Utilizando Lógica Fuzzy para Avaliar a Qualidade de umaCompra Via Internet

Leonardo Martins Rodrigues1 e Graçaliz Pereira Dimuro1

1Programa de Pós-Graduação em Modelagem ComputacionalUniversidade Federal do Rio Grande - FURG

Resumo. O objetivo deste trabalho é realizar um experimento sobre LógicaFuzzy. Para isso, escolheu-se um exemplo de aplicação para que esse conceitopudesse ser utilizado. O exemplo trata sobre um assunto que está a cada diamais presente no cotidiano das pessoas: compras pela Internet. Sendo assim, aideia é avaliar a qualidade do serviço prestado pela “Loja Online” através daanálise de duas variáveis: tempo de entrega e valor do produto. É feita tambémuma análise dos métodos de defuzzificação para esta aplicação.

1. IntroduçãoA Lógica Fuzzy [Zadeh 1965] foi desenvolvida para a modelagem de raciocínio aproxi-mado e vago, permitindo descrever de forma efetiva as características de sistemas comple-xos ou que não podem ser definidos de forma exata. Os relacionamentos entre elementose conjuntos seguem uma transição entre pertinência e não pertinência que é gradual, indi-cando valores de pertinência intermediários entre o verdadeiro e o falso da lógica clássica.

A Lógica Fuzzy tem sido muito utilizada para tratamento de dados e informa-ções qualitativas, subjetivas, vagas, incertas, possibilitando obter conclusões segurase robustas através de raciocínio aproximado. A lógica fuzzy tem sido utilizada comfreqüência e sucesso em controladores fuzzy[Cox 1994], mas seu uso também tem-seevidenciado em outras áreas, tais como em modelos de agentes para simulação so-cial e ambiental [Farias et al. 2011, Hassan et al. 2008, Ghasem-Aghaee and Ören 2003,Ören and Ghasem-Aghaee 2003, Dimuro et al. 2009, Sabeur and Denis 2007], para ope-rações em terminais de containers [Lokuge and Alahakoon 2004], redes sensoriais semfio [Shen et al. 2008], etc.

O objetivo deste trabalho é realizar um experimento utilizando a Lógica Fuzzy,voltado para uma aplicação bastante atual, tal como a avaliação da qualidade do serviçoprestado por uma loja através da Internet.

O trabalho está organizado como descrito a seguir. A Seção 2 apresenta algunsconceitos básicos sobre Conjuntos Fuzzy estudados. A descrição do problema é discutidana Seção 3. A modelagem e a implementação são descritas na Seção 4. A Seção 5 é aConclusão.

2. O que é a Lógica Fuzzy?O termo “Fuzzy” significa algo nebuloso, impreciso ou vago. Tendo isso em vista, aLógica Fuzzy visa resolver problemas onde a informação não é precisa, ou seja, tal in-formação varia de acordo com a compreensão que se tem sobre um determinado assunto.Porém, antes de entender o que é a Lógica Fuzzy é necessário saber o conceito de Con-juntos Fuzzy.

2.1. Conjuntos FuzzyA teoria dos Conjuntos Fuzzy foi formalizada por Zadeh [Zadeh 1965] e passou a tratarobjetos de forma que seus graus de pertinência para um ou outro grupo varie entre 0 e 1.Segundo a Lógica Tradicional, ou um objeto (O) é totalmente pertencente a um grupo (1)ou o objeto é totalmente não pertencente a tal grupo. Por outro lado, nos Conjuntos Fuzzyum objeto pode ser parcialmente pertencente a um grupo (1) e parcialmente pertencentea outro grupo (2).

Todas os conceitos conhecidos para um conjunto na matemática podem ser ex-pandidos para os Conjuntos Fuzzy, realizando-se as devidas adaptações. Dessa forma, épossível efetuar uma união, uma interseção, um complemento ou um produto cartesianoentre Conjuntos Fuzzy.

Sabendo que qualquer conjunto clássico pode ser caracterizado por uma função,a função característica, Zadeh obteve a formalização matemática de um conjunto Fuzzy.A Definição 2.1.1, a seguir, mostra a representação de uma função de pertinência de umsubconjunto Fuzzy.

Definição 2.1.1 Seja U um conjunto e A um subconjunto de U . A função característicade A é dada por:

χA(x) =

{1 se x ∈ A0 se x /∈ A

Com isso, χA é uma função cujo domínio é U e a imagem está contida no conjunto0,1. Se χA(x) = 1 significa que x está contido em A, caso contrário, χA(x) = 0 significaque x não está contido em A. Dessa forma, uma função característica é responsável pordescrever completamente o conjunto A, dado que tal função indica quais elementos doconjunto universo U são também elementos de A.

2.2. Subconjuntos FuzzyUm subconjunto fuzzy F de um conjunto universo U é definido em termos de uma fun-ção de pertinência ϕ que a cada elemento x de U associa um número ϕ(x), entre zeroe o máximo grau de pertinência de x em F , neste caso é igual a 1. Com isso, a Defini-ção 2.2.1 mostra como é possível indicar um conjunto fuzzy de acordo com sua funçãode pertinência.

Definição 2.2.1 Seja U um conjunto clássico. Um subconjunto fuzzy A de U é caracteri-zado por uma função

ϕA : U → [0, 1],

pré-fixada, denominada função de pertinência do subconjunto fuzzy A.

Com isso, tem-se que o valor ϕA(x) ∈ [0, 1] associa qualquer elemento x ∈ U aoconjunto fuzzy A com um determinado grau de pertinência. Se ϕA(x) = 0, isso significaque x não pertence ao conjunto fuzzy A. Caso contrário, se ϕA(x) = 1, indica que xpertence completamente ao conjunto fuzzy A.

Formalmente, é possível obter a definição de subconjunto fuzzy ampliando o con-tra domínio da função característica, ou seja, o conjunto {0, 1}, para o intervalo [0, 1].Com isso, tem-se que um conjunto clássico A de U é um caso particular do conjuntofuzzy, para o qual a função de pertinência ϕA é sua função característica de χA, isto é,

ϕA : U → {0, 1}.

Um subconjunto fuzzy F é composto de elementos x de um conjunto clássico U ,providos de um valor de pertinência a F , dado por ϕF (x). Com isso, pode-se dizer queum subconjunto fuzzy F de U é dado por um conjunto de pares ordenados:

F = {(x, ϕF (x)), x ∈ U}.

O conjunto clássico de U definido por

suppF = {x ∈ U : ϕF (x) > 0}

é denominado suporte de F e é muito importante no que tange a relação entre as teoriasde conjuntos clássica e fuzzy.

2.3. Operações básicas entre subconjuntos Fuzzy

Para entender as operações, considere a existência de três conjuntos fuzzy A, B e C nouniversoU . Seja x um dado elemento no universo em questão, pode-se definir as seguintesoperações:

Inclusão

A ⊆ B ⇐⇒ (ϕA⊆B ⇐⇒ ∀x ∈ U : ϕA(x) ≤ ϕB(x))

União

ϕA∪B(x) = ϕA(x) ∨ ϕB(x) = max{ϕA(x), ϕB(x)}

Intersecção

ϕA∩B(x) = ϕA(x) ∧ ϕB(x) = min{ϕA(x), ϕB(x)}

Complemento

ϕA′(x) = 1− ϕA(x)

Tendo em vista os conceitos básicos abordados, os conjuntos Fuzzy e a LógicaFuzzy formam uma base sólida de técnicas para a solução de problemas nas mais diversasáreas, principalmente em controle e tomada de decisão. Com isso, serão utilizados essesconceitos para o desenvolvimento deste trabalho.

3. Descrição do problema propostoO exemplo adotado para implementação neste trabalho está ligado à avaliação da quali-dade de uma compra realizada via Internet.

Quando uma pessoa procura um item para comprar, seja via Internet ou pessoal-mente, o primeiro dado a ser analisado é o preço do item. Ou seja, geralmente é feita umapesquisa entre os diversos sites (no caso de uma compra via Internet) que disponibilizamo item para que se verifique qual tem a melhor oferta com relação ao valor do produto.

Ao decidir a Loja online em que será efetuada a compra, um ponto importanteque também deve ser observado diz respeito ao tempo de entrega. Assim, se na lojaescolhida para a compra, o tempo de entrega for muito longo, pode ser que seja maisvantajoso pagar um pouco a mais em outra loja que tenha o prazo de entrega mais curto,dependendo da necessidade que se tem em ter tal produto.

Com isso, a intenção da implementação deste problema é de decidir em qual Lojaonline será mais vantajosa a realização da compra, com base no preço e no prazo deentrega do produto.

4. Descrição da implementação do problema

Nesta seção serão mostrados alguns detalhes com relação à implementação do problema,tais como: variáveis linguísticas, curvas e valores crisp (valores encontrados no mundoreal) utilizados.

4.1. Definição das variáveis linguísticas - Fuzzificação

Como discutido na Seção 3, existem três variáveis linguísticas que serão abordadas nestetrabalho: preço (ou valor), tempo e qualidade. As duas primeiras se referem diretamenteao produto de interesse e a última se refere à avaliação da Loja online.

Para a variável linguística valor, foram adotados os seguintes termos linguísticos:“barato”, “médio” e “caro”. Com isso, foram definidas as fronteiras no qual os termosdefinidos pertencem. Ou seja, supondo que um produto custe no mínimo ZERO e nomáximo R$ 100 Reais, um produto barato está considerado na faixa entre R$ 0-50 reais,um produto médio foi considerado na faixa de R$ 25-75 Reais e, por fim, um produtocaro está na faixa de R$ 50-100 Reais.

Tendo em vista estes valores, pode-se expressar a descrição das funções de perti-nência como mostra a Figura 1.

Na Figura 1 é possível notar a existência de funções trapezoidais e triangulares.Isso foi definido pelo fato de representarem melhor a realidade. Dessa forma, um produtoque está na faixa dos produtos baratos tem seu grau de pertinência a esse termo se custaentre R$ 0-25 Reais, após isso, entre R$ 25-50 Reais, o produto começa a deixar de serbarato e começa a ter a pertinência ao termo médio aumentada. Assim, existem regiõesde transição de estado do valor, uma entre barato e médio e outra entre médio e caro.

Da mesma forma em que a variável valor foi criada, a variável tempo de entregatambém teve termos adotados, são eles: “rápido”, “médio” e “demorado”. O prazo deentrega está na faixa de 1-12 dias consecutivos, neste exemplo. Com isso, para que aentrega seja considerada rápida, o prazo deve variar na faixa de 1-6 dias. Para que umaentrega seja considerada média, seu prazo deve estar na faixa de 3-9 dias. Por fim, paraque a entrega seja considerada demorada, seu prazo deve estar na faixa de 6-12 dias.

A partir desses dados, pode-se gerar um gráfico que mostra as definições reali-zadas. A Figura 2, a seguir, ilustra essas definições.

Como visto na Figura 1, a Figura 2 também adota funções trapezoidais e triangu-lares. Todas as explicações feitas anteriormente também valem para essa variável, comsuas respectivas mudanças de valores.

Figura 1. Funções utilizadas para a variável linguística valor.

Por último, foi definida a variável linguística qualidade do serviço. Para esta va-riável foram atribuídos os seguintes termos: “ruim”, “médio” e “bom”. A “nota” atribuídaao serviço varia na faixa de 0-100. Assim, um serviço ruim se enquadra na faixa de 0-50.Um serviço considerado médio está na faixa de 25-75. Já um serviço considerado bomestá na faixa entre 50-100.

O gráfico que representa essa variável é mostrado na Figura 3.

4.2. Definição das regras - Inferência

Nesta Seção, serão apresentadas as regras de inferência definidas para o problema pro-posto.

Uma inferência em lógica Fuzzy nada mais é do que a aplicação de uma regra dotipo: SE X, ENTÃO Y; desde que as variáveis analisadas, X e Y neste caso, sejam noçõesdifusas.

Sendo assim, foram definidas as seguintes regras de acordo com os conjuntosdefinidos na Seção anterior. A Tabela 1 mostra o conjunto de regras de inferência.

Ou seja, dadas as definições das inferências, pode-se criar uma tabela simplificadaque representa todas as definições de forma mais simples. A Tabela 2 mostra a simplifi-cação adotada.

Para os operadores AND e OR foram atribuídas as funções min(A,B) e max(A,B),respectivamente, que são exemplos de operadores T-normas e T-conormas que generali-zam os operadores AND e OR (para a abordagem fuzzy). A primeira função, min(A,B),

Figura 2. Funções utilizadas para a variável linguística tempo de entrega.

retorna A se A<=B, caso contrário retorna B. Já a função max(A,B) retorna A se A>=B,caso contrário retorna B.

4.3. Avaliação da saída do sistema - Defuzzificação

Nesta Seção serão mostrados os resultados obtidos para a avaliação da saída do sistema.Os métodos utilizados na defuzzificação do sistema foram os seguintes: Centróide, Pri-meiro do Máximo e Centro do Máximo. Existem outros métodos para defuzzificação,porém, apenas os métodos citados foram escolhidos para que se pudesse obter uma com-paração entre eles.

Para o cálculo do método do Centróide é necessário encontrar o Baricentro (ouCentróide) da figura formada pela composição dos gráficos das variáveis utilizadas. AFigura 4 mostra um exemplo de onde está localizado o centróide da forma a seguir.

Com isso, para encontrar o valor do Centróide de uma figura plana composta porformas geométricas básicas (por exemplo: triângulo e retângulo), deve-se encontrar a áreada figura e seu respectivo baricentro dividindo a figura em formas conhecidas, tais comoas citadas anteriormente.

Área de um retângulo (Aret) e Área de um triângulo (Atri):

Aret = B ∗H. (1)

Atri = B ∗H/2. (2)

onde B é a base da forma e H é a altura.

Figura 3. Funções utilizadas para a variável linguística qualidade do serviço.

Figura 4. Um exemplo da localização do centróide (P) da curva C.

Baricentro de um retângulo (Barret) e Baricentro de um triângulo(Bartri):

Barret = (B/2;H/2). (3)

Bartri = (B/3;H/3). (4)

Em seguida, deve ser calculada cada uma das componentes do Baricentro, sendo:YG a coordenada y e XG a coordenada x. Para isso, utilizam-se as seguintes equações:

YG =

∑i=Ni=1 yiAi∑i=Ni=1 Ai

. (5)

XG =

∑i=Ni=1 xiAi∑i=Ni=1 Ai

. (6)

O valor de XG é, portanto, o valor encontrado para a variável de saída analisada.

Se (preço X prazo de entrega) EntãoBarato & Rápido BomBarato & Médio Bom

Barato & Demorado MédioMédio & Rápido BomMédio & Médio Médio

Médio & Demorado RuimCaro & Rápido MédioCaro & Médio Ruim

Caro & Demorado Ruim

Tabela 1. Regras de Inferência.

Valor/Tempo Rápido Médio DemoradoBarato Bom Bom MédioMédio Bom Médio RuimCaro Médio Ruim Ruim

Tabela 2. Tabela relacionando o Valor X Tempo e tendo como resultado a Quali-dade do serviço.

Outro método conhecido é o Primeiro do Máximo. Como o próprio nome sugere,neste método é tomado como valor crisp de saída do sistema o primeiro valor do pontomais alto do gráfico. A Figura 5 mostra uma ilustração do método.

Figura 5. Um exemplo da localização do primeiro ponto do Máximo (Z0).

Dessa forma, basta encontrar o valor de Z0 para que tenhamos o valor crisp desaída do sistema.

Por último, é apresentado o método Centro dos Máximos que sugere tomar comovalor crisp de saída o ponto central dos máximos. A Figura 6 mostra um exemplo destemétodo.

O valor de Z0 é calculado através da média entre os pontos de máximo. Nestecaso, estão representados pelas duas linhas tracejadas na Figura 6.

4.4. Exemplo de execuçãoNesta Seção, será mostrado um exemplo para verificar o funcionamento da Lógica Fuzzye do programa implementado.

Figura 6. Um exemplo da localização do centro dos Máximos (Z0).

No programa implementado na Linguagem C, existem os seguintes dados de en-trada: um valor para o produto (V ) e o tempo de entrega deste produto (T ). Nesteexemplo, vamos supor que V = 60 Reais e T = 4 dias.

O programa, então, entra na etapa de fuzzificação. Nesta etapa são verificadasas pertinências dos valores de entrada nos respectivos gráficos informados na Seção 4.1.Como primeira resposta, o programa informa as seguintes pertinências:

• Gráfico de Valor: Barato = 0.00, Médio = 0.60 e Caro = 0.4;• Gráfico de Tempo: Rápido = 0.67, Médio = 0.33 e Demorado = 0.0;

Em seguida, o programa entra na parte da inferência. Nessa parte, são seguidastodas as regras de inferência definidas na Seção 4.2. Assim, os valores informados para asaída (qualidade do serviço) são os seguintes:

• Nível de Qualidade: Ruim = 0.33, Médio = 0.4 e Bom = 0.6;

Com esses dados, podemos gerar um gráfico para facilitar a visualização das cur-vas que foram formadas. A Figura 7, a seguir, ilustra o resultado a partir dos valorescitados anteriormente.

Por fim, temos a parte da defuzzificação e serão mostrados os resultados de acordocom os métodos mostrados na Seção 4.3.

Após separar a Figura 7 em áreas conhecidas, obteve-se a Figura 8. Para o casodo método do Centróide, além de precisar encontrar a Área total, precisa-se das coorde-nadas do Baricentro de cada Ai. Deste modo, após a realização dos respectivos cálculos,encontraram-se os seguintes resultados:

Yg =y1A1 + y2A2 + y3A3 + y4A4 + y5A5 + y6A6 + y7A7

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7+= 0.241. (7)

Xg =x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 + x5A5 + x6A6 + x7A7

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7+= 56.82. (8)

Como precisa-se do valor da coordenada x, o valor de saída crisp do sistema éXg = 56.82, como mostra o resultado da Equação 8. Analisando esse valor graficamente,percebe-se que o valor é justo. Isso, pois, se o valor do produto é 60 Reais e o prazo deentrega foi de 4 dias, verifica-se que ambos valores estão na faixa dos valores médios de

Figura 7. Gráfico de saída após a execução da fase de inferência.

suas respectivas variáveis. Mais especificamente, o valor 60 está entre médio e caro e ovalor 4 está entre rápido e médio. Portanto, é aceitável que o valor de saída do sistema(Qualidade do serviço) também esteja na faixa média.

No próximo método, Primeiro do Ponto Máximo, analisar-se-á também o valor desaída crisp do sistema. Tendo conhecimento da faixa máxima, neste método basta tomarcomo saída do sistema o primeiro ponto do máximo. No caso deste exemplo, a saída dosistema está localizada no ponto Xg = 65. Estes valores são obtidos através de simplescálculos tendo como base as retas que formam os triângulos e trapézios.

Por fim, o método Centro dos Máximos provê como saída crisp do sistema o pontomédio (centro) dos máximos através do cálculo da média aritmética entre os pontos demáximo. Dessa forma, se o primeiro do ponto máximo é 65, e o último ponto máximo é100, ambos no eixo x, tem-se que XCentral = 82, 5.

Comparando-se as saídas crisp obtidas através dos cálculos dos três métodos,percebe-se que, para o exemplo citado, o método Centróide apresenta como saída fi-nal do sistema um valor mais justo, ou seja, de acordo com o que é desejado como saídado sistema, este foi o valor que mais se aproximou do ideal.

5. ConclusãoTendo em vista todos os tópicos vistos neste trabalho com relação à Lógica Fuzzy, pôde-seperceber um pouco de sua utilidade.

Ao ser definido um problema para utilizar lógica Fuzzy, é necessário passar paraas etapas de Fuzzificação, Inferência e Defuzzificação. Conforme aumenta a quantidadede váriáveis linguísticas, aumenta a complexidade do problema em lógica Fuzzy, pois são

Figura 8. Gráfico de saída após a execução da fase de inferência com a divisãodas áreas (Ai, i = 1, 2, ..., 7).

necessárias regras mais complexas para que o sistema possa gerar uma saída de acordocom o que se deseja.

Dessa maneira, implementou-se um exemplo de aplicação (qualidade do serviçoem uma compra pela Internet) dessa metodologia abordando todas as fases de desenvol-vimento de um sistema Fuzzy. Além disso, foi possível perceber a diferença entre osmétodos de defuzzificação sendo necessário avaliar a saída gerada por cada método deforma que esse resultado corresponda ao valor que se imagina na realidade.

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