Lógica matemática UCC Cap 4

7/26/2019 Lgica matemtica UCC Cap 4

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Cicern Jimnez Sierra

CAPTULO 4

APLICACIONES DE LA LOGICA MATEMATICA A LA

INGENIERAMuchas palabras no dan prueba del hombre sabio,

porque el sabio no ha de hablar sino cuando la necesidad

demanda, y las palabras han de ser medidas y

correspondientes a la necesidadThales de Mileto

TEMAS Pag.INTRODUCCIN 61.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA LGICA MATEMTICA 8

1.1.1 La proposicin y su papel en las matemticas. Porceso de verificacin de laverdade de una proposicin. 8

Prctica 1.1 10Prctica 1.2 17Prctica 1.3 20

1.1.2 Conectivos y operaciones proposicionales 211.1.2.1 Negacin 221.1.2.2 Conjuncin 231.1.2.3 Disyuncin 271.1.2.4 Condicional o Implicacin 29

Prctica 1.4 321.1.2.5 Bicondicional o Equivalencia 34

Prctica 1.5 361.1.3 Negacin de las operaciones lgicas 371.1.3.1 Negacin de la Conjuncin o Primera ley de De Morgan 371.1.3.2 Negacin de la Disyuncin o Segunda ley de De Morgan 371.1.3.3 Negacin del Condicional o Implicacin 391.1.3.4 Negacin del Bicondicional o Equivalencia 41

Prctica 1.6 431.2 FRMULAS BIEN FORMADAS O FBF 461.2.1 Conceptod fundamentales 47

1.2.2 Tautologa 521.2.3 Contradiccin 52

Prctica 1.7 531.2.4 Implicaciones Tautolgicas 54

Prctica 1.8 551.2.5 Equivalencias tautolgicas 56

Prctica 1.9 58


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Una introduccin a la lgica matemtica y conjuntos para estudiantes de ingeniera 2

1.3 DEDUCCIN O INFERENCIA 581.3.1 Leyes o Reglas de inferencia 611.3.2.1 Ley de razonamiento Modus Ponendo Ponens 611.3.2.2 Ley de razonamiento Modus Tollendo Tollens 671.3.2.3 Ley de razonamiento Modus Tollendo Ponens 72

1.3.2.4 Ley de razonamiento Simplificacin 751.3.2.5 Ley de razonamiento Adjuncin 761.3.2.6 Ley de razonamiento Simplificacin Disyuntiva 781.3.2.7 Ley de razonamiento Adicin 791.3.2.8 Ley de razonamiento Silogismo Hipottico 801.3.2.9 Ley de razonamiento Silogismo Disyuntivo 821.4.1 Mtodos de demostracin de la validez de un razonamiento por reduccin alabasurdo

84

1.4.1.1 Mtodo Directo 84Prctica 1.10 89

1.4.1.2 Mtodo Indirecto por reducci al absurdo 92Prctica 1.11 94BIBLIOGRAFIA 95

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor.[San Petersburgo, 1845 Halle, Alemania, 1918]

Informacin tomada deGnesis y evolucin del pensamiento cientfico. Documento deHenri Poincar disponible enhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm

Biografa y Vidas:http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm .

Georg Ferdinand Ludwig PhilippCantor.Matemtico alemn de origen ruso. El joven

Cantor permaneci en Rusia junto a sufamilia durante once aos, hasta que la

delicada salud de su padre les oblig atrasladarse a Alemania. En 1862 ingresen la Universidad de Zurich, pero tras la

muerte de su padre, un ao despus, setraslad a la Universidad de Berln, dondeestudi matemticas, fsica y filosofa. Sedoctor en 1867 y empez a trabajar comoprofesor adjunto en la Universidad de

Halle. En 1874 public su primer trabajosobre teora de conjuntos. Entre 1874 y
http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm


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1897, demostr que el conjunto de los nmeros enteros tena el mismo nmerode elementos que el conjunto de los nmeros pares, y que el nmero de puntosen un segmento es igual al nmero de puntos de una lnea infinita, de unplano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienenel mismo tamao.

Consider estos conjuntos como entidades completas con un nmero deelementos infinitos completos. Llam a estos nmeros infinitos completosnmeros transfinitos y articul una aritmtica transfinita completa. Por estetrabajo fue ascendido a profesor en 1879.

Sin embargo, el concepto de infinito en matemticas haba sido tab hastaentonces, y por ello se granje algunos enemigos, especialmente LeopoldKronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en unainstitucin docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajoy constantemente atacado por Kronecker, sufri su primera crisis nerviosa en

1884.

Sus teoras slo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fuegalardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitidotanto en la Sociedad Matemtica de Londres como en la Sociedad de Cienciasde Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teora deconjuntos, punto de partida de exepcional importancia en el desarrollo de lamatemtica moderna. Muri en una institucin mental.

1.1 CONJUNTOS

1.1.1 Conceptos Generales

El concepto de conjunto hace parte de una de las teoras de la matemtica llamada teora deconjuntos. En ella, este es un concepto primitivo y por consiguiente no se puede definir; noexiste un concepto anterior a este por ser fundamental. Se tiene la idea de que es unaagrupacin de objetos llamados elementos.

Figura 2. Conjunto de figuras geomtricas planas


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Un conjunto se denota, se nombra, por letras maysculas A, B, C,... Tambin con una letramayscula subindizada como A1, A2, A3, An. Los elementos de un conjunto se determinande dos maneras: por Extensino Comprensin. Un conjunto se determina por extensincuando se nombran sus elementos y por comprensin cuando se da una propiedad ocaracterstica de ellos.

Figura 1. Mapa conceptual sobre el concepto de conjunto

En la figura inmediatamente anterior se tiene un conjunto de figuras geomtricas quedenotaremos por G, el cual se expresa por extensin y comprensin del siguiente modo:

Determinacin por extensin, G = {tringulo escaleno, paralelogramo, trapecio, crculo,hexgono, rombo, tringulo rectngulo, pentgono}.

Determinacin por comprensin, G = {x: x es figura geomtrica}; el cual se lee: el conjuntode las x tal que x es figura geomtrica.

Los conjuntos A = {a, e, i, o, u} y N= {1, 2, 3, 4, 5,...} estn determinados por extensinmientras que A = {x/x es vocal} y N= {y: y es nmero natural} estn determinados porcomprensin.

Definicin 4.1

Conjuntos vaco y unitario.Un conjunto A es vaco si y solo si A carece de elementos. Sedenota por { } o por medio de la letra griega fi, . Un conjuntoA es unitario si y solo si A tiene un solo elemento.

El conjunto M = {z: z es satlite artificial de Plutn} es vaco y L = {w: w es satlitenatural de la tierra} es unitario.


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Ejemplo 4.1 Conjuntos vaco y unitario.

Determinar si el conjunto 2: 2 3 0A x x x es vaco o unitario.

Solucin.La ecuacin2

2 3 0x x es de la forma general 2 0ax bx c la cual puede

resolverse por la frmula2

4

2

b b acx

a

, donde 1, 2a b y 3c . As,

22 2 4 1 3 2 12 4 8 2 4 2 4 2 2

1

2 1 2 2 2 2 2

ii ix i

. Por tanto,

las soluciones o races de esta ecuacin 1 y 1x i x i son nmeros que no son relaes

(son nmeros complejos). Por consiguiente, 2: 2 3 0A x x x ; A es un conjuntovaco.


Determinar si el conjunto 2: 9 6 100 0B x x x es vaco o unitario.

Solucin.La ecuacin2

9 60 100 0x x es de la forma general 2 0ax bx c , la cual

puede resolverse por la frmula2

4

2

b b acx

a

, donde 9, 60a b y 100c . As,

2

60 60 4 9 100 6 3600 3600 2 0 2 0 2 1

2 9 18 18 18 18 9x

. Por

tanto, hay una nica solucin o raz de esta ecuacin

1

9x

, es un nmeros real. Por

consiguiente, 12: 2 3 09

B x x x

; B es un conjunto unitario.


Determinar si el conjunto22:3

C x x

es vaco o unitario.

Solucin.La ecuacin22

03

x es de la forma general 2 0ax bx c . Si se desea,

puede resolverse por la frmula2

4

2

b b acx

a

, donde 1, 0a b y 2

3c . En lugar

de esto, 2 2

3x . Por tanto,

2

3x . As,

2

3x y

2

3x son nmeros reales. Por

consiguiente,2 222: ,3 33

C x x

; B no es conjunto vaco ni unitario.


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Definicin 4.2

Conjunto Universal.Sean A1, A2,...An n conjuntos. Se llama conjunto universalouniversode los n conjuntos A1, A2,...Ana un conjunto U quemnimamente contiene los elementos de estos conjuntos.

Para los conjuntos A = {1, 2} y B ={2, 3, 4}, un conjunto universal puede ser U= {1, 2, 3, 4}; tambin puede serlo U = {1,2,3,4,5} o U = {1,2,3,4,5,6, ...}.

Desde el punto de vista del nmero de elementos de un conjunto estos pueden ser finitos oinfinitos.

Sean A un conjunto. El conjunto A es finito si y solo si tiene un nmero determinado deelementos. El conjunto vaco es finito, pues tiene cero elementos. Si este no es el caso, elconjunto es infinito.

Definicin 4.3

Conjuntos Finito e Infinito.Un conjunto A es finito si y solo si puede ponerse encorrespondencia biunvoca con el conjunto {1, 2, ..., n}, paraalgn nmero natural n.Un conjunto A es infinito si y solo si no puede ponerse encorrespondencia biunvoca con un conjunto {1, 2, 3, ..., n} paratodo nmero natural n.

As, el conjunto de pases de la tierra es un conjunto finito, mientras que el conjunto de lasestrellas del universo es infinito.

Ejemplo 4.4 Conjuntos Finito e Infinito.

Determinar si el conjunto de parejas 2

, : 10A x y R x y es finito o infinito.

Solucin.El conjunto consiste en todas las parejas de nmeros reales tales que su suma dcomo resultado 10; hay un nmero infinito de dichas parejas:

2 1 21

, : 10 1,9 , 9,1 , 2,12 , , ,...2 2

A x y R x y

.

Este es un conjunto infinito porque cada uno de sus elementos se puede poner en

correspondencia con el conjunto infinito 1,2,3,4,5,6,... ; por lo cual se deduce quehay tantas parejas ordenadas en A como elementos tiene .

http://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_biun%C3%ADvocahttp://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_biun%C3%ADvoca


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Determinar si el conjunto de parejas es finito o infinito

23 2 2

, : 25 2

3

x y

B x y Rx y

.

Solucin.El conjunto consiste en todas las parejas de nmeros reales xy y tales que susvalores satisfaga la igualdad de ambas ecuaciones. Multiplicando la segunda ecuacin por (-1) y sumando a la primera, se tiene

3 2 28 1

823 35 2

3

x y

x xx y

Reemplazando1

3x en la primer ecuacin,

13 2 23

y

se tiene 1 2 2y y as

1

2y

. Por tanto, solamente la pareja de nmeros reales1 1

,3 2

satisface las dos ecuaciones. Luego,

23 2 2

1 1, : ,2

3 25 23

x y

B x y Rx y

, es un conjunto finito.


Determinar si el conjunto de nmeros reales

1 1 1 1 1: ,para algn n 1, , , , ,...

2 3 4 5n

S x R xn

es finito o infinito.

Solucin.Al ponerlo en correspondencia elemento a elemento con el conjunto de los enteros

positivos 1,2,3,4,5,6,7,... , se concluye que es infinito, tiene infinito nmero deelementos.


Determinar si el conjunto de nmeros reales : 3F x R x es finito o infinito.

Solucin.Cada uno de los nmeros representados porxestn a la izquierda de 3 en la rectareal, pues este es el significado de 3x . Son todos los nmeros reales comprendidos entre


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menos infinito y 3; o sea el intervalo ,3F . Al ponerlo en correspondencia

elemento a elemento con el conjunto de los enteros positivos 1,2,3,4,5,6,7,... , seconcluye que es infinito, tiene infinito nmero de elementos.

1.1.2 Relaciones de pertenencia, contenencia e igualdad

La relacin entre un elemento y un conjunto se llama pertenencia; si un elemento xhaceparte de un conjunto Ase dice que xpertenece al conjunto A y se denota por xA. Paraindicar que xno pertenece a A se escribe xA. El smbolo es la letra griega psilon.

Consideremos el conjunto M = {x: 4 > x > 6}; podemos afirmar que 5M y 6M.

La relacin entre dos conjuntos se llama de contenencia; si todos los elementos de unconjunto A pertenecen a otro B, se dice que A est contenido en B o que A es unsubconjunto de B y se denota por A B. La expresin A B significa que A estcontenido en Bo Aes igual a B. Para indicar que Ano est contenido en B se escribeA B . El smbolo corresponde a una C alargada unido al smbolo =.

As, si A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces se dice que ABporque cada elementode A es tambin de B, mientras que B .ya que 5 B pero 5 B .

Definicin 4.4

Subconjunto.Sean A y B conjuntos no vacos. Se dice que A es subconjunto deB, AB, si y solo si para todo x, si xA implica que xB. Ensmbolos,

AB x [xA xB].

Figura 3. (a) A B (b) A B

No subconjunto.


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Sean A y B conjuntos no vacos. Se dice que A no es subconjuntode B, denotado A B , si y solo si existe por lo menos un x tal

que xA y xB. En smbolos,

A B x x A x B .

En la figura 3 (a), el condicional x [xA xB] es verdadero, pues xA es verdadero yxB tambin lo es. En la figura 3 (b), la conjuncin x x A x B es verdadera pues hay x

en A que no estn en B.

Definicin 4.5

Subconjunto Propio.Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A es subconjunto propiode B si y solo si todo elemento de A es tambin elemento de B peroexiste elementos de B que no estn en A. En smbolos,

A B x x A x B x x B x A

De la figura 3 (a), solo se cumple la siguiente.

No subconjunto propio.

A B x x A x B x x B x A

Figura 5. Posibilidades en las cuales no se cumple subconjunto propio.

En la figura 5 (a), (b) y (c) M N porque x x M x N y en la figura 5 (d) porque

x x M .

Teorema 4.1El conjunto , vaco, es subconjunto de todo conjunto A; esdecir, para todo A, A .

Figura 4. Subconjunto Propio


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Demostracin por contradiccin. Supongamos que A es falso y por tanto A es

verdadero. Entonces, por definicin de no subconjunto A B x x A x B , existe

x x A . Por la tautologa Simplificacin se concluye que x . Esto es unacontradiccin, pues el concjunto vaco no tiene elementos. La contradiccin se debe a laconsideracin de que A . Luego, A es verdadero.

Definicin 4.6

Conjunto Potencia o Conjunto de Partes de unconjunto.El Conjunto Potencia o Conjunto de Partes de un conjunto A esel conjunto de subconjuntos de A. Se denota por P(A). El nmerode elementos de P(A) es ( ) 2nn P A donde n es el nmero de

elementos de A.

De la definicin podemos obtener:

Si A = {} entonces n(P(A)) = n2 = 20= 1. P(A) = {}Si A ={a} entonces n(P(A)) = n2 = 21= 2. P(A) = {, A}Si A = {a, b}entonces n(P(A)) = n2 = 22= 4. P(A) = {, {a}, {b}, A}Si A = {a, b, c} entonces n(P(A)) = n2 = 23= 8. P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c},{b, c}, A}.

Teorema 4.2Sea U el conjunto universal y A un conjunto de este universo.Entonces A U .

Demostracin por contradiccin.Supongamos que A U es falso. Entonces AU esverdadero. Por definicin de no subconjunto A B x x A x B existe x A x U

. Por la tautologa simplificacin, x U , lo cual es una contradiccin pues U es el universoy debe poseer todos los elementos de A. La contradiccin es debida a la consideracin de queA U es falso y por consiguiente A U es verdadero.

Teorema 4.3 Para cualquier conjunto A, A A .Demostracin por el mtodo indirecto de contradiccin.Supongamos que A A es falso

y por tanto A A es verdadero. As, por definicin de no subconjunto

A B x x A x B , existe x A x A . Lo cual es una contradiccin. La

contradiccin es debida a la consideracin de que A A es falso y por consiguiente A A es verdadero.

Teorema 4.4Propiedad de Transitividad de la relacin de subconjuntoSea A, B y C conjuntos. Si A B y B C entonces A C .


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Demostracin por el mtodo directo.Por hiptesis, A B y B C . Puesto que A B ,por definicin de subconjunto A B x x A x B , para x A implica que

x B . Por la misma definicin, x C ya que por hiptesis B C . Que era lo que se querademostrar.

Definicin 4.7

Igualdad de dos conjuntos.Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es igual a B, denotadaA = B, si y solo si todo elemento de A es elemento de B y todoelemento de B tambin es de A. En smbolos,

A = B AB BA

Consideremos los conjuntos A = {a, b, c, d}, B={c, d, e, f}, C={d, e, f, c} y D={a, b}.Segn las definiciones de subconjunto e igualdad de conjuntos observamos que, A B ,

B A , B = C, D A. En resumen:

RELACIN SMBOLO DETERMINAPertenencia la relacin entre un elemento con un conjuntoSubconjunto la relacin de conjunto a conjuntoSubconjunto propio la relacin de subconjunto propio

Igualdad = la relacin de conjunto a conjuntoTabla 5.1. Resumen de las relaciones en los conjuntos

1.1.3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

,

sec

Unin

Inter cin

Operaciones Diferencia

Diferencia Simtrica

Complemento

Definicin 4.8

Unin de dos conjuntos.La unin entre los conjuntos A y B, denotada A B , es elconjunto formado por los elementos que estn en A o en B o enambos. En smbolos, :A B x U x A x B .

Figura 6. Propiedad Transitiva de la relacin con tres conjuntos.


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Los conjuntos que se unen pueden estar relacionados como intersecantes, iguales, unocontenido en el otro o disyuntos. La grfica de la unin se presenta a continuacin de colorazul.

Figura 6. Diagramas de Venn de la unin de dos conjuntos A y B; a. Unin de dos conjuntos intersecantes;b. Unin de dos conjuntos iguales, A = B. c. Unin de dos conjuntos disyuntos AB . La parte delrectngulo exterior a los crculos es el complemento de la unin.

Como consecuencia de la definicin de la unin, se tiene: x A B x A x B y x A B x A x B

Definicin 4.9

Interseccin de dos conjuntos.La interseccin entre los conjuntos A y B, denotada por AB, esel conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a Ba la vez. En smbolos,

:A B x U x A x B .

Ilustracin 71. Diagramas de Venn de la interseccin de dos conjuntos A y B; a. Interseccin de dosconjuntos intersecantes; b. Interseccin de dos conjuntos iguales, A B . c. Interseccin de

dos conjuntos disyuntos A B . La parte del rectngulo exterior a los crculos es el complemento dela interseccin.

Como consecuencia de la definicin de la interseccin, se tiene: x A B x A x B y x A B x A x B

Definicin 4.10Diferencia de dos conjuntos.


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La diferencia entre los conjuntos A y B, denotada por AB, esel conjunto formado por los elementos que pertenecen a A perono pertenecen a B. En smbolos,

:A B x U x A x B .

Figura 9. Diagramas de Venn de la diferencia de dos conjuntos A y B; a. Diferencia de dos conjuntosintersecantes; b. Diferencia de dos conjuntos iguales, A B . c. Diferencia de dos conjuntos

disyuntos A B . La parte del rectngulo exterior a los crculos es el complemento de ladiferencia.

Como consecuencia de la definicin de la diferencia, se tiene: x A B x A x B y x A B x A x B

Definicin 4.11

Diferencia de dos conjuntos.El complemento de un conjunto A, denotado por 'A , A o CA ,es el conjunto formado por los elementos del conjunto Universalque no estn en A. En smbolos, ' :A x U x A o

'A U A

Figura 10. Diagrama de Venn del complemento de un conjunto A.

Como consecuencia de la definicin de la diferencia, se tiene:'x A x A y 'x A x A

Definicin 4.12Diferencia Simtrica de dos conjuntos.La diferencia simtrica de los conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto formado por los elementos de la unin que nopertenecen a la interseccin. En smbolos,

A B A B B A .


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Figura 11. Diagramas de Venn de la diferencia simtrica de dos conjuntos A y B; a. Diferenciasimtrica de dos conjuntos intersecantes; b. Diferencia simtrica de dos conjuntos iguales, A B .

c. Diferencia simtrica de dos conjuntos disyuntos AB . La parte del rectngulo exterior a loscrculos es el complemento de la diferencia simtrica.

Como consecuencia de la definicin de la interseccin, se tiene:

x A B x A B x B A y x A B x A B x B A

Ejemplo 4.8 Operaciones entre Conjuntos.

Sean los conjuntos A ={1,2,3,4}, B ={3,4,5,6} y U = {1,2,3,4,5,6,7}. Hallar AB, AB,AB, BA, 'A , 'B y A B.

Solucin.La unin se forma por los elementos que estn en A solamente, es decir, 1 y 2 los que estn en B solamente, 5 y 6; los que estn en ambos, 3 y 4. Por lo tanto, AB= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Obsrvese que, afirmar que 5AB equivale a afirmar que 5A 5B. Segn la segunda ley de De Morgan y la definicin de unin, afirmar que 7ABequivale a afirmar que 7A y 7B.

La interseccin est formada por los elementos que estn en A y en B a la vez, es decir, 3 y4. Por tanto, AB = {3,4}. Afirmar que 4AB equivale a afirmar que 4A y 4B. Segnla primera ley de De Morgan y la definicin de interseccin, afirmar que 1AB equivalea afirmar que 1A o 1B.

La diferencia A B est formada por los elementos que estn en A pero que no estn en B,es decir, 1 y 2; por lo tanto, A B = {1,2}. La diferencia B-A en consecuencia es B-A ={5,6}. Afirmar que 2AB equivale a afirmar que 2A y 2B. Segn la primera ley de DeMorgan y la definicin de diferencia, decir que 3AB equivale a afirmar que 3A o 3B.

El complemento de A es el conjunto formado por los elementos del conjunto Universal Uque no estn en A; es el conjunto formado por los elementos que le faltan a A para ser eluniverso; por tanto A= {5, 6, 7}. En consecuencia, B= {1, 2, 7}. Afirmar que 6 Aequivale a afirmar que 6A. Segn la negacin de una proposicin y la definicin decomplemento, afirmar que 9A equivale a afirmar que 9A.

La diferencia simtrica AB es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a launin pero que no estn en la interseccin; en consecuencia AB ={1,2,5,6,7}. Afirmar que4AB equivale a afirmar que 4AB y 4AB. Segn la primera ley de De Morgan y


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la definicin de diferencia simtrica, afirmar que 8AB equivale a afirmar que 1ABo 1AB.


Sean los conjuntos: 1,2,3,4 ; 3,4,5,6,7 ; 1,2,3,4,5,6,7,8A B U

. Hallar ' ' 'A B A

Solucin. Razonemos desde lo ms elemental a lo ms complejo: ' 5, 6, 7, 8A

' 8A B

' ' 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A B

' ' 1, 2,3, 4A B A

' ' ' 5, 6, 7,8A B A

Que era lo que se quera determinar.Ejemplo 4.10 Operaciones entre Conjuntos.

Haga un diagrama de Venn que relacione los conjuntos y muestre su unin y sucomplemento: Mtodo, Directo y Teorema.Solucin.

: = , , , ,

: = , , , , , , ,

: , , , , ,

: , , ,

M x U x es letra de la palabra mtodo d e m o t

D x U x es letra de la palabra directo c d e i m o r t

T x U x es letra de la palabra teorema a e m o r t

U x x es letra de la palabra demostracin a c d

, , , , , , ,e i m n o r s t


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Obsrvese la distribucin de los elementos: por ejemplo m se ubica en la parte comn paraMtodo y Teorema pero no en Directo. Los elementos i, c se ubica solo en Directo. Encambio e, o, t se ubica en la parte comn a los tres conjuntos.

La unin es el conjunto , , , , , , , ,M D T a c d e i m o r t y corresponde en la grfica a los

elementos que estn en los tres crculos. El complemento, ' ,M D T n s , coloreadade azul, son los elementos ubicados fuera de los crculos.


Hallar ' ' ' 'M D T M

Solucin.De lo ms elemental a lo ms complejo, se tiene ' , , ,D a m n s

'M D m

' ' , , , , , , , , ,M D a c d e i n o r s t

' , , , ,T i c d n s ' , , ,T M i c n s

' ' , , , , , ,T M a d e m o r t

' ' ' ' , , , , , , , , , ,M D T M a c d e i n o r s t m

Que era lo que queramos hallar.


Consideremos los conjuntos :1 4A x x , : 2 8B x x ,

2: 6 9 0C x x x , 2: 7 10 0D x x x y : 0 7U x x .Hallar A B C D .Solucin. Lo primero que haremos es conocer por extensin los elementos de estos cojuntos.

:1 4 1, 2,3A x x ; : 2 8 4B x x ; Puesto que

2 6 9 3 3 0x x x x entonces x = 3 y as 2: 6 9 0 3C x x x ; deigual manera, por factorizacin, 2 7 10 5 2 0x x x x y por tanto

2: 7 10 0 2,5D x x x y : 0 7 1, 2,3, 4,5, 6U x x .

?A B

4,5,6A ; 4B y as, 5,6A B

?C D

3C ; 2,5D ; 2,3,5C D y as 1,4,6C D .

Como 5,6A B y 1,4,6C D concluimos que 6A B C D .


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1.1.4Algunas propiedades o leyes de las operaciones entreconjuntos

Para todo A, B, C y U conjuntos, donde U es el conjunto universal se cumple:

PROPIEDADESPropiedad de idempotencia1. AAA 2. AAA

36. )()( CBACBA

Propiedad conmutativa3. ABBA 4. ABBA 5. ABBA

37. )()()( CABACBA

Propiedad asociativa6. )()( CBACBA 7. )()( CBACBA

8.)()( CBACBA

38. )()()( ACBACBA

Propiedad distributiva9. )()()( CABACBA 10. )()()( CABACBA

39. )()()( CABACBA

11. UUA 12.13. AUA

14. A 15. AA 16. AA

17. 'AUA

40. )()()( CBCACBA

Propiedad de absorcin18. ABAA )( 19. ABAA )(

41. )()( ABBABA

20. )( BAA

y )( BAB

42. )'()'( ABBABA

21. ABA )( y BBA )( 43. )''()( BABABA

Propiedad de involucin o doble negacin22. AA )''(

44. )()()( CABACBA

Propiedad del tercero excluido23. UAA ' 45. )()()()( CBACBACBBA

Propiedad de contradiccin24. 'AA

46. BABA

25. '' ABBA 47. ABABA Propiedad de De Morgan

26. '')'( BABA 27. '')'( BABA

48. BBABA

28. 'U 29. U' 30.'BABA

49. '' BAAB

31. 'AAU 32. UA 33. A

50. ABA

34. AA 35. AA


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Tabla 5.2. Propiedades de las operaciones entre conjuntos.

Ejemplo 4.11 Demostracin pictrica de operaciones entre Conjuntos.

Mostrar grficamente la Propiedad 22, , ' ' AA A

Solucin

GRAFICO JUSTIFICACIONPaso 1.

Conjunto A dado dentro de su conjunto universal

Paso 2.Por definicin de complemento: el complemento del conjunto Ason aquellos elementos que le faltan al conjunto A para ser el

universoPaso 3.

Por definicin de complemento: el complemento del conjunto Ason aquellos elementos que le faltan al conjunto A para ser eluniverso

Conclusin: El conjunto (A) es el mismo conjunto A.

Ejemplo 4.12 Demostracin pictrica de operaciones entre Conjuntos.

Mostrar grficamente la Propiedad Asociativa, Propiedad 8, , B, C : AA A B C B C

PROCESO GRFICO JUSTIFICACIONPaso 1

A B B

=

A B C

Por definicin deUnin

Paso 2

A B C A B C A B C

Por defincin deDiferencia

Paso 3. Por definicin deUnin


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19


B C

A

A B C

Paso 4.

B C B C A A B C

Por defincin deDiferencia

Conclusin: A B C A B C . Comparandoresultados

1.1.5 Teora de la demostracin matemtica

La demostracin de la verdad de una proposicin a partir de datos dados, es el problema msprofundo que el ser humano puede resolver.

5.5.1 Teora cientfica

Ciencia.En general, la ciencia es un cmulo de conocimientos descubiertos a travs de unprocedimiento llamado mtodo cientfico. Es una sola, pero para su estudio se subdivide enteoras; as, se habla de teoras corpuscular de la luz, teora ondulatoria de la luz, teora deconjuntos, teora de grupos, entre otras, en la fsica y la matemtica. La ciencia es unconjunto de conocimientos que se consideran verdaderos (hasta que se demuestre locontrario): la ciencia est dispuesta a la falsacin.

La ciencia puede ser fctica formal. Son ciencias formales la matemtica y la lgicamientras que la fsica, la qumica, la biologa, entre otras, son ciencias factuales porquenecesitan adems de lo formal una comprobacin de los hechos por medio de la

experimentacin.

Una teora cientfica es una parcela de la ciencia que da explicacin a un cierto nmero defenmenos o hechos y predice otros. Est estructurada de tal manera que slo contieneconceptosy leyes.

De acuerdo a los psiclogos evolutivos, el concepto es producto de la operacin lgicaclasificacin; clasificar es agrupar los objetos en colecciones que se encajan unas a otras.


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La clasificacin engendra clases que son conceptos o nociones generales1. As, al clasificarlos objetos que hay en nuestra casa, encontramos las clases de objetos mesa, cama, olla, entreotros; la clase mesa, digamos, es construida por nuestra inteligencia como una idea o nocingeneral, que me permitir pensar en esta clase de objetos. Obsrvese que no hay afirmacinalguna del objeto, simplemente hay una representacin mental. El concepto o clase es

caracterizada por su comprensino la unin de cualidades comunes existentes en todos losindividuos pertenecientes a la misma clase y por su extensino la unin de individuos a laque se aplica las cualidades comunes2. La clase (concepto) mesa agrupa un conjuntodeobjetos de esa especie: mesa de planchar, de noche, de comedor, entre otras.

En consecuencia, en una teora cientfica, el concepto es una idealizacin de una clase deobjetos de la realidad, es una categora de pensamiento proporcionada por el entendimiento;es universal, abstracto. Los conceptos pueden serfundamentales, no definidosoprimitivosy definidos.

Los conceptos definidos se explican a travs de otros conceptos; tal explicacin vieneexpresada por medio de una proposicin que se llama definicin. Una definicin es unenunciado que establece el significado de una expresin3. La definicin relaciona laexpresin que define (definendo o definiendum) con otras expresiones (definentes odefiniens) que ya se disponen.

En matemticas comnmente se utiliza las definiciones verbaleso nominalesque introducenun nuevo smbolo. La definicin se caracteriza por ser clara, concisa: da la esencia de lodefinido, no cae en un crculo vicioso, no se enuncia en forma negativa cuando puede serpositiva y no se expresa en lenguaje figurado u oscuro. La belleza es la eternidad mirndose

en un espejo, no es una buena definicin de belleza, pues se define en un lenguaje figurado.

El concepto definido lo determinan otros conceptos y estos a su vez por otros anteriores hasta

que el proceso se estanca; estos ltimos, aquellos que no pueden explicarse a travs de otros,se llaman conceptos fundamentales.

La leyo propiedad, en una teora cientfica, es una proposicin que relaciona uno o msconceptos con otro u otros. La ley que hace referencia solo a los conceptos fundamentales sellaman axioma o postulado. Su propsito es dar a estos un piso legal y un mayorentendimiento.

Hay otra ley llamada teorema, que se deduce o concluye a partir de los axiomas o postulados;de esta manera se dice que los postulados son el fundamento o soporte bsico de un teorema.

Dentro de la teora, los axiomas se aceptan sin exigir de estas propiedades una demostracin;son vlidas por s mismas. En cambio, los teoremas slo son vlidos si son demostrados apartir de los axiomas. En resumen:

1Tran - Thong. Los estadios del nio en la psicologa evolutiva. Los sistemas de Piaget, Wallon, gesell y Freud. Buenos Aires: Pablo delRo editor, 1981, p. 54.2Ibid, p. 543SUPPES, Patrick. Introduccin a la lgica simblica. Mxico: Compaa edit. Continental, 1969, p. 198


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21


Axioma. Un axioma es una ley en forma de proposicin cuya validez se acepta sindemostracin. Se formulan estas leyes para legalizar dentro de la teora los conceptosprimitivos o primarios, pues estos no estn definidos; siempre hacen referencia a propiedadesde dichos conceptos.

Teorema. Es una ley en forma de proposicin cuya validez se logra solo a travs de unademostracin. Su demostracin se realiza partiendo de los axiomas.

Por lo general un teorema tiene o se le puede dar la forma CH , donde H denota la hiptesisy C la conclusin o tesis; la hiptesis H est constituida por un conjunto de proposiciones

verdaderas o premisas , , , ..,1 2 3H p p p pn ; C es una proposicin cuya verdad se quiereprobar deducindola vlidamente a partir de H. La demostracin puede ser directa o indirecta.

1.1.5.1 Mtodos de demostracin

1.1.5.1.1 Demostracin directa

Una demostracin directa de una proposicin (teorema) CH consiste en deducirvlidamente a C a partir de H, justificando cada conclusin intermedia mediante unadefinicin, un axioma u otro teorema ya demostrado. La demostracin ser rigurosa


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dependiendo de la calidad y precisin de sus conclusiones intermedias y de sus acertadasjustificaciones. La demostracin directa se fundamenta en la regla de razonamiento ModusPonendo Ponens:

H C ; es verdadera, pues en esto consiste la demostracin matemtica

H ; es verdadera porque la hiptesis es una proposicin verdadera (premisas)_______ C; es conclusin vlida y por tanto verdadera

Ejemplo 4.12 Demostracin de una proposicin por el Mtodo Directo

Demostrar la Propiedad de Idempotencia de conjuntos A A A de la Tabla 5.2.

Demostracin.La definicin de igualdad entre conjuntos enuncia que A B A B B A

y por lo tanto A A A se expresa como ( ) ( )A A A A A A A A A . Entoncespara demostrar A A A se demuestra la segunda parte del bicondicional:

( ) ( )A A A A A A :

i. ( )A A A

ii. ( )A A A

Demostracin de ( )A A A

Por definicin de subconjunto, AB x [xA xB]. Por lo tanto( ) ( ( ) )A A A x x A A x A . As, para demostrar( )A A A , se demuestra el

segundo miembro del bicondicional ( ( ) )x x A A x A : se supone que A A ypor consiguiente un elemento x en A A y se demuestra que x pertenece a A.

Afirmacin Razn o Justificacin

1. Supongamos que AA .Sea x cualquiera tal que

)( AAx 1. Verdadero por hiptesis.

2. AxAx 2. Por definicin de unin entre conjuntos en paso 1

3.x A 3. Por ley de razonamiento simplificacindisyuntiva en paso 2: Tautologa ppp )(

Hemos supuesto que A A ; para cualquier x en A A se demostr Ax y por tanto elcondicional ( ( ) )x x A A x A es verdadero. Por modus ponendo ponens


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23


( )x A A x A ; es verdadera (demostracin matemtica)( )x A A ; es verdadera por la hiptesis

__________________ x A ; es verdadera por ser conclusin vlida

Por tanto queda demostrado que ( )A A A es cierto.

Demostracin de A A A

Por definicin de subconjunto, AB x [xA xB]. Por lo tanto( ) ( ( )A A A x x A x A A . As, para demostrar ( )A A A , se demuestra el

segundo miembro del bicondicional x x A x A A : se supone que A y porconsiguiente un elemento x en A y se demuestra que x pertenece a A A .

Afirmacin Razn o Justificacin1. Supongamos que A .Sea x cualquiera tal que x A

1. Verdadero por hiptesis.

2. x A x A 2. Por ley de razonamiento adicin en paso 1

3. ( )x A A 3. Por definicin de unin entre conjuntos en paso 2

Hemos supuesto que A ; para cualquier x en A se demostr que el condicional

x x A x A A es verdadero. Por modus ponendo ponens

)( AAxAx ; es verdadera (demostracin matemtica)Ax ; es verdadera por la hiptesis

____________________ )( AAx ; es verdadera por ser conclusin vlida

Por lo tanto se demostr que )( AAA es cierto. De (i) y (ii) queda demostrado que lapropiedad A A A es cierta.


Demostrar la propiedad 39 de la Tabla 5.2, A B C A B A C Por definicin de igualdad de conjuntos, se debe demostrar


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i. A B C A B A C

ii. A B A C A B C

Demostracin de A B C A B A C .

Por definicin de Subconjunto, se debe demostrar que es verdadero el condicional A B C x A B C x A B A C

Supongamos que A B C . Entonces existe por lo menos un elemento x en

A B C . Por demostrar que x A B A C .

En efecto, por hiptesis consideremos x A B C . Por definicin de la operacin

Interseccin entre conjuntos se concluye x A x B C . Aplicando ahora la definicin

de la operacin Diferencia entre conjuntos, se llega a x A x B x C . PorEquivalencia Tautolgica 16, Propiedad Asociativa de la Conjuncin se deduce

x A x B x C . Como consecuencia de la Implicacin Tautolgica 7, Adicin

aplicada a la proposicin x C , se tiene x A x B x A x C . Mediante la

definicin de Interseccin entre conjuntos, se llega a x A B x A C . Por ltimo,

la definicin de Diferencia entre conjuntos concluir x A B A C .

Demostracin de A B A C A B C .

Por definicin de Subconjunto, se debe demostrar que es verdadero el condicional

A B C x A B A C x A B C Supongamos que A B A C . Entonces existe por lo menos un elemento x en

A B A C . Por demostrar que x A B C .

En efecto, por hiptesis consideremos x A B A C . Por definicin de la

operacin Diferencia entre conjuntos se concluye x A B x A C . La definicinde la operacin Interseccin entre conjuntos, permite llegar a

x A x B x A x C . Ahora bien, por Ley de Simplificacin, Implicacin

Tautolgica 4, se deduce las afirmaciones verdaderas x A x B y x A x C .

De la primera, x A x B , se infiere x A . De x A x C y de x A mediantela regla de inferencia Modus Tollendo Ponens, Implicacin Tautolgica 3, se concluyex C . Por Adjuncin entre x A x B y x C , Implicacin Tautolgica 5, se tiene

x A x B x C . Aplicando Propiedad Asociativa de la Conjuncin podemos escribir


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25


x A x B x C . La definicin de Diferencia autoriza concluir x A x B C .

Por ltimo, la definicin de Interseccin inferir x A B C .

De (i) y (ii) queda demostrado que A B C A B A C es verdadero.


Demostrar la propiedad 25 de las operaciones entre conjuntos de la Tabla 5.2,' 'A B B A

Por definicin de Equivalencia Tautolgica 10, se debe demostrar que son verdaderas lascondicionales

i. ' 'A B B A ii. ' 'B A A B

Demostracin de ' 'A B B A .

La hiptesis de este condicional es A B ; es la parte de este condicional que se consideraverdadero inicialmente. La tesis o conclusin del condicional es ' 'B A cuya verdad est

por demostrarse.

En efecto, mostremos que ' 'B A es verdadero. Para ello supongamos que 'B . Por lotanto existe por lo menos un x en 'B . Por demostrar que 'x A .

Puesto que 'x B , se deduce por definicin de Complemento entre conjuntos que x B .Ahora por hiptesis A B o lo que es lo mismo el condicional x x A x B es

verdadero. Como es cierto que x B entonces por Modus Tollendo Tollens se concluye laproposicin verdadera x A . De lo cual se deduce por definicin de complemento que

'.x A De esta manera se ha demostrado que el condicional ' 'x x B x A es

verdadero; es decir, ' 'B A es verdadero. Por consiguiente el condicional (i) es verdadero.

Demostracin de ' 'B A A B .

La hiptesis de este condicional es ' 'B A ; es la parte de este condicional que se consideraverdadero inicialmente. La tesis o conclusin del condicional es A B cuya verdad est pordemostrarse.


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En efecto, mostremos que A B es verdadero. Para ello supongamos que A . Por lotanto existe por lo menos un x en A . Por demostrar que x B .

Puesto que x A , se deduce por definicin de Complemento entre conjuntos que 'x A .Ahora por hiptesis ' 'B A o lo que es lo mismo el condicional ' 'x x B x A es

verdadero. Como es cierto que 'x A entonces por Modus Tollendo Tollens se concluye laproposicin verdadera 'x B . De lo cual se deduce por definicin de complemento que

.x B De esta manera se ha demostrado que el condicional x x A x B esverdadero; es decir, A B es verdadero. Por consiguiente el condicional (ii) es verdadero.

De las demostraciones (i) y (ii) queda demostrado que ' 'A B B A es verdadero.


Definicin. Un nmero entero x es par si y solo si tiene la forma x = 2k, donde k es un entero.

Un entero x es impar si y solo si tiene la forma x = 2k -1, donde k es un entero.

Demostrar que, si x, y son impares entonces entonces x + y es par.

Demostracin

La hiptesis de este condicional (lo que se supone verdadero) es x y y son impares. La

conclusin o tesis es x + y es par.

Puesto que por hiptesis x, y son impares son proposiciones verdaderas entonces por

definicin de nmero impar se tiene x = 2h 1 y y = 2r -1, para algunos enteros r y h.

Sumando, x + y = (2h-1) + (2r - 1), o lo que es lo mismo, x + y = 2h + 2r -2. Por propiedad

distributiva de la multiplicacin respecto a la suma de enteros, x + y = 2(h + r1). Asi, x

+ y = 2k, donde k = h + r -1 es un entero. Luego x + y es un nmero par.


Demostrar mediante el mtodo de la Contrarrecproca la proposicin: Si x es impar entoncesx3es impar.

Demostracin. Por hiptesis x es un nmero entero impar y por definicin de nmero impar,

2 1x k . Elevando al cubo ambos lados de la igualdad se tiene, 33 2 1x k . Ahora,desarrollando el cubo del binomio del lado de la derecha se tiene, 3 3 28 12 6 1x k k k .Sacando factor comn 2 a los tres primeros trminos del lado de la derecha se obtiene,

3 3 22 4 6 3 1x k k k . Finalmente, 3 2 1x h , donde 3 24 6 3h k k k es un nmeroentero puesto que k es un nmero entero y el producto, potencias y suma de enteros es otroentero.


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27


Prcti ca 4.1

" El xi to no es para qui enes se quedan pensando que pueden hacer algo sino para quieneslo hacen bien"Annimo

Demostrar por el Mtodo Directo las propiedades de conjuntos siguientes

1. Propiedad de idempotencia para la interseccin de conjuntos: A A A

2. Propiedad asociativa para la interseccin de conjuntos: A B C A B C 3. Propiedad distributiva de la interseccin con respecto a la unin de conjuntos:

A B C A B A C

4. Propiedad distributiva de la unin con respecto a la interseccin de conjuntos:

A B C A B A C

5. Propiedad de conjuntos A B C A B A C

6. La propiedad 47 de conjuntos A B A B A

7. La propiedad 48 de conjuntos A B A B B

8. La propiedad de conjuntos ABA

Demostrar por el Mtodo Directo proposiciones sobre Enteros Pares e Impares.

9. Si x y y son impares entonces xy es impar10.Si x es impar y y es par entonces x + y es impar11.Si x y y son pares entonces x + y es par12.Si x es par entonces x2 es par13.Si x es impar entonces x2 es impar

1.1.5.1.2 Demostracin indirecta

1.1.5.1.2.1 Mtodo de la contrarrecproca

Se fundamenta este mtodo en primer lugar, en la tautologa (HC) (CH) queexpresa que el condicional directo es tautolgicamente equivalente a la contrarrecproca;demostrar el condicional directo es equivalente a demostrar la contrarrecproca. Se quieredemostrar que HC es verdadera pero resulta ms cmodo demostrar C H; se


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considera que C es falsa y que C es verdadera; se va a probar que H es verdadera; poresta razn la demostracin es indirecta.

En segundo lugar, este mtodo se fundamenta en la ley de razonamiento Modus TollendoTollens:

H C; es verdadera: es el fin de la demostracin matemticaC ; es verdadera por hiptesis de la contrarrecproca

____ H; es verdadera por ser conclusin vlida

Ejemplo 4.17 Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto de lacontrarrecproca

Demostrar la propiedad 49 de las operaciones entre conjuntos de la Tabla 29, '' BAAB

Por definicin de equivalencia hay que demostrar los dos condicionales:

i. ' 'B A A B

ii. ' 'A B B A

Demostracin de ( i ) por el mtodo de la contrarrecproca:

' 'B A A B

A BB A

Suponemos que A no es subconjunto deB, es decir,A B. Por demostrar queB A.

Afirmacin Razn o Justificacin

1.A B 1. Verdadero por hiptesis.

2. ( )( ')x x A x B 2. Por definicin de subconjunto (negacin de la definicin desubconjunto), en paso 1

3. ( )( ' )x x A x B 3. Por definicin de complemento de un conjunto, en paso 2

4. ( )( ')x x B x A Por ley conmutativa de la conjuncin en paso 3

5.B A 5. Por definicin de subconjunto (negacin de la definicin desubconjunto), en paso 4

Queda demostrado que ' 'B A A B es verdadero

Demostracin de ( ii ) por el mtodo de la contrarrecproca:

( ' ') ( ' ')A B B A B A A B


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Suponemos que B no es subconjunto de A, es decir, 'B A . Por demostrar queA B.

Afirmacin Razn o Justificacin1. 'B A 1. Verdadero por hiptesis.

2. ( )( ')x x B x A 2. Por definicin de subconjunto (negacin de la definicin de

subconjunto), en paso 13. ( )( ' )x x B x A 3. Por definicin de complemento de un conjunto, en paso 2

4. ( )( ')x x A x B Por ley conmutativa de la conjuncin en paso 3

5.A B 5. Por definicin de subconjunto (negacin de la definicin desubconjunto), en paso 4

Queda demostrado que ' 'A B B A es verdadero

De las demostraciones de ( i ) e ( ii ) queda demostrado que '' BAAB es verdadero.

Ejemplo 4.18 Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto de lacontrarrecproca

Demostrar la propiedad 25 de las operaciones entre conjuntos de la Tabla 29,' 'A B B A

Por Equivalencia Tautolgica 10, se debe demostrar la verdad de los condicionales

i. ' 'A B B A

ii. ' 'B A A B

Pero, por Equivalencia Tautolgica 2, Propiedad de la Contrarrecproca, se debe demostrarla verdad de los condicionales

i. (B A A B)

ii. (A BB A)

Demostracin de(B A A B)

La hiptesis de este condicional es B A (lo que se sabe que es verdadero), mientras que

la tesis o conclusin es A B (lo que se desea probar como verdadero).

Empecemos. Como por hiptesis de contrarrecproca B Aes verdadero, por negacin de

la definicin de Subconjunto es verdad que ' 'x x B x A ; ahora, la definicin de

Complemento de un conjunto permite transformar esta expresin en x x B x A , y

por Propiedad Conmutativa de la Conjuncin, Tautologa 5, se tiene x x A x B .


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Aplicando la negacin de la definicin de Subconjunto se infiere que A B, quedando

demostrado la verdad del condicional (B A A B)e indirectamente la verdad del

condicional ' 'A B B A .

Demostracin de

(A BB A)

Puesto que por hiptesis de contrarrecproca A B es verdadero, por negacin de la

definicin de Subconjunto es verdad que x x A x B ; pero, la definicin de

Complemento de un conjunto permite transformar esta expresin en ' 'x x A x B , y

por Propiedad Conmutativa de la Conjuncin, Tautologa 5, se tiene ' 'x x B x A .

Aplicando la negacin de la definicin de Subconjunto se infiere que B A, quedando

demostrado la verdad del condicional (A B B A)e indirectamente la verdad del

condicional ' 'B A A B .

De esta manera, queda demostrado que ' 'A B B A es verdadero.

Ilustracin particular del teorema ' 'A B B A :

Sean los conjuntos ,A a b , , ,B a b c y el conjunto Universal , , ,U a b c d . Se hanelegido los conjuntos para que se cumpla que A B . Los complementos respectivos de A y

B son ' ,A c d y 'B d . Obsrvese que ' A'B . Grficamente,

A B

' 'B A

En la parte de arriba, la figuramuestra que el conjunto A esuna parte de B.

En la parte de abajo, se ve queB es una parte de A.

Siempre que se d la parte dearriba con seguridad se da la deabajo y contrariamente si se da

la de abajo con seguridad secumplir la parte de arriba de lafigura. Es decir, hay unaequivalencia


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31


Nota.Dar un ejemplo de un teorema, no constituye una demostracin del teorema. Lo seraen el caso de poder abordar todos los millones y millones de casos ejemplares variando loselementos de los conjuntos, lo cual no es posible. La demostracin es un razonamiento endonde se contempla todos los casos de ejemplos.

Ejemplo 4.19Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto de lacontrarrecproca

Definicin. Un nmero entero x es par si y solo si tiene la forma x = 2k, donde k es un entero.

Un entero x es impar si y solo si tiene la forma x = 2k -1, donde k es un entero.

Demostrar mediante el mtodo de la Contrarrecproca la proposicin: Si x es impar entoncesx3es impar.

Demostracin.

La contrarrecproca de este condicional es: Si x3no es impar entonces x no es impar.

Pero sabemos que cuando un nmero entero no es impar es par y si no es par es impar; porlo tanto el condicional Contrarrecproca es:

Si x3es par entonces x es par.

Por hiptesis de Contrarrecproca x3es un nmero entero par y por definicin de nmero

par, 2x k . Elevando al cubo ambos lados de la igualdad se tiene, 33

2x k . Ahora,

desarrollando el cubo del binomio del lado de la derecha se tiene, 3 38x k . Sacando factor

2 a la derecha de la igualdad se obtiene, 3 32 4x k . Finalmente, 3 2x h , donde 34h k es un nmero entero puesto que k es un nmero entero y el producto, potencias de enteroses otro entero.

Prcti ca 4.2


Demostrar por el Mtodo Indirecto las proposiciones sobre Enteros Pares e Impares.

1. Si x y y son impares entonces xy es impar2. Si x es impar y y es par entonces x + y es impar3. Si x y y son pares entonces x + y es par


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4. Si x es par entonces x2 es par5. Si x es impar entonces x2 es impar

1.1.5.1.2.2 Mtodo Indirecto mediante la Contradiccin

Se quiere demostrar que H C es verdadera pero se dificulta hacerlo directamente;entonces se supone que HC es falsa, es decir que su negacin H C es verdadera. Estaexpresin, H C, la llamaremos lahiptesis de contradiccin.Se parte de esta hiptesisH C; por ley de razonamiento SimplificacinH es verdadera como tambin C; de larelacin de H y C se llega a concluir vlidamente un absurdo del tipo r r osimplemente a una contradiccin H H o CC.

Se concluye: si se ha llegado a una contradiccin o a un absurdo es precisamente por habersupuesto que H C era falsa. Por lo tanto H C es verdadera, lo cual era lo que sequera demostrar.

Este mtodo se fundamenta en la ley de razonamiento del absurdo[H(r r)]H, es decir,H(r r)_________ H

Ejemplo 4.20Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto de lacontradiccin

Demostrar que el conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto, es decir, ( )A A

Demostracin

Supongamos que no es subconjunto de A. Entonces por definicin de subconjunto existex x A . Por ley de razonamiento simplificacin, Tautologa 4, se concluye que x , lo cual es una contradiccin porque el conjunto vaco no tiene elementos.

La contradiccin a cual hemos llegado se debe a haber considerado falsa la proposicin( )A A . Por consiguiente ( )A A es verdadera.

Ejemplo 4.21Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto de la

contradiccin

Demostrar la Propiedad 28 de las operaciones entre conjuntos 'U

Demostracin.Por definicin de Igualdad entre Conjuntos, se debe demostrar

i. 'U ii. 'U


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33


Demostracin de 'U .

Por hiptesis de Contradiccin, suponemos que 'U es falso; por lo tanto su negacin U

es verdadero. Por la negacin de la definicin de Subconjunto se tiene

'x x U x . Aplicando la Equivalencia Tautolgica 5, Simplificacin, se deduce

'x U . Y finalmente por definicin de Complemento de un Conjunto se infiere x U , locual es un absurdo, pues el Universo debe poseer dicho elemento. Si hemos llegado a unaContradiccin fue por haber considerado falso 'U . Por consiguiente 'U esverdadero.

Demostracin de ' U .

Por hiptesis de Contradiccin, suponemos que ' U es falso; por lo tanto su negacin

' U es verdadero. Por la negacin de la definicin de Subconjunto se tiene

'x x x U . Aplicando la Equivalencia Tautolgica 5, Simplificacin, se deduce

x U , lo cual es un absurdo, pues el Universo debe poseer dicho elemento. Si hemos llegadoa una Contradiccin fue por haber considerado falso ' U . Por consiguiente ' U esverdadero.

Prcti ca 4.3

" El xi to no es para qui enes se quedan pensando que pueden hacer algo sino para quieneslo hacen bien"

Annimo

Demostrar las propiedades de las operaciones con conjuntos siguientes.

a. propiedad entre conjuntos U' b. propiedad entre conjuntos 'BABA c. propiedad entre conjuntos 'U A A d. propiedad entre conjuntos UA e. propiedad entre conjuntos A f. propiedad entre conjuntos AA g. propiedad entre conjuntos AA

h. propiedad entre conjuntos ABA

6.3.3 3.1.2.3 Mtodo de refutacin

Los anteriores mtodos sirven para demostrar que una proposicin es verdadera. Ahora, parademostrar que una proposicin es falsa se da una ilustracin, un ejemplo, con el cual se


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muestra que la proposicin es falsa. Esta ilustracin se denomina contraejemplo. De estamanera se refuta la proposicin.

Ejemplo 4.22Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto deRefutacin

Refutar la proposicin 'A U

Que el complemento de un conjunto es el universo es una proposicin falsa puesto que siA = {a,b} y U = {a, b, c} entonces el complemento del conjunto A es A = {c}. Como enesta ilustracin, 'A U se concluye la falsedad de UA ' .

Ejemplo 4.23Demostracin de una proposicin por el Mtodo Indirecto deRefutacin

Refutar la proposicin 2 2 2( )( ) ( )x R y R x y x y

Esta proposicin es falsa porque para x = 3 y y = 2 se tiene: 2 2 2(3 2) 3 2 es falso. Luego,

queda refutada la verdad de la proposicin 2 2 2( )( ) ( )x R y R x y x y .

Prcti ca 4.3

" El xi to no es para qui enes se quedan pensando que pueden hacer algo sino para quieneslo hacen bien"

Annimo

Demostrar la falsedad de las proposiciones por refutacin, es decir, dando un contraejemplo.

a. Refutar 2 2 2( )( ) ( )x R y R x y x y

b. Refutar2 3 3

2 2( )

x x

xx R

c. Refutar 2 9 3( ) x xx R d. Refutar ( )( ) ( ) ( ) ( )x R y R Sen x y Sen x Sen y

e. Refutar 3 3 3( )( ) ( )x R y R x y x y

1.1.6 Cardinal de un conjunto

Definicin 4.9 Nmero cardinal de un conjunto.


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35


Se llama cardinal de un conjunto A, al nmero de elementos deA. Se denota n(A) o #A.

As, para A = {a, b, c}, el cardinal de A es n(A) = 3 y si B = { }, el cardinal de B es n(B)= 0.

A continuacin, dos teoremas que permiten hallar el cardinal de la unin de dos y tresconjuntos.

Teorema 4.5 Si A y B son dos conjuntos, n A B n A n B n A B .

Demostracin.Por observacin de la grfica,

n A B n A B n B A n A B ; Definicin de Diferencia

n A n A B n B n A B n A B ; Definicin de Diferencia

=n A n A B n B n A B n A B ; Destruyendo parntesis

=n A n B n A B ; Cancelando trminos opuestos en signo

Teorema 4.5

Si A, B y C son conjuntos,

n A B C n A n B n C

n A B n A C n B C n A B C


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Demostracin.Por observacin de la grfica,

B C B C B Cn A B C n A n A n A ;

= n A B C n A C B n B C A n A B C ;

=

=

n A B C n A C B n B C A n A B C

n A B C n A C B n B C A n A B C

; ************************

Ejemplo 4.23 Aplicacin de los teoremas de cardinalidad

Resolver el siguiente problema. Un estudiante universitario estudi Fundamentos deMatemticas y/o Geometra cada da durante el mes de octubre. Si estudi 23 dasFundamentos y 17 Geometra, cuntos das estudia. Fundamentos y Geometra?b. Fundamentos pero no Geometrac. Geometra pero no FundamentosSolucin. Sean F = {x: x es un da que estudi fundamentos} y su cardinal 23n F ;

G = {x: x es un da que estudi geometra} y su cardinal 17n G .


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Aplicando el teorema 1, ( ) ( ) ( ) ( )n F G n F n G n F G , reemplazando los datos setiene 30 23 17 x , donde ( ) 30n F G porque octubre tiene 30 das y x el cardinaldesconocido de la interseccin. As, 40 30 10x . Por consiguiente se llegan al siguientegrfico.

Con el grfico se pueden contestar las tres preguntas:

a. 10 estudiantes estudian las dos asignaturasb. 13 estudiantes estudian Fundamentos pero no Geometrac. 7 estudiantes estudian Geometra pero no Fundamentos

Ejemplo 4.23 Aplicacin de los teoremas de cardinalidadEn una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: 67% bebenA o B y 13% beben ambas; 59% beben B o C y 11% beben ambas; 75% beben A o C y 15%beben ambas; el 16% no consumen ni A, ni B, ni C.a. Determine el porcentaje que bebe Ab. Determine el porcentaje que beben las tres bebidasSolucin. Para aplicar el teorema 1, consideremos ( )n A x , ( )n B y y ( )n C z . As,

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B

67 13x y

( ) ( ) ( ) ( )n B C n B n C n B C

59 11y z ( ) ( ) ( ) ( )n A C n A n C n A C

75 15x z

De las tres partes se obtiene el sistema de ecuaciones:


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67 13

59 11

75 15

x y

y z

x z

Simplificando el sistema, se tiene80

70

90

x y

y z

x z

Despejando z en las dos ltimas ecuaciones e igualando se tiene80

20

x y

x y

Resolviendo este sistema se llega a 50, 30, 40x y z . As la bebida A la consumen el50%, el 30% consumen la B y la C el 40%.

As, ( ) 50%n A , ( ) 30%n B y ( ) 40%n C , ( ) 100% 16% 84%n A B C ,( ) 13n A B y ( ) 11n B C , ( ) 15n A C y ( )n A B C w .

Aplicando el teorema 2, se tiene:

n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C

84% = 50% + 30% + 40%13%15%11 + w, de donde w =3

w = 3

Representando estos datos en un diagrama de Ven, tenemos

Respuesta: La bebida A la consumen 50% y las tres bebidas el 3%.

Ejemplo 68.Aplicacin de los teoremas de cardinalidad


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En una encuesta sobre el gusto por las bebidas se obtuvieron los siguientes resultados: 25%gaseosa, 55 % jugo, 12% gaseosa y jugo, 17% jugos y cerveza, 13% gaseosa y cerveza, 9%las tres bebidas y el 65% gaseosa o cerveza.

a. Cuntos toman solo gaseosa?

b. Cuntos toman solo jugo?c. Cuntos toman solo cerveza?d. Cuntos toman una sola bebida?e. Cuntos toman gaseosa y jugo?f. Cuntos toman gaseosa y cerveza?g. Cuntos toman solo gaseosa y cerveza?h. Cuntos toman solo jugo y cerveza?i. Cuntos toman dos bebidas?j. Cuntos toman gaseosa, jugo o cerveza?k. Cuntos toman las tres bebidas?l. Cuntos toman gaseosa o jugo?m. Cuntos toman por lo menos dos bebidas? (mnimo dos)n. Cuntos toman a lo ms dos bebidas? (mximo dos)

Solucin

Datos:G = {x: x es consumidor de gaseosa}; n(G) = 25%J = {x: x es consumidor de jugo}; n(J) = 55%C = {x: x es consumidor de cerveza}; n(C) = ?Consumidores de G y J = n(GJ) = 12%Consumidores de J y C = n(JC) =17%

Consumidores de G y C = n(GC) = 13%Consumidores de G, J y C = n(GJC) = 9%Consumidores de G C = n(GC) = 65%

Estrategia de solucin: usar diagramas de Venn y representar los datos en esta grfica

Idea clave:Como n(G C) = 65 %,


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9% + 3% + 9% + 4% + 8% + x = 65%; donde x es el porcentaje correspondiente a solocerveza.x = 6533x = 32 %

Completando el diagrama se tiene:

Respuesta a las preguntas:

a.Cuntos toman solo gaseosa?n[G(JC)] = 9 %

f.Cuntos toman solo jugo y cervezan[(JC)G] = 8 %

b. Cuntos toman solo jugo?n[J(GC)] = 35 %

g.Cuntos toman dos bebidas?n[GJ] + n[GC] + n[JC] =12 % + 13 % + 17 % = 42 %

c. Cuntos toman solo cerveza?n[C(JC)] = 32 %

h.Cuntos toman gaseosa, jugo o cerveza?n[J GC] = 100 %

d.Cuntos toman una sola bebida?9% + 35% +32% = 76%

i.Cuntos toman las tres bebidas?n[GC J] = 9 %

e.Cuntos toman gaseosa y jugo?n[GJ] = 9% +3 % = 12%

k.Cuntos toman gaseosa o jugo?n[G J] = 9% + 8 % + 4 % + 9 % + 35% + 3% = 68 %

l.Cuntos toman gaseosa y cerveza?n[GC] = 9 % + 4 % = 13 %

n.Cuntos toman por lo menos dos bebidas?Son los que toman mnimo dos, es decir, seexceptan las que toman una sola bebida:

100% - 76% = 24%

m.Cuntos toman solo gaseosa y

cerveza?n[(GC)J] = 4 %

o. Cuntos toman a lo ms dos bebidas?Son los que toman mximo dos, es decir,

uno o dos. Son todos excepto los que tomanlas tres.

100% - 9 % = 91%



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Se consult a 247 personas acerca de su preferencia por dos candidatos para las eleccionespresidenciales: 80 son partidarios del canditato A, 172 del B y 38 ninguno de los dos.Cuntas personas le gusta solo un candidato?

Solucin. Considrese el siguiente grafico. Despus de colocar los datos conocidos,observamos que hacen falta datos que son representados por variables, tal como se muestraen la figura.

De la figura se deduce el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

80

172

247

x y

y z

x y z

Como 80x y entonces reemplazando en 209x y z se tiene 80 209z y as129z . Puesto que 172y z , por reemplazo en 172 209x se concluye que 37x .

Finalmente, reemplazando 37x y 129z , se obtiene 43y .


Se realiz una evaluacin a 375 estudiantes de Noveno Semestre de ingeniera sobre Lmites,Derivadas e Integrales sobre estos temas. Se encontr que 3 3x , han olvidado totalmentelos tres temas, 5 3x tiene bastante conocimiento de los tres, 6 2x sabe solo Lmites yDerivadas, 5 2x solo Derivadas e Integrales, 2 1x solo Lmites e Integrales. Cuntaspersonas saben a lo sumo dos temas? Cuntos saben al menos dos temas?

Solucin. Registremos los datos del problema en un diagrama de Venn.


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Por definicin de conjunto universal,

5 3 5 2 5 2 2 1 3 4 6 2 4 5 3 3 375x x x x x x x x

Simplificando la ecuacin,

33 12 375x

11x

Reemplazando el valo de x se tiene

Entonces, cuntas personas saben a lo sumo dos temas?

Son los cero, uno o dos; as, el nmero de estudiantes que no sabe estos tres temas es 36, losque saben solo uno es 49 + 37 + 57 = 143 y los que saben solo dos 21 + 64 + 53 = 138. Por


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tanto el numero de estudiantes que saben mximo dos o a lo sumo dos temas es 36 + 143 +138 = 317. Otra manera de hallarlo es quitar al universo el nmero de estudioantes que sabentres: 37558 = 317.

Cuntos saben al menos dos temas?

Los que saben al menos dos temas, es decir, mnimamente dos, son los que saben solo tres osolo dos; por tanto, 58 + 64 + 53 + 21 = 196.


Un club consta de 122 personas de las cuales 45 juegan ftbol, 44 baloncesto y 43 voleybol.10 figuran en los tres deportes, 13 no practica ninguno de estos. El nmero de personas quesolo juega ftbol es igual al nmero de personas que solo juega basket e igual al nmero depersonas que solo juega voleybol. Cuntas personas practican solo un deporte? Cuntaspractican solo dos deportes? Cuntas practican al menos dos deportes? Cuntas practicana lo sumo dos deportes?

Solucin. Registremos los datos del problema en un diagrama de Venn.

Apoyados en el diagrama de Venn, establecemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1. 0 34

2. 0 35

3. 0 33

4. 3 99

x y z

x y w

x z w

x y z w

Reduzcamos el sistema 4 4 en otro 3 3 eliminando la variable w:

Multiplicando (2) por -1 y sumando a (3) se tiene:


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0 35 10 33

x y w

x z w

- - 0 - -35

0 33

x y w

x z w

y as

4. 2y z

Multiplicando (2) por -1 y sumando a (4) se tiene:

0 35 13 99

x y w

x y z w

0 35

3 99

x y w

x y z w

y as

5. 2 0 64x z

Mientras la ecuacin (1) que no tiene w es la (6)

6. 34x y z

De esta manera se tiene el sistema 3X3:

4. 0 2

5. 2 0 64

6. 34

y z

x z

x y z

Ahora elimeinemos la variable y.

La ecuacin (5) que no tiene variable y queda como ecuacin (7) y sumando (6) y (4) seobtiene (8):

7.2 64

8. 2 32

x z

x z

Multiplicando (8) por - 2 y luego sumando se elimina la variable x:


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7. 2 64

8. 2 4 64

x z

x z

3 0z . Implica que z = 0.

Reemplazando z = 0 en (7) se tiene x = 32.

Reemplazando x = 32 y z = 0 en (6), se tiene

32 0 34y . Implica que y = 2.

Falta hallar w; reemplazando en (4):

3 32 2 0 99w . Implica que w = 1.

Prcti ca 4.4


Sean los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, g} el conjunto universo;A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e, f}; C = {c, d, e, f, g}. Hallar

1. (AB) (AB)2. (A B ) (AB)3. (AB) C4. (C C ) (AA) (BA)

Sean los conjuntos U = {x: x es persona de nacionalidad colombiana},A = {x: x es persona huilense},B = {x: x es deportista colombiano},C = {x: x es estudiante colombiano}

Hallar:1. 'A 2. 'B


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3. 'C 4. C A 5. A C 6. 'A C 7. A B

8. 'A B 9. A B

10. 'A B

11. A B

Considere los conjuntos.A = {almuerzo, siesta, ducha} y B = {ducha, afeitado, vestirse}U = {almuerzo, siesta, ducha, afeitado, vestirse, sena}, el conjunto universo para A y B.

Escriba el significado de las siguientes expresiones segn las definiciones de operaciones

entre conjuntos.

12. ducha (AB) significaque

ducha A ducha B

13. almuerzo (AB)

significaque

almuerzo A almuerzo B

14. cena (AB) significaque

cena A cena B

15. almuerzo (AB)

significaque

almuerzo ___A ____ almuerzo ___ B


ducha ___A ____ ducha ___ B





19. afeitado (BA) significaque

afeitado ___B ____ afeitado ___ A

20. afeitado (BA) significaque

afeitado ___B ____ afeitado ___ A

21. cena (AB) significaque

cena ___(AB) ____ cena ___ (AB)

22. almuerzo (AB)

significaque

almuerzo ___(AB) ____ almuerzo ___ (AB)


ducha ___(AB) ____ ducha ___ (AB)


ducha ___(AB) ____ ducha ___ (AB)

25. cena A significaque

cena ___A


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26. almuerzo A significaque

almuerzo ___A

27. siesta B significaque

siesta ___ B

Resolver los siguientes problemas:28.Se consult a 55 estudiantes acerca de su preferencia a las materias ingls, espaol y

matemticas: a 5 les gusta las tres, a 33 ingls, a 33 espaol, a 36 matemticas, a 20matemticas y espaol, a 15 ingls y espaol, a 17 ingls y matemticas. A cuntaspersonas les gusta solo una materia? Respuesta: 13

29.Una empresa de comidas rpidas investiga en una ciudad la aceptacin de la hamburguesacon carne de pollo, de cerdo o de res, consultando al azar a 350 personas. El resultadofue el siguiente: a 80 personas les gusta los tres tipos de hamburguesas, a 40 ninguna, a200 la de pollo, a 200 la de cerdo, a 190 la de res, a 110 pollo y cerdo, a 130 pollo y resy a 120 cerdo y res. A cuntas personas les gusta nicamente dos tipos de hamburguesas?Respuesta: 120

30.Se consult a 300 personas acerca de su preferencia por la pera, manzana y uva: 83 no legusta estas frutas, a 10 les gusta las tres, a 120 le gusta la pera, a 93 manzanas, a 135 uva,a 38 pera y manzana, 43 manzana y uva, y a 60 pera y uva. Cuntas personas les gustasolo pera? Cuntas personas les gusta al menos una de estas frutas?

31.En un reconocimiento de 100 atletas se encontr que se especializaron as: 35 en bisbol,50 en basquetbol, 40 en ftbol, 15 en bisbol y basquetbol, 10 en bisbol y ftbol, 15 enbasquetbol y ftbol y 5 en los tres deportes. Cuntos atletas no se especializaron en estostres deportes? Cuntos atletas se especializaron solo en ftbol?

32.Al finalizar un ao de estudios se observ, analizando tres materias M, B, E, que el 2%reprob las tres, el 6% reprob M y B, el 5% reprob B y E, el 10% reprob M y E, el29% reprob M, el 32% reprob B y el 16% reprob E. Cuntos estudiantes aprobaronlas tres materias? Cuntos reprobaron una exactamente? Cuntos reprobaron mnimouna? Cuntos aprobaron mnimo dos? Cuntos aprobaron a lo sumo una? Respuestas:42%, 41%, 58%, 83%, 17%.

33.Una encuesta realizada entre 600 obreros en una planta revel que 410 tenan casa propia,500 automvil, 550 televisor, 410 automvil y televisin, 340 automvil y casa, 370 casapropia y televisin y 300 casa propia, automvil y televisin. Haga un diagrama de Vennque ilustre es caso. Es correcta la encuesta? Respuesta: No

34.A un investigador se le pagaba $1 por cada persona que entrevistara acerca de sus gustossobre el caf. Este empleado inform que 520 personas preferan caf molido, 312 cafinstantneo y 260 ambos tipos. Cunto deber pagrsele? Haga un diagrama de Vennque ilustre la situacin. Respuesta: $562

35.El investigador del problema anterior realiz una segunda encuesta en otra ciudad yencontr las siguientes preferencias: 252 personas escogieron caf molido, 210 cafinstantneo, 300 caf instantneo congelado, 80 instantneo e instantneo congelado, 60instantneo y molido, 110 molido e instantneo congelado, 50 de las tres clases y 120dijeron no tomar caf. Cunto deber pagrsele a $1 por cada entrevista?

36.Una compaa fabrica rodamientos con una tolerancia muy pequea. Estos se utilizan entres productos, A, B, y C. Se tom una muestra de 600 rodamientos midiendo el dimetrode cada uno de ellos, encontrndose que 193 podan ser utilizados en el producto A, 207


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en el B, 180 en el C, 278 en el A o en el C, 244 en el B o en el C, 284 en el A o en el By 60 en los tres. Encuentre el nmero n(AUBUC). Respuesta: 314

37.Se consulta a 125 personas acerca de su preferencia por las frutas naranja, mandarina ylima. A 10 no les gusta ninguna fruta, a 50 la naranja, a 40 la mandarina, a 65 la lima, a10 solo naranja y mandarina, a 15 solo mandarina y lima y a 5 solo naranja y lima. A

cuntas personas les gusta solo una fruta?38.En un cierto programa universitario se consulta a 100 estudiantes acerca de su preferenciapor la matemtica, la fsica y la qumica. A 23 no les gusta ninguna de las tres. A (8x +4) les gusta la matemtica, a (8x + 7) la fsica, a (7x + 4) la qumica, a (5x) matemtica yfsica, a (3x + 5) fsica y qumica, a (3x + 4) matemtica y qumica y a (2x + 1) las tresmaterias. A cuntos estudiantes les gusta una sola materia? Respuesta: 35 estudiantes.

39.En un colegio se consulto a 72 estudiantes de noveno, seleccionados al azar, supreferencia por las especialidades matemticas, ciencias y electricidad. Respondieron dela siguiente forma: a (2x - 1) les gusta las tres especialidades, 4 ninguna de las tres, a (12x+ 6) matemticas, a (13x - 2) ciencias, a (13x - 5) electricidad, a (3x + 2) solo matemticasy ciencias, a (6x - 4) ciencias y electricidad y a (5x) solo matemticas y electricidad.Cul es el nmero de estudiantes a los cuales les gusta solo una especialidad? Respuesta:28

40.Se hizo un examen a 160 estudiantes del primer semestre de universidad sobre los temasde fracciones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones. El resultado fue el siguiente: 70saben fracciones, 90 ecuaciones, 60 inecuaciones, el nmero de estudiantes que solosaben fracciones es igual al triple del nmero de estudiantes que solo saben inecuacionesy fracciones; el nmero de estudiantes que solo saben ecuaciones es igual al doble delnmero de estudiantes que solo saben ecuaciones e inecuaciones; el nmero deestudiantes que solo sabe fracciones y ecuaciones es igual al nmero de estudiantes quesolo saben inecuaciones; y el nmero de estudiantes que no saben ninguno de los temas

es igual al nmero de estudiantes que saben los tres. Cuntos solo saben un solo tema?Cuntos saben mninmo dos? mximo dos? Resp. 88; 60; 148

41.Se consult a 247 personas acerca de su preferencia por dos candidatos para las eleccionespresidenciales: 80 son partidarios del candidato A, 172 por el B y hay 38 que no le gustaninguno. Cuntas personas les gusta solo un candidato?

42.Se consult a 370 personas sobre su preferencia por jugo o gaseosa. 186 se inclin porjugo y 169 por gaseosa. Si 20 no consumen estos productos, cuntas personas prefierenmximo una? Respuesta:

43.Se evalu lo bsico de los temas de funciones trigonomtricas y funciones algebraicas a

194 estudiantes de Clculo Integral de una universidad. 88 tienen conocimiento de lasfunciones trigonomtricas, 118 de las algebraicas y 39 ignoran por completo estossaberes. Cuntos estudiantes saben por lo menos un tema?

44.Se realiz un examen de fraccionarios a 363 estudiantes de grado 11 de secundaria. 199multiplcan, 157 suman y 19 ni suma ni multiplica. Cuntos estudiantes solo multiplican?


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45.Un club de lectores consta de 78 personas, de las cuales 50 leen historia, 32 leen novelasy 23 ciencia. 6 leen estos tres tpicos y 10 ninguno de estos. Cuntas personas leen soloun tema? Cuntas leen solo dos temas? Cuntas leen al menos dos temas? Cuntasleen a lo sumo dos?

Prcti ca 4.5


1. Hallar el conjunto de partes o conjunto potencia del conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}, tal comoilustr anteriormente.

2. Mostrar grficamente tal como se ilustr con la Propiedad 22, que las siguientespropiedades entre conjuntos 6, 9, 13, 19, 38 y 40 son correctas.

BIBLIOGRAFIA

1. Symour Lipschutz.Coleccin Schaum: Teora de Conjuntos y temas afines.

http://www.cienciamatematica.com/libros/matematica/Libro.Teoria_de_conjuntos_y_temas_afines_-_Schaum.pdf
https://pperalta.files.wordpress.com/2009/08/teoria-de-conjuntos-y-temas-afines-symour-lipschutz.pdfhttp://www.cienciamatematica.com/libros/matematica/Libro.Teoria_de_conjuntos_y_temas_afines_-_Schaum.pdfhttp://www.cienciamatematica.com/libros/matematica/Libro.Teoria_de_conjuntos_y_temas_afines_-_Schaum.pdfhttp://www.cienciamatematica.com/libros/matematica/Libro.Teoria_de_conjuntos_y_temas_afines_-_Schaum.pdfhttp://www.cienciamatematica.com/libros/matematica/Libro.Teoria_de_conjuntos_y_temas_afines_-_Schaum.pdfhttp://www.cienciamatematica.com/libros/matematica/Libro.Teoria_de_conjuntos_y_temas_afines_-_Schaum.pdfhttps://pperalta.files.wordpress.com/2009/08/teoria-de-conjuntos-y-temas-afines-symour-lipschutz.pdf

Lógica matemática UCC Cap 4

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