LUGARES GEOMÉTRICOSLUGARES GEOMÉTRICOS

3.º Ciclo do Ensino Básico3.º Ciclo do Ensino Básico

8.º ANO8.º ANO

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Lugares GeométricosLugares Geométricos

Um Um lugar geométricolugar geométrico é uma região é uma região do plano ou do espaço com do plano ou do espaço com determinadas propriedades comuns.determinadas propriedades comuns.

O objectivo desta unidade é o estudo mais aprofundado de alguns lugares geométricos de que já ouviste falar.

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Circunferência e círculoCircunferência e círculo

Um jardineiro quer construir um canteiro com a forma de uma circunferência. Para isso coloca uma estaca num ponto do terreno e prende nela uma corda. Na outra ponta da corda coloca um objecto e vai fazendo, com a corda totalmente esticada, um sulco no chão.

O jardineiro está a desenhar uma circunferência sobre o chão. Todos os pontos estão situados à mesma distância do ponto onde se encontra espetada a estaca (o centro da circunferência).

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Circunferência e círculoCircunferência e círculo

Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.

À distância de qualquer ponto da circunferência ao seu centro dá-se o nome de raio da circunferência.

Na figura, o raio da circunferência corresponde ao comprimento do segmento de recta [PC].

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Circunferência e círculoCircunferência e círculo

Os pontos A e B da figura abaixo estão situados no interior da circunferência. A distância destes pontos ao centro da circunferência é menor do que o raio.

Um círculo é formado por todos os pontos interiores à circunferência e pela circunferência.

Assim, o círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

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Circunferência e círculoCircunferência e círculo

Na figura abaixo estão representados os pontos D e E. A distância destes pontos ao centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência. Os pontos D e E são pontos exteriores à circunferência.

O exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

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Circunferência e círculoCircunferência e círculo

Considerando duas circunferências concêntricas (com o mesmo centro) e raios diferentes, podemos definir um lugar geométrico do plano situado entre as duas circunferências. Essa região do plano designa-se por coroa circular.

A região assinalada a amarelo representa uma coroa circular. Os seus pontos encontram-se a uma distância do ponto C igual ou maior do que BC e igual ou menor do que AC.

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Mediatriz de um segmento de rectaMediatriz de um segmento de recta

Exemplo 1:

• Pretende-se construir uma estrada que diste igualmente de duas localidades.

A estrada vai ter de corresponder à mediatriz do segmento de recta que une as duas localidades.

Desta forma, qualquer ponto da estrada é equidistante das duas localidades.

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Mediatriz de um segmento de rectaMediatriz de um segmento de recta

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Mediatriz de um segmento de rectaMediatriz de um segmento de recta

Propriedades:

• Um ponto qualquer da mediatriz de um segmento de recta é equidistante dos extremos desse segmento.

• O ponto médio do segmento de recta é o ponto da mediatriz desse segmento que se encontra à menor distância dos extremos desse segmento de recta.

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Mediatriz de um segmento de rectaMediatriz de um segmento de recta

Exemplo 2:

• O Professor de Educação Física quer que o João se coloque num lugar que seja equidistante de três colegas, de acordo com o que mostra a figura. Em que lugar se deve colocar o João?

O João deve ficar colocado na posição indicada. O ponto assinalado chama-se circuncentro do triângulo e corresponde à intersecção das mediatrizes dos lados do triângulos (mediatrizes dos lados do triângulo).

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Bissectriz de um ânguloBissectriz de um ângulo

A bissectriz de um ângulo é uma semi-recta que divide o ângulo em outros dois ângulos geometricamente iguais.

Considerando a recta r e o ponto P, não pertencente à recta, a menor distância entre o ponto P e a recta r é dada pelo comprimento do segmento de recta [PA], perpendicular à recta r, no ponto A.

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Bissectriz de um ânguloBissectriz de um ângulo

Para construires a bissectriz de um ângulo começas por desenhar o arco [AB], centrando o compasso no ponto V (vértice do ângulo).

De seguida, abres o compasso com raio igual ao comprimento do segmento de recta [AB]. Centras o compasso em A e depois em B, traçando os arcos que se encontram a verde. Esses arcos interceptam-se num ponto.

Traçando a semi-recta que passa por esse ponto e pelo vértice do ângulo, obténs a bissectriz do ângulo.

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Bissectriz de um ânguloBissectriz de um ângulo

Cada um dos pontos da bissectriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo.

Por exemplo:

AP = BP e CQ = DQ

Podemos agora definir a bissectriz como o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

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Bissectriz de um ânguloBissectriz de um ângulo

Exemplo:

Se pretendermos colocar candeeiros entre duas ruas de modo a que cada um deles esteja a igual distãncia de ambas as ruas, teremos de determinar a bissectriz do ângulo formado pelas duas ruas (linha a amarelo).

Como a figura ilustra, os candeeiros deveriam ficar segundo a bissectriz do ângulo cujos lados são representados pelas duas ruas A e B.

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Lugares geométricos no espaçoLugares geométricos no espaço

Superfície esférica e esferaSuperfície esférica e esfera

O vidro do qual é feito o abat-jour do candeeiro de tecto (a amarelo) pode imaginar-se como sendo uma região do espaço cujos pontos se encontram todos a igual distância de um ponto central fixo.

Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

O abat-jour representa uma superfície esférica.

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Lugares geométricos no espaçoLugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esferaSuperfície esférica e esfera

Se considerares agora todos os pontos da superfície esférica e todos aqueles que lhe são interiores, tens um novo lugar geométrico denominado esfera.

Assim, a esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

A distância do centro da esfera a um qualquer ponto da superfície esférica, chama-se raio da esfera.

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Lugares geométricos no espaçoLugares geométricos no espaçoPlano mediadorPlano mediador

Supõe que tens dois candeeiros no chão da tua sala, como se representa na figuar ao lado.

Pretendes saber quais são os lugares da sala que estão equidistantes dos dois candeeiros.

Considerando o segmento de recta cujos extremos são as bases dos dois candeeiros, os pontos do plano representado a verde são equidistantes das bases.

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Lugares geométricos no espaçoLugares geométricos no espaçoPlano mediadorPlano mediador

O plano representado a verde denomina-se Plano Mediador do segmento de recta.

O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.

O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

2020

Bom trabalho!Bom trabalho!

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