Lógica Auto-epistémica
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Lógica Auto-epistémica
• Proposta por Moore (1985)
• Contempla reflecção sobre conhecimento próprio (auto-epistémico)
• Permite falar não só do mundo exterior, como também do conhecimento que tenho dele.
Sintaxe de AEL
• Lógica de 1ª ordem, mais operador L (aplicado a formúlas)
• L significa “sei ”
• Exemplos:
lugar → L lugar (ou L lugar → lugar)
jovem(X) L estuda (X) → estuda (X)
Significado de AEL
• O que é que sei?– Aquilo que consigo derivar (em todos os
modelos)
• E o que é que não sei?– Aquilo que não consigo derivar
• Mas aquilo que se deriva depende do que sei– Adiocinar conhecimento, e depois testar
Semântica AEL
• T* é expansão de teoria T sse
T* = Th(T{L : T* |= } {L : T* |≠ })
• Assumindo a regra de inferência /L :
T* = CnAEL(T {L : T* |≠ })
• Uma teoria AEL é sempre a dois valores em L, ou seja, para toda a expansão:
| L T* L T*
Conhecimento vs. Crenças
• Crenças é um conceito mais fraco– Para toda a fórmula, ou sei ou não sei– Podem haver fórmulas em que não acredito,
nem no seu contrário
• Lógica auto-epistémica de conhecimento e crenças (AELB), introduz também operador B – acredito em .
Exemplo AELB
• Alugo filme se acredito que nem vou ao baseball nem ao futebol
Bbaseball Bfutebol → alugar_filme• Não compro bilhetes se não sei que vou ao
baseball nem sei que vou ao futebol L baseball L futebol → comprar_bilhetes
• Vou ao futebol ou ao baseballbaseball futebol
• Não devo concluir que alugo filme, mas concluo que não compro bilhetes
Axiomas sobre crenças
• Axioma da consistência
B• Axioma de normalidade
B(F → G) → (B F → B G)
• Regra de necessitação
F
B F
Modelos minimais
• Em que é que eu acredito?– Naquilo que faz parte de todos os modelos preferidos
• Quais os modelos preferidos?– Os que para um mesmo conjunto de crenças, tem um
número mínimo de coisas verdadeiras
• Um modelo M é minimal sse não existe modelo menor N, coincidente com M em átomos B e L
• Se é verdadeiro em todos os modelos minimais de T, escrevo T |=min
Expansões AELB
• T* é expansão estática de T sse
T* = CnAELB(T {L : T* |≠ }
{B : T* |=min })
onde CnAELB denota o fecho usando os
axiomas de AELB mais a necessitação para
L
Caso particular de AEB
• Pelas suas propriedades, o caso de teorias sem operador de conhecimento é especialmente interessante.
• Nesse caso, a definição de expansão fica:
T* = (T*)
onde (T*) = CnAEB(T {B : T* |=min })
e CnAEB denota o fecho usando os axiomas
de AEB
Menor expansão
• Teorema: O operador é monotónico, i.e.
T T1 T2 → (T1) (T2)• Logo existe sempre uma expansão mínima
de T, que se pode obter por indução transfinita:– T0 = Cn(T)
– Ti+1 = (Ti)
– T = U T (para ordinais limite )
Consequências
• Toda a teoria AEB tem pelo menos uma expansão
• Se a teoria é afirmativa (i.e. todas as cláusulas têm pelo menos um literal positivo) então tem pelo menos uma expansão consistente.
• Há procedimento para calcular a semântica