MA092 Geometria plana e analticaSegundo semestre de 2015 Quinta lista de exerccios. Tringulos retngulos. Polgonos regulares. reas de superfcies planas. 1.Qual deve ser o comprimento de uma escada paraque,quandoencostadaaumaparede, seutopoatinja2,4mdealturaquandosua base est a 0,7 m da parede? 2.(Dolce/Pompeo) Determine x. 3.(Dolce/Pompeo) Determine x. 4.(Dolce/Pompeo) Determine x. 5.(Dolce/Pompeo)Sabendoqueotrapzio abaixo issceles, determine x. 6.(Dolce/Pompeo) Determine x 7.(Dolce/Pompeo)Determinexnolosango abaixo. 8.(Dolce/Pompeo)Determinexno paralelogramo abaixo. 9.(Dolce/Pompeo) Determine x 10. (Dolce/Pompeo) Determine x 11. (Dolce/Pompeo) Determine x 12. (Dolce/Pompeo)Determineadiagonalde um quadrado de permetro 20 m. 13. (Dolce/Pompeo) O permetro de um losango 52 m e uma diagonal mede 10 m. Determine a outra diagonal. 14. (Dolce/Pompeo)Determineaalturadeum tringulo equiltero de permetro 24 m. 15. (Dolce/Pompeo)Opermetrodeum tringulo issceles 18 m e a altura relativa base mede 3 m. Determine a base. 16. (Dolce/Pompeo)Asbasesdeumtrapzio retngulomedem3me9meoseu permetro igual a 30 m. Calcule a altura. 17. (Dolce/Pompeo)Doisciclistaspartemda praadeumamesmacidadeemdireo reta. Um segue na direo leste e o outro vai paraonorte.Determineadistnciaqueos separa depois de duas horas, sabendo que o primeiroviajouaumavelocidadede30 km/h,enquantoosegundopedaloua45 km/h. 18. AdaptadodeDolce/Pompeo)Considereos dois crculos tangentes mostrados na figura. Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm, determine o raio do crculo menor. 19. Dado o tringulo abaixo, determine a, m, n e h. 20. Determineaalturahdeumtringulo equiltero de lado x. 21. Abasedeumtringuloisscelesmede 10 cmesuaalturamede12cm.Quanto medem os outros lados do tringulo? 22. Emumtringuloissceles,aaltura (referenteaoladodiferentedosdemais) mede1cmeopermetroiguala4cm. Determineasmedidasdoslados.Dica:faa um desenho que ilustre a situao. 23. Dadootringuloabaixo, determineaaltura relativa ao lado cuja medida 4. Dica: aplique duas vezes o teorema de Pitgoras. 24. Dois navios partem ao mesmo tempo, de um mesmo porto,emdireesperpendiculares, avelocidadesconstantes.Oprimeirobarco viaja a 18 km/h e o segundo a 24 km/h. Qual adistnciaentreosbarcosdepoisde decorridos trinta minutos da partida? 25. Umdoscatetosdeumtringuloretngulo mede8cm.Sabendoqueopermetrodo tringuloiguala24cm,determineoraio da circunferncia que o circunscreve. 26. Um carpinteiro foi contratado para construir umacercaformadaporripasdemadeira. A figura abaixo apresenta uma vista parcial da cerca.Quantosmetrosderipaso necessriosparaconstruirumacercacom 300 m de comprimento? 27. Determinarodimetrodacircunferncia mostradanafiguraabaixo,sabendoque

= 16, = 30 e = 15. 28. Aplantadeumcmodoquetem2,7mde alturamostradaabaixo.Umeletricista desejainstalarumfioparaconectaruma lmpada,localizadanocentrodotetodo cmodo,aointerruptor,situadoa1,0mdo cho,ea1,0mdocantodocmodo,como estindicadonafigura.Supondoqueofio subirverticalmentepelaparede,e desprezando a espessura da parede e do teto, determineocomprimentomnimodefio necessrioparaconectarointerruptor lmpada. 29. (Ivan)Nafiguraabaixo,osquadradosso iguais e tm lado correspondente a 100 km. Um avio sai da cidade A, faz escala em C, e chega na cidade B. Supondo que o avio voe emlinharetaemcadatrecho,determinea distnciapercorridadeAatB,passando por C. 30. Dado o tringulo abaixo, determine b, m, n e h. 31. (OBMEP)OhexgonoregularABCDEFtem 1cm2derea.Osprolongamentosdeseus ladosdeterminamseisnovospontosA,B, C, D, E e F, conforme mostra a figura. a)DetermineareadotringuloBCC, destacado em cinza. b)Determineareadohexgono ABCDEF. 32. (OBMEP)Umacaixaretangulartem dimenses60cm 24cm 24cm.Uma aranhae umamoscaesto,respectivamen-te, nos pontos A e B da caixa. A aranha est a uma distncia de 2 cm da base, enquanto a mosca est a uma distncia de 2 cm do topo, masambasestomesmadistnciadas outras duas faces laterais. Andando sobre a superfcie da caixa, a aranha pode percorrer vrioscaminhosparachegarmosca. Determineadistnciaqueaaranhair percorreseguindocadaumdoscaminhos abaixo. a) b) c) 33. (Dolce/Pompeo)Determineas medidasdos ngulos x, y e z indicados na figura, sabendo que o hexgono regular. 34. (Dolce/Pompeo)Determineas medidasdos ngulos x, y e z indicados na figura, sabendo que o pentgono regular. 35. A figura abaixo mostra um octgono regular. Determine e . 36. Determineopolgonoregularcujosngulos internos medem 140. 37. Calcule o ngulo interno do polgono regular que tem 90 diagonais.38. DadoumcrculoderaioR,calculearazo entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito ao crculo. (Dica: faa um desenho que ilustre a situao.) 39. Determineopermetrodeumhexgono regular circunscrito a uma circunferncia de raio igual a 33 cm. 40. A distncia entre dois lados paralelos de um hexgonoregular23 cm.Determinea medida do lado do hexgono. 41. Determineoraiodacircunferncia circunscritaaotringuloequilterodelado 15 cm.42. Determineoladodotringuloequiltero cuja circunferncia inscrita tem raio 6 cm. 43. Acircunfernciainscritaemumhexgono temraio9cm.Determineoraioda circunferncia circunscrita ao hexgono. 44. Oraiodacircunfernciacircunscritaaum hexgonoregularmede5cm.Determineo comprimentodoladodohexgono,bem comooraiodacircunfernciainscrita, indicado pela letra r na figura a seguir. 45. Usandorguaecompasso,desenhea circunfernciainscritaeacircunferncia circunscrita a um a)Quadrado de lado 5 cm. b)Hexgono de lado 3 cm. 46.(Dolce/Pompeo)DadooraioRdeuma circunferncia,determineoladoeo aptema do octgono regular inscrito. 47. (Dolce/Pompeo) Determine as medidas das diagonais de um octgono regular de lado . 48. Dadaumacircunfernciaderaioiguala 10 cm,determineocomprimentodoarco correspondente a um ngulo central de a)45. b)60. c)90. d)120. 49. Voc quer construir uma roda que percorra 1macadavolta.Qualdeveseroraioda roda?50. Um ciclista tem que percorrer uma distncia de10 km. Sea rodadesuabicicleta tem66 cm de dimetro, e se cada pedalada faz a roda girar5/6devolta,quantaspedaladaso ciclista dar nesse percurso? 51. (Dolce/Pompeo)Determineocomprimen-to da circunferncia abaixo. 52. (Dolce/Pompeo) A curva abaixo composta portrsarcosdecircunferncia,com centrosem1,2 e3.Determineo comprimento da curva. 53. (Dolce/Pompeo)Umacircunfernciatem 12,56cmdecomprimento.Calculeoraio usando 3,14. 54. (Dolce/Pompeo)Umcarpinteirovai construir uma mesa redonda para acomodar 6 pessoas sentadas ao seu redor. Determine odimetrodamesaparaquecadapessoa disponha de um arco de 50 cm. 55. Um fio de48cm decomprimento cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a rea de um deles seja quatro vezes a rea do outro. a)Determineocomprimentodecadauma das partes do fio.b)Calcule a rea dos quadrados formados.56. Trs roldanas de raio r = 2cm tm centro nos vrtices de um tringulo equiltero cujo lado mede6cm.Determineocomprimentoda curvafechadaquetangenciaexternamente astrscircunferncias,mostradanafigura abaixo. 57. Umtringuloequilterotemomesmo permetroqueumhexgonoregularcujo lado mede 1,5 cm. Determinea)ocomprimentodecadaladodo tringulo. b)a razo entre as reas do hexgono e do tringulo. 58. Duplicando o raio de uma circunferncia, o que acontece com a)o comprimento da circunferncia? b)a rea do crculo a ela associado? 59. Supondo que a rea mdia ocupada por uma pessoaemumcomciosejade2.500cm2, quantas pessoas podero se reunir em uma praaretangularquemede150mde comprimento por 50 m de largura? 60. Determineasdimensesdoretnguloque tem 15 cm de permetro e 14 cm2 de rea.61. Emumretngulocom128cm2derea,a base mede o dobro da altura. Determine as dimenses do retngulo. 62. Determineareadolosangocujadiagonal maior o dobro da menor e cujo permetro igual a 2 m.63. Determine o lado de um quadrado sabendo que,aoaumentarmosesseladoem3cm,a rea do quadrado aumenta em 81 cm2. 64. Determineopermetrodeumtringulo issceles cuja base (que nocongruentea outro lado) mede 10 cm e cuja rea igual a 60 cm2. 65. (Dolce/Pompeo)Determineareado paralelogramoabaixo,usandoometro como unidade de medida. 66. (Dolce/Pompeo)Determineareado losangoabaixo,usandoometrocomo unidade de medida. 67. (Dolce/Pompeo)Determineareado quadradoabaixo,usandoometrocomo unidade de medida. 68. (Dolce/Pompeo)Sabendoqueareado trapzio abaixo 18 m2, determine x. 69. (Dolce/Pompeo)Sabendoqueareado paralelogramo abaixo 32 m2, determine x. 70. (Dolce/Pompeo)Determineareado paralelogramo,usandoometrocomo unidade de medida. 71. (Dolce/Pompeo)Determineareado tringulo, usando o metro como unidade de medida. 72. (Dolce/Pompeo)Determineareado tringulo,usandoo metrocomo unidadede medida. 73. (Dolce/Pompeo)Determineareado losango,usandoometrocomounidadede medida. 74. (Dolce/Pompeo) Um losango tem permetro igual a 60 cm. Calcule a sua rea, sabendo que adiagonalmaiormedeotriplodadiagonal menor. 75. (Dolce/Pompeo)Determineareado hexgono regular inscrito em um crculo de raio 4 m. 76. (Dolce/Pompeo)Determineareado tringulo, usando o metro como unidade de medida. 77. (Dolce/Pompeo)Determineareado crculo. 78.(Dolce/Pompeo)Calculeareadafigura sombreadasabendoqueoquadriltero interno um quadrado. 79. (Dolce/Pompeo)Determineareada regio sombreada sabendo que o tringulo equiltero e tem 6 m de lado. 80. (Dolce/Pompeo)Determineareadeum crculo sabendo que o comprimento de sua circunferncia igual a 8 cm. 81. Umterrenotemaformadeumtrapzio retngulo ABCD, conforme mostra a figura. a)Secadametroquadradodesseterreno valeR$100,00,qualovalortotaldo terreno? b)DividaotrapzioABCDemquatro partes de mesma rea, por meio de trs segmentosparalelosaoladoBC.Faa umafiguraparailustrarsuaresposta, indicando as dimenses das divises no lado AB. 82. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhossoassentadossobreumabase compostabasicamenteporbrita.Essabase (oulastro)temumaseotrapezoidal.A base menor do trapzio, que issceles, tem 2m,abasemaiortem2,8measarestas lateraistm50cmdecomprimento, conformerepresentadonafiguraabaixo. Determine a rea do trapzio. 83. Opapagaio(tambmconhecidocomopipa, pandorgaouarraia)umbrinquedomuito comum no Brasil. Afiguraabaixo mostraas dimensesdeumpapagaiosimples, confeccionadocomumafolhadepapelque temoformatodoquadrilteroABCD,duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaodelinha.Calculeareado quadriltero de papel que forma o papagaio. 84. A rea plantada de uma fazenda mostrada abaixo. Determine a rea cultivada com soja e a rea cultivada com milho. 85. Umaplantaodecana-de-acartemo formatomostradonafiguraabaixo.Para colheracana,pode-serecorrera trabalhadores especializados ou a mquinas. Cadatrabalhadorcapazdecolher0,001 km2pordia,enquantoumacolhedeira mecnicacolhe,pordia,umarea correspondente a 0,09 km2. a)Se a cana precisa ser colhida em 40 dias, quantostrabalhadoressonecessrios paraacolheita,supondoquenohaja mquinas?b)Suponha,agora,queacolheitadaparte hachurada do desenho s possa ser feita manualmente, e que o resto da cana seja colhidoporquatrocolhedeiras mecnicas.Nestecaso,quantos trabalhadores so necessrios para que a colheitadasduas partestenhaa mesma durao? Em seus clculos, desconsidere ostrabalhadoresqueoperamas mquinas.86. Determine a rea de um tringulo equiltero inscrito em um crculo de raio R. 87. Afiguraabaixoaumarepresentao aproximada dos distritos de Campinas. Sabendoqueosdistritosnorte,sule noroestedacidadetm,respectivamente, 175km2,120km2e75km2,calculearea dosdemaisdistritoseareatotaldo municpio de Campinas.88. A primeira figura abaixo mostra um sapo de origami,aartejaponesadasdobradurasde papel.Asegundafiguramostraodiagrama usadoparaaconfecodosapo,naqualse utilizaumretngulodepapelcomarestas iguaisace2c.Aslinhasrepresentamas dobrasquedevemserfeitas.Quaisdevem serasdimenses,emcentmetros,do retngulodepapelaserusadopara confeccionarumsapocujapartesuperior tenha rea igual a 12cm2? 89. Dadaumacircunfernciaderaioiguala 10 cm,determinereadosetorcircular correspondente a um ngulo central de a)45. b)60. c)90. d)120. 90. Uma praacircular tem um canteirocentral comraioiguala15m.Ocanteiro circundadoporumacaladade3mde largura.Determineareaocupadapela calada. 91.(Dolce/Pompeo)OspontosA,BeCso centrosdostrscrculostangentes exteriormentemostradosnafiguraabaixo. Sendoasdistncias, e respectivamente iguais a 10 cm, 14 cm e 18 cm, determine as reas desses trs crculos. 92. Determine o lado de cada quadrado da figura abaixoeareadaregiosombreada. Observequeovrticedeumquadradoo ponto mdio do lado do quadrado externo. 93. Calculeareadaregiosombreadada figura abaixo. (Dica: calcule a rea de 1/8 da regio, subtraindo de um determinado setor circularareainternaaotringulo tracejado.) 94. Determine o comprimento da diagonal maior e rea do losango mostrado na figura abaixo. 95. Determine a rea da regio sombreada. 96. Calcule a rea da regio destacada na figura abaixo. 97. Umterrenoretangulardeveter600m2de rea.Determineosladosdoterreno sabendo que um deles deve ser 10 m maior que o outro.98. Calcule a rea do trapzio abaixo. 99. Umpneurodaporumasuperfcieplana, parandoapsgirar144,comomostraa figuraabaixo.Determineadistncia percorrida pelo pneu, sabendo que o raio da roda tem 50 cm. 100.Calculeareadaregiodestacadana figuraabaixo,sabendoquecadaquadrado pequeno corresponde a 2,5 m2. 101.Pornorma,emcmodosresidenciais comreasuperiora6m,deve-seinstalar umatomadaparacada5moufrao(de5 m)depermetrodeparede,incluindoa larguradaporta.Determineonmero mnimodetomadaseoespaamentoentre as tomadas do cmodo abaixo, supondo que elasserodistribudasuniformementepelo permetro do cmodo. 102.Calculeareadaregiodestacadana figuraabaixo,sabendoque = eque asduascircunfernciassocongruentes. Dica:calculeareademetadedaregio, subtraindo de um determinado setor circular a rea do tringulo tracejado. 103.A parte interna de uma pista de atletismo formada por dois trechos retos ligados por duas semicircunferncias congruentes, como mostraafiguraabaixo.DetermineoraioR, sabendoqueapistatem400mde comprimento. 104.Abasedeumbanquinhodemadeira composta por quatro peas com o formato da letra A, como mostra a figura abaixo. Calcule a rea de uma dessas peas. 105.Adiagonalmaiordeumlosangotem3 cm a mais que a diagonal menor. Determine oscomprimentosdasdiagonais,sabendo que a rea do losango 14 cm2. Dica: faa um desenho que ilustre a situao. 106.Umaindstriasiderrgicafabricaum tipodecantoneirametlica,cujaseo transversaltemaformamotradanafigura abaixo,emquee=5mmea=40mm. Determine a rea da seo. 107.Uma janela tem o formato composto por umretnguloeumsegmentocircular,com centroemC,comomostradonafigura. Determineosvaloresde ey,bemcomoo permetro da janela. 108.Emumtrapzioissceles,abasemaior mede30cmeabasemenormede18cm. Determine a rea do trapzio, sabendo que o permetroiguala68cm.Dica:faaum desenho que ilustre a situao. 109.Uma piscina tem o formato mostrado na figura.Observequeabordaformadapor quatro semicircunferncias. a)Determine a rea do fundo da piscina. b)Calculeonmerototaldeazulejos necessriosparaladrilharaparede lateralinternadapiscina,sabendoque sousados40azulejospormetrode borda. 110.Umtilformadopelajunodeduas regies,cadaqualumapartedeumacoroa circular,comraiosengulosdefinidosna figura abaixo. Determine a rea e o permetro do til. 111.Determine a rea da letra Q mostrada na figuraabaixo,supondoquecadaquadrado pequeno (tracejado) tenha lado de 2 mm de comprimento.Observequeospontos indicadosempretocorrespondemaos centros dos trechos curvos da figura. 112.Calculeocomprimentodacurvapreta que circunda a letra Q da questo anterior, a qual reproduzida abaixo. 113.Determine a rea da letra R, mostrada na figuraesquerda,bemcomoo comprimentodeseucontornoexterno, mostrado na figura direita 114.Oitolosangossoreunidosparaformar umaestrela,comomostradonafigura. Determine a rea da estrela. 115.Noexerccioanterior,suponhaque,em lugar de 8, so usados n losangos para formar aestrela,comn>2.Quaissoasmedidas dos ngulos internos dos losangos? Respostas. 1.A escada deve medir 2,5 m. 2. = 229 3. = 6 4. = 9 5. = 6 6. = 17 7. = 17 8. = 5 9. =114 10. = 6 11. = 37 12.52 m 13.24 m 14.43 m 15.8 m 16.8 m 17.3013 km 18.3 22 19.a = 5,m = 16/5,n = 9/5eh = 12/5. 20. = 3/2. 21.Os dois lados restantes medem 13 cm. 22. 54 cme32 cm 23.h = 12. 24.15 km. 25.5 cm. 26.1201,5 m. 27.O dimetro mede 17. 28.3 m. 29.Cerca de 1249 km. 30.=5, =14413, =2513 e =6013. 31.a) 16 2b) 3 2 32.a) 84 cmb) 81,4 cmc) 80 cm 33. = 60, y= 30, = 30 34. = 36, y= 72, = 108 35. = 22,5, = 135 36.O enegono (que tem 9 lados). 37.156. 38.2/2. 39. 36 cm. 40.2 cm. 41.53 cm 42.123 cm 43.63 cm 44.5 cm;532 cm 45.... 46. 2 2; 2+22 47.4 +22;(2 +1);2 +2 48.a. 5/2 cm. b. 10/3 cm.c. 5 cm.d. 20/3 cm. 49.Cerca de 15,9 cm. 50.5788 pedaladas. 51.12 m 52.48 cm 53.2 cm 54. 300

cm 55.a. 32 cm e 16 cm. b. 64 cm2 e 16 cm2. 56.18 + 4 cm. 57.a. 3 cm. b.

/

= 1,5. 58.a. Dobra. b. Quadruplica. 59.30.000 pessoas. 60.3,5 4 cm. 61.16 8 cm. 62. 0,2 m2. 63.12 cm. 64. 36 cm. 65.18 m2 66.24 m2 67.32 m2 68.3 m 68.4 m 70.28 m2 71.60 m2 72.48 m2 73.120 m2 74.135 cm2 75.243 m2 76.103 m2 77.32 m2 78.25( 2) cm2 79.33 m2 80.16 m2 81.a. R$ 48.000,00. b. 82.0,72 m3. 83.625(1 +3) cm2. 84.Soja: 48.000 m2. Milho: 48.000 m2. 85.a. 300 trabalhadores. b. 120 trabalhadores. 86.323/4. 87.Leste:350km2;Sudoeste:80km2; Campinas: 800 km2. 88.O retngulo deve ter 8 16 cm. 89.a. 25/2 cm2.b. 50/3 cm2. c. 25 cm2.d. 100/3 cm2. 90. 99 m2. 91.9 cm2,49 cm2 e 121 cm2. 92.Lados: 2/2 m, 1/2 m e 2/4 m.rea: 1/8 m2. 93.8( 2) cm2. 94. D = 40 cm,A = 600 cm2 95.12 183 cm2. 96.43 2 cm2. 97.20 m e 30 m. 98.132 cm2. 99.40 cm. 100.260 m2. 101. Deve-seinstalaraomenos3tomadas, espaadas de 3,6 m. 102.24 183 cm2 103. 120

m 38,2 m104. 950 cm2 105.4 cm e 7 cm 106.450 +254 mm2 107. =32, =23. Permetro: 32+23+2 108.192 cm2 109.a. 84 m2 b. 3016 azulejos 110. = 16 mm2, = 4 +16 mm 111.256 +48 mm2 112.60 +82 +16 mm 113. = 24 +162 +6 cm2 = 20 +122 +4 cm 114.162 cm2 115. 360

e 180 360