M A T E M Á T I C A

Introdução

A preocupação da banca foi a de acatar as determinações da Comissão Permanente do Vestibular UFSC – COPERVE-UFSC, no sentido de elaborar questões envolvendo assuntos do programa oficial dos Ensinos Fundamental e Médio, atendo-se ao que constava no edital do Concurso Vestibular 2010 - UFSC e tentando da melhor forma possível enquadrar as questões dentro dos níveis difícil, médio e fácil de maneira balanceada, homogênea e abrangente, procurando contemplar os itens do programa do edital do concurso.

FORMULÁRIO

30o

45o

60o

sen 2

1 2

2 2

3

cos

2

3 2

2 2

1

tg

3

3 1

3

1) an = a1+ (n-1) r 11) Acírculo = π r2

2) Sn =

+

2

aa n1 n 12) Vcilindro = π r2h

3) an = a1 qn –1 13) Vcone =

3

hr π 2

4) Sn 1q

1nqa

−

−=

)(1

14) Vcubo = a3

5) q1

aS 1

−= 15) Vesfera =

3

rπ 4 3

6) Pn = n! 16) Vparalelepípedo = abc

17) Vpirâmide = 3

hAbase

7) !pn

n!A

pn

)( −=

18) (y – y0) = m(x – x0)

8) β!α!

n!Pn

=βα , 19) Tp+1 =

pnpxa

p

n −

9) !pnp!

n!C

pn

)( −= 20) dA,B= ( ) ( )2AB

2AB yyxx −− +

10) (x – a)2 + (y – b)2 = r2

21) dP,r = 22

00

ba

cbyax

+

++

Questão 21 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em O homem que calculava, de Malba Tahan, pseudônimo do professor Júlio César de Mello

e Souza, o leitor não somente aprende Matemática como também belos exemplos de ensinamentos morais, apresentados ao longo das histórias que compõem o livro. Um dos problemas mais conhecidos é o da divisão dos 35 camelos que deveriam ser repartidos por três herdeiros, do seguinte modo: o mais velho deveria receber a metade da herança; o segundo deveria receber um terço da herança e o terceiro, o mais moço, deveria receber um nono da herança. Feita a partilha, de acordo com as determinações do testador, acima

referidas, ainda haveria a sobra de um camelo mais 18

17 de camelo.

02. Considere a operação Ψ que aplicada a um par (x, y) nos dá a raiz quadrada da soma de x

com y, ou seja, yx Ψ = yx + . Se 13ax += e 15ay += e aplicarmos a operação

Ψ , obteremos a2 + 4. 04. Na tabela seguinte está representada a distribuição, por turno, dos alunos da última fase

do curso de Matemática de uma universidade.

Diurno Noturno Mulheres 9 4 Homens 5 2

Três alunos do curso são escolhidos ao acaso para formarem a comissão de formatura. A probabilidade de que a comissão seja composta por duas pessoas do noturno e uma do diurno é de 7/38.

08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56.

16. Formados e colocados em ordem alfabética os anagramas da palavra AMOR, a posição correspondente à palavra ROMA é a 23a.

ANÁLISE DA QUESTÃO 21 Gabarito: 05 (01+04) Número de acertos: 372 (4,70%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão, composta de cinco proposições, envolve a aplicação de conhecimentos matemáticos como equação do primeiro grau, funções, análise combinatória e probabilidade. Confirmando as expectativas da Banca, esta foi a questão com o menor índice de acerto e, portanto, a mais difícil.

Conforme já foi apontado e comentado nos relatórios de anos anteriores, os candidatos têm dificuldades em aplicar o seu raciocínio combinatório e probabilístico em situações-problema.

Além da resposta correta 05 (01+04), outras respostas predominaram no quadro de frequência, que são em ordem decrescente de preferência: 02 – 11,53%; 01 – 11,37%; 03 – 7,11%; 04 – 5,59%; 08 – 5,55%; 16 – 5,36%; 10 (02+08) – 5,26.

Como se pode verificar através dos índices das respostas 01 e 04, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial. Esperava-se um índice superior aos 47,28% obtidos pela proposição 01, já que se trata de um conhecimento básico do ensino fundamental – equações do primeiro grau – e do fato de que o problema proposto estava no livro O homem que calculava de Malba Tahan, indicado para o Concurso Vestibular/ 2010.

Talvez a maior dificuldade dos candidatos, e que pode ser a mais significativa nesta e outras questões do gênero, reside na habilidade dos candidatos de ler, interpretar e compreender um problema, em transcrever as mensagens matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica ou para a elaboração de uma estratégia de solução do mesmo.

É surpreendente o fato de que aproximadamente 72% dos candidatos tiveram dificuldades em responder corretamente a proposição 04, que trata de uma aplicação do raciocínio combinatório e probabilístico. Já nas proposições 08 e 16, que obtiveram em torno de 30% da preferência dos candidatos, provavelmente os equívocos ocorridos foram a aplicação de combinação simples ao invés de arranjo simples na proposição 08 e a não percepção por parte dos candidatos de que ROMA é o vigésimo quarto anagrama da palavra AMOR em ordem alfabética.

Grande responsável pelo erro nesta questão foi o fato de que 43,95% dos candidatos consideraram a proposição 02 como correta, o que fez com que as respostas 02 e 10 obtivessem índice superior ao da resposta correta. Provavelmente, a maioria dos candidatos que assinalou tal

proposição como correta considerou, ingenuamente, que baba +=+ e fez

42164164 +=⇒+=⇒+= ayxayxayx ψψψ . Cabe ressaltar que este erro envolvendo

o estudo de radicais é sempre recorrente nos diversos níveis de ensino, apesar de ser muito evidenciado no ensino fundamental com o uso de contra-exemplos do tipo

86106436100 +≠⇒+≠ . Cabe ressaltar, também, o número de respostas absurdas, 39, a maioria sem uma

explicação lógica para tal escolha. Questão 22 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Na figura a seguir está representada uma espiral poligonal infinita, construída a partir da união

dos segmentos de reta, obtidos da seguinte maneira: comece com o segmento de reta

cm10AB = , divida-o ao meio, obtendo cm5BC = . Repita a divisão, encontrando

cm2,5CD = , depois ,cm1,25DE = em seguida cm0,625EF = , e assim sucessivamente. O

comprimento desta espiral poligonal infinita é de 19,38 cm. 02. Outro problema curioso do livro de Malba Tahan é o chamado Problema de Diofante, ou

Epitáfio de Diofante. Uma das versões sobre a vida do matemático grego Diofante, grande estudioso de Álgebra, aparece no parágrafo a seguir:

“Eis o túmulo que encerra Diofante – maravilha de contemplar! Com artifício aritmético a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois dos que lhe nasceu um filho. Mas este filho – desgraçado e, no entanto, bem-amado! – apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência.” (MALBA TAHAN. O homem que calculava. 73 ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 184).

Com base na interpretação dessa versão, pode-se afirmar que Diofante casou-se aos 21 anos.

04. Quando se aumenta a medida do lado de um cubo, o seu volume aumenta na mesma

A B

C D

E F G H

proporção que sua área total. 08. Passadas 187 horas das 7 horas da manhã, de determinado dia, o relógio indicará meia-noite. 16. O centro de gravidade do retângulo, cujos vértices num sistema de coordenadas cartesianas

são os pontos: A(–4,1), B(–4, –3), C(5, –3) e D(5,1), é o ponto

1,

2

1.

32. Considere a proporção: 2

z

3

y

4

x== . Se 2x + 4z = 32, então 18zyx =++ .

ANÁLISE DA QUESTÃO 22 Gabarito: 34 (02 + 32) Número de acertos: 788 (9,95%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão, composta de seis proposições, envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, como soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, equação do primeiro grau, área total e volume de um cubo, geometria analítica e proporcionalidade. Nessa questão, as proposições corretas tiveram, separadamente, um bom número de preferências (02 – 38,72%; 32 – 61,89%) sendo responsáveis pelos índices de 5,20% e 24,28% alcançados pelas respostas 02 e 32, respectivamente.

Conforme já destacado anteriormente, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza. Pelos mesmos motivos assinalados na análise da proposição 01 da questão 01, ou seja, tratar-se de uma aplicação de equações do primeiro grau e do fato de que o problema proposto estava no livro indicado para o Concurso Vestibular/2010, esperava-se um melhor índice dos candidatos para a proposição 02 desta questão. Possivelmente, as dificuldades encontradas pelos candidatos nesta proposição também foram as mesmas da proposição 01 da questão 01, isto é, a leitura, a interpretação e a compreensão de um problema, a passagem da linguagem corrente para a linguagem matemática.

A proposição incorreta 04 obteve 33,66% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 5,35% e 5,04% para as respostas 04 e 36 (04+32), respectivamente. É possível que os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham se apoiado em suas concepções de proporcionalidade direta, as quais estão fortemente vinculadas às suas experiências pessoais e são enfatizadas ao longo da vida escolar. Consideraram que o aumento da medida do lado de um cubo faz com que o seu volume e a sua área total aumentem na mesma proporção. Para verificar que a proposição era incorreta bastava o candidato analisar que a área total varia em função do quadrado da medida do lado, enquanto o volume varia em função do cubo da medida do lado, ou, simplesmente, fazer a verificação através de exemplos numéricos

como: Cubo 1 ( 3

1

2

11 1;6;1 cmVcmAcm ===l ) e Cubo 2 ( 3

2

2

22 8;24;2 cmVcmAcm ===l ), tem-se

então1

8

4

24≠

1

2

1

2

V

V

A

A≠⇒ .

Questão 23

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Um produtor colheu certa quantidade de maçãs e colocou-as em um cesto com capacidade

máxima de 60 unidades. Se, ao contá-las em grupos de dois, três, quatro e cinco, teve restos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, então havia 47 maçãs no cesto.

02. Em uma plataforma submarina de petróleo constatou-se uma avaria no tubo de perfuração em local onde a pressão é de 2 atmosferas. O acesso ao local da avaria é feito por uma escada. Se a pressão aumenta 0,025 atmosferas por degrau que se desce, então, para chegarmos ao local da avaria, a partir do nível do mar devemos descer 50 degraus.

04. O erro percentual de um marcador de gasolina de um automóvel que marcava 4

3 de tanque e,

após abastecer com 10 litros atingiu sua capacidade máxima de 50 litros, é de 6,25%. 08. Podem ser cortados exatamente 10 círculos de raio igual a 20 cm de uma chapa de compensado

de 1,57 m de comprimento por 0,80 m de largura. (Considere: π = 3,14) 16. Um estudante obteve, em determinada disciplina, as seguintes notas: 3,5; 5,5; 7,0; 5,0; 6,0 e

4,5. Então a sua sétima e última nota deve ser maior ou igual a 3,5, para que sua média aritmética simples final seja maior ou igual a 5,0.

ANÁLISE DA QUESTÃO 23 Gabarito: 20 (04+16) Número de acertos: 730 (9,22%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: difícil

Nesta questão, esperava-se um percentual de acerto bem superior ao obtido, já que os temas envolvidos nas cinco proposições são conhecimentos básicos e fundamentais de tópicos que, além de bastante explorados no Ensino Fundamental e Médio, são aplicados em situações reais, como calcular porcentagens, recortar círculos de uma chapa de compensado e determinar a média aritmética simples.

Destaca-se na análise da proposição correta 04, o fato de que, aproximadamente, 70% dos candidatos tiveram dificuldades em trabalhar com cálculos percentuais, que além de estarem constantemente presentes no cotidiano dos candidatos são muito explorados no ensino fundamental.

Cabe ainda ressaltar que a resposta 04 obteve o baixíssimo índice de 2,87%. No que se refere à análise da proposição correta 16, deve-se destacar o seu elevado

índice de 77,70% sendo responsável pelo percentual de 31,65% para a resposta 16, constituindo-se na proposição correta da prova com maior índice. Talvez o ótimo resultado obtido pelos candidatos nesta proposição deva-se a dois fatores: primeiro, pelo fato de que o tópico ‘cálculo de médias’ é muito fácil e segundo, porque ele está constantemente presente na vida acadêmica dos candidatos.

A proposição errada 08, que obteve 38,86% da preferência dos candidatos, foi responsável pelos índices de 4,58% e 17,13% das respostas 08 e 24 (08+16), respectivamente. Provavelmente, os candidatos que consideraram esta proposição como correta, detiveram-se única e exclusivamente na atividade acadêmica de calcular e comparar as áreas dos círculos e da chapa de compensado, sem verificar a real validade do resultado obtido frente à situação proposta. Como se pode observar, as áreas são equivalentes, mas é impossível recortar exatamente 10 círculos iguais da chapa de compensado de 1,57m de comprimento por 0,80m de largura, conforme figura abaixo. Temos que levar em consideração as “quebras” ocorridas. Com 40 cm de diâmetro é possível enquadrar dois círculos na largura da chapa (80 cm), no entanto, será impossível enquadrar cinco círculos no comprimento desta chapa (157cm).

Nesta questão, cabe a ressalva sobre o número de respostas absurdas, que atingiu 50, sem uma explicação lógica plausível.

Questão 24

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. As figuras abaixo mostram dois triângulos semelhantes. Se a área do menor é de 10 cm2, então a área do maior é de 50 cm2.

02. A medida da temperatura em graus Farenheit é uma função linear da medida em graus centígrados. Usando esta função para converter 20º centígrados em Farenheit obtém-se 68º.

04. Considere o retângulo ABCD cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 4 cm e 3 cm. Seja A’ um ponto do lado AB; B’ um ponto do lado BC; C’ um ponto do lado CD e D’ um ponto do lado DA, tal que AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = x (ver figura). A área do quadrilátero A’B’C’D’ em função de x é dada por: A(x) = 2x2 – 7x + 12.

08. Se você dispõe de R$ 143,00, então o valor máximo que sua despesa pode alcançar em um

restaurante que cobra 10% sobre a despesa é de R$ 133,00.

16. A soma dos múltiplos de 6, não negativos, menores do que 110, é 816. ANÁLISE DA QUESTÃO 24 Gabarito: 06 (02+04) Número de acertos: 793 (10,05%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão, composta de cinco proposições, tinha como objetivo verificar a capacidade dos candidatos de conectar e integrar os vários conceitos matemáticos estudados nos diversos eixos temáticos (álgebra e geometria) entre si e com outras áreas do conhecimento.

Nessa questão, dois pontos merecem ser destacados. Primeiro, o fato de que as proposições corretas tiveram, separadamente, um bom número

de preferências (02 – 45,25%; 04 – 48,10%), fazendo com que as respostas 02 e 04 obtivessem 13,82% e 13,36% da preferência dos candidatos, respectivamente. Mais uma vez, observa-se que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial. É possível que o bom índice obtido pela proposição 02 se deva não somente à facilidade com que o candidato poderia resolvê-la utilizando seus conhecimentos básicos de proporcionalidade, mas pelo seu uso e aplicação na disciplina de Física para a conversão entre as escalas Celsius e Farenheit de temperatura.

Analogamente, pelo resultado obtido pela proposição 04, percebe-se o bom desempenho dos candidatos em integrar os diversos conceitos matemáticos estudados em geometria plana e álgebra.

O segundo ponto a ser destacado na análise desta questão é o surpreendente fato de que 43,30% dos candidatos consideraram a proposição 01 como correta, o que fez com que as

B A

C

x

F

E D

5x

A B

C D

A’

B’

C’

D’

x

x

x

x

A(x)

respostas 01, 03 (01+02), 05 (01+04) e 07 (01+02+04) obtivessem 11,12%, 5,58%, 7,04% e 3,17% da preferência dos candidatos, respectivamente.

Conforme já foi destacado na análise da questão 22 deste relatório, bem como em relatórios de anos anteriores, os candidatos têm dificuldades de trabalhar com situações que envolvam proporcionalidade, em especial quando as grandezas envolvidas não variam diretamente.

Novamente nos surpreende a quantidade de respostas absurdas, em número de 34, (sem uma lógica que justifique). Questão 25 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A bactéria treponema pallidum é a que causa a sífilis. Ela se reproduz muito rápido: cada uma delas se transforma em 8 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, então, 5 horas depois, elas serão 4096, considerando que nenhuma delas tenha morrido.

02. Observe os climogramas abaixo:

Com base nos climogramas pode-se afirmar que as chuvas são bem distribuídas ao longo do ano em São Gabriel, porém não se pode dizer o mesmo quanto a Cuiabá.

04. Uma indústria iniciou suas atividades produzindo 820 peças por ano e, a cada ano, a produção aumenta em uma quantidade constante. Se no 5o ano de funcionamento ela produziu 1.460 peças, então no 8o ano de atividade foram produzidas 2.340 peças.

08. Com a crise econômica mundial, um produto sofreu duas desvalorizações sucessivas, de 30% e 20%. Portanto, a taxa total de desvalorização foi de 50%.

16. Considere f(x) uma função real que satisfaz as seguintes condições: f(–3) = 15 e f(x –3) = 3f(x) – 6, então o valor de f(0) é 7.

ANÁLISE DA QUESTÃO 25 Gabarito: 18 (02+16) Número de acertos: 1648 (20,79%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio

A questão, composta de cinco proposições, envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, como porcentagem, funções, leitura e interpretação gráfica, progressão aritmética e geométrica.

Esta foi a questão mais fácil de toda a prova, obtendo o maior índice de acerto entre as respostas corretas, 20,79%.

A proposição correta 02 obteve 70,02% da preferência dos candidatos e foi a segunda proposição da prova a ter o maior índice entre todas as corretas, sendo responsável também pelos 20,45% obtidos pela resposta 02. Como se pode observar, a proposição foi bastante fácil, ou seja, os candidatos foram capazes de fazer a leitura adequada dos dados dos gráficos, demonstrando a habilidade de identificar e analisar os valores das variáveis, os intervalos de crescimento ou decréscimo e as taxas de variação. Provavelmente, este resultado não se deve apenas ao trabalho de construção, leitura e interpretação de gráficos desenvolvidos nas aulas de Matemática, mas também das atividades de análise e interpretação de gráficos exploradas nas outras áreas do conhecimento, como no caso da Geografia.

A proposição 16 também obteve um bom índice (46,25%), fazendo com que a resposta 16 obtivesse 7,60% da preferência dos candidatos.

Conforme já destacamos ao longo deste relatório, os percentuais das respostas 02 e 16 revelam a preocupação dos candidatos em não assinalar proposições incorretas. Para resolver a proposição 16 bastava o candidato tomar 0=x obtendo

7)0(6)0(3156)0(3)30( =⇒−=⇒−=− ffff . Apesar do grande número de candidatos que

consideraram as proposições 02 e 16 como corretas, o fato não foi suficiente para que se revertesse em acerto da questão, que atingiu apenas 20,79%. Também, para esta questão, nos surpreende o número de respostas absurdas (sem explicação lógica) que atingiu 32. Questão 26 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Em um mapa de um deserto, localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, o

faminto Coiote, cuja posição é dada pelo ponto P(1,2), vai tentar capturar o Papa-léguas, que

se aproxima do Coiote descrevendo uma trajetória retilínea segundo a equação 3x + 4y = 31. A

menor distância que o Coiote deve percorrer para capturar o Papa-léguas é de 54

unidades de comprimento.

02. O número de gabaritos possíveis para um teste de 10 questões, com as alternativas de Verdadeiro ou Falso por questão, é de 20.

04. O termo independente de x no desenvolvimento 10

4

x

1x

− é 45.

08. Um juiz trabalhista determinou a um sindicato a multa de R$ 2,00 pelo primeiro dia de greve da categoria e que esse valor dobraria a cada dia de paralisação. Se a categoria ficar em greve durante 20 dias, a multa será menor que 1 milhão de reais. (Considere: log2 = 0,301)

ANÁLISE DA QUESTÃO 26 Gabarito: 04 Número de acertos: 1335 (16,92%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: médio

A questão envolve alguns dos principais objetivos do estudo da Matemática no Ensino Médio como: calcular a distância de um ponto a uma reta e aplicar na resolução de problemas; aplicar o princípio fundamental da contagem; aplicar a fórmula do termo geral do binômio de Newton e aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

Como, historicamente, as questões que envolvem geometria analítica e análise combinatória são consideradas difíceis pelos candidatos e isso se confirma no grau de dificuldade obtido, a Banca previu a questão como difícil. No entanto, ela mostrou-se de grau de dificuldade médio, sendo a questão da prova a obter o segundo maior percentual de acerto.

Além da resposta correta 04, outras respostas predominaram no quadro de frequência, que são, em ordem decrescente de preferência: 08 – 15,29%; 01 – 9,56%; 10 (02+08) – 9,24%; 05 – (01+04) 8,81%; 02 – 8,35%; 09 (01+08) – 8,04%; 12 (04+08) – 5,55%.

A partir dos percentuais obtidos pelas quatro proposições que compõem esta questão e das suas combinações, algumas reflexões para sala de aula podem ser feitas:

A primeira é de que quase 60% dos candidatos têm dificuldades de aplicar a fórmula do termo geral do binômio de Newton.

A segunda, também nesta mesma linha de aplicação de uma fórmula para o cálculo da distância de um ponto a uma reta, envolvendo uma situação-problema, revela um erro que é muito recorrente em sala de aula. Trata-se do fato de que os candidatos ao utilizarem a fórmula que calcula a distância do ponto P(1,2) à reta 3143 =+ yx , fazem de forma equivocada

54)2()1(

31)2(4)1(3

22, =+

−+=rPd , ao invés de dar a devida atenção aos termos que compõem a

fórmula e as substituições que deverão ser feitas, ou seja, 4)4()3(

31)2(4)1(3

22, =+

−+=rPd .

A terceira reflexão diz respeito, novamente, às dificuldades dos candidatos em aplicar o raciocínio combinatório, em particular o princípio fundamental da contagem, em uma situação-problema, fazendo equivocadamente, ( ) ( )gabaritosquestõesVouF 20)(10.2 = .

Finalmente, a quarta reflexão diz respeito à consideração da proposição 08 como correta, a qual obteve 46,96% da preferência dos candidatos, sendo a segunda proposição errada da prova com maior índice e a responsável pelas respostas 09, 10 e 12. É surpreendente o fato de um número tão elevado de candidatos terem considerado essa proposição como correta, pois para verificar a sua falsidade bastava aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica ou usar suas habilidades de fazer estimativas de que

000.000.11024.10242.22 101020 >== . Também chamou a atenção o número de respostas absurdas (sem lógica) apresentadas pelos candidatos nesta questão, que somou 79.

Questão 27 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Com base nos dados das figuras abaixo, pode-se afirmar que a relação entre os volumes dos três tanques é V1 < V2 < V3.

02. É mais vantajoso para o consumidor comprar uma barra de goiabada, na forma de paralelepípedo retângulo, com 8 cm x 6 cm x 9 cm e que custa R$ 2,16, do que outra de mesma forma, com 6 cm x 5 cm x 8 cm e que custa R$ 0,96.

04. O volume da esfera é três vezes o volume do cone, que tem o raio da esfera, e cuja altura é o raio da esfera.

08. Uma fábrica lançou uma nova linha de bombons de chocolate. A quantidade de chocolate necessária para a fabricação de um bombom maciço em forma de octaedro regular,

conforme a figura abaixo, é de 3cm3

4000.

16. O valor de 3log

81 9 é igual a 9. ANÁLISE DA QUESTÃO 27 Gabarito: 24 (08+16) Número de acertos: 1176 (14,88%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão, composta de cinco proposições, envolve alguns dos principais objetivos do estudo da geometria espacial no Ensino Médio como: calcular o volume de cilindros e compará-los; calcular o volume de embalagens em forma de prismas e qual a mais econômica; comparar o volume de um cone e de uma esfera; aplicar o cálculo do volume de uma pirâmide a uma situação-problema. A questão envolve ainda a aplicação das propriedades operatórias dos logaritmos.

Embora esta tenha sido a questão da prova a obter o terceiro maior percentual de acerto, é surpreendente o fato de que aproximadamente 85% dos candidatos tivessem dificuldades de atingir esses objetivos.

Ao analisar o quadro de frequência de respostas observa-se, além da resposta correta, um correlato espalhamento distribuído entre várias respostas, que são em ordem decrescente de preferência: 16 – 19,31%; 08 – 8,97%; 20 (04+16) – 6,83%; 04 – 5,04% e 12 (04+08) – 4,43%.

Novamente, percebe-se que, na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza, neste caso 08 e 16. Apesar do

cm210

V2

h

r

. V1

2h

2r

.

V3

2r

2h

.

grande número de candidatos que considerou as proposições 08 e 16 como corretas, isso não foi suficiente para que se revertesse em acerto da questão, que atingiu apenas 14,88%.

Grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi o fato de considerar a proposição 04 como correta, que obteve 31,07% da preferência dos candidatos. O motivo que levou esses candidatos a considerarem essa proposição como correta não aparece de forma clara. Para verificar que a proposição era incorreta, bastava o candidato aplicar as fórmulas do volume do cone e da esfera, observando a informação de que a medida do raio e da altura do

cone é igual à medida do raio da esfera para obter 3

3RVCILINDRO

π= e

⇒=3

4 3RVESFERA

πCILINDROESFERA VV .4= .

Cabe ainda destacar, na análise desta questão, o percentual (63,53%) atingido pela proposição 16, o terceiro maior obtido entre todas as proposições corretas da prova, principalmente pelo fato de envolver a aplicação das propriedades operatórias dos logaritmos, com as quais, em geral, os estudantes têm dificuldades.

Também surpreende a incidência de 39 respostas absurdas (sem explicação lógica) dada pelos candidatos. Questão 28 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante dos três vértices.

02. O valor numérico de t na figura abaixo é 13

60t = .

04. A razão da progressão aritmética (log 10, log 100 e log 1000) é igual a 10.

08. Resolvendo o sistema matricial

=+

=+

−

−

−

−

−

−

35

7

21

11

30

52Y3X

21

5

11

9

17

3Y2X

obtém-se

=

−

−

− 7

3

1

7

4

1X .

16. Sendo

=

35

12A e

=

95

31B , então o produto entre a matriz inversa de A e a matriz

transposta de B é a matriz

=

−

−

71

60.BA t1 .

ANÁLISE DA QUESTÃO 28 Gabarito: 18 (02+16) Número de acertos: 504 (6,40%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: difícil

A B

C

D z y

t x1

1

. .

.

A questão compreende cinco proposições, envolvendo conhecimentos de geometria plana, progressão aritmética relacionada a logaritmos e estudo de matrizes.

Nesta questão, o grau de dificuldade obtido veio confirmar as expectativas da banca, já que, em geral, os candidatos apresentam grandes dificuldades nestes tópicos, tanto ao longo do Ensino Fundamental como do Ensino Médio.

Como se pode observar, o percentual de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixo, com um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas.

Listando por ordem decrescente das preferências, tem-se: 02 – 8,34%; 16 – 7,68%; 04 – 7,30%; 01 – 6,47%; 05 (01+04) – 6,45%; 08 – 5,42%; 21 (01+04+16) – 4,67%; 10 (02+08) – 4,00%.

Como podemos observar, na dúvida, os candidatos optaram pelo acerto parcial. A grande causa de erro e do espalhamento nesta questão foi a consideração das

proposições 01, 04 e 08 como corretas. A análise dos percentuais obtidos pela proposição correta 02 sugere que em torno de 63%

dos candidatos tiveram dificuldades de deduzir as relações métricas no triângulo inscrito, de perceber que ele era retângulo e de relacionar as fórmulas que expressam as suas relações métricas entre si, de modo a aplicá-las convenientemente, para calcular seus elementos. Neste mesmo sentido, destaca-se o fato de que, aproximadamente, 60% dos candidatos tiveram dificuldades de operar com matrizes e de determinar as matrizes transposta e inversa de uma matriz dada.

Cabe ressaltar que os dois tópicos envolvidos nestas duas proposições são muito explorados no Ensino Fundamental, Médio e em vestibulares.

Provavelmente, o fato que levou os candidatos a considerarem a proposição 01 como correta foi um erro de definição, pois em geral, os estudantes confundem as definições de ortocentro, incentro, baricentro e circuncentro.

No caso da proposição 04, é de admirar-se que em torno de 40% dos candidatos consideraram a razão da progressão aritmética )1000log,100log,10(log como sendo 10, pois

bastava observar que )31000log,2100log,110(log === para perceber que a razão da P.A. é 1.

Finalmente, para verificar que a proposição 08 era incorreta o candidato tinha apenas que substituir a matriz X no sistema matricial para ver que ela não satisfaz a ambas as equações do sistema.

Estranhamos, também, a quantidade de respostas absurdas (sem lógica) dadas pelos candidatos, que atingiu 37. Questão 29 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito na

mesma circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede cm 36 , então o lado do quadrado mede 12 cm.

02. Sabendo que 5tgx = e que 2

3πxπ << , então

26

26cosx = .

04. Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor numérico

do cosseno do maior ângulo agudo é 5

3.

08. Para todo x real, 2kπ2

πx +≠ , onde k é um número inteiro qualquer, vale

.xcos xsenxtg1

xtg1 22

2

2

−+

−=

16. No intervalo [0, 2π ] o número de soluções da equação cos2x = 0 é 2.

ANÁLISE DA QUESTÃO 29 Gabarito: 05 (01+04) Número de acertos: 459 (5,85%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão, composta de cinco proposições, envolve alguns dos principais objetivos do

estudo da trigonometria no Ensino Fundamental e Médio, como: aplicar os conceitos de seno e cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo e calcular uma relação em função da outra; calcular os elementos de um triângulo retângulo utilizando os conceitos de progressão aritmética; aplicar as relações trigonométricas fundamentais; resolver e simplificar expressões trigonométricas; resolver equações trigonométricas.

Historicamente o estudo da trigonometria é um conteúdo considerado difícil pelos alunos nos diversos níveis de ensino e este fato tem se confirmado no grau de dificuldade obtido pelas questões que envolvem este tema, seja no vestibular 2010, como nos vestibulares de anos anteriores.

O fato de os candidatos não arriscarem e tirarem proveito do acerto parcial também fica evidente no quadro de frequência de respostas desta questão, fazendo com que as respostas 01 e 04 obtivessem os índices de 6,78% e 7,62%, respectivamente. As proposições corretas 01 e 04, que aparecem com 42,98% e 47,58%, respectivamente, na preferência dos candidatos, não fizeram com que se revertesse em acerto da questão, que não passou de 5,85%.

Além destas respostas, outras predominaram no quadro de frequência, que são: 16 – 9,85%; 20 (04+16) – 6,39%; 21 (01+04+16) – 6,15%; 17 (01+16) – 5,27% e 08 – 5,11%. Como se pode observar, várias destas respostas superaram o índice da resposta correta da questão. Chama atenção o fato de que aproximadamente 50% dos candidatos tiveram dificuldades em estabelecer as relações métricas e trigonométricas entre as medidas de polígonos regulares inscritos e circunscritos, assim como aplicar os conceitos de seno e cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, cujos elementos deveriam ser obtidos a partir da utilização dos conceitos de progressão aritmética.

Destaca-se ainda na análise desta questão o fato de que 35,20% consideraram, equivocadamente, a proposição 08 como verdadeira, pois para verificar que era incorreta bastava

o candidato tomar º0=x para obter 11)º0(cos)º0()º0(1

)º0(1 22?

2

2

−≠⇒−=+−

sentg

tg. É importante

destacar ainda que, mesmo que a igualdade fosse verificada, a proposição seria falsa, pois a

condição de existência para tgx é Zkkx ∈+≠ ,2

ππ

e não Zkkx ∈+≠ ,22

ππ

.

A grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração da proposição 16 como correta, a qual obteve o maior índice de preferência dos candidatos entre as proposições incorretas, 48,42%. Provavelmente, o fato que motivou o erro dos candidatos nesta questão, como em questões semelhantes de sala de aula e de outros concursos, foi a falta de atenção ao intervalo (conjunto universo) onde estão sendo pedidas as soluções da equação ou à expressão que envolve o arco trigonométrico. Aqui, foi a falta de atenção à expressão envolvendo o arco que originou o erro, ou seja, os candidatos analisaram o número de soluções da equação

0cos =x ao invés de 02cos =x .

Também chamou a atenção o número de 50 respostas absurdas (sem lógica) apresentadas pelos candidatos nesta questão.

Questão 30 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Seja S o conjunto solução da equação 0

xx1

2x1

11x

=− em �, então S está contido no

intervalo [–2, 1].

02. Um polinômio p(x), dividido por x – 3, dá resto 5 e, dividido por x + 1, dá resto 2. Então o

resto da divisão de p(x) por (x – 3)(x + 1) é 2

5.

04. O valor de M para que o polinômio 3x3 + x2 – 7x – M seja divisível por (x + 2) é –8. 08. Se duas das raízes da equação 04880x35x5x2x 234 =+−−+ são –3 e –4, então o

produto entre as outras duas raízes é 4.

16. Se a, b e c são as raízes da equação 067xx3 =+− , então 6

7

c

1

b

1

a

1=++ .

ANÁLISE DA QUESTÃO 30 Gabarito: 17 (01+16) Número de acertos: 663 (8,46%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil

A questão compreende cinco proposições, envolvendo alguns dos principais objetivos do estudo de determinantes, polinômios e equações polinomiais, como: calcular o determinante de uma matriz de ordem 3; determinar as raízes de uma equação polinomial; aplicar os teoremas relativos à divisão de polinômios em geral; aplicar os teoremas e as relações sobre as raízes de equações polinomiais.

Como nas demais questões, a busca pelo acerto parcial também fica evidente no quadro de frequência de respostas desta questão, fazendo com que as respostas 01 e 16 obtivessem os índices de 10,45% e 7,85%, respectivamente.

Além destas respostas, outras predominaram no quadro de frequência, que são: 02 – 5,12%; 04 – 4,02% e 08 – 4,94%.

Nesta questão, o que chama a atenção é o fato de que as respostas que obtiveram maior índice percentual se concentraram basicamente nas cinco proposições e não na combinação delas, com exceção é claro da resposta correta 17 (01+16).

O fato que motivou os candidatos a considerarem apenas as proposições e não as suas combinações como as possíveis respostas corretas não aparece de forma clara. As expectativas da banca para as proposições 01 e 16 eram bem superiores aos respectivos 51,35% e 41,88% obtidos, pois, em ambas as situações, tem-se uma equação algébrica do terceiro grau, em que a soma dos coeficientes é igual a zero, portanto o número um será raiz de ambas as equações. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, o candidato obteria as demais raízes de cada uma das equações algébricas. Apesar das proposições corretas 01 e 16 aparecerem com incidência tão alta, não foi suficiente para que se revertesse em acerto da questão, que não passou de 8,46%.

No caso da proposição 16, o candidato poderia também resolvê-la aplicando o teorema de Girard, que relaciona as raízes com os coeficientes de uma equação algébrica.

Quase 40% dos candidatos consideraram a proposição 02 como correta. Talvez, por terem dificuldades em resolver a questão, esses candidatos simplesmente combinaram os dados do enunciado obtendo 2:5 .

É possível que os 34,82% dos candidatos que consideraram a proposição 08 como correta tenham aplicado as relações de Girard de forma equivocada, não prestando atenção ao fato de

que o coeficiente do termo 4x é 2. Outra hipótese é de que os candidatos tenham simplesmente manipulado os dados fazendo ( )( )( )( ) 4.48..4.3 4343 =⇒=−− rrrr .

No caso da proposição 04, não fica claro o que motivou 32,96% dos candidatos a considerarem esta proposição como correta, já que para verificar sua incongruência bastava os

candidatos aplicarem o teorema do resto. Se Mxxxxp −−+= 73)( 23 é divisível por ( )2+x ,

então pelo teorema do resto tem-se ( ) ( ) ( ) MMp =−⇒=−−−−+−⇒=− 60272230)2(23

.

Nesta questão, cabe, também, a ressalva sobre o número de respostas absurdas, que atingiu 85, sem uma explicação lógica plausível.