MA12 - Unidade 9Matematica Financeira

Paulo Cezar Pinto Carvalho

PROFMAT - SBM

31 de Marco de 2013

Conceitos Basicos

Principal (P): capital investido

Juro (J): remuneracao do capital

Montante (M = P + J): principal acrescido do juro

Taxa de juros (i =J

P): razao entre juro e principal (referido a

duracao do investimento)

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Juros Compostos

Regime de investimento em que o capital e reinvestido porsucessivos perıodos, acrescido dos juros.(que sempre incidem sobre o capital acumulado).

Exemplo: Principal de R$ 10000,00, investidos por 3 meses ataxa de 2% ao mes.

Ao final do 1o mes: M = 10000 + 0, 02 · 10000 = 10200Ao final do 2o mes: M = 10200 + 0, 02 · 10200 = 10404Ao final do 3o mes: M = 10404 + 0, 02 · 10404 = 10612, 08

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Teorema

No regime de juros compostos de taxa i , um principal C0

transforma-se, depois de n perıodos de tempo, em ummontante Cn = C0(1 + i)n.

No exemplo anterior, o montante ao final de 3 meses e:M = 10000 · (1 + 0, 02)3 = 10612, 08

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Juros compostos × juros simples

Juros simples: M = C · (1 + n · i)Juros compostos: M = C · (1 + i)n

Muito raramente, o modelo de juros simples e realista, ja queos juros estao disponıveis para reinvestimento.

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O dinheiro no tempo

Valor acumulado apos n perıodos: Cn = C0(1 + i)n.

C0 e o valor atual do capital.Cn e o valor futuro do capital

Para deslocar uma quantia para o futuro: multiplicar por1 + i em cada perıodo.

Para deslocar uma quantia para o passado: dividir por 1 + iem cada perıodo.

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Comparando fluxos de caixa

Um fluxo de caixa e uma sequencia de pagamentos erecebimentos ao longo do tempo.

Para comparar fluxos de caixa e essencial reduzi-los a umamesma data, movimentando, se necessario, as quantias aolongo do tempo.

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ExemploPedro tomou um emprestimo de 300 reais, a juros de 15% aomes. Dois meses apos, Pedro pagou 150 reais e, um mes aposesse pagamento, Pedro liquidou seu debito. Qual o valor desseultimo pagamento?

1) Representar os pagamentos ao longo do tempo:

2) Escolher uma epoca para igualar os pagamentos: 0, porexemplo.

3) Igualar os pagamentos nesta data:

300 =150

(1 + 0, 15)2+

P

(1 + 0, 15)3.

O ultimo pagamento foi P = R$ 283,76.

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Exemplo

Pedro tem duas opcoes de pagamento na compra de umtelevisor:

i) tres prestacoes mensais de R$ 160,00 cada;ii) sete prestacoes mensais de R$ 70,00 cada.

Em ambos os casos, a primeira prestacao e paga no ato dacompra. Se o dinheiro vale 2% ao mes para Pedro, qual amelhor opcao?

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Solucao

Os esquemas de pagamento:

Calculando os valores na epoca 2:

a = 160(1 + 0, 02)2 + 160(1 + 0, 02) + 160 = 489, 66

b = 70(1 + 0, 02)2 + 70(1 + 0, 02) + 70 +70

1 + 0, 02

+70

(1 + 0, 02)2+

70

(1 + 0, 02)3+

70

(1 + 0, 02)4= 480, 77.

Pedro deve preferir o pagamento em sete prestacoes.

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Uma loja oferece duas opcoes de pagamento:

i) a vista, com 30% de desconto.ii) em duas prestacoes mensais iguais, sem desconto, a primeira

prestacao sendo paga no ato da compra.

Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?

Esquemas de pagamento:

Igualando os valores na epoca 0:

70 = 50 +50

1 + i.

Daı, i = 1, 5 = 150%

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A Formula das Taxas Equivalentes

Se a taxa de juros relativamente a um determinado perıodo detempo e igual a i , a taxa de juros relativamente a n perıodosde tempo e I tal que 1 + I = (1 + i)n.

Exemplo: A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mes eI tal que 1 + I = (1 + 0, 12)12Daı,I≈ 2, 90 = 290% ao ano.

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Taxas equivalentes e taxas proporcionais

Uma taxa mensal de 2% ao mes nao resulta em uma taxaanual de 24% ao ano, e sim de1, 0212 − 1 ≈ 1, 268 − 1 = 26, 8%.

Ha, no entanto, o (mau) habito de se referir a esta taxa comosendo de ”24% ao ano, capitalizados mensalmente”.

A taxa de 24% ao ano e a taxa proporcional, enquanto a de26, 8% ao ano e a taxa efetiva.

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Exemplo

Um capital e a juros de 6% ao ano com capitalizacao mensal.Qual a taxa anual de juros a qual esta investido o capital?

A taxa de 6% ao ano e a taxa proporcional, que corresponde auma taxa mensal de i = 6

12 = 0, 5% ao mes.

A taxa efetiva anual e I tal que 1 + I = 1, 00512, o quefornece I = 0, 0617.

Logo, a taxa efetiva anual e de 6, 17%.

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