Lógica Proposicional e Dedução Natural · Uma Introdu˘c~ao Intuitiva Proposi˘c~oes DN: regras...
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Uma Introducao Intuitiva Proposicoes DN: regras basicas Suposicoes Regras para disjuncao Contradicoes
Logica Proposicional e Deducao Natural
Douglas O. [email protected]
docardoso.github.io
Douglas O. Cardoso CEFET-RJ Petropolis
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Uma Introducao Intuitiva Proposicoes DN: regras basicas Suposicoes Regras para disjuncao Contradicoes
Roteiro
1 Uma Introducao Intuitiva
2 Proposicoes
3 DN: regras basicas
4 Suposicoes
5 Regras para disjuncao
6 Contradicoes
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Roteiro
1 Uma Introducao Intuitiva
2 Proposicoes
3 DN: regras basicas
4 Suposicoes
5 Regras para disjuncao
6 Contradicoes
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O objetivo da logica em computacao
“. . . e desenvolver linguagens para modelar situacoes que abordamos en-quanto profissionais de computacao, de forma a poder raciocinar sobre elasformalmente. Raciocinar sobre situacoes significa construir argumentos sobreas mesmas; queremos fazer isso formalmente, de forma que os argumentossejam validos e possam ser defendidos rigorosamente, ou executados com-putacionalmente.”
Michael Huth e Mark RyanTraduzido do livro “Logic in Computer Science”
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Exemplo 1: Trem das Onze
1. Se o trem se atrasasse e nao houvessem taxis na estacao, Joaochegaria atrasado
2. Mas Joao chegou no horario
3. Ja o trem chegou atrasado
4. Logo, haviam taxis na estacao
A conclusao e valida? Como chegamos a ela?
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Exemplo 2: Maria, olha a chuva!
1. Se estava chovendo e Maria nao tinha um guarda-chuva, ela se molhou
2. Maria nao esta molhada
3. Estava chovendo
4. Logo, Maria levou consigo um guarda-chuva
A conclusao e valida? Como chegamos a ela?
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Um argumento mais formal
Se o trem se atrasasse e nao houvessem taxis na estacao, Joaochegaria atrasado. Mas Joao chegou no horario. Ja o trem chegouatrasado. Logo, haviam taxis na estacao.
Se estava chovendo e Maria nao tinha um guarda-chuva, ela semolhou. Maria nao esta molhada. Estava chovendo. Logo, Marialevou consigo um guarda-chuva.
Se p e nao q, entao r. Nao r. p. Logo, q.
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1 Uma Introducao Intuitiva
2 Proposicoes
3 DN: regras basicas
4 Suposicoes
5 Regras para disjuncao
6 Contradicoes
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Definicao e exemplos
Proposicao: uma sentenca que pode ser considerada verdadeira oufalsa
A soma de 2 e 3 e igual a 5
Fulano falou mal de Ciclano para Beltrano
Quero passar em logica
Que sentencas nao sao proposicoes?
Que a forca esteja com voce.
Ja viu que horas sao?
Pare com esses exemplos agora!
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Representacao Simbolica
Proposicoes em linguagem natural ⇒ Formulas logicas
Menos detalhes desnecessarios (abstracao)
Mais facilidade de manipulacao
Foco na argumentacao, na combinacao de formulas
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Atomos
Proposicoes atomicas sao aquelas mais simples, que nao podem serlogicamente decompostas.
Por exemplo: O numero 5 e par.
Sao representadas por atomos (variaveis): p, q, r, . . .
Proposicoes compostas sao formadas pela combinacao das atomicas
Por exemplo: 5 e par e 4.5 e negativo
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Operadores Logicos: ¬
negacao / nao / not
Inverte o valor logico de uma proposicao
p: 5 e par
¬p: 5 nao e par
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Operadores Logicos: ∨
ou / or / disjuncao
Dadas duas proposicoes, indica que ao menos uma e verdadeira
p: 3 e par
q: 4 e negativo
p ∨ q: 3 e par ou 4 e negativo
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Operadores Logicos: ∧
e / and / conjuncao
Dadas duas proposicoes, indica que ambas sao verdadeiras
p: o ceu e verde
q: vacas voam
p ∧ q: o ceu esta verde e vacas voam
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Operadores Logicos: →
implicacao / se / if
Indica que uma proposicao e uma consequencia logica de outra
p: 1+1 = 10
q: 10+10 = 100
p→ q: Se 1+1 = 10, entao 10+10 = 100
p e a premissa, q e a conclusao
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Teste seus conhecimentos
p: Fulana e educada
q: Fulana e inteligente
r: Quero me casar com Fulana
Traduza “Fulana e educada e inteligente”
p ∧ q
Traduza “Se fulana e inteligente, quero me casar com ela”
q → r
Traduza “Fulana e educada mas nao quero casar com ela.”
p ∧ ¬r
Traduza q → p
Se fulana e inteligente, entao ela e educada.
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Precedencia de Operadores e Parentizacao
¬p ∧ q?
Fulana nao e educada mas e inteligente
Fulana nao e educada e inteligente
Operadores ordenados por precedencia: ¬,∧,∨,→
Implicacao e associativa a direita: p→ q → r ⇔ p→ (q → r)
E preferıvel sempre usar parenteses!
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1 Uma Introducao Intuitiva
2 Proposicoes
3 DN: regras basicas
4 Suposicoes
5 Regras para disjuncao
6 Contradicoes
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Definicao
Deducao Natural (DN) e um sistema dedutivo usado para construirprovas logicas formais
E definido por um conjunto de regras de inferencia
A aplicacao dessas regras sobre um conjunto de premissas leva a umaconclusao
Notacao: φ1, φ2, · · · , φn ` ψ
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Regra de Inferencia (RI)
E a descricao de uma relacao logicamente valida entre premissas econclusoes
Numa prova formal, cada aplicacao das RIs deve ser um passo nadirecao da conclusao desejada
Dicas para aplicacao de RIs (para evitar erros comuns)
As premissas da RI devem corresponder, coincidir, combinar com asproposicoes sobre as quais a regra sera aplicada
A conclusao da RI deve corresponder, coincidir, combinar com aproposicao resultante da aplicacao da regra
Sempre indique a que proposicoes a regra e aplicada
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Regras para conjuncao
Introducao do ∧ (i∧):φ ψ
φ ∧ ψ
Eliminacao do ∧ (e∧):φ ∧ ψφ
φ ∧ ψψ
Intuicao: afimar “o ceu e verde” junto com “vacas voam” eequivalente a afirmar “o ceu e verde e vacas voam”
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Exemplo de uso: regras para conjuncao
Prove que: p ∧ q, r ` q ∧ r
1 p ∧ q premissa
2 r premissa
3 q e∧ 1
4 q ∧ r i∧ 2, 3
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Regras para dupla negacao
Introducao da dupla negacao (i¬¬):φ
¬¬φ
Eliminacao da dupla negacao (e¬¬):¬¬φφ
Intuicao: afirmar “quero passar em logica” e equivalente a afirmar“nao quero nao passar em logica”
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Exemplo de uso: regras para dupla negacao
Prove que: p,¬¬(q ∧ r) ` ¬¬p ∧ r
1 p premissa
2 ¬¬(q ∧ r) premissa
3 ¬¬p i¬¬1
4 q ∧ r e¬¬1
5 r e∧ 4
6 ¬¬p ∧ r i∧ 3, 5
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Teste seus conhecimentos
Prove que: (p ∧ q) ∧ r, s ∧ t ` s ∧ ¬¬q
1 (p ∧ q) ∧ r premissa
2 s ∧ t premissa
3 p ∧ q e∧ 1
4 q e∧ 3
5 ¬¬q i¬¬4
6 s e∧ 2
7 s ∧ ¬¬q i∧ 5, 6
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Eliminacao da implicacao (e→)
φ φ→ ψ
ψ
Intuicao: afirmar “se vacas voassem, haveriam rebanhos aereos” juntocom “vacas voam”, permite concluir que “ha rebanhos aereos”.
Tambem conhecido pelo nome em latim: modus ponens
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Exemplo de uso: eliminacao da implicacao
Prove que: ¬p ∧ q,¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p
1 ¬p ∧ q premissa
2 ¬p ∧ q → r ∨ ¬p premissa
3 r ∨ ¬p e→ 1, 2
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Exemplo de uso: eliminacao da implicacao (2)
Prove que: p→ (q → r), p→ q, p ` r
1 p→ (q → r) premissa
2 p→ q premissa
3 p premissa
4 q → r e→ 1, 3
5 q e→ 2, 3
6 r e→ 4, 5
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3 DN: regras basicas
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5 Regras para disjuncao
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Introducao da implicacao (i→)
[φ]...ψ
φ→ ψ
Intuicao: se a suposicao de que “vacas voam” permite afirmar que“ha rebanhos aereos”, e possıvel concluir que “se vacas voassem,haveriam rebanhos aereos”.
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Suposicoes e Sub-universos
Ao fazer uma suposicao, e criado um “sub-universo”, dentro do“universo” atual
As proposicoes do universo atual continuam validas no sub-universo
No sub-universo o que foi suposto e tido como uma proposicao validaqualquer
As proposicoes obtidas no sub-universo dependem da suposicao feita,entao nao sao validas fora do sub-universo
E possıvel criar um sub-universo dentro de outro ja existente
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Exemplo de uso: Introducao da implicacao
Prove que: p→ (q → r) ` p ∧ q → r
1 p→ (q → r) premissa
2 [p ∧ q] suposicao
2.1 p e ∧ 2
2.2 q → r e→ 1, 2.1
2.3 q e ∧ 2
2.4 r e→ 2.2, 2.3
3 p ∧ q → r i→ 2, 2.4
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Exemplo de uso: Introducao da implicacao
Prove que: p ∧ q → r ` p→ (q → r)
1 p ∧ q → r premissa
2 [p] suposicao
2.1 [q] suposicao
2.1.1 p ∧ q i ∧ 2, 2.1
2.1.2 r e→ 1, 2.1.1
2.2 q → r i→ 2.1, 2.1.2
3 p→ (q → r) i→ 2, 2.2
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Teste seus conhecimentos
Prove que: p→ q ` p ∧ r → q ∧ r
1 p→ q premissa
2 [p ∧ r] suposicao
2.1 p e ∧ 2
2.2 r e ∧ 2
2.3 q e→ 1, 2.1
2.4 q ∧ r i ∧ 2.2, 2.3
3 p ∧ r → q ∧ r i→ 2, 2.4
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2 Proposicoes
3 DN: regras basicas
4 Suposicoes
5 Regras para disjuncao
6 Contradicoes
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Introducao do ∨
Introducao do ∨ (i∨):φ
φ ∨ ψψ
φ ∨ ψ
Intuicao: acreditar que “o ceu e verde” permite afirmar que “o ceu everde e/ou vacas voam”.
Ou seja, espera-se que ao menos uma das alternativas seja verdade.
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Exemplo de uso: introducao do ∨
Prove que: p,¬q ` (q ∨ p) ∨ ¬r.
1. p premissa
2. ¬q premissa
3. q ∨ p i∨ 1
4. (q ∨ p) ∨ ¬r i∨ 3
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Eliminacao do ∨: intuicao
Digamos que eu acredite que “vacas e/ou ovelhas voam”.
Ou seja, pelo menos um desses voa, mas eu nao sei qual.
Ao supor que “vacas voam”, posso concluir que “ha rebanhos aereos”.
Se eu supor que “ovelhas voam”, chego a mesma conclusao.
Entao, sem supor nada, posso afirmar que “ha rebanhos aereos”.
So nao sei se sao rebanhos de ovelhas ou vacas.
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Eliminacao do ∨ (e∨)
[φ] [ψ]...
...φ ∨ ψ χ χ
χ
O uso dessa regra se da em 4 passos:
1. E identificada a disjuncao que sera a base da eliminacao;
2. Pela suposicao de um operando da disjuncao, e concluıdo um certo fato;
3. Pela suposicao do outro operando, e obtida a mesma conclusao;
4. Entao, e inferida como fato a conclusao de ambas suposicoes.
Lembre-se: nao misture as suposicoes; sao sub-universos distintos!
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Exemplo de uso: eliminacao do ∨
Prove que: q → r ` p ∨ q → p ∨ r
1. q → r premissa
2. [p ∨ q] suposicao
2.1. [p] suposicao
2.1.1. p ∨ r i∨ 2.1
2.2. [q] suposicao
2.2.1. r e→ 1, 2.2
2.2.2. p ∨ r i∨ 2.2.1
2.3. p ∨ r e∨ 2, 2.1, 2.1.1, 2.2, 2.2.2
3. p ∨ q → p ∨ r i→ 2, 2.3
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Prove que: (p ∨ q) ∨ r a` p ∨ (q ∨ r) 1.
1“φ a` ψ” indica a realizacao de duas provas: φ ` ψ e ψ ` φ.Douglas O. Cardoso CEFET-RJ Petropolis
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3 DN: regras basicas
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5 Regras para disjuncao
6 Contradicoes
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Nocoes basicas
Uma contradicao e a conclusao de qualquer combinacao de premissascontrarias uma a outra.
Contradicoes tambem sao conhecidas como Absurdos.
O sımbolo usado para representar uma contradicao e ⊥.
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Regra do Absurdo
Absurdo (abs):φ ¬φ⊥
Intuicao: afirmar “hoje vai chover” logo apos “hoje nao vai chover”;contraditorio, nao?
Esta regra tambem e conhecida como “eliminacao da negacao”.
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Reducao ao Absurdo
Reducao ao Absurdo (raa):
[φ]...⊥¬φ
Intuicao: se a suposicao de que “vacas voam” leva a conclusaoabsurda de que “1=2”, e natural entao inferir que “vacas nao voam”.
Esta regra tambem e conhecida como “introducao da negacao”.
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Exemplo de uso: Absurdo, Reducao ao Absurdo
Prove que: ¬p→ q,¬p→ ¬q ` p.
1. ¬p→ q premissa
2. ¬p→ ¬q premissa
3. [¬p] suposicao
3.1. q e→ 3, 1
3.2. ¬q e→ 3, 2
3.3. ⊥ abs 3.1, 3.2
4. p raa 3, 3.3
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Exemplo de uso: Absurdo, Reducao ao Absurdo (2)
Prove que: p→ ¬p ` ¬p.
1. p→ ¬p premissa
2. [p] suposicao
2.1. ¬p e→ 1, 2
2.2. ⊥ abs 2, 2.1
3. ¬p raa 2, 2.2
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Prove que: p ∧ ¬q → r,¬r, p ` q.
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