MA13_U04

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Desigualdade Triangular

Sumário

4.1 A desigualdade triangular . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Unidade 4 A desigualdade triangular

4.1 A desigualdade triangular

O objetivo principal desta breve seção é provar que, em todo triângulo, os

comprimentos dos lados guardam uma certa relação, descrita na Proposição 3).

Comecemos, contudo, estabelecendo uma relação entre os comprimentos dos

lados e as medidas dos ângulos a eles opostos, a qual tem interesse indepen-

dente.

Proposição 1 Se ABC é um triângulo tal que B > C, então AC > AB.

Demonstração Como B > C, podemos traçar (cf. Figura 4.1) a semirreta−→BX, inter-

sectando o interior de ABC e tal que CBX = 12(B− C). Sendo P o ponto de

interseção de−→BX com o lado AC, segue do teorema do ângulo externo que

APB = CBP +BCP =1

2(B − C) + C =

1

2(B + C).

Mas, como ABP = B − 12(B − C) = 1

2(B + C), segue que o triângulo ABP

B C

A

P X

Figura 4.1: ordem dos lados e ângulos de um triângulo.

é isósceles de base BP . Portanto,

AB = AP < AC.

Corolário 2 Se ABC é um triângulo tal que A ≥ 90◦, então BC é seu maior lado.

Em particular, num triângulo retângulo a hipotenusa é o maior lado.

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Unidade 4Desigualdade Triangular

DemonstraçãoBasta observar que, se A ≥ 90◦, então A é o maior ângulo de ABC, de

modo que BC é, pela proposição anterior, o maior lado.

A proposição a seguir é conhecida como a desigualdade triangular.

Proposição 3Em todo triângulo, cada lado tem comprimento menor que a soma dos

comprimentos dos outros dois lados.

DemonstraçãoSeja ABC um triângulo tal que AB = c, AC = b e BC = a. Mostremos

que a < b + c, sendo a prova das demais desigualdades totalmente análoga.

Marque (cf. Figura 4.2) o ponto D sobre a semirreta−→CA tal que A ∈ CD e

AD = AB.

B C

A

D

Figura 4.2: a desigualdade triangular.

Uma vez que

CD = AC + AD = AC + AB = b+ c,

pela Proposição 1 é su�ciente mostrarmos que BDC < DBC. Mas, desde que

BDA = DBA, basta observarmos que

BDC = BDA = DBA < DBA+ ABC = DBC.

Sendo a, b e c os comprimentos dos lados de um triângulo, segue da de-

sigualdade triangular que

a < b+ c, b < a+ c, c < a+ b.

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Unidade 4 A desigualdade triangular

Reciprocamente, dados segmentos cujos comprimentos a, b e c satisfazem as

desigualdades acima, não é difícil provar que é sempre possível construirmos um

triângulo tendo tais segmentos como lados.

Terminamos esta seção colecionando duas consequências interessantes da

desigualdade triangular.

Exemplo 4 Se P é um ponto situado no interior de um triângulo ABC, então:

(a) PB + PC < AB + AC.

(b) PA+ PB + PC < AB + AC + BC.

Demonstração(a) Prolongue a semirreta

−→BP até que a mesma encontre o lado AC no ponto

Q (cf. Figura 4.3). Aplicando a desigualdade triangular sucessivamente aos

triângulos CPQ e ABQ, obtemos

PB + PC < PB + (PQ+ CQ) = BQ+ CQ

< (AB + AQ) + CQ = AB + AC.

B C

A

QP

Figura 4.3: consequências da desigualdade triangular.

(b) Argumentando de modo análogo à prova do item (a), temos PA+ PB <

AC + BC e PA + PC < AB + BC. Somando ordenadamente essas duas

desigualdades com aquela do item (a), obtemos

2(PA+ PB + PC) < 2(AB + AC + BC).

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Exemplo 5Na Figura 4.4, construa com régua e compasso o ponto P ∈ r para o qual

a soma PA+ PB seja a menor possível.

SoluçãoSe A′ é o simétrico de A em relação a r, a�rmamos que o ponto P desejado

é o ponto de interseção de A′B com r. Para provar este fato, seja Q outro

A

B

r

Figura 4.4: menor percurso que toca uma reta.

ponto qualquer de r. (Faça uma �gura para acompanhar o raciocínio.) O

fato de A′ ser o simétrico de A em relação a r garante que AQ = A′Q e,

analogamente, AP = A′P . (Prove isto!) Tais igualdades, juntamente com a

desigualdade triangular, fornecem sucessivamente

AP + BP = A′P + BP = A′B

< A′Q+ BQ = AQ+ BQ.

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Unidade 4 Problemas

4.2 Problemas

1. Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38cm e 14cm, calcule seu

perímetro. (Sugestão: use a desigualdade triangular para mostrar que o

terceiro lado não pode medir 14cm.)

2. Encontre o intervalo de variação de x no conjunto dos reais, sabendo que

os lados de um triângulo são expressos em centímetros por x+10, 2x+4

e 20− 2x. (Sugestão: adapte a sugestão dada ao problema anterior.)

3. Em um triângulo ABC, o lado AB tem por comprimento um número

inteiro de centímetros. Calcule o maior valor possível para AB, sabendo

que AC = 27cm, BC = 16cm e que C < A < B. (Sugestão: use a

desigualdade triangular, em conjunção com o resultado da Proposição 1.)

4. Em um triângulo ABC, escolhemos aleatoriamente pontos P ∈ BC,

Q ∈ AC e R ∈ AB, todos diferentes dos vértices de ABC. Prove que

o perímetro do triângulo PQR é menor que o perímetro do triângulo

ABC. (Sugestão: aplique a desigualdade triangular aos triângulos AQR,

BPR e CPQ. Em seguida, some ordenadamente as desigualdades assim

obtidas.)

5. Se a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo, prove que

|b− c| < a.

6. (Torneio das Cidades.) Se a, b, c são os comprimentos dos lados de um

triângulo, prove que a3 + b3 +3abc > c3. (Sugestão: fatore a3 + b3 e use

que a+ b > c duas vezes.)

7. Dado um quadrilátero convexo ABCD, prove que o ponto P do plano

para o qual a soma PA + PB + PC + PD é mínima é o ponto de

concurso das diagonais de ABCD. (Sugestão: aplique a desigualdade

triangular aos triângulos PAC e PBD.)

8. Seja n ≥ 3 um inteiro dado. Prove que, em todo n−ágono convexo,

o comprimento de cada lado é menor que a soma dos comprimentos de

n − 1 lados restantes. (Sugestão: argumente por indução sobre n ≥ 3.

O caso inicial é fornecido pela desigualdade triangular. Para o passo de

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indução, seja dado um polígono convexo A1A2 . . . AkAk+1, com k ≥ 3;

aplique a hipótese de indução a A1A2 . . . Ak e a desigualdade triangular

a A1AkAk+1.)

9. Na �gura abaixo, as semirretas r e s são perpendiculares. Construa com

régua e compasso os pontos B ∈ r e C ∈ s para os quais a soma

AB + BC + CD seja a menor possível.

r

s

A

D

(Sugestão: se A′ e D′ denotam, respectivamente, os simétricos dos pon-

tos A e D com respeito às retas r e s, sejam B e C as interseções de

A′D′ com r e s, também respectivamente. Se B′ ∈ r e C ′ ∈ s são tais

que B′ 6= B ou C ′ 6= C, argumente de maneira análoga à solução do

Exemplo 5 para concluir que AB + BC + CD < AB′ + B′C ′ + C ′D.

Para tanto, utilize o resultado do problema anterior.)

10. Seja ABC um triângulo retângulo em B e tal que AB > BC. Dado um

ponto P no interior de ABC, prove que PA+ PB+ PC < AB+ AC.

(Sugestão: trace, por P , o segmento QR paralelo a BC, com Q ∈ AB

e R ∈ AC. Em seguida, use a Proposição 1 e a desigualdade triangular

para provar que AP < AR e BP + PC < BQ+ QR + CR.)

11. (União Soviética). Em um país, certo dia, um avião partiu de cada cidade

com destino à cidade mais próxima. Se as distâncias entre as cidades

são duas a duas distintas, prove que em nenhuma cidade aterrissaram

mais de cinco aviões. (Sugestão: se, na cidade A, aterrissaram aviões

provenientes das cidades B e C, use a Proposição 1 para concluir que

BAC > 60◦. Em seguida, use este fato para mostrar, por contradição,

que não podemos ter seis aviões aterrissando em uma mesma cidade.)

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Referências Bibliográ�cas

[1] AKOPYAN, A. V. e ZASLAVSKY A. A. (2007). Geometry of Conics. Amer-

ican Mathematical Society.

[2] DE BARROS, A. A. e ANDRADE, P. F. DE A. (2009). Introdução à Geo-

metria Projetiva. Sociedade Brasileira de Matemática.

[3] BARBOSA, J. L. M. (2004). Geometria Euclidiana Plana. Sociedade

Brasileira de Matemática.

[4] BARBOSA, J. L. M. (1995). Geometria Hiperbólica. Instituto Nacional de

Matemática Pura e Aplicada.

[5] CAMINHA, A. (2012). Temas de Matemática Elementar, Volume 1.

Números Reais. Sociedade Brasileira de Matemática.

[6] COXETER, H. S. M. e GREITZER, S. L. (1967). Geometry Revisited. The

Mathematical Association of America.

[7] HEATH, T. L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Dover.

[8] HONSBERGER, R. (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century

Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America.

[9] JOHNSON, R. (2007). Advanced Euclidean Geometry. Dover.

[10] YAGLOM, I. M. (1962). Geometric Transformations I. The Mathematical

Association of America.

[11] YAGLOM, I. M. (1968). Geometric Transformations II. The Mathematical


[12] YAGLOM, I. M. (1973). Geometric Transformations III. The Mathematical


[13] YAGLOM, I. M. e SHENITZER, A. (2009). Geometric Transformations IV.

The Mathematical Association of America.

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