Lógica Matemática 1 -...

Conceitos BásicosOperações Lógicas

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Lógica Matemática 1

Semanas 1, 2 e 3

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadêmico de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Material Previsto para três semanas

Proposições, conectivos Luiz Claudio Pereira

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Preliminares

1 Conceitos BásicosObjeto de estudo da lógicaNotação e simbologia

2 Operações LógicasNegação - a mais simplesConjunçãoDisjunção

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Objeto de estudo da lógicaNotação e simbologia

Roteiro

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Lógica MatemáticaFundamentos

Proposição, segundo MORTARI.

Para não complicar muito as coisas, vou começar supondo que vocêtenha uma boa idéia do que sejam as palavras da línguaportuguesa. (Entre outras, aquelas que estão listadas no Aurélio,por exemplo.) Ora, as palavras podem ser combinadas para formardiversas expressões lingüísticas, incluindo as sentenças - que, porsua vez, podem formar argumentos, poemas e declarações de amor.Assim, vamos dizer inicialmente que uma sentença (do português)é uma seqüência de palavras do português que contenha ao menosum verbo �exionado (e alguns sinais de pontuação, no portuguêsescrito), como, por exemplo:

O gato está no capacho.Toda vez que faz sol, eu vou à praia.

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É claro que nem toda seqüência de palavras do português (escrito)constitui uma sentença, como você facilmente pode constatar:

∗Os gato tá nos capacho.∗gato capacho casa que que está é se no.

Dessa maneira, o que determina quais seqüências de palavras deuma língua constituem sentenças dessa língua é sua gramática.Uma gramática, a propósito, nada mais é do que um conjunto deregras que dizem de que forma se podem combinar as palavras.

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As sentenças podem ser classi�cadas em diversos tipos.

Que horas são?Feche a porta!

A primeira é uma pergunta - uma sentença interrogativa - enquantoa segunda é uma ordem - uma sentença imperativa. Nem uma,nem outra, pode ser a�rmada ou negada, ou considerada verdadeiraou falsa. As perguntas podem ser interessantes, inoportunas,descabidas, e assim por diante, mas �ca esquisito dizer que umapergunta é verdade, ou que é falsa. A mesma coisa acontece comrespeito a ordens e pedidos.

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Assim, as sentenças que nos interessam na lógica são as sentençasdeclarativas, aquelas que podemos a�rmar ou negar. Isto exclui assentenças interrogativas, imperativas, exclamativas, e assim pordiante.Contudo, será que as sentenças declarativas realmentecorrespondem ao que desejamos, isto é, são coisas que podem serou verdadeiras ou falsas?

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Ainda que muitos autores a�rmem que sim, um bom número temuma opinião contrária. Acontece que as sentenças (inclusive asdeclarativas) podem ser usadas para expressar muitas coisasdiferentes - e parece que são estas outras coisas que costumamosachar verdadeiras ou falsas. É impossível dizer se a sentença

Está chovendo,

é verdadeira ou falsa.

Para piorar as coisas, supor que são as sentenças que sãoverdadeiras ou falsas pode implicar uma sentença sendo verdadeirae falsa numa mesma situação.

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Ainda que muitos autores a�rmem que sim, um bom número temuma opinião contrária. Acontece que as sentenças (inclusive asdeclarativas) podem ser usadas para expressar muitas coisasdiferentes - e parece que são estas outras coisas que costumamosachar verdadeiras ou falsas. É impossível dizer se a sentença

Está chovendo,

é verdadeira ou falsa.

Para piorar as coisas, supor que são as sentenças que sãoverdadeiras ou falsas pode implicar uma sentença sendo verdadeirae falsa numa mesma situação.

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Imagine, por exemplo, que Ollie Hardy e Stan Laurel (maisconhecidos no Brasil como o Gordo e o Magro) estejam juntosnuma mesma sala, e a�rmem, simultaneamente, a sentença

Eu sou gordo.

A�rmada por Hardy, esta sentença é verdadeira, e falsa se a�rmadapor Laurel. Somos então obrigados a concluir que a sentença éverdadeira e falsa ao mesmo tempo!

Este é um resultado que parece não ser muito desejável, mas quepode ser evitado se considerarmos que são outras as coisas quepodem ser verdadeiras ou falsas.

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Eu sou gordo.

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Eu sou gordo.

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Vamos tentar esclarecer o que estas coisas são, considerando algunsexemplos (onde Miau é obviamente um gato):

Miau rasgou a cortina. (1)A cortina foi rasgada por Miau. (2)

Temos aqui duas sentenças distintas, uma vez que a seqüência depalavras em (1) é diferente de (2).

Contudo, apesar de serem diferentes, (1) e (2) têm alguma coisaem comum: elas podem ser usadas para expressar uma mesmaproposição. Mas o que é, a�nal, uma proposição?

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Aqui a coisa se complica um pouco, pois há grande discordânciasobre o que, exatamente, é uma proposição.

É costumeiro identi�car uma proposição com o signi�cado de umasentença declarativa. Isto, entretanto, não resolveria o problemamencionado acima com respeito a Laurel e Hardy. A�nal, asentença dita tem um único signi�cado, ainda que a�rmada pordiferentes pessoas.

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Aqui a coisa se complica um pouco, pois há grande discordânciasobre o que, exatamente, é uma proposição.

É costumeiro identi�car uma proposição com o signi�cado de umasentença declarativa. Isto, entretanto, não resolveria o problemamencionado acima com respeito a Laurel e Hardy. A�nal, asentença dita tem um único signi�cado, ainda que a�rmada pordiferentes pessoas.

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Fora isso, as proposições têm sido ainda identi�cadas comconjuntos de mundos possíveis, pensamentos, conjuntos desentenças sinônimas, estados de coisas, representações mentais, eaté mesmo com as próprias sentenças declarativas.

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Por outro lado, muitos autores estão convencidos de queproposições não existem. A�nal, você não consegue enxergar umaproposição, nem agarrar uma: proposições não ocupam lugar noespaço, não são afetadas pela gravidade, nem re�etem luz. Namelhor das hipóteses, dizem eles, as proposições são complicaçõesdesnecessárias, e pode-se muito bem trabalhar apenas comsentenças.

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Seguindo Barwise & Etchemendy, 1987, p. 9 e 10, ao tratar dasemântica de situações, vamos reservar o termo sentença para falardas seqüências gramaticais de palavras, e proposição para aquelascoisas que podem ser verdadeiras ou falsas, aquelas coisas quepodemos saber, a�rmar, rejeitar, de que podemos duvidar, em quepodemos acreditar etc.

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Proposição, segundo MORTARI

Assim, vamos caracterizar as proposições como espécies dealegações ou asserções sobre o mundo: por exemplo, quando Hardya�rma a sentença

Eu sou gordo, (3)

ele está com isto fazendo uma asserção a seu respeito, Hardy, que édiferente da asserção feita por Laurel através da mesma sentença.

Dito de outro modo, Hardy usa (3) para expressar a proposiçãoverdadeira de que Ollie Hardy é gordo, enquanto o uso por Laurelde (3) expressa a proposição falsa de que Stan Laurel é gordo.

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Assim, vamos caracterizar as proposições como espécies dealegações ou asserções sobre o mundo: por exemplo, quando Hardya�rma a sentença

Eu sou gordo, (3)

ele está com isto fazendo uma asserção a seu respeito, Hardy, que édiferente da asserção feita por Laurel através da mesma sentença.

Dito de outro modo, Hardy usa (3) para expressar a proposiçãoverdadeira de que Ollie Hardy é gordo, enquanto o uso por Laurelde (3) expressa a proposição falsa de que Stan Laurel é gordo.

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Quanto aos enunciados, também há divergências sobre comode�ni-los. Alguns autores chamam de enunciado o que estou aquichamando de proposição.

Vamos aqui caracterizar os enunciados como espécies de eventoque pode ser datado, envolvendo a a�rmação por alguém, emalguma situação, de alguma proposição (o que é feito pelo uso deuma sentença declarativa).

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Quanto aos enunciados, também há divergências sobre comode�ni-los. Alguns autores chamam de enunciado o que estou aquichamando de proposição.

Vamos aqui caracterizar os enunciados como espécies de eventoque pode ser datado, envolvendo a a�rmação por alguém, emalguma situação, de alguma proposição (o que é feito pelo uso deuma sentença declarativa).

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Para diferenciar enunciados de proposições, observe que, às vezes,os enunciados deixam de expressar uma proposição.

Por exemplo, se eu a�rmar, apontando para uma mesa vazia

Aquela garrafa de cerveja está quebrada, (4)

embora eu a�rme uma sentença e, portanto, pro�ra um enunciado,eu falho em expressar uma proposição, porque não há nenhumagarrafa de cerveja lá.

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Para diferenciar enunciados de proposições, observe que, às vezes,os enunciados deixam de expressar uma proposição.

Por exemplo, se eu a�rmar, apontando para uma mesa vazia

Aquela garrafa de cerveja está quebrada, (4)

embora eu a�rme uma sentença e, portanto, pro�ra um enunciado,eu falho em expressar uma proposição, porque não há nenhumagarrafa de cerveja lá.

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Antes de continuarmos, porém, volto a lembrar que proposições eenunciados são de�nidos de diversas outras maneiras por váriosautores.

Proposição, segundo ALENCAR FILHO

Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo.

As proposições transmitem pensamentos, isto é, a�rmam fatos ouexprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.

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Proposição simples

Chama-se proposição simples aquela que não contém nenhumaoutra proposição como parte integrante de si mesma.

Uma proposição simples também é chamada proposição atômica ouátomo.

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Proposição simples

Chama-se proposição simples aquela que não contém nenhumaoutra proposição como parte integrante de si mesma.

Uma proposição simples também é chamada proposição atômica ouátomo.

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Proposição composta

Chama-se proposição composta aquela formada pela combinaçãode duas ou mais proposições.

Uma proposição composta também é denominada proposiçãomolecular ou molécula ou fórmula proposicional ou apenas fórmula.

Observação

As proposições componentes de uma proposição composta podemser, elas mesmas, proposições moleculares.

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Observação

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Observação

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Um pouco de História, de acordo com GARBI

Em geral, as pessoas procuram justi�car suas a�rmações e provarque seus posicionamentos estão corretos. Para isso é indispensávelsaber rigorosamente do que se está falando. Para justi�car ouprovar seus pontos de vista, as pessoas procuram iniciar a exposiçãopor um ponto de partida adequado. Uma pergunta natural é: poronde começar?

Essa é uma questão sutil para a qual não há resposta única e quedeve ter inquietado intensa e longamente (os �lósofos e)matemáticos gregos.

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Em geral, as pessoas procuram justi�car suas a�rmações e provarque seus posicionamentos estão corretos. Para isso é indispensávelsaber rigorosamente do que se está falando. Para justi�car ouprovar seus pontos de vista, as pessoas procuram iniciar a exposiçãopor um ponto de partida adequado. Uma pergunta natural é: poronde começar?

Essa é uma questão sutil para a qual não há resposta única e quedeve ter inquietado intensa e longamente (os �lósofos e)matemáticos gregos.

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No século VII a. C., os gregos estreitaram seus contatos com acivilização egípcia, aprenderam o que ali era feito em Aritmética eGeometria e introduziram um conceito que revolucionou oconhecimento, disparando o processo cienti�co que nos conduziu aoatual mundo tecnológico: as a�rmações feitas (na Matemática)devem ser provadas.

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O autor dessa proeza foi o célebre �lósofo Tales (circa 640 a. C. -564 a. C.), da cidade de Mileto, no litoral da penísula da Anatólia,hoje território da Turquia. Tales era um rico comerciante queviajava com frequência ao Egito para ali fazer seus negócios.Dotado de grande inteligência e cultura, interessou-se em aprendera Aritmética e a Geometria do país do Nilo e, ao fazê-lo, percebeualgo em que seus antecessores não haviam pensado: certos fatosmatemáticos são decorrências inescapáveis de outros.

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Consciente da importância dessa característica intrínseca daMatemática, Tales criou em sua cidade uma escola dedicada aosestudos da Aritmética, Geometria, Astronomia e Filoso�a, hojeconhecida por Escola de Mileto. Aliás, Tales é considerado nãoapenas o primeiro matemático, mas, também, o primeiro �lósofogrego, tendo sido aclamado já na Antiguidade um dos Sete Sábiosda Grécia.

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Em certo ponto de suas meditações, os �lósofos tiveram quereconhecer que o preceito de que as a�rmações feitas (naMatemática) devem ser provadas - tem limitações. Na realidade,nem tudo na Matemática pode ser demonstrado: algumasa�rmações precisam ser aceitas sem provas, para que o processo deexposição (do pensamento) possa ter início.

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Princípios, postulados, axiomas

Essas a�rmações que precisamos admitir sem provas sãodenominadas princípios, postulados ou axiomas (aqui empregadoscomo sinônimos).

A História não registrou datas precisas ou nomes dos matemáticosque chegaram a essa admirável conclusão: existem princípios.Parece razoável, entretanto, que isso tenha ocorrido em meados dosanos 400 a. C. Sabe-se que, por volta de 430 a. C., um geômetrade nome Hipócrates de Quios (460 a. C. - 380 a. C.), mudou-separa Atenas e ali ensinou Geometria com base em um livro, por elemesmo escrito, onde as provas já eram apresentadas de formaorganizada.

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Princípios, postulados, axiomas

Essas a�rmações que precisamos admitir sem provas sãodenominadas princípios, postulados ou axiomas (aqui empregadoscomo sinônimos).

A História não registrou datas precisas ou nomes dos matemáticosque chegaram a essa admirável conclusão: existem princípios.Parece razoável, entretanto, que isso tenha ocorrido em meados dosanos 400 a. C. Sabe-se que, por volta de 430 a. C., um geômetrade nome Hipócrates de Quios (460 a. C. - 380 a. C.), mudou-separa Atenas e ali ensinou Geometria com base em um livro, por elemesmo escrito, onde as provas já eram apresentadas de formaorganizada.

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Se ele enunciou ou não alguns postulados não sabemos, porque seulivro não chegou até nós e dele não temos maiores informações. Em386 a. C., o célebre �lósofo Platão fundou em Atenas sua chamadaAcademia e nela os estudos da Matemática receberam grandeprioridade. Sabemos que na Academia era usado um livro-texto deGeometria produzido por Têudio de Magnésia, que reunira demaneira admirável os conhecimentos acumulados até então.

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O mais notável dos discípulos da Academia de Platão foi Aristótelesde Estagira (384 a.C. - 322 a.C.), um �lósofo versado em vastasáreas da cultura e das ciências que chegou a ser professor deAlexandre Magno. Em alguns de seus escritos, falandogenericamente e não apenas da Matemática, Aristóteles a�rma quenas ciências existem verdades evidentes por si mesmas, que devemser aceitas sem prova.

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Portanto, pode-se concluir que, já naquela época, a Matemática daAcademia havia incorporado o conceito de axioma (ou postulado).

Documentos antigos como o papiro de Moscou (1850 a. C.) e opapiro de Ahmes (1650 a. C.), de um lado, surpreeendem porresolverem corretamente alguns problemas difíceis para a época; deoutro lado, eles nos desapontam porque os autores dosprocedimentos apresentados para a obtenção das soluções não sepreocuparam em justi�car os caminhos seguidos.

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Portanto, pode-se concluir que, já naquela época, a Matemática daAcademia havia incorporado o conceito de axioma (ou postulado).

Documentos antigos como o papiro de Moscou (1850 a. C.) e opapiro de Ahmes (1650 a. C.), de um lado, surpreeendem porresolverem corretamente alguns problemas difíceis para a época; deoutro lado, eles nos desapontam porque os autores dosprocedimentos apresentados para a obtenção das soluções não sepreocuparam em justi�car os caminhos seguidos.

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O que se vê, invariavelmente, são a�rmações do tipo: �faça isso;em seguida aquilo; e depois isso. Essa é a solução�. Em poucaspalavras, a matemática empírica dos egípcios e mesopotâmiosinteressava-se apenas em saber �o que fazer� e não �por que fazer�.

As ciências cujas leis são descobertas por meio da observação doque acontece no mundo, naturalmente ou em experimentosconduzidos pelo próprio homem são chamadas de CiênciasExperimentais. Suas leis básicas não são descobertas por puroraciocínio: é indispensável extraí-las daquilo que se percebe nopróprio ambiente em que são feitas as pesquisas. A Física, aQuímica e a Biologia são exemplos clássicos desse tipo de ciência.

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O que se vê, invariavelmente, são a�rmações do tipo: �faça isso;em seguida aquilo; e depois isso. Essa é a solução�. Em poucaspalavras, a matemática empírica dos egípcios e mesopotâmiosinteressava-se apenas em saber �o que fazer� e não �por que fazer�.

As ciências cujas leis são descobertas por meio da observação doque acontece no mundo, naturalmente ou em experimentosconduzidos pelo próprio homem são chamadas de CiênciasExperimentais. Suas leis básicas não são descobertas por puroraciocínio: é indispensável extraí-las daquilo que se percebe nopróprio ambiente em que são feitas as pesquisas. A Física, aQuímica e a Biologia são exemplos clássicos desse tipo de ciência.

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As leis obtidas por meio da experiência, também chamadas de leisempíricas, têm, entretanto, uma limitação intrínseca: nuncapodemos estar absolutamente seguros delas. Elas são válidasapenas enquanto podem explicar satisfatoriamente os fenômenosque devem abranger.

Nestes termos, pode-se dizer que as primeiras a�rmaçõesmatemáticas eram verdades empíricas porque foram percebidaspelos homens das sociedades primitivas através daquilo queexperimentavam ao trabalhar na prática com números ou �gurasgeométricas. Essa situação não se alterou signi�cativamente até oséculo VII a. C..

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As leis obtidas por meio da experiência, também chamadas de leisempíricas, têm, entretanto, uma limitação intrínseca: nuncapodemos estar absolutamente seguros delas. Elas são válidasapenas enquanto podem explicar satisfatoriamente os fenômenosque devem abranger.

Nestes termos, pode-se dizer que as primeiras a�rmaçõesmatemáticas eram verdades empíricas porque foram percebidaspelos homens das sociedades primitivas através daquilo queexperimentavam ao trabalhar na prática com números ou �gurasgeométricas. Essa situação não se alterou signi�cativamente até oséculo VII a. C..

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A partir do século VII a. C., notou-se que a Matemática não é umaciência experimental. Suas leis são de uma natureza totalmentediferente e peculiar: elas não se fundamentam em experiências, massim em provas de natureza lógica. Uma verdade matemáticaprovada na Grécia há 24 séculos continuará válida por toda aeternidade, na Terra, em Marte ou em qualquer outro local doUniverso.

Deste modo, a essência da Matemática, que a distingue dos demaiscampos do conhecimento, é a prova, a demonstração oujusti�cativa lógica.

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A partir do século VII a. C., notou-se que a Matemática não é umaciência experimental. Suas leis são de uma natureza totalmentediferente e peculiar: elas não se fundamentam em experiências, massim em provas de natureza lógica. Uma verdade matemáticaprovada na Grécia há 24 séculos continuará válida por toda aeternidade, na Terra, em Marte ou em qualquer outro local doUniverso.

Deste modo, a essência da Matemática, que a distingue dos demaiscampos do conhecimento, é a prova, a demonstração oujusti�cativa lógica.

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Além de axiomas (postulados, princípios), para evitar dubiedadesque comprometeriam a qualidade das provas, os entes matemáticosnecessitam estar rigorosamente de�nidos.

Os gregos, pelo que se depreende das obras que chegaram até nós,pareciam acreditar que todos os entes da Matemática poderiam serdescritos por meio de alguma de�nição.

Entretanto, na segunda metade do século XIX (se não antes),quando os fundamentos da Matemática foram revisados emprofundidade, concluiu-se que alguns poucos entes matemáticos sãoinde�níveis: nossa mente os vislumbra independentemente dequalquer descrição por meio de palavras.

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Por isso mesmo, estes poucos entes são chamados de ConceitosPrimitivos.

São conceitos primitivos e, portanto, inde�níveis os conceitos deponto, reta e plano.

Após todas essas considerações, pergunta-se: o que é uma prova(demonstração, ou justi�cativa lógica) em Matemática?

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Prova de uma a�rmação referente a um ou mais entes matemáticosé o processo pelo qual, partindo exclusivamente de de�nições,conceitos primitivos e postulados, evidencia-se a veracidade daa�rmação por meio de uma sequência de assertivas lógicas válidas.

Naturalmente, para que não se necessite em cada demonstraçãoretornar aos postulados e conceitos primitivos, pode-se utilizar emuma prova outras a�rmações demonstradas anteriormente.

Aqui, vale também dizer algumas palavras sobre o que não é umaprova.

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Não são aceitáveis (em uma prova), assertivas do tipo:

�Intuitivamente, vê-se que�

�Por uma questão de bom senso conclui-se que�

�É evidente ou óbvio que�

�Da �gura, �ca claro que�

�É lógico que�

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A intuição e o bom senso são ótimos guias para se fazerconjecturas e imaginar caminhos. As �guras e esquemas ajudambastante a entender uma questão e orientar nosso raciocínio. Asprovas, entretanto, só podem fundamentar-se nos axiomas(princípios, postulados), de�nições, (outros) resultadosdemonstrados e raciocínio lógico válido.

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Exemplo de conjectura

Note que

1+3 = 41+3+5 = 9

1+3+5+7 = 161+3+5+7+9 = 25

1+3+5+7+9+11 = 36

Desta observação, conjectura-se que: �A soma, começando em 1,de números ímpares consecutivos é um quadrado perfeito.�Essa conjectura precisa ser provada usando os postulados, asde�nições, (outros) resultados já demonstrados e um raciocíniológico válido.

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Construção de um Sistema Lógico, de acordo com MORTARI

Uma lógica - como a lógica clássica - pode ser caracterizada poruma relação de consequência, de�nida sintática ou semanticamente.Além disso, pode-se fazer isto por meio de um conjunto dasfórmulas válidas (ou seja, as fórmulas verdadeiras em qualquerinterpretação); ou um sistema axiomático (um certo conjunto deaxiomas e regras de inferência); ou ainda o conjunto dos teoremasde um sistema axiomático, ou de uma sistema de dedução natural.

Lógicas imperativas, lógicas erotéticas (de perguntas), lógicasparaconsistentes, lógicas polivalentes (com diversas valoraçõeslógicas), lógicas modais, lógicas fracas, lógica nebulosa (ou fuzzy).

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Construção de um Sistema Lógico, de acordo com MORTARI

Uma lógica - como a lógica clássica - pode ser caracterizada poruma relação de consequência, de�nida sintática ou semanticamente.Além disso, pode-se fazer isto por meio de um conjunto dasfórmulas válidas (ou seja, as fórmulas verdadeiras em qualquerinterpretação); ou um sistema axiomático (um certo conjunto deaxiomas e regras de inferência); ou ainda o conjunto dos teoremasde um sistema axiomático, ou de uma sistema de dedução natural.

Lógicas imperativas, lógicas erotéticas (de perguntas), lógicasparaconsistentes, lógicas polivalentes (com diversas valoraçõeslógicas), lógicas modais, lógicas fracas, lógica nebulosa (ou fuzzy).

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Conectivos

O que são conectivos lógicos?

São palavras que se usam para formar novas proposições a partir deoutras proposições.

Quais são os conectivos usuais da lógica clássica?

São as seguintes palavras do português usual:

�e�

�ou�

�não�

�se ..., então ...�

�... se, e somente se, ...�

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Conectivos

O que são conectivos lógicos?

São palavras que se usam para formar novas proposições a partir deoutras proposições.

Quais são os conectivos usuais da lógica clássica?

São as seguintes palavras do português usual:

�e�

�ou�

�não�

�se ..., então ...�

�... se, e somente se, ...�

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Axiomas da Lógica Clássica

Princípio da Identidade

Todo objeto é idêntico a si próprio.

Observação

A realidade é �uida. Nada permanece igual a si próprio. Qualquerraciocínio sobre objetos é uma �cção.

Princípio da não-contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Observação

A Lógica dos Computadores Quânticos não pode seguir a LógicaMatemática Clássica.

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Observação

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Observação

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Princípio do Terceiro Excluído

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Observação

Disto decorre que:

Dada uma proposição, veri�ca-se somente um desses valoreslógicos e nunca um terceiro.

A Lógica Matemática Clássica é bivalente.

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Princípio do Terceiro Excluído

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Observação

Disto decorre que:

Dada uma proposição, veri�ca-se somente um desses valoreslógicos e nunca um terceiro.

A Lógica Matemática Clássica é bivalente.

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Conectivos

Princípio Funcional

A valoração lógica de qualquer proposição composta estádeterminada pelos valores lógicos de suas proposições simplesconstituintes.

Noutras palavras, o valor lógico de uma fórmula dependeunicamente dos valores lógicos das proposições simplescomponentes, �cando por elas univocamente determinado.

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Conectivos

Princípio Funcional

A valoração lógica de qualquer proposição composta estádeterminada pelos valores lógicos de suas proposições simplesconstituintes.

Noutras palavras, o valor lógico de uma fórmula dependeunicamente dos valores lógicos das proposições simplescomponentes, �cando por elas univocamente determinado.

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Roteiro

Próximas Aulas

Letras minúsculas p, q,r , ... indicarão proposições simples.

Letras maiúsculas P, Q, R , ... denotarão proposiçõescompostas.

V (P) e V (p) representam, respectivamente, os valores lógicosda proposição composta P e da proposição simples p.

Se P é constituída pelas proposições p,q, r , ... então pode-seescrever

P(p,q, r , ...)

e o valor lógico de P depende somente dos valores lógicos decada um de seus átomos constituintes.

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Tabelas-verdade.

Observação

O número de valorações distintas de uma proposição (composta) Ppode até ser in�nita, pois pode ocorrer dela ser constituída por umnúmero in�nito de átomos. Uma vez que, seja lá que valoraçãotivermos, as proposições podem ser apenas verdadeiras (V ) oufalsas (F ), se uma dada proposição P é formada por n átomos, onúmero de combinações possíveis para as valorações destes átomosé 2n. Decorre que a informação sobre V (P), dependente dos nátomos, pode ser organizada em uma tabela, cuja entrada sãotodas as valorações possíveis para os átomos.

Próximas Aulas

Tabelas-verdade

Exemplo

Se a proposição composta P é constituída pelos átomos u e v,

pode-se construir a tabela-verdadeu v P(u,v)

Observação

A coluna relativa aos valores de P somente pode ser completada seconhecemos de que modo P depende de u e v . O importante énotar que essa tabela-verdade tem 22 linhas.

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Tabelas-verdade

Exemplo

Se a proposição composta P é constituída pelos átomos u e v,

pode-se construir a tabela-verdadeu v P(u,v)

Observação

A coluna relativa aos valores de P somente pode ser completada seconhecemos de que modo P depende de u e v . O importante énotar que essa tabela-verdade tem 22 linhas.

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Negação - a mais simplesConjunçãoDisjunção

Roteiro

Próximas Aulas

Negação

De�nição

A negação de uma proposição P é a proposição, representada por

∼ P ou ¬P, cujo valor lógico é a verdade quando P é falsa e a

falsidade quando P é a verdade.P ∼ P

Corolário

As proposições P e ∼ (∼ P) têm as mesmas tabelas-verdade.

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Negação

De�nição

A negação de uma proposição P é a proposição, representada por

∼ P ou ¬P, cujo valor lógico é a verdade quando P é falsa e a

falsidade quando P é a verdade.P ∼ P

Corolário

As proposições P e ∼ (∼ P) têm as mesmas tabelas-verdade.

Próximas Aulas

Roteiro

Próximas Aulas

Conjunção

De�nição

A conjunção das proposições P

e Q, representada por P ∧Q, é

a proposição cujo valor lógico é

a verdade quando P e Q são

verdadeiras e falsidade nos

demais casos.

P Q P ∧QV V V

Corolário

A tabela-verdade da proposição

∼ (P ∧Q) é dada por

P Q ∼ (P ∧Q) P ∧QV V F V

V F V F

F V V F

F F V F

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Conjunção

De�nição

A conjunção das proposições P

e Q, representada por P ∧Q, é

a verdade quando P e Q são

verdadeiras e falsidade nos

demais casos.

P Q P ∧QV V V

Corolário

A tabela-verdade da proposição

∼ (P ∧Q) é dada por

V F V F

F V V F

F F V F

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Roteiro

Próximas Aulas

Disjunção

De�nição

A disjunção das proposições P

e Q, representada por P ∨Q, é

a verdade quando ao menos

uma das proposições P e Q é

verdadeira e a falsidade quando

P e Q são ambas falsas.

P Q P ∨QV V V

Corolário

A tabela-verdade das

proposições ∼ (P ∧Q) e(∼ P)∨ (∼ Q) são iguais,

relativamente às mesmas

entradas.

Próximas Aulas

Disjunção

De�nição

A disjunção das proposições P

e Q, representada por P ∨Q, é

a verdade quando ao menos

uma das proposições P e Q é

verdadeira e a falsidade quando

P e Q são ambas falsas.

P Q P ∨QV V V

Corolário

A tabela-verdade das

proposições ∼ (P ∧Q) e(∼ P)∨ (∼ Q) são iguais,

relativamente às mesmas

entradas.

Próximas Aulas

Disjunção

Demonstração.

V F V F

F V V F

F F V F

(∼ P) ∨ (∼ Q)

Próximas Aulas

Disjunção

Demonstração.

(∼ P) ∨ (∼ Q)

F V F F V

F V V V F

V F V F V

V F V V F

P Q ∼ (P ∧Q)

Próximas Aulas

Próximas aulas

Disjunção exclusiva.

Condicional.

Bicondicional.

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Transição de uma linguagem para a outra.

Interpretação e diferenças entre signi�cados.

Apêndice Leitura recomendada

Leitura Recomendada I

Filho, Edgard de Alencar.Iniciação à Lógica Matemática.São Paulo: Nobel, 2002.

Mortari, Cezar A.Introdução à Lógica.São Paulo: editora UNESP, 2001.

Barwise, J., Etchemendy, J.The Liar. An Essay on Truth and Circularity.New York: Oxford University Press, 1987.

Garbi, Gilberto G.C. Q. D. : explicações e demonstrações sobre conceitos,

teoremas e fórmulas essenciais da geometria.São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.

Lógica Matemática 1 -...

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