MA14 - Unidade 4

O Jogo de Nim

Semana de 15/08 a 21/08

Trata-se de um antigo jogo chins de palitos jogado por duas pessoas. Estejogo foi objeto, em 1901, de um artigo cientfico na prestigiosa revista Annalsof Mathematics, de autoria de C.L. Bouton, mostrando que h uma estratgiaque, se adotada pelo jogador que inicia o jogo, ele sempre ganhar.

H vrias verses deste jogo, cada uma com uma estratgia prpria.

Variante 1 Dispe-se sobre uma mesa um certo nmero N de palitos.Estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar, no mnimo, 1 palitoe, no mximo, n palitos, com n > 1. Supe-se, ainda, que nem N nem N 1sejam mltiplos de n + 1. Perde o jogador que retirar o ltimo palito. Aestratgia para que o primeiro jogador ganhe sempre descrita a seguir.

Seja q o quociente e r o resto da Diviso Euclidiana de N por n+1. Porhiptese, tem-se que r > 1. Divida mentalmente os palitos em q grupos den + 1 palitos mais um grupo com r 1 palitos, restando ainda um palito.

0O leitor interessado poder ler mais sobre esse jogo na Revista do Professor deMatemtica, N0. 6.

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O jogador que comea retira esses r 1 palitos. O segundo jogador, aoretirar de 1 a n palitos, deixar o primeiro jogador na situao confortvelde retirar o que sobra no primeiro grupo de n+1 palitos. Isto se repete paracada grupo de n + 1 palitos, fazendo que, no final, sobre 1 palito na vez dosegundo jogador, provocando a sua derrota.

Faa um experimento com N = 34 e n = 3.

Variante 2 Da mesma forma que a variante anterior, dispe-se sobreuma mesa um certo nmero N de palitos e estipula-se que cada jogador,na sua vez, possa retirar, no mnimo, 1 palito e, no mximo, um nmero npr-fixado de palitos, com n > 1. Supe-se, ainda, que N no seja mltiplode n + 1. Ganha o jogador que retirar o ltimo palito. Vamos descrever anova estratgia para que o primeiro jogador ganhe sempre.

Seja q o quociente e r o resto da Diviso Euclidiana de N por n+1. Porhiptese, tem-se que 1 r n. Divida mentalmente os palitos em q gruposde n+1 palitos mais um grupo com r palitos. O jogador que comea retira osr palitos. O segundo jogador, ao retirar de 1 a n palitos, deixar o primeirojogador na situao confortvel de retirar o que sobra no primeiro grupo den+1 palitos. Isto se repete para cada grupo de n+1 palitos, fazendo semprecom que, depois do segundo jogador realizar a sua jogada, sobre no grupo umnmero tal de palitos que possam ser retirados de uma s vez pelo primeirojogador, levando-o vitria.

A seguir, discutiremos uma variante mais complexa do jogo.

Variante 3 Dispe-se sobre uma mesa 15 palitos separados em trs gru-pos, de 3, 5 e 7 palitos, respectivamente (pode-se generalizar o jogo com trsgrupos com nmero arbitrrio, porm, distinto de palitos).

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Cada jogador, na sua vez, deve retirar um nmero qualquer de palitos deum, e de apenas um, dos grupos. Os jogadores se alternam e quem retirar oltimo palito ganha o jogo.

O Jogo de Nim 3

Vamos estabelecer uma estratgia de tal modo que, quem iniciar a partidafazendo uma boa abertura e seguindo certas regras, sempre vencer.

Para isto, a cada jogada, escreve-se o nmero de palitos de cada grupona base 2, colocando-os um em cada linha, de modo que os algarismos dasunidades se correspondam. Por exemplo, no incio da partida tem-se

Grupo 1 11Grupo 2 101Grupo 3 111

Somando os trs nmeros acima como se fosse na base 10, obtemos onmero 223, que chamaremos, a cada etapa, de chave do jogo. O primeirojogador poder, ento, com uma jogada, tornar todos os algarismos da chavepares. Por exemplo, poder retirar um palito do grupo 3, obtendo

Grupo 1 11Grupo 2 101Grupo 3 110

222

Agora, qualquer jogada que o segundo jogador efetue transformar achave 222 numa chave com, pelo menos, um algarismo mpar, o que, me-diante uma jogada conveniente, poder ser recolocado na situao de tertodos os algarismos pares.

Uma situao em que todos os algarismos da chave so pares ser chamadade posio segura, enquanto que, quando pelo menos um dos algarismos dachave mpar, ser uma posio insegura.

Pode-se mostrar que, de uma posio segura, qualquer que seja a jogada,s se pode chegar a uma posio insegura. Mostra-se tambm que, de umaposio insegura, pode-se, com uma jogada conveniente, sempre retornar auma posio segura. Como 000 uma posio segura, ganhar o jogo quemsempre se mantiver em posies seguras.

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Problemas

1 Demonstre que as afirmaes feitas na variante 3 do jogo de Nim soverdadeiras.

2 Determine, em cada caso apresentado abaixo, se a posio segura ouinsegura.a) | | | |b) | | | | | | |c) | | | |d) | |