplazamos en (.Ñ

$ C œ )"C œ %

Reemplazamos en Ð- Ñ

#

B

œ &

$

C "

#B œ & $ %

"

#B œ $#

Por lo tanto la Sol : B œ & à C œ %. Es descir, el punto (&ß %Ñ

Ejercicios

B C# & œ *

#B # & C " œ *

, Ñ B C œ *œ 691 B 691 C œ "

+ Ñ œ

B #C #B &C# % œ !

B C œ "&

# œ #- Ñ .Ñœ œ

#B C

œ ) 691 B 691 C œ & 691 B 691C œ #B

691 œ "/Ñ Û 0 Ñ œ B C œ "Ü C

691 B 691 C œ $œ 691 B 691 C œ "

B C œ "!œ 691 #B 691 #C œ

1 Ñ 2 Ñ

691 B 691 C œ $œ B C œ *!

68B 68C œ 683 Ñ 4 Ñ œ / B C œ "Î/

Respuesta

+ Ñ B œ #ß C œ "- Ñ B œ #!ß C œ &/ Ñ B œ "!! , C œ "!1Ñ B œ "!!ß C œ "!3Ñ B œ "!!ß C œ "!

, Ñ B œ "! à C œ ". Ñ B œ #à C œ "0 Ñ B œ "! "! È#ß C œ "! "!È#2 Ñ B œ )ß C œ #

133

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AUTOEVALUACION

Para cada una de las funciones C œ + B e C œ 691 + BÞ Conteste"Ñ

+) ¿ Puede ser negativa la C?,) ¿Podemos dar a B valores negativos?

#Ñ Encuentre el valor de w wBw w

+Ñ $ B "À / B œ & $

", Ñ 691 ' Ð68 B Ñ #

$) Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos

" $691 + #

691 691 È+ œ 691 ++

%Ñ Encuentre el valor de B

#

+ Ñ 691 Ð $ B %Ñ 691 Ð# $B Ñ œ # 691 &

, Ñ 691 # B # œ $ 691

-Ñ # B & † % $ #B œ ) $B "À "'

&Ñ Encuentre el valor de B e C

+Ñ B C œ ##691 B œ " 691

, Ñ 691 B $ 691 C œ &

# 691 B

691 C œ

'Ñ La Población mundial P en 1985 era aproximadamente $ß ' miles de ( T9 Ñ y la tasa dedecrecimiento anual del $ %Þ Si se supone un decrecimiento continuo , donde > es el tiempo en añosdespués de 1985Ð T œ T 9 Þ / 5 Þ > Ñ

a) Calcule la población para el año 2001 (2 decimales)

(Ñ Un cultivo de bacterias crece según la función y = " $ BÎ& Ð y: miles de bacterias, x:

horas).a) ¿Cuántas había en el momento inicial? b Y al cabo de 10 horas?

134

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Respuesta

68 "#& 68 $, Ñ B œ /

È'2 Ñ + Ñ B œ68$ "

4 Ñ5 Ñ

+ Ñ B œ #$Î$*+ Ñ B œ #! ; C œ #

, Ñ B œ "!!à B œ "!, Ñ B œ "! ! ; C œ "!

- Ñ B œ "

6 Ñ + Ñ T œ #ß #$ miles de millones,Ñ En el año 2008 se reduce a la mitad

135

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CAPITULO V

TRIGONOMETRIA

136

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TRIGONO M ETRIA

Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de lostriángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’. Las primeras aplicaciones de latrigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el

principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna.

Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramasde la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

Comenzemos explicando algunos conceptos básicos

Angulos: Cuando estudiaste geometría plana se te presentó el concepto de ángulo como el conjunto de puntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que tienen un punto común.

En trigonometría usaremos el mismo concepto, pero ampliaremos aún más su significado .

.... los dos rayos se llaman lados y el punto común vértice.

Generalmente los ángulos se denotan por tres letras mayúsculas ÐEß Fß G Þ Þ Ñcolocadas cada unaen cada rayo del ángulo y otra en el vértice Ð S Ñ.

Otra forma de designar un ángulo es usando letras griegas minúsculas, pero estas se encuentrandentro de la región angular, lo cual representa en realidad, la medida del ángulo. Las más usadas son !

(alfa), " (Beta), # (gama), ) (teta) , 9 (fi), etc..

Las figuras que se muestran a continuación presentan algunas formas que tiene un ángulo.

137

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Estos ángulos se leen ángulo ESF, o bien ángulo ! .Para muchas de las aplicaciones de la trigonometría, se requiere un concepto más general de un ángulo.

Se pretende determinar la rotación usada, al ir de un lado de éste al otro lado.De acuerdo a ésto: Para formar un ángulo ! se considera un lado inicial en una posición fija y al

otro como lado final o terminal.

La medida de un ángulo ! está asociada a la rotación del ángulo. Por ejemplo:

a) Si la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj, la medida del ángulo

es positiva.

medida de ! !

Por ejemplo ! œ 40 º

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b) Si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas del reloj, la medida del ánguloes negativa

medida de ! ! Por ejemplo ! = #%!

Observe que para los dos casos presentados la medida es sólo aproximada.

¡ OBSERVACION! : Con frecuencia usaremos el nombre de ángulo como medida del ángulo.Esto no debe confundirlo ya que en el contexto general siempre se aclara cuál es el significado que se pretende.

¿Y cómo se mide un ángulo ? ...La medida de un ángulo está dada de acuerdo a ciertos sistemas , los cuales son usados más

fácilmente en un campo o en otro .

Nosotros estudiaremos dos sistemas y que además son los más usados : el sistema de gradossexagesimales al cual sólo se le dice grados y el sistema de radianes.

a) Medición en grados:

Este es el más conocido y es empleado por los topógrafos y navegantes.En este sistema, se considera al ángulo situado con su vértice en el centro de un círculo cuya

circunferencia se divide en 360 partes iguales.Cada una de estas partes tiene la medida de un grado, el cual se escribe 1 º.

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de *! 9

(1 /# Ñ cada una, que va desde ! 9 a $'! 9 Ð#1 Ñ

" er cuadrante : ! 9 a *! 9

#do cuadrante : *! 9 a ")! 9

$ er cuadrante : 18 ! 9 a 27!

139

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% to cuadrante : #( ! 9 a $' !

b) Medición en radianes:

Cuando se quiso utilizar el sistema sexagesimal en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que este sistema no los ayudaba pues,matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se"inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arcoy el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo extendido (al dividir el arco por el radio) mide3,14 (que es el valor aproximado de "1"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dosángulos estendidos) mide 21. El ángulo se denomina radián.

OBSERVACION

La palabra radianes no se acostumbra escribir

¿Es posible escribir la medida de un ángulo usando los dos sistemas ?...Si, yaque la expresión #1 r que es el perímetro de la circunferencia, dice que la circunferencia tiene #1 arcos delongitud r alrededor de ella ( un arco de 360 º) . Entonces un ángulo de 360 º mide 2 1 radianes y unángulo de 180 º mide 1 radianes.

360 º180 º

œ 2 1œ 1

Transformación de la medida de un ángulo de un sistema a otro.

1)

multiplicar porPara convertir la medida de un ángulo dado en grados a radianes basta 1

180

Esto se deduce de la expresión 180 º œ 1 rad. / ƒ 180

") ! º 1 = rad.")! ")!

1 1 º œ rad.")!

140

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Eje m plos :

Convierta a radianes, los siguientes ángulos dados en grados y exprese la respuesta en términosde 1 ,.

a) 60 º60 º œ 60 º . 1 Simplificando se obtiene")!

1360 º œ

b) 105 º œ 105 º. 1 Simplificando se obtiene")! ( 1105 º œ "#

2) Para convertir los ángulos dados de radianes a grados basta multiplicar por 1801

. Esto se deduce de la expresión 180 º œ180

1

1 rad. / ƒ 11œ rad.1

")!1 œ 1 radián

Eje m plos:

Convierta a grados los siguientes ángulos dados en radianes

14a)

1 1 ")! Simplificando se obtieneœ4

Þ

œ %& º

4 1

14

17 b)

1 1 ")!œ7

Þ7 1

1 = 180 º7 7

17 œ # &ß (" º

Ejercicios :

1) Convierta cada una de los siguientes ángulos dados en grados a radianes, exprese la soluciónen términos de 1.

+) "$& º œ /) #( ! º œ

0 Ñ "*! o =,) (& º œ

1 Ñ$' !9 œ-) '& º œ

141

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.) ") ! º œ

2) Convierta cada uno de los siguientes ángulos dados en radianes a grados

+) 4 1 œ / Ñ " 1 œ3 #

,)5

1 œ 0 Ñ #ß "& <+. œ6

-) 2 1 œ3.) %Þ& #<+. œ

Respuesta

"Ñ+) $1Î % -) "$ 1 Î$'/) $1 Î#1 Ñ#1

,) &1Î "#.) 1

0 Ñ "*1Î")

#)+) #%!-) "#!/ Ñ *! 9

9 9,) "&!

9 9.) #& )ß *0 Ñ "#$ß

Resumiendo:siguiente

Los ángulos más usados y sus equivalentes se muestran en la circunferencia

142

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ANGULOS COTER M INALES

¿Qué pasa si un ángulo es mayor a 360 º ( #1 ) o es negativo? En estos casosrecurriremos a otro concepto en ángulos y que es muy útil, el de los ángulo Coterminales .

Se llaman Angulos Coterminales a aquellos que tiene los mismos lados inicial y

terminal, y por lo tanto tiene las mismas características. Estos ángulos siempre tienenmedidas de grados que difieren en un múltiplo de 360º.

Si el ángulo es mayor a $'! 9M Ñ

Los ángulo "!&! º y $$! º son coterminales ya que tiene los mismos lados inicial y terminal.Esto se puede ver más facilmente haciendo unos cálculos previos.

Como el ángulo "!&! º es mayor que 360 º , restamos a éste un múltiplo de 360 º de la siguienteforma

"!&! º 2 † $' ! º œ $$! º

Si el ángulo es negativoM MÑ

Los ángulo $! º y $$! º son coterminales , ya que $$! º tiene una rotación negativa y para

determinar su ángulo coterminal le sumamos un múltiplo de $' ! º, porque si le restáramos un múltiplio de

$$! º + " † $'! º œ $!

¿Y si el ángulo está dado en radianes ?... Se suma o resta a éste un múltiplo de 21,según sea el caso.

143

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Eje m plo15

Determine un ángulo coterminal a 17

Como este ángulo es mayor a 21 le restamos esta rotación

15 11 21 œ

7 (

Resumiendo :

a ) Si un ángulo es mayor a 360 º , como en el ejemplo 1, le restamos un múltiplo de

360 º (o un múltiplo de 21).b) Si un ángulo es negativo, como en el ejemplo 2, le sumamos un múltiplo de 360 º (o

un múltiplo de 21).

Ejercicios

Determine el ángulo coterminal de los siguientes ángulos , exprese este ángulo entre 0º y 360 º bien entre 0 y #1, según se pida.

o

"Ñ 500 º œ # Ñ 900 º œ

%Ñ % &! 9$Ñ 5 1 œ

&Ñ &"$! 9 'Ñ *& 9

"$1 &1(Ñ œ ) Ñ #

*) 3 720°

#

"!) 1 935°

"") 2 040° "#) 3 150°

"$) –200° "% ) –820

Respuesta

9 9 9$Ñ ") ! º(Ñ #(!

"Ñ "%!&Ñ 1

#Ñ *! %Ñ #'&*Ñ "#! 9'Ñ 1Î#

"!Ñ "$&9 ""Ñ #%!9 "#Ñ #(! 9 "$Ñ"'!9

" %Ñ #'! 9

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ANGULO EN POSICIÓN ESTANDAR

En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en posición estándar si suvértice está en el origen y el lado inicial en el eje positivo de las B como se muestra en la figuraÞ

Si el lado terminal de un ángulo en posición estándar coincide con un eje coordenado, el ángulo sedenomina ángulo cuadrantal. Si el lado terminal no coincide con un eje coordenado, entonces el ángulose menciona en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal.

Por ejemplo

Ejemplo :Algunos ángulos del primer cuadrante son 30 º, 60 º, 350 º

Algunos ángulos del segundo cuadrante son 95 º, 5 16

Algunos ángulos del tercer cuadrante son 230 º, 1 0 19

Algunos ángulos del cuarto cuadrante son 300 º, 11 16

Ejercicios

Determine en qué cuadrantes se encuentran los siguientes ángulos

a) 152 o œ

c) 75 o œ

b) 33 o œ

d) 301 o

145

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Respuesta

a) 152 o esté en el II cuadrante

b) 33 o está en el I cuadrante

c) 75 o œ 75 o$' ! 9 œ #)&9 está en el IZ

cuadrante

Una de las Aplicaciones de los Angulos dados en radianes se refiere a la velocidad angular .

Observe que cuando una rueda gira alrededor de su eje a una velocidad constante, el número deradianes que se recorre por unidad de tiempo un radio fijo sobre la rueda se denomina velocidad angular dela rueda.

La letra griega = (omega) con frecuencia se usa para denotar la velocidad angular (en radianes ).Si una rueda de radio r unidades gira sin patinar siguiendo una trayectoria recta, entonces la velocidad enel centro está dada por la fórmula. @ es velocidad lineal

@ œ < Þ =

Eje m pl o :

Una correa de transmisión conecta una polea de radio 2 pulgadas con otra de radio de 5 pulgadas.Si la polea mayor gira 10 radianes. ¿Cuántos radianes girará la más pequeña ?

Respuesta

Cuando la polea mayor gira 10 radianes , el punto P sobre la circunferencia mayor se moverá lamisma distancia ( longitud de arco ).

Para la polea mayor los datos son ,

< œ & pulgadas= œ "! radianes

luego @ œ &Þ "!@ œ & ! pulgadas

Entonces para la rueda menor se tienen los siguientes datos

146

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mailto:@%C5%93

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93

mailto:@%C5%93



@ œ & ! pulgadas< œ # pulgadasA œ ?

@A œ Ê A œ œ #& radianes&!

< #

Por lo tanto la polea menor girará #& radianes

Ejercicios

La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de 40 cm y la trasera 60 cm. ¿Qué ángulo"Ñen radianes gira la rueda delantera, si la trasera gira 8 radianes?.

Suponga que la rueda de un automovil tiene un diámetro "Þ & pies, cuya frecuencia es de 1600# Ñrpm (revoluciones por minutos)

a) Encuentre la velocidad angular de la rueda b) Encuentre la velocidad lineal de un punto T de la periferia de la rueda

Sea el siguiente winche de diametro 3 pies$ Ñ

a) Determine el desplazamiento de la carga de levante si la velocidad angular es(1Î%

b) Encuentre el ángulo de rotación (en radianes) del winche para eldesplazamiento anterior.

147

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mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!

mailto:@%C5%93%26!



Respuesta

1) 12# Ñ+) La rueda gira un ángulo de #1 en un minuto. El ángulo generado por la líneaST (S centro de la rueda) es A œ Ð"'!! Ñ #1 œ $#! !1 rpm.

b) @ œ <Þ A@ œ !Þ(& Ð$#!!1 Ñ œ #%!! 1 pies/mÞ

$ Ñ + Ñ @ œ #"1Î) A œ #"1Î"#

Funciones trigono m étricas de un ángulo en posición estándar o nor m al

Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo !, primero se coloca a éste en posiciónestándar y después se selecciona un punto P(x,y) sobre el lado final del recorrido, así como se muestra enla figura.

Definición :Suponga que el ángulo ! está en posición normal y además que P(x,y) es un punto sobre el lado

terminal de !. Si denotamos la distancia OP como < . Entonces se definen las seis funcionestrigonométricas en función de la abscisa x y la ordenada y.

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mailto:@%C5%93

mailto:@%C5%93

mailto:@%C5%93



El coseno de! se define como la razón B , es decir, B<cos ! œ<

El seno de ! se define como la razón C , es decir, sen ! œ C< <

La tangente de! se define como la razón C ß es decir, tan ! =B B

La cotangente de! se define como la razón B ß es decir, BCcot ! œC

La cosecante de! se define como la razón < ß es decir, <cosec ! œC C

La secante de! se define como la razón < ß es decir, sec !<BœB

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONO M ETRICAS SEGUN EL CUADRANTE

Los signos de las Funciones Trigonométricas depende8 del cuadrante donde se encuentren . Así

- Primer Cuadrante

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje\, así que lo denominaremos"B"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje ] , lo llamaremos "C". La hipotenusa, que es el radio de lacircunferencia, la designaremos "<".

Ya que "B", "C", "<", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en elcuadrante son positivas.

primer

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GG

Segundo C uadran te

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las \, mientras que elcateto opuesto sigue sobre el eje positivo de las ] . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todoslos cuadrantes. Por lo tanto: el seno y la cosecante son positivas y el coseno, la tangente y sus recíprocas

(secante y cotangente) tienen resultados negativos.

Tercer Cuadrante

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signosnegativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes \ e ] respectivamente. En este caso la

tangente y la cotangente son positivas. El seno y el coseno ( y sus recíprocas, cosecante y secante ) son

Cuarto Cuadrante

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las X, mientrasque el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultadoserá positivo son el coseno y la secante.

150

O M E Z

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Por lo tanto, Consideramos un círculo de radio “<” dividido en cuatro cuadrantes (M ,M M ,M MM yMZ ) por un sistema rectangular de coordenadas cuyo origen se hace coincidir con el centro del círculo.Sea un ángulo ! medido desde el semieje horizontal positivo en sentido antihorario. Las proyeccionesrectangulares del lado terminal determinan en cada cuadrante un triángulo rectángulo de hipotenusa "<w w

Usaremos las definiciones anteriormente vista de la Funciones Trigonométricas y las llevaremos a untriángulo rectángulo ,como se ve en la figura. Observe que los catetos adyacentes y opuestos varían segúnsea la ubicación del ángulo :

Para !

cateto opuesto +El seno de! œ , es decir, sen ! œ

hipotenusa -cateto adyacente ,

El coseno de! œ , es decir, cos ! œhipotenusa -

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cateto opuesto +La tangente de! œ ß es decir, tan ! =

cateto adyacente ,

cateto adyacente ,La cotangente de! œ ß es decir, cot ! œ

cateto opuesto +

hipotenusa -La cosecante de! œ ß es decir, cosec ! œcateto opuesto +

hipotenusa -La secante de! œ ß es decir, =/- ! œ

cateto adyacente ,

Eje m plo

Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas, si el punto P( $ß %Ñ pertenece al lado terminal del ángulo asociado.

El triángulo de referencia es :

Para encontrar c, lo determinamos a través del Teorema de Pitágoras.

+ #, # œ - #

% # $ # œ - #

"' * œ -#

#& œ - #

& œ -

% $sen! œ cos! œ

&

%

&

$tang ! œ cotang ! œ

$

&

%

&cosec ! œ sec! œ

% $

152

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Pero a cada función hay que llevarla al cuadrante , en este caso el tercero, por lo tanto, van acambiar de signo todos excepto la tangente y la cotangente

% $sen! œ cos! œ

& &

% $tang ! œ cotang ! œ$ %

cosec ! œ & &

sec! œ % $

Ejercicios

Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas, si los puntos P pertenecen alM Ñ lado terminal del ángulo asociado.

a) T Ð "ß , Ñ T Ð # ß & Ñ

c) T Ð&ß # Ñ . Ñ T Ð $ß

M MÑ + Ñ Sabiendo que =/8 !del segundo cuadrante.

œ % Î&, calcule las demás razones trigonométricas de ! sabiendo que es un ángulo

, Ñ Sabiendo que -9= ! = "Î#, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de

M M M Ñ Calcule las siguientes expresiones:

+) & -9= ! # =/8 ! -9>1 ! ß si =/8 ! œ !ß '

,) # =/8 ! -9= ! # -9=/- ! ß si =/-

RespuestaI)+ Ñ =/8 ! œ $ ß -9= ! œ " ß >+81 ! œ $È"! È"!

È"! È "-9=/- ! œ ß =/- ! œ "! ß -9>+81 ! œ$$

& ß # ß &,Ñ =/8 ! œ -9= ! œ >+81 ! œÈ#* È#* #

È#* È#* #-9=/- ! œ ß =/- ! œ ß -9>+81 ! œ&& #

# ß -9= ! œ & ß >+81 ! œ #-Ñ =/8 ! œ È#* È#* &

È#* È#* &-9=/- ! œ ß =/- ! œ ß -9>+81 ! œ ## &

153

V I R

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' ß -9= ! œ $ ß >+81 ! œ .Ñ =/8 ! œ È% & È% &

È% & È% & "-9=/- ! œ ß =/- ! œ ß -9>+81 ! œ #' $

M M M Ñ

% $ %+) =/8 ! œ ß -9= ! œ ß >+81 ! œ

& & $

& & $-9=/- ! œ ß =/- ! œ ß -9>+81 ! œ

% $ %

È$ " È,) =/8 ! œ ß -9= ! œ ß >+81 ! œ $# #

# "-9=/- ! œ ß =/- ! œ # ß -9>+81 ! œ

È$ È$

M Z Ñ + Ñ %ß "$$$ÞÞ, Ñ !ß !(($&

Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se obtienen las relaciones llamadas también

recíprocas.

1 1=/8 ! = -9= ! =

-9=/- !

1

=/- !

1>+1 ! = -9=/- ! =-9>1 ! =/8 !

1 1=/- ! = -9>1 ! =

-9= ! >+1 !

Supongamos que necesitamos determinar un ángulo conociendo sólo el valor de él a través de unafunción trigonométrica. Por ejemplo , usted sabe que

=/8 ) œ !ß )%)

154

V I R

G I N I O G O M E Z




Para determinarlo usted debe hacer uso de su calculadora científica y usar la función INV de ella.

Pero OJO, fíjese si esta está en modo rad Ðradianes ) o deg (grados sexagesimales

Eje m plo

=/8 ) œ !ß )%) Ê

en deg :en rad:

) œ & (ß ** 9

) = 1, 012 <+.

Ejercicios

Determine el ángulo ) si se sabe que Ðdetermine el ángulo en radianes y en grados sexagesimales,2 decimales aproximados)

"Þ -9= ) œ !ß * 'Þ -9>+1 ) œ #ß

#Þ >+81 ) œ #ß (% (Þ =/- ) œ $ß

$Þ -9=/- ) œ "ß " & &

%Þ =/8 ) œ !ß **'

&Þ -9=/- ) œ "ß "#

Respuesta

9 9"Þ ) œ 1'! $Þ ) œ '!

) œ #ß (* <+. ) œ "ß !& <+.

9 9#Þ ) œ #*! %Þ ) œ )&

) "ß ## <+. ) œ "ß %) <+.

) œ '$9

) œ "Þ"! <+.'Þ ) œ #&9

) œ !ß %$ <+.&Þ

155

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INV




) œ ("ß &9

) œ "Þ#&(Þ

Proble m as con enunciado usando co m o referencia un Triángulo Rectángulo

Para encontrar un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen un ángulo y un lado, puedenutilizarse las funciones trigonométricas: una función y su recíproco . Al utilizar la calculadora se eligen lasfunciones seno, coseno y tangente, ya que estas funciones están representadas en las teclas de ella.

Eje m plo:

2Sabiendo que >+1 '! ! œ

$%!

>+1 '! ! † $%! œ 22 œ &))ß * -7

Eje m plo

Un cable de sujeción, se amarra a 12 m de la base de un mástil, y el cable forma un ángulo de 15 o

con el suelo¿Cuánto mide dicho cable?

Determinamos el valor de B a través de sen 15 o = " # Þ Despejamos BB

y obtenemos B œ % 'ß $'% %

156

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G I N I O G O M E Z




GG

A N G U LOS DE ELE V A CION Y DE

Un ángulo de depresión es aquel que se forma desde la línea de vista horizontal del observador,hasta un objeto abajo de ésta.

Un ángulo de elevación es aquel que se forma sobre la horizontal y el objeto que se observa.

Ejercicios

") Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el

horizonte, calcular la altura del edificio.# Ñ Un árbol de 100 pies de altura proyecta una sombra de 120 pies de longitud. Encuentre el ángulo deelevación del sol

$) Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12 pies del edificio. ¿A qué altura está el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud si el ángulo queforma con el suelo es de 70 o ?

De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15 o .%)¿A qué distancia está el bote del faro?

Encuentre la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 20 0 a 40 o&)

cuando el observador avanza 75 m hacia la base de este.

Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino inclinado 20 o con respecto a la horizontal. ¿A qué')altura se encuentra con respecto al punto de partida?

() Un árbol quebrado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si la parte quebradahace un ángulo de 50º con el suelo y si la copa del árbol esta ahora a 6 metros de su base. ¿Qué altura teníael árbol?.

157

O M E Z

V I R

G I N I O




)) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del más bajo de 12 metros de alto, elángulo de elevación del borde del techo del más alto es de 40º. ¿ Cuál es la altura del edificio masalto.?

Dos caminos rectos se cortan bajo un ángulo de 75º . Hallar la mínima distancia de uno de ellos a* Ñuna estación de gasolina que está sobre el otro camino a 300 metros de la encrucijada.

"!Ñ Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros ríoabajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río (ver figura)

"") Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, siavanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

Un aeroplano parte de un aeródramo elevándose , formando un ángulo de"# Ñ8 o 40

,con la horizontal ¿a cuántos metros pasará de la cumbre de un cerro de 110 m situado a 1000 m del

aeródramo?

Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se encuentra una torre de 125 pies"$ Ñ

de altura. Desde lo alto de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado enla orilla opuesta es #) 9 % !ß

y desde la base de la torre el ángulo de depresión delmismo punto es ") 9 #!

ßÞ Calcule cuánto mide el ancho del río y la altura del

peñasco.

Un piloto mide los angulos de depresión de dos barcos los cuales son % !9 y &#914)Si el piloto está volando a una altura de $& !! ! pies.los dos barcos.

Encuentre la distancia entre

Respuesta

158

V I R

G I N I O G O M E Z




"Ñ

& 'ß !) 7!

# Ñ$ Ñ

$*ß )altura del edificio $$ :3/=longitud de la escalera $ &ß "# :3/=

2 œ % % (ß ) 57

2 œ % )ß # 72 œ "(" 7La altura del árbol es de 1',%8 metros.La altura del edificio mas alto es 27 metros.

%)

& Ñ'Ñ(Ñ)Ñ* Ñ"!Ñ

La mínima distancia es 291 metros.

""Ñ %" 7

"# Ñ $!ß &

"$ Ñ &)! : el río, "*# : el peñasco

159

V I R

G I N I O G O M E Z




14) 1003 p

APLICACIONES DE LA TRIGONO M ETRIA

Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así

como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, latorre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se apartaba cadavez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de & %ß ' m, aproximadamente. En "**! unobservador situado a %' m del centro de la

base de la torre, determinó un ángulo de elevación de &%º a la punta de la torre, el observador paradeterminar al desplazamiento ( hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de latorre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar eldesplazamiento de la torre.

En Óptica, la trigonometría se aplica en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una

placa de cierto material.En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo ysiguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenandomodificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

Volvamos ahora a la circunferencia. En la figura que se muestra a continuación, el círculo tieneun radio de 1unidad .

Usando semejanza de triángulo se puede observar que los triángulos A B´C´ y ABC sonsemejantes,por lo tanto no existe diferencia en cuanto al lugar del lado terminal del ángulo en que se alejaP . Usando este concepto definimos las funciones trigonométricas seno y coseno de la siguiente forma:

Como < œ " entonces

sen ! = C y -9= ! œ x

De aquí podemos ver que el sen !

el círculo unitario.y -9= ! son iguales a las coordenadas x e y del punto en

Es decir,Angulos C u adrantales

160

V I R

G I N I O G O M E Z

T ÐBß C Ñ œ T Ð-9=! ß =/8! Ñ




Un ángulo cuadrantal es aquel en el cual el lado terminal del ángulo coincide con un eje delsistema cartesiano. Estos ángulos son 0 º , *! º , ") ! º, #( ! º y $' ! ºen grados sexagesimales o bien entre 0 , 1 , 1 , 3 1 y # 1 en radianes.2 2

Coordenadas de puntos en un círculo unitario

Sea una circunferencia de ecuación B 2 + C 2 = 1, de centro el origen y radio unaunidad , entonces podemos asignar un punto P (Bß C) en la circunferencia.

Los ángulos cuadrantales los hacemos coincidir con lo ejes:

La tabla que resulta con los datos dados es:

2

Angulos especiales : $! º, % &º y '! ºExisten algunos ángulos especiales que mediante nociones geométricas simple permiten encontrar

los valores exactos de las funciones trigonométricas.Estos ángulos son $! º, %& º y '! º correspondientes a los números

1,

1,

1respectivamente.

6 4 3

En la siguiente figura se muestra un ángulo de 30 º en posición estándar Por conveniencia, el punto T sobre el lado final del ángulo se tomó a una distancia de 2 unidades

del origen. Como el sector es parte de un cuarto de circunferencia se ve claramente que el radio de esta es2.

161

V I R

G I N I O G O M E Z

ángulo ! º ángulo ! rad sen ! cos ! tang ! cosec ! sec ! cotang !

0 º=360 0 0 0 1 0 indeterm. 1 indeterm.90 º 1

2 1 0 indeterm. 1 indeterm. 0180 º 1 0 " 0 indeterm. " indeterm.270 º 3 1 " ! indeterm. " indeterm. 0




El triángulo que así se forma es rectángulo y por Teorema de Pitágoras podemosdeterminar todos los lados de él.

B # C # œ < #

B # " œ # #

B # " œ %

B # œ $B œ È$

Completando el triángulo con los datos encontrados, tenemos

Usando las definiciones de las funciones trigonométricas determinadas anteriormente tenemos que:

È$cos $! º œ cos 1 œ6 #

sen 30 º = sen 1 "œ6 #

Para un ángulo de 60 º se utiliza el mismo hecho geométrico

En la figura se muestra un ángulo de 45 º en posición estándar. El triángulo rectángulocorrespondiente es isosceles de lado 1 unidad de modo que se puede asociar el punto P ("ß "Ñ como el

punto P sobre el lado final. Encontraremos el radio r de la circunferencia a través del Teorema dePitágoras.

162

V I R

G I N I O G O M E Z




VV

B # C # œ < #

" " = < #

œ < #

œ <#È#

Completando el triángulo

De aquí se tiene que:

cos 45 º œ cos1

=" sen 45º œ sen

1=

"y

% È2 % È2

Resumiendo

Completaremos la siguiente tabla con las seis funciones trigonométricas para los'! º y %& º.

ángulos de $! º,

Ejercicios

Sin usar calculadora, demuestre las siguientes igualdades

1 1+ Ñ % =/8 È# -9= -9= 1 œ #

' %

163

I R G

I N I O

G O M E Z




#1 1 1, Ñ # È$ =/8 % =/8 # =/8 œ $

$ ' $

¿Pero podemos usar esta información para determinar otros ángulos ?Sí, pero para ésto es necesario conocer otro concepto, que es el de ángulo de referencia y el

cual definiremos a continuación.

Angulos de referencia

Para encontrar las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera, se usa un ángulo dereferencia del primer cuadrante, agudo y positivo, el cuál considera el lado inicialcon el semieje positivo de las X y el lado terminal queda en el primer cuadranre.

Este ángulo se asocia a un triángulo de referencia que es rectángulo.

Este ángulo es de referencia para los siguientes ángulos:

Eje m plo 1

Use un ángulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas para "$& º.

Respuesta

El ángulo de 135 º es un ángulo del segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo de referencia autilizar es el de 45 º, ya que

180 º - 135 º œ 45 º

164

V I R

G I N I O G O M E Z




Por lo tanto determinaremos las seis funciones trigonométricas para el ángulo de 45 º , perorecuerde , el ángulo 135 º está en el segundo cuadrante, y ésto incide en el signo de la función.

" Ê =/8 "$& 9 = " =/8 45º œ È2 È2

" Ê -9= "$& 9 = " -9= 45 º œ È2 È2

>+1 45 o

-9>1 %& 9

Ê >+1 135 o = 1

Ê -9>+1 135 o =

= 1

œ "

cosec 45 o = È2 Ê cosec 135 o = È2

=/- 45 o = È2 Ê =/- 135 o =

Eje m plo 2

Use un ángulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas para 930 º

Respuesta:

Se observa que el ángulo de 930 º es mayor que 360 º, luego se le debe restar a éste cualquier múltiplo de 360 º , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas.entero

930 º 2 . 360 º œ 210 º

El ángulo de 210 º se encuentra en el III cuadrante

El ángulo de referencia es el de 30 º ya que 210 º 180 º œ $!luego las seis funciones trigonométricas son para este ángulo son

È$ß

È$=/8 $! ! œ " ß -9= $! ! œ >+81 $! ! œ# # $

# È$ ß-9=/- $! ! œ #ß =/- $! ! œ -9>+1 $! ! œ È$$

165

V I R

G I N I O G O M E Z




Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces cambiamos los signos C elángulo original

-9= #" ! ! œ $ È$=/8 #"! ! œ " ß >+81 #" ! ! œ# # $

# È$ ß-9=/- #" ! ! œ =/- #" ! ! œ -9>+1 #" ! ! œ$

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, encuentre el ángulo de referencia ! y determine las seis funciones"Ñtrigonométricas .

+ Ñ $! ! º=, Ñ $"& o =

- Ñ #%! 9 =. Ñ "#! 9 ==/ Ñ $! ! 9

Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ángulos de referencia# Ñ

&1 $1 (1+ Ñ =/8 -9= =/8

% % %

, Ñ -9= &1 >+1 %1

>+1$ $ '

-Ñ È$ -9= 1

=/8 1

È# -9= 1

# È$ =/8' ' % $

Respuesta

9+Ñ Angulo de referencia : '!

È$ß=/8 $!! ! œ -9= $!! ! œ " ß >+81 $!! ! œ # #

-9=/- $! ! ! œ # ß =/- $! ! ! œ # ß -9>+1 $! ! ! œ "È$ È$

9,Ñ Angulo de referencia %&

È#ß

È#ß=/8 %& ! œ -9= % &! œ >+81 % &! œ "# #

-9=/- %& ! œ # ß =/- %& ! œ # ß -9>+1 %& ! œ "È# È#

È# $ %È$# Ñ + Ñ , Ñ - Ñ

# '

166

V I R

G I N I O G O M E Z




GG

FUNCIONES TRIGONO M ÉTRICAS DIRECTASFUNCION SENO

FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

167

O M E Z

V I R

G I N I O




VV

Recuerde que para hacer la gráfica de una función cualquiera, se construye primero una tabla devalores de los pares ordenados asociados ( B ß C ), después se marcan los puntos correspondientes y por último se unen los puntos con una curva suave.

¿Qué pasa con las funciones trigonométricas?

¿y será necesario graficar toda la curva para así determinar su forma?

No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, periódicas y cada periodo recibe elnombre de un ciclo y basta con saber las caracteristicas de este ciclo.

FUNCION SENO

¿Cuál es un ciclo de la función seno ?Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre los

puntos ( !ß ! Ñ y ( #1 ß ! Ñ y el punto medio de él es el punto Ð1ß ! Ñ Þ

Ahora, resumiremos las propiedades de la función seno a través de un ciclo de la función.

1)2)

$ Ñ% Ñ

La función seno es periódica, con periodo #1Para cualquier valor dado a x, la solución se encuentra entre [ "ß "Ó Þ

El seno de x es igual a cero cuando x œ ! 9 x œ 1El seno es una función impar, por lo tanto, su gráfica es simétrica conrespecto al origen.sen ( x ) = senla función seno decrece entre y 3 11& Ñ

6)2 2

La función crece entre 0 C $ 1 2 1y 12 2

Toda función real de la forma

168

I R G

I N I O

G O M E Z




con a , b , c y d − ‘

se llama función SINUSOIDAL O SINUSOIDE

¿Cambia el gráfico según sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ?Si, y veremos cada uno de los casos

1 º CASO

Si - œ . œ !, entonces , la función toma la forma

Como y = sen x es periódica, de periodo 2 1 y su gráfico tiene la mayor ordenada que es 1,cuando

B œ 1 „ # 5 1, entonces, la función 0 ÐB Ñ œ + =/8 ,B , suponiendo que a ! b !#

es también periódica repitiéndose cada vez que ,B bvaría en una longitud 2 1 , es decir, cuando x varía2 1 .

2 1 ben una longitud Su periódo es entonces b

w w+ww es la mayor ordenada o máximo de la función y se llama amplitud de la funciónSi + !, el ciclo comienza sobre el eje \Si + !ß el ciclo comienza abajo del eje \

Eje m plo 1

Sea la función C œ $ =/8 1 B . Graficar #

Respuesta

Amplitud : + œ $ß + !

Periodo :

2 1 , en este ejercicio , œ 1 luego el periodo es 4 b #

ì Conviene graficar en el eje positivo de las xì Los extremos son ( !ß ! Ñ y ( %ß ! Ñ de un periódoì El punto medio es ( # ß ! Ñ de un periódoì El valor máximo lo toma en el punto medio entre ( 0ß !Ñ y ( #ß !Ñ ß es decir Ð "ß ! Ñ

¡¡ OJO !!

Como la función seno es impar , se tiene que:

C œ + =/8 Ð , B Ñ œ + =/8 Ð ,B Ñ, entonces el gráfico

C œ $ =/8 1 B es el simétrico del de $ =/8 Ð 1 B# #

169

V I R

G I N I O G O M E Z

0 Ð B Ñ œ + =/8 , B

0 Ð B Ñ œ + =/8 Ð,B - Ñ .




G

Observe los gráficos siguientes

¿Qué puede decir de ellos?. ¿En qué se diferencian 0 ÐB Ñ y 1 Ð BÑ?

2 º CASO

Si . œ !, entonces , la función toma la forma

El gráfico de esta función es similar al de 0 ÐB Ñ œ + =/8

0 ÐB Ñ œ ! cuando,B - œ !ß

B œdespejamos x

-,

Este valor recibe el nombre de FASE y representa el número de unidades que se debe trasladar el

gráfico de C œ + =/8 ( , B + c ) a lo largo del eje x, para obtener el gráfico de l a función.Esta traslación también se llama desplazamiento horizontal.

Si - ! , la traslación es hacia la izquierda,

si - ! , la traslación es hacia la derecha,

Eje m plo 2

Graficar C œ # =/8 Ð #B 1

Respuesta

Amplitud + œ #Periodo : 2 1 , en este ejercicio , œ 2 luego el periodo es 1 bFase:

#B 1 œ !#B œ 1B œ 1 como este valor es positivo, la traslación es hacia la derecha#

170

O M E Z

V I R

G I N I O

0 Ð B Ñ œ + =/8 Ð, B -




En el gráfico , la línea continua muestra el periódo que se repite a lo largo de todo el eje.

Eje m plo

Grafique =/8 Ð B 1 Ñ

Respuesta

Amplitud : + œ "Periodo : 2 1 , en este ejercicio , œ "

B 1 œ !B œ 1

luego el periodo es #1 bFase

Gráfico

3 º CASO

Si la función toma la forma con a , b , c y d − ‘

El valor de "d" traslada el gráfico en forma vertical

Si . ! , el gráfico se desplaza hacia arriba dunidades

171

V I R

G I N I O G O M E Z

0 Ð B Ñ œ + =/8 Ð,B - Ñ .




Eje m plo

Graficar C œ # =/8 Ð # B 1 Ñ $

Respuesta

Amplitud : + œ #Periodo : 2 1 , en este ejercicio , œ # luego el periodo es 1 bComo + ! , el gráfico igual al anterior , pero es simétrico a él.

Eje m plo

Grafique C œ " =/8 B

Respuesta

Amplitud : + œ "Periodo : 2 1 , en este ejercicio , œ " luego el periodo es #1 bEsta función es similar a la de C œ =/8B , pero se traslada 1 unidad hacia arriba

172

V I R

G I N I O G O M E Z




Ejercicios

Grafique las siguientes funciones

a) C œ # =/8

1,Ñ C œ $ =/8 Ð#B Ñ#

- Ñ C œ $ =/8 # B

.Ñ C œ 2 sen " B#

/Ñ En la figura se muestra el encefalograma de un cerebro humano durante un sueño profundo.[ que se registran corresponde a la función[ œ + =/8 Ð,B - ÑÞ¿Cuál es el valor de ,

Las ondas

Respuesta

173

V I R

G I N I O G O M E Z




e) , œ #1

Otras formas de ecuaciones son...

Función sinusoidal de la for m a 0 ÐB Ñ œ + = / 8 B , -9= B

Para resolver las gráficas es conveniente estudiar el siguiente teorema

Teore m a :

Para valores cualquiera de a , b y c existen números A y ! tales que

7 =/8 - B 8 -9= - B œ E =/8 Ð - B

en donde E œ 7 # 8 # ß de aquí podemos resolver aún más la expresión , como

174

V I R

G I N I O G O M E Z




E œ È+ # , / À E #

+ # , #" œ E # E #

#

ˆ , ‰#

" œ ˆ + ‰ por lo tanto el punto de coordenadas P ˆ + , , ‰ pertenece a laE E E E

circunferencia unitaria , luego:

=/8 ! œ , +E-9= ! œE

La gráfica entonces corresponde a la función C œ E =/8 Ð- B !

Eje m plo

Graficar 0 Ð B Ñ œ # =/8 B & -9=

Respuesta

+ œ #, œ &- œ "

luego E œ # # & # œ #* ¸ &ß

& ß ! œ ') º=/8 ! œ È#*

en radianes los 68 º se tranforman a "Þ "*

La fase es "Þ"*Periodo #1

La gráfica es:

Eje m plo . / aplicación

Dos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, en función del tiempo por las ecuaciones

3 " œ È$ =/8 "#! 1 B3 # œ -9= "#! 1

175

V I R

G I N I O G O M E Z




Si la corriente del segundo se añade a la del primero, determine las corrientes máximas, cuándoocurre y la fase producida.

Respuesta

El total de corriente está dado por la ecuación

3 œ 3 " 3 # œ È$ =/8 "#! 1 B -9= "#! 1

+ œ È$, œ "- œ "#! 1

E œ É ÐÈ$ Ñ # Ð " Ñ # œ È% œ #

È= "El punto P tiene coordenadas P Š 2,

# ‹Þ Así

È3"=/8 ! œ C -9= ! œ 2#

por cualquiera de las dos formas trigonométricas es posible determinar el valor del ángulo. Como ! estáen el IV cuadrante ! œ 1

'

Por lo tanto el total de corriente puede representarse por la ecuación.

A =/8 Ð -B ! Ñ# =/8 ˆ "#! 1 B

1'

Se deduce que la corriente máxima es 2 y que la fase es:Þ Þ Þ Þ

"#! 1 B

1

œ'

"#! 1 B œ 1'

B œ 1 "#! Þ1Þ '

B œ " (#!

" unidades de tiempo.(#!

x = 1 + k El valor máximo de i ocurre cuando 5 − ™180 360

Gráfico:

176

V I R

G I N I O G O M E Z




E j/rcici o s

Construya la gráfica de:

"Ñ C œ =/8 B # -9=

# Ñ C œ =/8 B -9=

3 Ñ C œ =/8 B # -9=

Respuesta

"Ñ

+ œ ", œ #- œ "

E œ È& ¸ #ß #$

=/8 ! œ œ#

œ '$ º,

E È&

luego la función queda E =/8 Ð-B !È& =/8 Ð B '$ º

Amplitud œ È&Fase : B '$ º œ !

B œ '$ º

Desplazamiento a la izquierda

177

V I R

G I N I O G O M E Z




$ Ñ

RELACIONES BASICAS E IDENTIDADES

Anteriormente habíamos visto algunas relaciones llamadas Recíprocas, ahora vamos a ver otras más y quenos servirán para el posterior desarrollo del curso.

Relaciones Recíprocas

178

V I R

G I N I O G O M E Z




Relaciones de cuocientes

Relaciones Pitagóricas

sen2 x + cos

2 x

1 + tag 2 x

1 +cota2 x

= 1

= sec2 x

= cosec2 x

Ejercicios

Determine el valor de la siguiente expresión usando relaciones pitagóricas

CSi B œ -9= E y =/8 E œ , determine el valor numérico de #& B # C #"Ñ

&

Si =/8 "# ° = 0,2 y =/8 $(° = 0,6, hallar (usando las fórmulas anteriores y sin usar calculadora)# Ñ+ Ñ cos 12° , Ñ tg 12° -Ñ cos 37° -Ñ tg 37°.

Respuesta

"Ñ #&

Con frecuencia es conveniente transformar o reducir una expresión dada que utilice funcionestrigonométricas en otra función más sencilla.

Se llaman IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS a igualdades en las que aparecen expresionestrigonométricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ángulos siempre se verifican.

179

V I R

G I N I O G O M E Z




Una identidad trigonométrica se verifica transformando alguno de los lados de la igualdad, usandoalgunas de las identidades vistas anteriormente.

Si la igualdad se verifica , entonces decimos que la expresión es una identidad, lo cual la cual sesimboliza por " ´ "

Eje m plo

Verifique la identidad

>+81 B Þ -9= B œ =/8 B

Desarrollaremos el lado izquierdo para llegar al derecho

>+81 B Þ -9= B = =/8 B Þ -9= B ´ =/8 B-9= B

Por lo tanto >+81 B Þ -9= B ´ =/8 B

Ejercicios

Demuestre que las siguientes igualdades son identidades

=/- B =/8 B " -9= B"Ñ ´ =/8 B # Ñ ´

-9>+81 B >+81 " -9= B =/8 B

" =/8 B -9= B-9=# C =/8 # C ´ # -9= #C$ Ñ %Ñ ´

-9= B " =/8 B

=/- #! Þ -9=/- # ! ´ =/- #

! -9=/-&Ñ

-9=/- # E -9= # E ´ " -9= #E' Ñ

" " #(Ñ ´ # =/- F" =/8 F " =/8

>+8 B =/8 =/- B)Ñ ´

=/8 $ B " -9= B

-9= E Þ -9>1 E =/8 E Þ >+8* Ñ ´ " =/8 E Þ -9=

-9=/- E =/- E

180

V I R

G I N I O G O M E Z




=/8 B -9= B " =/8 B ""!Ñ ´

=/8 B -9= B " -9= B

""Ñ =/8 B Þ =/- B ´ >+81

"# Ñ Ð" -9= B Ñ Ð " =/- B Ñ Þ -9>+81 B ´ =/8

=/8 > -9= >"$ Ñ ´ "-9=/- > =/- >

>+81 # B Þ -9=/- #B Þ -9= #B ´" % Ñ

" =/- # > %" & Ñ ´ >+1 >" -9=/- #

Ð>+1 E -9>1 E Ñ # ´ =/- #E -9=/- #E"' Ñ

FUNCIONES TRIGONO M ETRICAS DE DOS ANGULOS

1) FORMULAS PARA LA SUMA

=/8 Ð ! " Ñ œ =/8 ! -9= " -9= !

-9= Ð! " Ñ œ -9= ! -9= " =/8 ! =/8

>+81 ! >+81 ">+81 Ð! " Ñ

" >+81 ! >+81 "

2) FOR M ULAS PARA LA DIFERENCIA

=/8 Ð ! " Ñ œ =/8 ! -9= " -9= !

-9= Ð! " Ñ œ -9= ! -9= " =/8 !

>+81 ! >+81 ">+81 Ð! " Ñ

" >+81 ! >+81 "

$ Ñ FOR M ULAS PARA EL DOBLE DE UN ANGULO

=/8 # ! œ =/8 Ð ! ! Ñ œ =/8 ! -9= ! -9= ! =/8 ! œ # =/8 !

-9= # ! œ -9= ! -9= ! =/8 ! =/8 ! œ -9= # ! =/8

>+81 ! >+81 ! # >+81 !>+81 Ð! ! Ñ œ

" >+81 ! >+81 ! " >+81 # !

4) FOR M ULAS PARA EL ANGULO M EDIO

" -9= !=/8 "

! œ „ Ê# #

" -9= !-9= " ! œ „ Ê# #

181

V I R

G I N I O G O M E Z




" -9= ! =/8 ! " -9= !œ>+81 "

#! œ „ œÊ

" -9= ! " -9= ! =/8 !

Eje m plo

Compruebe que =/8 Ð %& 9 ! Ñ =/8 Ð %& 9

! Ñ œ È# =/8 ! , utilice la información

Respuesta

=/8 Ð %& 9! Ñ =/8 Ð %& 9

! Ñ

œ Ð=/8 %& 9 -9= ! =/8 ! -9= %& 9 Ñ Ð=/8 %& 9 -9= ! =/8 ! -9=

È# È# È# È#œ -9= ! =/8 ! -9= ! =/8 !

# # # #

È#œ # =/8 !

#

Ejercicios

1) Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, hallaCalcule, a partir de ellas,

=/8 %* ° , Ñ =/8 25° -Ñ -9= %* ° . Ñ -9= 25°+ Ñ

utilizando las fórmulas dadas anetriormenteCompruebe que# Ñ

>+81 ! =/8 # ! œ # =/8 #+ Ñ

,Ñ -9>+81 ! =/8 #! œ " -9= #

" -9= # !- Ñ œ -9>+81 !

=/8 #!

-9= ! œ =/8 Ð ! $!9 Ñ -9= Ð! '! 9. Ñ

$ Ñ Verifique que

-9= # B œ -9= % B =/8+ Ñ

182

V I R

G I N I O G O M E Z




=/8 $ B -9= $ B" " =/8 # B œ,Ñ # =/8 B -9=

- Ñ 1 + >+1 B >+1 #B œ =/-+ # B

=/8 ÐE

.Ñ œ >+1 E >+1-9= E -9= F

-9= Ð+ , Ñ -9= Ð+ "/Ñ œ

=/8 Ð+ , Ñ =/8 Ð+ , Ñ >+1 +

#=/8 + =/8 " -9=+0 Ñ œ

#=/8 + =/8 #+ " -9=

#=/8 + =/8 # +1 Ñ œ >+1

#=/8 + =/8 #

FOR M ULA PARA LA SU M A Y DIFERENCIA DE ANGULOS

"Ñ PRODUCTO DE SENO Y COSENO

=/8 ! -9= " œ "Ò =/8 Ð ! " Ñ =/8 Ð! #

-9= ! =/8 " œ "Ò =/8 Ð ! " Ñ =/8 Ð! #

-9= ! -9= " œ "Ò -9= Ð ! " Ñ -9= Ð! #

=/8 ! =/8 " œ "

Ò -9= Ð ! " Ñ -9= Ð! #

SU M A Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS# Ñ

=/8 E =/8 F œ # =/8 " ÐE F Ñ -9= " ÐE # #

=/8 E =/8 F œ # -9= " ÐE F Ñ =/8 " ÐE # #

-9= E -9= F œ # -9= " ÐE F Ñ -9= " ÐE # #

-9= E -9= F œ #=/8 " ÐE F Ñ =/8 " ÐE # #

Apliquemos estas igualdades en los siguientes ejercicios

183

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo "

Exprese =/8 40 o -9= 30 o como suma o diferencia de ángulos

Solución

=/8 40o

-9=s 30o

œ

"Ò

=/8 Ð %!

9

$!

9

Ñ =/8 Ð%!

9

$!

9

ÑÓ

#

œ "Ò =/8 (! 9

=/8 "! 9#

Eje m plo 2

Exprese =/8 50 o + =/8 40o como producto

Solución

=/8 50 o + =/8 40o = # =/8 " Ð &! 9 %! 9 Ñ -9= " Ð &! 9 %! 9 Ñ œ # =/8 %& 9 -9 # #

Eje m plo $

Si el seno de cierto ángulo vale &Î( y se sabe que el ángulo pertenece al $ º cuadrante, calcular las razones trigonométricas del ángulo doble (para el =/8#! ß -9=#!ß >+1 #! y del ángulo mitad de esteángulo.

Solución

Para aplicar las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad necesitamos conocer el coseno y latangente del ángulo.

-9= ! œ " =/8 #

(En esta fórmula consideramos el signo negativo de la raíz puesto que los ángulos del tercer cuadrantetienen coseno negativo)

È# %

&È#%Tenemos así que el coseno vale -9= ! œ y >+1 ! œ

( #%

Aplicando las fórmulas dadas por la teoría:È# % "!È# %

=/8 # ! œ # =/8! -9=! œ # † & † œ( ( %*

# % #& "-9= # ! œ -9= #! =/8 # ! œ œ

%* % * % *

& È#%## >+1 ! # % È>+1 #! œ œ œ "! # %" >+1 # ! #

& È#%" Š ‹# %

para el ángulo mitad tomamos en las fórmulas los signos convenientes (pertenecerá al segundocuadrante)

184

V I R

G I N I O G O M E Z




"#%

( #%! Ë ( =/8 Š ‹ œ œ Ë

# # "%

"È#%

( È#%! Ë ( -9= Š

‹œ œ

Ë# # "%

Í Í " (

Í (= =>+1 ˆ ! ‰ œ Ë

( È#%# Ì " (

Ejercicios

"Ñ Exprese como suma o diferencia de ángulos

a) -9= ""! 9 =/8 && 9

-9= &! 9 -9= $& 9 b)

=/8 && 9 =/8 %! 9- Ñ

Exprese como producto# Ñ

=/8 (! 9 =/8 #!+ Ñ

-9= && 9-9= #& 9

, Ñ

- Ñ

$Ñ Si el seno de cierto ángulo vale #Î" ! y se sabe que el ángulo pertenece al # º cuadrante,calcular las razones trigonométricas del ángulo doble (para el =/8#! ß -9=#!ß >+1 #! y del ángulo mitadde este ángulo.

%Ñ Demuestre que

=/8 $B =/8 Bœ

#(ref: use la fórmula de suma de senos)

=/8 $B =/8 B " >+1 #

Respuesta

"Ñ+) "

Ò =/8 "'&9 =/8 && 9 "

Ò -9= )&9 -9= "& 9,)# #

"Ò -9= *&9

-9= "&- Ñ #

# Ñ

9 9 9 9+ Ñ # -9= %& =/8 #& , Ñ # -9= %! -9= "&

185

V I R

G I N I O G O M E Z




9 9- Ñ # =/8 && =/8 Ð #! Ñ

TRIANGULOS NO RECTANGULOSUn triángulo no rectángulo o triángulo oblicuo, es aquel que no contiene un ángulo recto. En

este tipo de triángulos, los tres ángulos son agudos, o bien dos de sus ángulos son agudos y uno obtuso.

Se ha convenido en llamar A, B y C a los ángulos y +ß , y - a los lados del triángulo.

Anteriormente vimos como se resuelven problemas usando como referencia triángulosrectángulos, ahora resolveremos problemas usando cualquier tipo de triángulo.

Resolver un triángulo, consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ángulos, para ésto es necesario conocer al menos tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente es un lado.

LEY DE LOS SENOS

En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante;

esto es:

Este teorema se aplica cuando en un triángulo dado se conocen:

186

V I R

G I N I O G O M E Z




GGVeamos una aplicación de este teorema en cada uno de los casos dados

Eje m plo Caso I

A= 112o 20,

C = 42o 10,. DetermineEn el triángulo ABC, a = 62.5,

B y los lados b y c

y

Respuesta

Para encontrar B, se determina a través de la relación : la suma de los tres ángulosinteriores de un triángulo es 180o .

A ) = 180o " &% o $!, œ #&

9 $!B = 180o ( C +

Para determinar los lados , y - lo hacemos a través del Teorema del Seno

Para deter m inar ,

+ ,= ß reemplazando se tiene=/8 A =/8 Fß962.5 , 62.5 Þ =/8 #& $!

, = , œ œ #*Þ",o=/8 112 20 =/8 #& $!o 9 ß =/8 112 20

187

O M E Z

V I R

G I N I O




Para deter m inar -

62.5 -=

=/8 112 o 20,

=/8 %# 9 "!ß

62.5 Þ =/8 % #9 "!ß

- œ œ % &Þ %=/8 112 o 20

B = 25o 30,,Por lo tanto ,= 29.1 , -= 45.4

Eje m plo Caso II

A= $&o F = ')o .Dado el triángulo ABC, - = #& ,

G y los lados + y ,

y Determine

n G œ ") ! 9 F Ñ œ ((9E

9- =/8 E #& =/8 $&Para + = œ œ "&

=/8 G =/8 (( 9

#& =/8 ')9

, =- =/8 F

Para œ œ #%=/8 (( 9=/8 G

Eje m plo caso III

C= 55o 10,

Dado en el triángulo ABC, - = 628.5, , =480 , . Determine

A y B y el lado +

188

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

tOrientación

En navegación, la dirección marca el ángulo agudo que forma una recta con la recta norte- sur.

En la figura se ilustra una orientación W%!9 S

Una orientación R '& o I

U" :R #& 9I ß U# À R (! 9En la figura se muestran las coordenadas deU$ À W%! 9 S y U% À W&& 9I

189

V I R

G I N I O G O M E Z




Ejercicios

Represente en la figura

+ Ñ W #!9 I , Ñ R "&9 S

Respuesta

,

sen B = , sen G = 480 sen 55 0 10 = 380B: - 628

A = 180o( F + G ) = 86 o

9

Para a =

, =/8 E

œ

%)! =/8 )'

œ ('%=/8 F =/8 $) 9 &!

Ejercicios

Resuelva el triángulo ABC dado que + œ $"Þ& ß , œ & "Þ) C"Þ

A œ $$9 %!ß

ÞDetermine - ß F y G

190

V I R

G I N I O G O M E Z




A œ "$!9 %!ß

#Þ Resuelva el triángulo ABC dado que + œ & # &ß - œ % #" C

Determine : , ß F y G Þ

Sean A y B dos puntos localizados en las márgenes opuestas de un río. Desde$Þ

A se traza una línea AC = #(& 7 y se miden los ángulos CAB = "#& 9 % !ß

ß

ACB œ %)

9

&!

ß

Þ Encuentre la longitud AB.o

%Þ Un edificio está situado arriba de una colina con una pendiente de 15 deinclinación. El Sol está sobre el edificio con unángulo de elevación de 42 o .Encuentre la altura del edificio si éste proyecta una sombra de 36 pies de largo

Una torre forma un ángulo de 113 o12,con el plano inclinado sobre el cuál está&Þ

y desde una distancia de 89 m de su base medida hacia abajo del plano se ve latorre bajo un ángulo de 23 o 27

,. Clacular la altura de la torreÞ

Dos boyas están apartada por una distancia de 64,2 m y un bote está a 74,1 m de'Þ

la más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es deo ,

27 18 ¿Qué distancia hay del bote a la boya más alejada?

Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientaciónR '# 9I. Después de que el barco navega #&! 7>, la luz se encuentra aR %)9 IÞ Si el curso se mantiene igual ¿Cuál será la menor distancia entreel barco y la luz?

(Þ

)Þ Un satélite que orbita alrededor de la tierra pasa sobre dos estaciones deobservación, Phoenix y Los Angeles que estan a $%! millas una de otra. Encierto instante los ángulos de elevación son '!

9 y (& 9 respectivamente. ¿Adistancia se encuentra el satélite de la estación de Los Angeles?

Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio,* ÑA y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = %'9 yBCA œ &$9 . ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?

10) Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. ¿Cuánto distael globo del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está el globo?

191

V I R

G I N I O G O M E Z




Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan""Ñsus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de %! 9 y '&! .

¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?

Respuesta

9 ß 9 ßF œ '& %$ y"Þ - œ &' ß G œ )! $(

9 9#Þ , œ "% #Þ$( ß F œ ""ß )( y G œ $(ß %'

$Þ EF œ #" & *ß *

%Þ La figura pedida es

192

V I R

G I N I O G O M E Z




VV

Usando el Teorema del Seno, 2 œ #"Þ** :3/=

&Þ 2 œ & "ß '

'Þ . œ "#!ß $ 7

(Þ $%$ 7

)Þ %"' 736 6+=

*Þ 36,4 km y 40,4 km

10.- 25,2 m 26,9 m 24,3 m

""Þ 6,65 km dista de B 9,38 km dista de A

LEY DE LOS COSENOS

En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulocomprendido entre ellos; esto es

Este teorema se aplica cuando en un triángulo dado se conocen:

El caso M lo resolverá usted cuando se de un ejercicio tipo, resolvamos un ejemplodel caso M M

Eje m plo Caso M M

Dado en el triángulo ABC, a = $!Þ $ , , = % !Þ % y c =

193

I R G

I N I O

G O M E Z




Respuesta

Podemos determinar cualquiera de los tres ángulos con los datos dados

Determinemos A

+ # œ , #- # # ,- - 9=

Despejamos

, # - #

"'$#ß "' $*")ß (' *")ß-9= E œ œ œ !ß *"'

# † , † - # † % !ß % † '#ß '

9E œ #$ß '&

Para F :

9

-9= F œ !ß ) % % ( Ê F œ $#ß $

G : ") ! 9 Ð #$ß '& 9

$#ß $9 Ñ œ "#%ß !&Para determinar

Por lo tanto:

9 9 9E œ # $ß '& , F œ $#ß $ ß G œ "#%ß !&

Ejercicios

Determine los ángulos de un triángulo , si los lados son (ß ' y *

Respuesta

9 9 9E œ & !ß *) ß F œ % "ß (& ß G œ )(ß #(

194

V I R

G I N I O G O M E Z




E j e m p lo

Dos barcos parten de un puerto a las 7:00 a.m, uno viaja a 12 nudos (millasnáuticas por hora) y elotro a 10 nudos. Si el barco más rápido mantiene unaorientación de N47 o S y el otro barco mantiene una orientación de S20 o S,¿Cuál es su separación (a la milla náutica más cercana) a las 11:00 a.m de ese

mismo día?Respuesta

Como el tiempo transcurridos es de 4 horas, tenemos que:la distancia que recorre el barco más rápido es de 4 .12 = 48 millas náuticas del puerto y la distancia que recorre el barco más lento 4.10 =40 millas náuticas.

Usando estas distancias y las orientaciones dadas, podemos dibujar eltriángulo que se muestra en la figura .

Sea c la distancia que separa los barcos a las 11:00 a.m.

por Teorema del coseno, tenemos:

- # œ %) # %! # #Þ Ð % ) ÑÞÐ%! Ñ Þ -9=

G œ ") ! 9 %( 9 #! 9 œ ""

- œ ($ß & "

195

V I R

G I N I O G O M E Z




Ejercicios

Identifique las coordenadas de los puntos que se muestran en la figura"Þ

#Þ Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: + œ & 7ß

G œ %( º, œ % 7ß

$Þ Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: + œ #$ 7ß

F œ &$ º ß C œ )% º

4 En el mapa de un caminante el punto A queda a 2,5 pulgadas al oeste del punto By el punto C queda a 3,5 pulgadas de B y a 4,2 pulgadas de A, respectivamente.Encuentre la orientación de A hacia C y la orientación de B hacia C. El dibujosólo es referencial (el triángulo sólo es referencial)

Dos puntos inaccesibles A y B son visibles desde D, pero no hay otro puntodesde el cual ambos sean visibles. Se toma un punto C desde el cual puede verse

&

ACD 50 o 30,.ADC = 89 o ,A y D y se miden CD = 200 m ,

Después se toma un punto E desde el cual sean visibles D y B y se miden

196

V I R

G I N I O G O M E Z




BDE = 54 o 30,, BED = 88 0 30

,, desde D se mideDE = 200 m,

o ,ADB = 72 30 . Determinar distancia AB

6Þ Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientaciónR '# 9 "! ßI. Después de que el barco navega 250 m, la luz se encuentra a R %)9 #&ß IÞ Si elcurso se mantiene igual ¿Cuál será la menor distancia entre el barco y la luz?

En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de(Þlos postes del arco, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve el arco desde ese punto?

Respuesta

"Þ E À R (! 9Iß F À R %!9 Sß G W "&9 Sß H À W

F œ &" º %' ' # " ß E œ )" º "$ ' &)#Þ - œ $ß ( 7ß

$Þ E œ "!" º $# ' "$ "ß F œ %% º #% '&& "ß G œ $% º # ' &# "

R $$ß '' 9 IR #ß )# 9 O

4

5Þ 6 $#&ß * 7EF œ $ % &ß % &

60 !7.-

197

V I R

G I N I O G O M E Z




ECUACIONES TRIGONO M ETRICAS

Las ecuaciones trigonométricas son aquellas que se cumplen sólo para algunos valores particulares de los ángulos desconocidos.

Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en

grados o en radianes. Por lo tanto, el intervalo de la solución se encuentra en ! Ÿ B Ÿ #1 o ! Ÿ B Ÿ$' ! 9

Ejemplo:

Encuentre B en : =/8 B œ !

La igualdad se cumple cuando B œ ! 9 ß B œ ")! 9 9 B œ $' !

RESOLUCION DE ECUACIONES TRIGONO M ETRICAS

No existe un método general para resolver ecuaciones trigonométricas, ya

depender de la forma que presenten, veamos algunas casos

que va a

A) LA ECUACION PUEDE FACTORI Z ARSE

Eje m plo

Resuelva =/8 B # =/8 B -9= B œ ! para ! Ÿ B Ÿ #1

Respuesta

Factorizamos por =/ 8 B

=/8 B # =/8 B -9= B œ =/8 B Ð " # -9= B Ñ

luego tenemos que la solución de la ecuación se cumple cuando

3 Ñ =/8 B œ ! 9 3 3Ñ " # -9= B œ !

en radianes

3Ñ B œ ! 9 ß 1 ß #1

3 3Ñ # -9= B œ "-9= B œ #

B œ 1 &1 $ß B œ$

198

V I R

G I N I O G O M E Z




B) LAS DIFERENTES FUNCIONES QUE APARECEN EN LAECUACION PUEDEN E X PRESARSE EN TERMINOS DE UNAFUNCION SENCILLA

Eje m plo

Resuelva # >+8 1 # B =/- # B œ #

Respuesta

Reemplacemos =/- # B " >+81 # B para por ! Ÿ B Ÿ #1

# >+8 1 # B " >+81 # B œ#

>+8 1#

B œ „"

$

Por lo tanto la solución es B œ1

ß& 1 ""1 (1

ß ß' ' ' '

C) AMBOS LADOS DE LA E X PRESION SE ELEVAN AL CUADRADO

Eje m plo

Resuelva =/8 B -9= B œ " para ! Ÿ B Ÿ $'!

Respuesta

=/8 B -9= B œ " / ab #

( =/8 B -9= B ) 2 œ "=/8 2 B # =/8 B -9= B -9= # B œ

" # =/8 B -9= B# =/8 B -9= B

=/8 B -9=B=/8 B

œ "œ !œ !œ ! B œ ! ! ß $' !

B œ *! !-9= B œ !

Ejercicios

Encuentre x en 0 Ÿ B Ÿ #1

+Ñ # =/8 B " œ ! , Ñ # =/- B œ >+81 B -9>+81 B

. Ñ -9= B È$ =/8 B œ "- Ñ >+81 B $ -9>+81 B œ

0 Ñ % =/8 B ( œ/ Ñ # -9= B œ "

199

V I R

G I N I O G O M E Z




1 ) =/8 B Þ -9= B = 0

2 ) (>+81 B 1) ( % =/8 2 B $ ) =

3 ) =/8 2 B + =/8 B # = 0

4 ) $ cos2

B = =/8

5Ñ -9= # B œ -9= B

2 B

Respuesta

+Ñ B œ 1 Î 6 B œ &1 Î'

, Ñ B œ 1 Î ' B œ & 1 Î '

- Ñ B œ 1 Î % B œ "Þ#& B œ & 1Î % B œ %Þ$*

.Ñ B œ ! B œ %1Î$ B œ # 1

/ Ñ B œ 1 Î# B œ &Þ'%

0Ñ B œ 1 Î ' B œ &1Î'

1 $11 ) B = 0 B œ 1 B œ #1 B œ B œ

# #

1 1 21 51 412Ñ B œ B œ

3B œ B œ

4B œ

4

51

3 3

B œ 3

13Ñ B =

221 41 511

4 ) B =3

B œ B œ3

B œ33

5 Ñ B œ ! B œ 1Î# B œ $1Î# B œ #1

FUNCIONES TRIGONO M ETRICAS INVERSAS

La ecuación B œ =/8 C define un valor único para C cuando B es conocido, la ecuación puede no tener solución o tener varias.

Por ejemplo , si B œ #ß no hay solución, dado que el seno de un ángulo nunca excede de "; Si B

œ"

ß existen varias soluciones para C œ $!9

ß "&!9

ß $*!9

ß &"!9

#

Para expresar C en función de B, se escribe

"C es un ángulo cuyo seno es Bw w

200

V I R

G I N I O G O M E Z

C œ +<- =/8 B




De manera similar , puede escribirse

C œ +<- -9= B ß si B œ -9= CC œ +<- >+81 B ß si B œ >+81 C

A veces es necesario considerar las relaciones trigonométricas inversas como funciones( a cada valor de C le corresponde un sólo valor admisible de B ), para lograr esto, se acuerda seleccionar uno de los múltiplos ángulos que le corresponden a determinado valor de B. Este valor escogido se llamavalor Principal

Cuando B es positiva o cero y existe la función inversa, el valor principal está definido

La función resulta

C œ E<- =/8 BC œ E<- -9= BC œ E<- >+81 B

Ejemplo

E<- =/8 É $ 1$œ C Ê B œ#

Ejercicios

È$"Ñ E<- -9= #Ñ E<- >+81 "#

$Ñ E<- =/8 ! %Ñ E<- -9= Ð " Ñ

Respuesta

1 1"Ñ # Ñ $Ñ ! %Ñ 1' %

201

V I R

G I N I O G O M E Z

Función Inversa Intervalo valores principalesC œ E<- =/8 B 1Î# Ÿ C Ÿ 1Î#C œ E<- -9= B ! Ÿ C Ÿ 1C œ E<- >+81 B 1Î# Ÿ C Ÿ 1Î#C œ E<- -9>+8B ! Ÿ C Ÿ 1C œ E<- =/- B ! Ÿ C Ÿ 1ß C Á 1Î#

C œ E<- -9=/- B 1Î# Ÿ C Ÿ 1Î# ß C Á !




AUTOEVALUACION

"Ñ Se necesita hallar la altura de una torre, si la distancia de la base de la torre al punto deobservación son $! 7, formando un ángulo de (& grados hasta la cima de la torre. ¿Cuál es la altura de latorre?

Calcula< la altura de un arbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un# Ñángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.

Un barco viaja desde un punto A hacia el Este una distancia de % )ß ' kms, después cambia$ Ñdirección W "' 9 %!

ßI y recorre $(ß ) kms ¿Qué distancia dista el barco desde A?

Determine el valor de B /8 Ò ! ! ß $' !% Ñ

+ Ñ=/8 B -9=/- B œ &Î#,Ñ =/8 # B # -9= # B œ "

Demuestre las siguientes identidades& Ñ

-9= >+ Ñ >+1 > =/- > ´ " =/8 >

=/8 B -9= B,Ñ ´ "

-9=/=- B =/- B

Obtenga amplitud, periodo , desplazamiento Horizonta y vertical y Gráfica de :'Ñ

C œ $ =/8 Ð B 1 Ñ "

Respuesta

"Ñ """ß *' 7#Ñ )ß '7

$Ñ 69,60 km%Ñ + Ñ B" œ $! ! ß B # œ "&!!

,Ñ B œ 90º o 270º

' Ñ + œ $ß : œ # 1ß 0 +=/ À B œ 1ß . œ

202

V I R

G I N I O G O M E Z




CAPITULO V NUMEROS COMPLEJOS

203

V I R

G I N I O G O M E Z




GG

NUMEROS COMPLEJOS

Un número de la forma D œ + ,3 en que + − ‘ y , − ‘ se llama número complejo.En D œ + ,3

+ se llama PARTE REAL del número complejo D,3 se llama PARTE IMAGINARIA del número complejo D .

El número complejo + ,3 es la forma binómica o algebraica de escribir el número complejoD Þ

Ejemplo: el número $ !3 es un complejo real.

Ejemplo: el número ! %3 es un imaginario puro.

El número complejo 0+13 se llama unidad imaginaria y se representa por 3.! "3 œ ! 3 œ 3

Ahora definimos el conjunto que contiene a todos los números complejos:

‚ = œB 3 C Î Bß C − ‘

204

O M E Z

V I R

G I N I O




En general, a 8 − ™

Ejercicios

Reduzca a la mínima expresión

"Ñ 3 #3 $

#Ñ $ 3 % #3 3 & %

$Ñ #3 %3# &3%

3

%Ñ 3

% $

&Ñ 3 " # 3 ($

3 $ &

'Ñ 3 $( 3 "#'

(Ñ # 3 )( $3 '% 3"

Solución

" Ñ " 3 $Ñ * 3&Ñ !

(Ñ

#

# Ñ " 3%Ñ 3' Ñ " 3

Ejercicios

Identifique la parte real e imaginaria de cada uno de los siguientes números complejos:

+ Ñ & '3- Ñ ()/ Ñ %()*3

, Ñ )3 "#

Respuestas:

+) & :parte real

,) 83: parte imaginaria-) () :parte real

' 3 :

imaginaria"# : parte real .) )*( = 897+ 03: número real

/) %()* 3 = 0 + %()* 3 :número imaginario puro.

Representación gráfica de los números complejos

El número complejo B C3 puede representarse gráficamente por el punto T de coordenadasrectangulares (Bß C Ñ.

205

V I R

G I N I O G O M E Z




El punto S, de coordenadas Ð!ß !Ñ representa el complejo ! !3 œ !. Todos los puntos del eje\

tienen coordenadas de la forma ( B ,! ) y corresponden a números reales B !3 œ BÞ Por tal razónse llama al eje B ß eje de los reales o eje real.

Todos los puntos del eje ] tienen coordenadas de la forma (0 , C Ñ y corresponden a númerosimaginarios puros 0 C3 œ C3Þ El eje ] se llama por eso eje de los imaginarios o eje imaginario.

EJERCICIOS

Represent/ graficamente Ðen la misma figura )los siguientes complejos:

+) % '3-) $/ Ñ & $31 Ñ 'Respuesta

,) ' . Ñ 30 Ñ %3

206

V I R

G I N I O G O M E Z




Igualdad de números complejos:

Dos números complejos + ,3 y - .3 se dicen iguales si y solo si, + œ - y , œ

Ejemplo:Sean D1 = & + 83 y D2 = & 83

Identificamos cada parte que componen a D1 y a D2 :

D1 = 5 + 83 ß += & ,= 83D2 = 83 + ( 5) ß - œ 5 y .= 83.

Se puede observar que + œ - y por otro lado que , œ . por lo tanto decimos queD1 = D2

Conjugado de un número complejo:

El conjugado de un número complejo + ,3 es el número complejo + ,3 Þ

Notación: + ,3 œ + ,

Así, 2 + 33 y 2 33 son pares de números complejos conjugados.

Propiedades de los conjugados:

a Ñ D = D

b) D" D# œ D"

c Ñ D" † D# œ D" † D#

d) D D œ #+ !3 œ #+ ß a + −

e Ñ D D œ ! #,3 œ #,3 ß a , − ‘

Módulo :

El módulo de un número complejo + ,3 es È+2 + ,2 .

l + ,3 l œ È+2 ,2Notación:

Así por ejemplo, el módulo del número complejo # $3 es l2+33 l œ 22 +32 = =È13

Propiedades de los módulos:

a Ñ¸D ¸ !

b Ñ¸D" † D# ¸ œ ¸D" ¸ † ¸D# ¸

207

V I R

G I N I O G O M E Z




¸D" ¸D"c) ¸ ¸ œD# ¸D# ¸

d)¸D" D# ¸ Ÿ ¸D" ¸ ¸D#

e) ¸ ¸D" ¸ ¸D# ¸ ¸ Ÿ ¸D" D#

Opuesto de un númeroComplejo

El Opuesto o Inverso Aditivo de un Número Complejo D œ + + , 3 esD œ + , 3

Ejemplo

Si D œ # $3ß su opuesto es D œ # $3

Representación gráfifica del M ódulo, Conjugado y Opuesto de un nú m ero C o m p lejo

Ejercicios

Determine el opuesto y conjugado, de los siguientes números complejos

- Ñ È$ 3 . Ñ È$ 3a)

/Ñ

" 3

%

, Ñ " 3

$2 Ñ # # È$ 31 Ñ 3

%

Respuesta

a Ñ, Ñ- Ñ.Ñ/Ñ

Opuesto: " Conjugado: " Opuesto: " 3 Conjugado: " 3 Opuesto: $ Conjugado: $ opuesto: È$ 3 conjugado À È$

3

opuesto À %

208

V I R

G I N I O G O M E Z




opuesto À #3 conjugado À #30 Ñ

OPERACIONES CON COMPLEJOS

Adici ó n: Para sumar dos complejos se suman las partes reales y las partes imaginarias por separado.(B C3 Ñ Ð + ,3 Ñ œ Ð B + Ñ Ð C3 ,3 Ñ

=Ð B + Ñ 3Ð C , Ñ ÞEjemplo:

Ð# $3 Ñ Ð % &3 Ñ œ Ð# %Ñ Ð$3 œœ

'

'

Ð #3 Ñ #3

Propiedades de la adición:

Propiedad Asociativa: ÐD" D# Ñ D$ œ D" ÐD# D$ Ñ

Propiedad Conmutativa : D" D# œ D# D"

Existencia del neutro: el número complejo ! !3 es tal que para D" œ + ,3 se cumple que:

+ ,3 ! !3 œ Ð+ ! Ñ Ð,3 !3 Ñ œ Ð+ ! Ñ Ð, ! Ñ3 œ +

Inverso Aditivo:Dado el complejo + ,3ß el número complejo + ,3 es su

Representación gráfica de la su m a de nú m eros C o m p lejos

Sustracción: Para restar dos números complejos ,se restan las partes reales y las partes imaginarias por separado.

(B C3 Ñ Ð + ,3 Ñ œ Ð B + Ñ + Ð C3 ,3 Ñ

209

V I R

G I N I O G O M E Z




œ ÐB + Ñ 3ÐC , ÑEjemplo:

Ð #$3 Ñ Ð % &3 Ñ œ Ð # %Ñ Ð$3 +&3 Ñ

œ 2 83La sustracción al ser operación inversa de la adición, posee las mismas propiedades que ella.

Multiplic a ci ó n:Para multilpicar dos complejos, multipliquense como binomios los dos complejos yreemplácese 3 2 por 1.

(B 3 C Ñ Ð + 3, Ñ œ B+ B3, 3C+ 3#C,œ +B ,B3 +C3 3#,Cœ +B 3Ð,B +C3 Ñ Ð" Ñ,Cœ Ð+B ,C Ñ 3Ð,B +C Ñ

Ejemplo:(# $3 Ñ Ð% &3 Ñ œ ) "!3 "#3

"& 3# œ ) #3 "&Ð " Ñœ ) #3 "&

œ #$ #3

Propiedades de la multiplicación:

Asociativa: Ð D" † D# Ñ † D$ œ D" † ÐD# † D$

Conmutativa: D" † D# œ D2 † D1

Inverso Multiplicativo:El número complejo " !3 es tal que para D œ + ,3 setiene: Ð + ,3 Ñ† Ð" !3 Ñœ + ,3

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma:

D" † Ð D# D$ Ñ œ ÐD" † D# Ñ ÐD" † D$ Ñ

División:Para dividir dos complejos, multiplíquese numerador y denominador de la fracción por elconjugado del denominador.

Ð B 3C ÑÐB 3C Ñ Ð+ ,3 Ñœ

Ð+ 3, Ñ Ð+ ,3 Ñ Ð+ ,

Ð+B ,B3 +C3 ,C3# Ñœ

Ð+# +,3 +,3

Ð+B ,3Ð " Ñ 3Ð+C œ

Ð+# ,#

Ejemplo:Ð # $3 Ñ Ð # $3 Ñ Ð %

œÐ %&3 Ñ Ð % & 3 Ñ Ð %&3 Ñ

) "!3 "#3 œ

"' #!3 #!3 # &3#

œ"'

210

V I R

G I N I O G O M E Z




GG

( ##3œ

% "

( ##œ 3

%" % "

Resu m en de las Operaciones con Nú m eros C o m p lejos

EJERCICIOS

Sean D1 =1 + 3 y D2 = 2 3 Þ

Calcule :M Ñ

") D1 + D2 #) l D1 l

$) D2 %Ñ D1 † D2

&) D2D1

M MÑ Resuelva

" Ñ # Ð$ 3Ñ %Ð & 3Ñ (Ð% 3Ñ

Ð$ #3 Ñ #2 Ñ

$ Ñ Ð' &3 Ñ Ð# 3Ñ # Ð &

%) (2 – 33 ) – (5 + 43) + (6 – 43 )

&) (3 + 23) (4 – 23 )

') ( 3 + 1) (3 – 23 ) (1 + 33

# %3(Ñ

% #3

" %3)Ñ

$ 3

211

O M E Z

V I R

G I N I O




% #3* Ñ

3

#"!Ñ ' $ & 3Œ

&

Ð

$3 Ñ

#

Ð"

""Ñ Ð # #3 Ñ

Ð$ $3 Ñ Ð% "# Ñ

# #3

# "$ Ñ

Ð % #3 ÑÐ "

# &3" % Ñ Ð " 3Ñ

$ # 3

" 3 $ " & Ñ

# 3 " $3

Respuestas:

M Ñ "Ñ $ 03 œ 3 #) È2 $) 2 3 %) 3 3

M MÑ ") "

3 3 $ Ñ 18 – 18i# Ñ & "## #

&Ñ 16 + 2i ' Ñ 16 – 2i%Ñ *3

" "$(Ñ 3 ) Ñ 3"! "!

'* Ñ # "! Ñ * 3

&

* #(""Ñ 3 "#Ñ $ '3

% %

* ( "& #$"$Ñ 3 " %Ñ 3

#! #! "$ "$

( "$" & Ñ 3

"! "!

212

V I R

G I N I O G O M E Z




Forma Polar o Trigonométrica de números complejos:

→Sea el número complejo B C3 representado por el vector ST .Este vector se puede describir mediante la longitud < y ! es el ángulo que el vector forme con el

eje positivo de las B (eje real). El número < se llama módulo o valor absoluto del número complejo y

ángulo ! se llama amplitudß argumento o valor principal del número complejo.

el

En la figura, B œ < -9= ! e C œ < =/8 !

Ahora veamos como se obtienen < y ! À

! = arctan ( C )< = ÈB# C#B

Entonces:

D œ B 3C œ < -9= ! + 3 < =/8 ! = < Ð -9= ! 3 ! Ñ Þ

Se dice entonces que D œ < Ð-9= ! 3 =/8 ! Ñ es la forma polar o trigonométrica del númerocomplejo D Þ

213

V I R

G I N I O G O M E Z




Recuerda que para transformar unángulo sexagesimal a radian se debe

aplicar la siguiente regla:180º = ∏

Ejemplo:Exprese D = 2 23 en forma polar:

Respuesta< œ È( 2)2 +( 2)2 =È8 =El módulo es

C #y ! œ E<-9>1 Ð Ñ œ E<->1 Ð Ñ œ E<->1 Ð" Ñ

B #

! œ %&° =1

4

œ %&° =1

Pero D œ 2 23 − III cuadrante y el ángulo encontrado − I cuadrante.4

1 5 1Así = 1 + =!

4 4

Luego D = < cis !

5 1 5 1 5 1= 2È2 cis = 2È2 Ð cos + 3 =/8 Ñ

4 4 4

214

V I R

G I N I O G O M E Z

45

45




G

CUADRO RESU M EN

Ejercicio:

1) Exprese en forma trigonométrica ( o polar) los siguientes números complejos:

È3$ È+ , Ñ ' $ 'i+ Ñ 3# #

" 3È$- Ñ .Ñ #

" È$3 0 Ñ $ /Ñ

1 Ñ " 3 2 Ñ & "# 3

3 Ñ $3 4 Ñ &

#) Exprese el número complejo en forma cartesiana o binómica

&18 (-9= #"! ° +3=/8 #"0°) , Ñ 2 -3=+ Ñ

$

- Ñ % (-9= #%!° + 3=/8 2%!°) . Ñ #(-9= $"&°+ 3=/8

5 cis 1e) 0 Ñ # -3= "$& 9'

# -3= % *& 9 2 Ñ $ -3= #%!1 Ñ

& -3 = ") ! 9 4 Ñ% -3 = *! 93 Ñ

Respuestas:

1)

+ Ñ&1

$ -3= Ð Ñ œ $ -3= "&!° ,)12( -9=30° + 3=/8 30°)'

.) 2È2 (-9= 315° + 3=/8 315°)-) 2 (-9= 300° + 3=/8 300°)

215

O M E Z

V I R

G I N I O




# -3= '! 9 0 Ñ # -3= $!/ Ñ

È# -3= "$& 9 2 Ñ "$ -3= #* 9 #ß $(1 Ñ

$ -3 = *! 93 Ñ 4 Ñ &

2)a) 4 3 , Ñ " 3

c) 2 . Ñ #

& È$ & È È/Ñ 3 0 Ñ # # 3# #

$ È$$1 Ñ # # 2 Ñ 3

# #

3 Ñ & 4 Ñ%3

Producto y cuociente de números complejos expresados en forma polar:

Sea D1 = <" -3=!1 yD2 = <# -3= !# Þ

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta conmultiplicar los módulos y sumar los argumentos. es decir,

D1 † D2 œ (<" -3=!1 Ñ † Ð<# -3= !#

œ <" † <# -3= Ð!1 !# Ñ

Por lo tanto, se define el producto de dos complejos a aquel número que tiene por módulo el producto delos módulos y por argumento la suma de sus argumentos

Eje m plo:

1D œ # -3=

$ &1D œ -3=y1 2

' # "#

D † D œ (# † $ Ñ -3= 1 &1Œ' "#

1 2 #

(1œ $ -3= Ð )

#

216

V I R

G I N I O G O M E Z




Representación gráfica del Producto

Para calcular el cuociente de un complejo por otro no nulo basta con dividir losmódulos y restar los argumentos, es decir:

D1 = <" -3= !" <"<# -3= !#

œ <#-3= Ð! ! Ñ" #D2

Por lo tanto , se define el cuociente ( ó división) de dos números complejos como aquel número que resultade dividir los módulos y restar los argumentos:

D1=

<" -3= !" œ

<" -3= Ð! !" #

D2 <# -3= !# <#

Ejemplo:

Sea D" œ ) -3= %&º y D# œ # -3= $!º.Encuentre el cuociente entreD#

solución:z1 8 -3= 45º

œ

z2 2-3= 30º8œ -3= (45º 30º)

2œ 4 -3= 15º

1œ 4 -3=

12

217

V I R

G I N I O G O M E Z




Ejercicios :

Realice las operaciones indicadas dando el resultado en forma polar y en forma cartesiana:

a) 5(-9= "(! º 3 =/8 "(! º)(-9= & &º + 3=/8

%Ð -9= ##!º 3 =/8 ##! º Ñ b)

#Ð-9= %!º 3=/8 %!

2) Exprese cada número en forma polar , efectue las operaciones indicadas y de el resultado en formacartesiana:

Ð % 43È3 )+ Ñ

Ð #È$ #3 Ñ

(3 33 3 )( 2 23 ,Ñ

Respuestas:

1) + Ñ Forma polar: & -3= ##&º œ &Ð -9= ##&º + 3 =/8 ##&º Ñ

Forma cartesiana: 5 2 3 52 2

, Ñ Forma polar: 2 -3= ")! ºForma cartesiana: 2

2) +Ñ È3 + 3

,Ñ #%Potencia de un número complejo (Teorema de De Moivre)

Sea D œ < -3= ! un número complejo, entonces, una potencia de D /= D8Þ

Se define D8 = ( < -3= !)8 œ <8 -3= Ð 8 ! Ñ à con 8

Eje m plo:Encuentre la décima potencia de " 3

Sea D œ " 3 ß entonces D "! œ Ð" 3 Ñ

Como D está expresado en forma cartesiana, debemos expresarlo en forma polar

D œ " 3 ; < œ È# à ! œ arctan(1)= %& 9 œ 1%

Así D œ È# -3= 1%

10Entonces D "! œ ŠÈ# -3= 1 ‹%

218

V I R

G I N I O G O M E Z




"!œ ŠÈ#‹ -3= "! 1

%

"!œ ŠÈ#‹ -3= &1

#

Ejercicios

(1 3È$ Ñ% ÐÈ$ 3Ñ&+ Ñ , Ñ

. Ñ "-3= "&! 9 † & -3= $! 9Ð " 3- Ñ

0 Ñ # -3= "! 9 † " -3= %! † $ -3= (! 9' -3= % &9

À $ -3= "&/ Ñ

2 Ñ Ð " È$ 3 Ñ&& -3 = # 1À " -3= '!

91 Ñ $

Respuestas:

Forma cartesiana: 8 83È$

, ÑForma cartesiana: "'È$ "'3

a)

Forma cartesiana: $#3Forma polar: $# -3= 270º

- Ñ

/ Ñ $ 3.Ñ &

& È$3& $ $ $0 Ñ 1 Ñ

# #

"' "'2 Ñ

Raíces de números complejos:

Definamos la raíz n-ésima de un número complejo D, como un número complejo A tal que:A 8 œ D

Si D œ < -3= !ß una raíz n-ésima está dada por:

"

A œ < 8 -3= Ð!

Ñ8

Teorema de las raíces 8 ésimas:

Si D œ < -3=!, entonces D tiene "8" raíces 8-ésimas (distintas), ellas están dadas por:

"

A œ < 8 -3= Ð! #5 1

Ñ à 5 œ !ß "ß #ß $ß Þ Þ Þ Ð 8 8

219

V I R

G I N I O G O M E Z




Eje m plo:

Encuentre las 6 raíces de D œ 1

solución:

D œ 1 3È$ = 2 -3= Ð#1

$Así las seis raíces sextas están dadas por:

( # 1 + 251 Ñ1A œ 2 6 -3= $ à 5 œ !ß "ß #ß $ß %ß & Þ

'

( # 1 + 2 † ! † 1 Ñ ( #1 Ñ 11 1 15 œ ! Ê A" œ 2 6 -3= $ œ 2 6 -3= œ 2 6 -3=Ð Ñ

' ") *

( # 1 + 2 † "1 Ñ ( )1 Ñ %11 115 œ " Ê A# œ 2 6 -3= $ œ 2 6 -3= œ 2 6 -3= Ð Ñ

' ") *

(# 1

+ 2 † # † 1 Ñ ("%1 Ñ (11 1 15 œ # Ê A$ œ 2 6 -3= $ œ 2 6 -3= œ 2 6 -3= Ð Ñ' ") *

( # 1 + 2 † $ † 1 Ñ ( #!1 Ñ "!11 1 15 œ $ Ê A% œ 2 6 -3= $ œ 2 6 -3= œ 2 6 -3=Ð Ñ

' ") *

( # 1 + 2 † % † 1 Ñ ( #' 1 Ñ "$11 1 15 œ % Ê A5 œ 2 6 -3= $ œ 2 6 -3= œ 2 6 -3=Ð Ñ

' ") *

( # 1 + 2 † & † 1 Ñ ( $#1 Ñ "' 11 1 15 œ & Ê A6 œ 2 6 -3= $ œ 2 6 -3= œ 2 6 -3=Ð Ñ

' ") *

Gráfica de las raíces sextas de D œ 1 3 $ :

11A œ 2 6 -3=Ð Ñ ¸ 1.055+ 3 !Þ$(" *

%11A œ 2 6 -3= Ð Ñ ¸ !Þ"* 3# *

(11A œ 2 6 -3= Ð Ñ ¸ !Þ)& 3 !$ *

"!11A œ 2 6 -3= Ð Ñ ¸ "Þ!% 3 !% *

"$11

A œ 26

-3=Ð Ñ ¸ !Þ# 3 "Þ"5 *

"' 11A œ 2 6 -3= Ð ) ¸ !Þ)& 3 !6 *

220

V I R

G I N I O G O M E Z




Representación gráfica de las raíces:

w3

1 X

Ejercicios

Encuentre las raíces que se indican y grafíquelas:

a) Las raíces cuadradas de 2 23È3

b)Las raíces cuartas de 8

c)Las raíces cúbicas de

4È

2 + 4iÈ

2

d) "

$ #/Ñ

" 3 0 Ñ

" 3

$#1 Ñ

3

Respuesta :

a)A1 = 3+ 3 à w# = 3

, ÑA1 =1 3È$ à A# = 3 3 à A$ œ " A% œ È3 3

c)A" œ # 3 # à A# œ #Ð-9= "'&º 3 =/8 "'&º) A3 =2(-9= 285º 3 =/8

221

V I R

G I N I O G O M E ZiY

1 w2

w1

-1

w4 w5

-1

1

w6




d)A œ a" È$"

3à A œ 3à A œ È# -3= $%&" # $# #

A1 =È# -3= "!& 9 à A# =È# - = ##& 9 3 à A$ œ " 3È$ à A% œ È3/ Ñ 3

A1 = " -3= *! 9 œ 3 w# = " -3= #"! 9 A $ = " -3= $$0 Ñ

A1 = # -3= ")9 w# = # -3= *! 9 A $ = # -3= "' # 9 A% = # -3= #$% 9 à w& = # -3=1 Ñ

222

V I R

G I N I O G O M E Z




AUTOEVALUACION

"Ñ Determine el valor de

+Ñ 3 #"%$ # 3 #%$"

Sean D " œ # #3 y D # œ #È

# -3= ##&9

, dos números complejos# Ñ

D "+Ñ D † D , Ñ" #D #

-Ñ D&

". Ñ $ D

$ Ñ D " œ "+ 3D # œ " $

Determine:

D " D #+Ñ l D $l

# D",Ñ D Þ D " # D #

D (

-Ñ #

D )$

.Ñ D # À D "

# Ð-9= $! º 3 =/8 $! º)(-9= &! º 3 =/8 &!/Ñ

( - = = ) - = =

223

V I R

G I N I O G O M E Z




Respuesta

"Ñ + Ñ $3

+ Ñ ) -3= #( ! , Ñ -3= ") ! 9# Ñ

-ÑÐÈ) -3= %&9

Ñ&

œ ÐÈ) Ñ&

-3= ##& 9

.Ñ A " œ ÐÈ) Ñ "Î$ -3= "& 9

A # œ ÐÈ) Ñ "Î$ -3= "$& 9

A $ œ ÐÈ) Ñ "Î$ -3= # && 9

# -3= "$& º # -3=$ Ñ + Ñ #

2 cos 20

$ È$ $È$* $, Ñ 3% % % %

"-Ñ -3= #!! º

#

" $ " $.Ñ 3 # #

# -3= $)º/Ñ $&

224

V I R

G I N I O G O M E Z




CAPITULO VII

POLINOMIOS

225

V I R

G I N I O G O M E Z




POLINOMIOS

Una función T definida por la ecuación :

T ÐB Ñœ +8 B8 +8 "B8" Þ Þ Þ +#B #

+"B" +! , con +9 , +" , +# , Þ ÞÞ, +8 constantes y +8 Á o, n −

, se denomina " POLINOMIO DE GRADO 8".

Donde el grado del polinomio es la mayor potencia a la cual está elevada el valor w wBww Þ

Ejemplos:a) T ÐB Ñ œ B B# à grado(T Ñ œ #

b Ñ UÐB Ñ œ ""

B È1 B1& à grado (U Ñ œ 1$

# $

c) VÐB Ñ œB (B

à grado (VÑ= ? , VÐB Ñ no es polinomio.B &

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Adici ó n: Para sumar 2 o más polinomios, primero se ordena cada polinomio de mayor a menor grado, yluego se suman los términos que son semejantes.

Ejemplos:

T ÐB Ñ œ &B$ #B# $ y UÐB Ñ œ * B$ #B $B#

Primero ordenemos los polinomios:T ÐB Ñ œ &B$

#B# $

U Ð B Ñœ B$ $B#

#B

Luego se suman los términos que son semejantes:

T ÐB Ñ UÐB Ñ œ Ð&B$

B$

Ñ Ð #B#

$B#

Ñ #B Ð $* Ñ= 4B$ B#

#B '

Sustracción: Para restar dos polinomios, se procede de igual forma que la adición:

Ejemplos:

$ & %œ y U Ð B Ñœ "'B#

)B B&

& $

=$ =)& % # &T ÐB Ñ UÐB Ñ œ Ð B "#B ) Ñ Ð "'B B B ' Ñ& $

#= )& % #

œ B "#B "'B B "%& $

Producto: Para multiplicar dos o más polinomios se debe multiplicar cada elemento punto a punto y luegose ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado.

Ejemplo:Multiplique T ÐB Ñ œ #B $ UÐB Ñ œ $B#

#B $ con

226

V I R

G I N I O G O M E Z




T ÐBÑ † UÐ BÑ œ Ð #B $Ñ † Ð$B# #B $ Ñ

œ 'B$ % B# 'B *B#

'B *

Si un polinomio AÐ B Ñes de tercer grado y un polinomio BÐB Ñ es de segundo

grado. ¿Cuál es el grado del polinomio AÐ B Ñ · BÐBÑ?

AÐ B Ñ· BÐB Ñes de quinto grado.

Ejercicios

Sean T ÐB Ñ œ #B$ $B# B &à UÐB Ñ œ #B# B 1à

tres polinomios. Realice las operaciones que se indican:VÐB Ñ œ $B #;

a) T ÐB Ñ UÐB Ñ =

b) U Ð B Ñ VÐ B Ñ=

c) & T Ð B Ñ (VÐ B Ñ

d) 'UÐBÑ $T Ð B Ñ &VÐ B Ñ

e) T ÐB Ñ † VÐB Ñ =

f) )T Ð B Ñ† % U Ð B Ñ=

Respuesta

a)#B$ B#

#B % ,) #B# #B "

- Ñ"!B$ "& B#

"'B $* . Ñ 'B$ #"B#

")B

/ Ñ'B% "$B$

*B# "$B 0 Ñ "#)B&

"#)B% *'B$

"'!B# "'B

División: Para dividir un polinomio J ÐBÑ por otro K ÐBÑ se utiliza el método de la división algebraíca.

Ejemplo:

Divida J ÐBÑ = B% "' por K ÐBÑ œ B#

$B

B% "' À B#

$B " œ B# $B )

ÐB% $B$

B# Ñ $B$

B#

Ð$B$ *B#

)B# $B

"' #"B #

227

V I R

G I N I O G O M E Z




Donde J ÐB Ñ œ B% "' (dividendo)

KÐB Ñ œ B# $B " (divisor)

WÐB Ñ œ B# $B )

VÐBÑ œ #"B #% (resto o

Asi se tiene: J ÐB Ñ œ K Ð B Ñ† W ÐB Ñ

HM Z M HIR HS œ HM Z M W SV † G Y SG MIR X I VIW

B% "' œ ÐB#

$B " Ñ † ÐB# $B )Ñ Ð #"B

TEOREMA DEL CUOCIENTE Y RESTO

Si J ÐBÑ y K ÐBÑ Á ! son polinomios, entonces existen polinomios únicos W ÐBÑ y VÐBÑ tales

J Ð B Ñœ K ÐB Ñ † W Ð B Ñ VÐB Ñ ß .98./ W Ð B Ñœ -?9-3/8>/C VÐB Ñ œ </=>9

Observación: El grado de R(BÑ debe ser menor que G(B)

Ejercicios

Hallar el cuociente y resto de los siguientes polinomios

a) 'B' &B& &B%

"(

B$'B#

# À #B$ $B# "

#

b) & B$ "%B $ À B # œ

c) B% #B$

%B ' À B #

.Ñ $B# % À B "

/ Ñ B$ B# " À B# &B

0 Ñ B% $B#

#B $ À B# %B

"

Respuesta

a) SÐ B Ñœ $B$ #B#

"

B #

R Ð B Ñœ ""B#

"B

#

b) S=ÐBÑ œ &B# "!B

'

228

V I R

G I N I O G O M E Z




c) SÐ BÑ œ B$ % B# )B

"#

.Ñ W ÐB Ñ œ $B $

/Ñ W ÐB Ñ œ B 'VÐBÑ œ $ %B ""

0Ñ W ÐB Ñ œ B# %B #!

VÐBÑ œ )#B

1 Ñ W ÐB Ñ$B#

Observemos los ejercicios b y c donde el divisor es de la forma Ð B - Ñ.Cuando ocurre esto, se puede utilizar otro método de división denominado "DIVISION SINTETICA O METODO DE

RUFFINI HORNER".

Ejemplo:& B$

"%B $ À B #

Primero debemos agregar los grados que le faltan al polinomio

& B$ !B#

"%B

Luego los factores númericos se anotan en una tablaß tanto los del dividendo como los del divisor:

donde V ÐB Ñ œ "& y W ÐB Ñ œ & B# "!B

Así J ÐB Ñ œ K Ð B Ñ † W ÐB Ñ VÐ B Ñ& B$

!B# "%B $ œ ÐB #Ñ † Ð&B# "!B ' Ñ

Ejercicios:

Divida utilizando división sintética:

a)2B$ B#

#B & por B

, Ñ$B& #B$

" B " B " $

Respuesta:

a) #B$ B#

#B & = Ð#B# &B "#Ñ ÐB # Ñ

b) $B& #B$

" B " œ ÐB " Ñ Ð$B% $B$

B# B %

$ $ $

229

V I R

G I N I O G O M E Z

& ! "% $ B #"! #! "# #

& "! ' "&




TEOREMA DEL RESTO O RESIDUO

Si un polinomio T ÐB Ñ se divide por (B !), entonces el residuo es T Ð! ÑÞ

Ejemplo: Sea T ÐBÑ œ $B& #B$ " B "ß hallar T Ð $

Solución : Debemos encontrar el resto, teniendo como divisor Ð B " Ñ

$

$

$ $ " "

Luego si evaluamos B œ "en T ÐB Ñ se"& $T ÐB œ " Ñ œ $B #B $ "& $œ $Ð " Ñ #Ð " Ñ BÐ " Ñ "

$(

œ que es el resto.$

Definición:Un número ! se dice cero del polinomio T o una raiz de la

ecuación T ÐB Ñ œ ! si T Ð!) = 0

Ejemplo:El polinomio T ÐB Ñ œ B$

%B# $B # tiene a ÐB # Ñ como factor T Ð# Ñ œ !

B$ %B#

$B # œ ÐB # Ñ ÐB# #B

Ejercicios

1) Demuestre que ÐB $ Ñ es un factor del polinomio J ÐB Ñ œ B% %B$

(B# ##B

#%

3) ¿Es 2 una raíz de J ÐB Ñ œ B%

#B# B

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Todo polinomio T ÐB Ñ de grado ncomplejo.

1 con coeficientes reales o complejos tiene un cero real o

Este teorema nos dice que el polinomio T ÐB Ñ puede tener más de una raiz real (compleja). Pero¿cómo saber cuales son esas posibles raices , y de que naturaleza son?

230

V I R

G I N I O G O M E Z

"

% $ # B

## % # #" # " !

"$ ! # ! " B "

% $ $ " " "

% (

$ $




Para resolver esta interrogante, utilizaremos dos métodos:

1.- Regla de Descartes À (queda determinada la naturaleza de las posibles raices)

Raices positivas: números de variaciones de signo, en el polinomio T ÐB Ñ

Raices negativas: números de variaciones de signo en el polinomio T Ð B Ñ

Raices complejas: es el número de raíces que faltan para completar el grado del polinomio T ÐB Ñ Þ

Ejemplo:

B* $B& #B# B "#Sea T ÐB Ñ œ À % variaciones de signo

À " variación de signoT Ð B Ñ œ B* $B&

#B# B

Se completa la siguiente tabla:

Nota: El grado del polinomio T ÐB Ñ es 9.

Así el polinomio T ÐB Ñ puede tener las siguientes combinaciones de raíces:a) 4 raíces positivas - 1 raíz negativa - 4 raíces complejas. b) 2 raíces positivas - 1 raíz negativa - 6 raíces complejas.c) 1 raíz positiva - 1 raíz negativa - 8 raíces complejas.

Observación:Si un polinomio T ÐB Ñ de coeficientes reales tiene una raíz compleja de la forma + ,3ß

entonces tambien tiene como raíz compleja al conjugado + ,3Þ

2.-Cálculo de las raíces racionales de un polinomio con coeficientes reales:

Sea T ÐB Ñ œ +8 B8 +8 "B8 "

Þ Þ Þ +#B # +"B"

+! un polinomio, donde +8 es el primer término del polinomio T ÐB Ñ y +! el término independiente.Las posibles raíces racionales se obtienen de encontrar los divisores de +8 y +! respectivamente, y luegohacer un cuociente entre los divisores de +! por los divisores de +8 .

Posibles raíces:HÐ+! Ñ

HÐ+8 Ñ

Ejemplo:

"Þ Calcule las raíces del polinomio T ÐB Ñ =2B$ B#

(B ' solución:

Identifiquemos +8 y +! respectivamente:+! œ '

Ahora buscamos los divisores de +8 œ # y +! œ 6

231

V I R

G I N I O G O M E Z

‚

% " %

# " '! " )




D (+! Ñ œ HÐ ' Ñ œ ± "ß ± # ß ± $ß ±

HÐ +8 Ñ œ HÐ# Ñ œ ± "ß ± # Þ

Luego se forma el cuociente entre los divisores de +! y +8:

HÐ+! Ñ ±"ß ±#ß ±$ß ±'=

HÐ+8 Ñ ±"ß ±#

Entonces se obtienen las posibles raíces racionales:" 3

VÐ Ñ œ œ± "ß ± # ß ± $ß ± 'ß ± ,±# #

Busquemos por ejemplo B œ "

Por lo tanto B œ " es

#B$ B#

(B ' œ ÐB " Ñ Ð#B# B

Ahora probemos con otra raíz: B œ # À

Por lo tanto B œ # es raíz

Así #B$ B#

(B ' œ ÐB " Ñ ÐB # Ñ Ð#B

#B $ œ !#B œ $

$B œ

$#

¾ Las raíces de T ÐB Ñ son "ß # #

#Þ Veamos otro ejemplo:Descomponer completamente el polinomio

T ÐBÑ œ B& 'B% ""B$

#B# "#B ) y hallar su orden de

solución: Utilizando los dos métodos anteriores, tenemos:

232

V I R

G I N I O G O M E Z

2 1 6 B #% ' #

# $ !

# " ( ' B "

# " ' "# " ' !




-Regla de Descartes:

T ÐBÑ œ B& 'B% ""B$

#B# "#B ) : 4 variaciones de signo

T Ð B Ñ œ B& 'B%

""B$ #B#

"#B ) À " variación designo

-Raíces de un polinomio con coeficientes reales:

Ahora buscamos los divisores de +8 œ 1 y +! œ 8

D(+! Ñ = HÐ8 Ñ œ ± "ß ± # ß ±4ß ±8

HÐ +8 Ñ œ HÐ1 Ñ œ ± "Þ

Luego se forma el cuociente entre los divisores de +! y +8:

HÐ+! Ñ ±"ß ±#ß ±4ß ±8=

±"HÐ+8 Ñ

Entonces se obtienen las posibles raíces racionales:

VÐ Ñ œ œ± "ß ± # ß ± 4ß ±8

Probemos con B œ # À

Es decir B œ # es raíz del polinomio T Ð B Ñ Þ

B& 'B%

""B$ #B#

"#B ) œ (B # Ñ ÐB% %B$

$B# %B

Probemos nuevamente con B œ # para ver si es raíz más de una vez À

Nuevamente B œ # es raíz de T ÐB ÑÞY el polinomio queda factorizado como:B&

'B% ""B$

#B# "#B ) œ (B # Ñ(B # Ñ ÐB$

#B#

B # Ñ

Probemos otra vez si B œ # es raíz:

233

V I R

G I N I O G O M E Z

1 4 3 4 4 B ## % # % #

" # " # !

" ' "" # "# ) B ## ) ' ) ) #

" % $ % % !

‚

% " !# " #! " %




Nuevamente B œ # es raízAhora T ÐB Ñ se factoriza como:

B& 'B% ""B$ #B# "#B ) œ (B # Ñ(B # Ñ ÐB # Ñ ÐB#

" Ñœ ÐB # Ñ$ ÐB#

" Ñ

Pero sabemos desarrollar ecuación ÐB# " Ñ = 0

obteniendo 2 raíces: B œ " y B œ ".-

B& 'B%

""B$ #B#

"#B ) œ (B # Ñ(B # Ñ ÐB #) (B " Ñ ÐB" Ñ

œ ÐB # Ñ$ (B " Ñ ÐB " Ñ

Ejercicicios: Encuentre las raíces de

a) B$ (B '

,) #B$ $B#

*B "!c) B%

& B$ &B#

&B 'd) $B$

"!B# *B #

e) B& "'B

f ) B$ $B#

#B

234

V I R

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" # " # B ## ! # #

" ! " !




Respuesta:

235

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CAPITULO VIIIINDUCCION MATEMATICA

236

V I R

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INDUCCIO N :

Entre las herramientas más utilizadas en matemáticas se encuentra un método de demostraciónllamado Método de Inducción Matemática.

Éste método se basa en un método deductivo y se utiliza específicamente para demostrar lavalidez de ciertas proposiciones para un subconjunto de números naturales.

PRIMER PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA:

Si W es un subconjunto de que verifica:3 Ñ" − W3 3 Ñ8 − W Ê 8 " − W

entonces W œ

El primer principio de inducción matemática(P.I.M), se emplea para demostrar propiedades de losnúmeros naturales. Por ejemplo, si hay interés en demostrar que los números naturales poseen o tienenuna cierta propiedad T , entonces se define el subconjunto W de for mado por todos los númerosnaturales que tienen la propiedad T Þ

W œ Ö+ À

+ −

y + tiene la propiedad T

Luego si probamos que W œ , habremos demostrado que todos los números naturales tienen la propiedad T Þ

Pero para demostrar que W œ ß basta probar que:

1) 1 − W (es decir basta comprobar que el 1 tiene la propiedad T )

2) 8 − W Ê 8 " − W (esto es del supuesto que 8 tiene la propiedad T , se debe

Eje m pl o=:

1.- La suma de los 8 primeros números naturales es8Ð8 "Ñ

es decir

#8Ð8 1 2 3 Þ Þ Þ 8

#Respuesta:

8Ð8 "Ñy el conjuntoSe define la propiedad T 1 2 3 Þ Þ Þ 88 œ #

W œ Ö8 À 8 − ÎT8 es verdadera×

De m o stración

1) Probemos que se cumple para 8 œ ":

" œ"Ð" " Ñ

à " œ"Ð#Ñ

à " œ " # #¾ T" es vedadera, luego 1 − W .

2) Supongamos que 8 œ 5 − W à T 5 es verdadera:

237

V I R

G I N I O G O M E Z




5Ð5 " ÑT œ 1 2 3 Þ Þ Þ 85 #

$Ñ Probemos que 8 œ 5 " − W

5Ð5 " Ñ 1 2 3 Þ Þ Þ 5 Ð 5

#5Ð5 " Ñ #Ð5

œ#

5# 5 #5

œ#

5# $5

œ#

Ð 5 " Ñ Ð 5 œ

#

Ð 5 " Ñ Ð Ð 5 " Ñ œ#

¾ 8 œ 5 " − W .Así W œ Þ

2.- La suma de los 8 primeros números naturales impares es 8# ß es decir:

" $ & (Þ Þ Þ Ð#8 " Ñ œ 8#

Respuesta:

Se define la propiedad T8 œ 1 $ & Þ Þ Þ Ð#8 " Ñ œ 8# y elconjunto

1) Probemos para 8 œ ":" œ "# à " œ "

¾ T" es vedadera, luego 1 − W .

2) Supongamos que 8 œ 5 − W à T5 es verdadera:T5 œ 1 3 & ( Þ Þ Þ Ð#5 " Ñ œ 5#

$Ñ Probemos que 8 œ 5 " − W" $ & ( Þ Þ Þ Ð#5 " Ñ Ð#Ð5 " Ñ " Ñ œ 5#

Ð#Ð5 " Ñ

" Ñ " $ & ( Þ Þ Þ Ð#5 " Ñ Ð Ð # 5# Ñ "Ñ œ 5# Ð#Ð 5 œ 5#

Ð#5 # Ñ " œ 5#

#5 " $ & ( Þ Þ Þ Ð#5 " Ñ Ð#5

œ Ð5 " Ñ#

¾ 8 œ 5 " − W .Así W œ Þ

238

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$.- 8$ #8 es divisible por 3

Respuesta:Se define la propiedad T8 œ 8$

#8 es divisible por 3, esdecir

8$ #8 œ 3 † :

1)Probemos para 8 œ ":

"3 +2 † 1=3 † :1+2=3 † :$ œ $ † :$ œ $ † " ß : œ "

¾ T" es vedadera, luego 1 − W .

2)Supongamos que 8 œ 5 − W à T5 es verdadera:

T5 œ 5$#5 es divisible por 3, es decir 5$

#5=3 † : Ðhipótesis Ñ

$ÑProbemos que 8 œ 5 " − WÐ 5 " Ñ$

#Ð 5 "Ñ œ $ † :Ð5$

$5# $5 " Ñ Ð#5 # Ñ œ $

† :5$

$5# $5 " #5 # œ $ †

3(5# 5 " Ñ œ $ † Æ 7?6>3 :69 ./ $Ð:9<

23:Þ Ñ $‡Ð5# 5 "Ñ œ $ †

Æ7?6>3 :69 ./

¾ 8 œ 5 " − W .

Así W œ Þ

Ejercicios propuestos:

Demuestre por Inducción matemática las siguientes proposiciones.

#8Ð8

a) La suma de los cubos de los 8 primeros números naturales es à es decir: – —##

8Ð8 13

#$ $$

Þ Þ Þ 8$ – —#

b) # % ' ) Þ Þ Þ #8 œ 8Ð8

c Ñ % ) "# Þ Þ Þ%8 œ #8Ð8

d) # ## #$

#% Þ Þ Þ #8 œ #8 "

e) 1# $#

&# Þ Þ Þ Ð#8 " Ñ# œ

8Ð#8 " Ñ Ð # 8

$f) 3#8 ( es un multiplo de 8

239

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CAPITULO IX

TEOREMA DEL BINOMIO

240

V I R

G I N I O G O M E Z

Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas



TEOREMA DE BINOMIO DE NEWTON:

Busaceremos descubrir una fórmula para el desarrollo de Ð + , Ñ8 por medio de la inducciónordinaria; es decir, veremos algunos casos especiales y trataremos de establecer una fórmula general de losmismos.

Para comenzar, se calcularemos directamente las 5 primeras potencias de números naturales de

Ð +

, Ñ

8

:

Ð + , Ñ" œ + ,Ð + , Ñ# œ +#

#+, ,#

Ð + , Ñ$ œ +$ $+# , $+,#

,$

Ð + , Ñ% œ +% %+$ , '+#,#

%+,$ ,%

Ð+ , Ñ& œ +& &+% , "!+$,#

"!+#,$ &+,%

,&

Del desarrollo anterior se obtienen las siguientes observaciones:

El desarrollo Ð+ , Ñ8 tiene 8 " elementos.La potencia de + va reduciéndose en uno(1) en cada término de izquierda a derecha.

La potencia de , va aumentando en uno (1) en cada término de izquierda a derecha.En cada término la suma de las potencias de + y , es igual a 8Þ

1.-2.-

3.-4.-5.- El coeficiente del término siguiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término dado por elexponente de + y dividiéndolo entre el número que representa la posición que ocupa dicho término en el binomio.

Eje m pl o :

Si queremos determinar el tercer término de (+ , Ñ4 se tiene:

(+ , Ñ4 = +% %+$ ,

% † $ 12= =6 ; .98./ À % œ coeficiente +

$ œ exponente de +# œ Lugar que ocupa.

# 2

Luego el término que buscamos es: '+# ,#

Fórmula General del Binomio :

œ"Œ 8

+8 5 ,

5

5œ!

Ð + , Ñ8

dondeŒ8

representa el número de combinaciones de "8 sobre 5"

5

La combinación (8 sobre 5) tiene el siguiente desarrollo:8

Œ =8x

5 5x Ð 8 5 Ñ x

El símbolo 8x representa el producto de los 8 primeros números naturales:

8x = 8Ð8 " Ñ † Ð8 # Ñ † Ð8 $ Ñ † Þ ÞÞ †#

241

V I R

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8

5

¿..............?




Se define 0x =11x œ "

Ejemplo:4x œ % † $ † # † " œ #%&x œ & † % † $ † # † " œ "#!(x œ ( † ' † & † % † $ † # † " œ &!

7x ( † 'x

6x œ

'xœ (

)x ) † ( † ' † &xœ œ ) † ( † ' œ $

& x & x

Ahora determinemos la combinación de:

8 )x )x ) † ( † ' † ) † ( † 'Œ

3œ

Ð ) $ Ñ x$ xœ

& x $ xœ

& x $ xœ œ &'

$ † # † "

* *x * † ) † (x * † ) Œ

#

œ

Ð*

# Ñx #x

œ

(x #

œ œ $'

# † "

& &x &x &xŒ

& œ

Ð & & Ñ x& xœ

!x &xœ

" † & xœ

OBSERVACIÓN:

En su calculadora usted puede obtener las combinaciones con la tecla "8 - < "

Ahora como conocemos los conceptos de factorial y combinación, determinemos el desarrollocompleto de un binomio:

Ejercicio:Realice el desarrollo de (7 8 Ñ$

solución:

Utilizando la forma general de binomio, se tiene :8

Ð + , Ñ8 œ "Š5œ9

8

5‹+8 5 ,5

$ $$ $ 5 5Ð7 8 Ñ œ "Œ 7 85

5œ!

$ $ $ $$ ! # " # ! $œ 7 8 7 8 7 8 7 8Œ!

Œ"

Œ#

Œ$

œ 7$ $7# 8 $78#

242

V I R

G I N I O G O M E Z




Otro ejemplo:

8

($? #@ Ñ% œ "Š 8‹+8 5 8 œ % à 5 œ !ß "ß #ß $ß %Þ

55œ9

8œ%

($? #@ Ñ %

œ "Œ

%

Ð$? Ñ%

5

Ð # @ Ñ 5

55œ9

œ ˆ % ‰Ð$?Ñ% Ð# @ Ñ! ˆ % ‰Ð $ ?Ñ$ Ð #@ Ñ"

ˆ % ‰Ð$?

! " #

% %" $ ! % Ð$? Ñ Ð# @ Ñ Ð $ ? Ñ Ð #@ Ñ Œ

$Œ

%

œ Ð$?Ñ% % Ð $ ? Ñ$ ‡Ð #@ Ñ 'Ð $ ?Ñ#‡ Ð #@ Ñ#

% Ð $ ? Ñ"‡Ð #@ Ñ$ Ð#@ Ñ%

œ )"?% %Ð#(?$ Ñ ‡ Ð #@ Ñ 'Ð*?# Ñ‡ Ð %@# Ñ Ð " # ? Ñ ‡ Ð )@$ Ñ Ð"'@

% Ñ

Ejercicios

Desarrolle cada una de las expresiones siguientes mediante el teorema del binimio y simplifiquesi es necesario:

a)(B # Ñ$

,ÑÐ? @ Ñ & -ÑÐ$: ;Ñ%

Ahora veremos cómo determinar un término cualquiera sin tener que realizar el desarrollocompleto de ese binomio:

Término <-ésimo de un binomio:

El término X < se obtiene de la siguiente forma:

8 8 5 5X œ Š ‹+ , à donde X œ X< < 5 "5

Ejemplo:Determine el séptimo término de (#B

Respuesta

donde 5 entonces es 'X( œ X5" œ X'"

12 "# 5 5Œ5

(#BÑ † Ð C Ñ

243

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mailto:#@%C3%91%25

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12 "# ' 'Œ'

(#BÑ † Ð C Ñ

œ * # % Ð ' % B' Ñ † Ð C Ñ'

œ *#% † '%B' C'

Así el séptimo término de (#B C Ñ"# es 59136 B'

Otro ejemplo:

Determine el término que contiene a B' del binomioÐB#

"

#Respuesta

El desarrollo de este binomio es:

12 "=# "# 5 5= Œ 5 Ð B Ñ † Ð # Ñ

12 " Ñ5 † ÐB Ñ#% # 5œ Œ Ð

5 #

El término que contiene a B' está dado por:

B' œ B#% #5

Igualamos exponentes, y se obtiene:

6=24 #5

Luego despejamos 5 y tenemos:

25 œ ")5 œ *

Como 5 es un número entero(5 − ™ Ñ, entonces existe el término y este es B'

"# "=# "# * *X œ X œ X œ ÐB Ñ Ð Ñ5 " * " "! Œ* #

"'œ ##! B † Ð Ñ&"#

#=

=' 'œ B œ B&"# "#)

244

V I R

G I N I O G O M E Z




Términos centrales de un binomio.

-Si 8 es par se tiene un sólo término central:

X 8-œ "

#

Si 8 es impar se obtienen 2 términos centrales, dados por:-

8 " œ

8 "œ "X y X- " - # # #

Eje m plo:Obtener él o los términos centrales de:

Ð + , Ñ&

solución:

Como 8 œ & es impar se obtienen dos términos centrales, dados por:

& " '

X œ œ œ $ Ê X œ X Ê 5 œ #-" $ 5 "# #

X-# œ& "

" œ ' " œ $ " Ê X% œ X5 " Ê 5 œ# #

& & # # $ #X œ Ð+ Ñ Ð, Ñ œ "!+ ,-" Œ#

X-# œ ˆ & ‰Ð+ Ñ& $Ð, Ñ$ œ "!+# ,$

Término independient e .

Éste término no siempre existe, para determinarlo sabemos que es aquél donde no aparecen

con variables , por ejemplo B, es decir, es B!

Þ

el término

Así para el binomio ÐB# " Ñ"# el término independiente está dado por:

#

B! œ B#% # 5 Ê #% #5 œ ! #5 œ #%

como 5 − ™, entonces existe término independiente.

X< œ X5 " œ X"# " À

"# =" "=# "# "# "# ! "#Œ "# Ð B Ñ Ð # Ñ œ ÐB Ñ Ð # Ñ

"= " ""#œ " † Ð Ñ œ " † Ð Ñ œ Ð Ñ# %!*' %!*'

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V I R

G I N I O G O M E Z

Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicasc



EjerciciosEscriba y simplifique el término que se indica en el desarrollo de cada una de las siguientes

expresiones:

a) Noveno término de (2+B

Ñ"&

%,ÑTérmino que contiene a B( de Ð#B $ Ñ"!

3 Ñ *c)Términos centrales de ( 2 +B

d)Término independiente de (& #B Ñ'

E Z

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logaritmos y trigonometria

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