MA14 - Unidade 6

Propriedades do mdc

Semana de 22/08 a 28/08

Sejam a, b N. Definimos o conjunto

J(a, b) = {x N; u, v N, x = ua vb}.

Por definio, temos que

J(b, a) = {y N; u, v N, y = vb ua}.

Lema 1. Tem-se queJ(a, b) = J(b, a) 6= .

Demonstrao Inicialmente, mostraremos que os dois conjuntos so iguais.Pelo carter simtrico do resultado com relao a a e b, basta mostrar queJ(a, b) J(b, a).

Seja x J(a, b), ento x = ua vb com u, v N. Pela PropriedadeArquimediana1, existem nmeros naturais , N tais que a > v e b > u.

1Dados a, b N com 0 < a < b, existe n N tal que na > b.

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Tomando = max{, }, tem-se que a > v e b > u. Portanto,

x = ua vb = (a v)b (b u)a J(b, a).

Agora, note que a J(a, b) e, portanto, J(a, b) 6= .

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O resultado acima e a Propriedade da Boa Ordenao dos naturais garan-tem que existe min J(a, b).

Teorema 1. Sejam a, b N e seja d = min J(a, b). Tem-se quei) d o mdc de a e b ii) J(a, b) = {nd; n N}.

Demonstrao (i) Suponha que c divida a e b; logo, c divide todos osnmeros naturais da forma ua vb; portanto, divide todos os elementos deJ(a, b), e, conseqentemente, c|d.

Vamos agora mostrar que d divide todos os elementos de J(a, b). Sejax J(a, b) e suponha, por absurdo, que d 6 |x. Logo, pela Diviso Euclidiana,

x = dq + r, com 0 < r < d.

Como x = ua vb e d = mb na, para alguns u, v,m, n N, segue-seque

r = (u+ qn)a (v + qm)b J(a, b),o que um absurdo, pois d = min J(a, b) e r < d. Em particular, d|a e d|b.(ii) Dado que ld = l(namb) = (ln)a (lm)b J(a, b), claro que

{ld; l N} J(a, b),

Por outro lado, j provamos que todo x J(a, b) tal que d|x, e, portanto,

J(a, b) {ld; l N}.

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Propriedades do mdc 3

O Teorema acima nos d uma outra demonstrao da existncia do mdcde dois nmeros. Note que essa demonstrao, ao contrrio da prova deEuclides, no construtiva, no sentido de que no nos fornece nenhum meioprtico para achar o mdc dos dois nmeros.

Corolrio 1. Quaisquer que sejam a, b, n N, (na, nb) = n(a, b).Demonstrao Note inicialmente que

J(na, nb) = nJ(a, b) = {nx; x J(a, b)}.

Agora, o resultado segue-se do teorema e do fato de que

minnJ(a, b) = nmin J(a, b).

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Corolrio 2. Dados a, b N, tem-se que(

a

(a, b),

b

(a, b)

)= 1.

Demonstrao Pelo Corolrio 1, temos que

(a, b)(

a

(a, b),

b

(a, b)

)=((a, b)

a

(a, b), (a, b)

b

(a, b)

)= (a, b),

o que prova o resultado.

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Dois nmeros naturais a e b sero ditos primos entre si, ou coprimos, se(a, b) = 1; ou seja, se o nico divisor comum de ambos 1.

Proposio 1. Dois nmeros naturais a e b so primos entre si se, e somentese, existem nmeros naturais n e m tais que namb = 1.Demonstrao Suponha que a e b so primos entre si. Logo, (a, b) = 1.Como, pelo Teorema 1, temos que existem nmeros naturais n e m tais quenamb = (a, b) (= 1), segue-se a primeira parte da proposio.

Reciprocamente, suponha que existam nmeros naturais n e m tais quenamb = 1. Se d = (a, b), temos que d|(namb), o que mostra que d|1, e,portanto, d = 1. 2

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A Proposio 1 estabelece uma relao crucial entre as estruturas aditivae multiplicativa dos nmeros naturais, o que permitir provar, entre vriosoutros resultados, o importante teorema a seguir.

Teorema 2. Sejam a, b e c nmeros naturais. Se a|b c e (a, b) = 1, entoa|c.

Demonstrao Se a|b c, ento existe e N tal que bc = ae.Se (a, b) = 1, ento, pela Proposio 1, temos que existem m,n N tais

que

namb = 1.

Multiplicando por c ambos os lados da igualdade acima, temos que

c = nacmbc.

Substituindo bc por ae nesta ltima igualdade, temos que

c = nacmae = a(ncme)

e, portanto, a|c. 2Corolrio. Dados a N e b, c N, temos que

b|a e c|a bc(b, c)

|a.

Demonstrao De fato, temos que a = nb = mc para alguns n,m N.Logo,

nb

(b, c)= m

c

(b, c).

Como(

b(b,c)

, c(b,c)

)= 1, segue-se que b

(b,c)|m, o que implica que c b

(b,c)|cm.

Como cm = a, o resultado se segue.

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Propriedades do mdc 5

A noo de mdc pode ser generalizada como se segue.

Um nmero natural d ser dito um mdc de dados nmeros naturais a1,. . . , an se possuir as seguintes propriedades:

i) d um divisor comum de a1, . . . , an.ii) Se c um divisor comum de a1, . . . , an, ento c|d.

O mdc, quando existe, certamente nico e ser representado por

(a1, . . . , an).

Proposio 2. Dados nmeros naturais a1, . . . , an, existe o seu mdc e

(a1, . . . , an) = (a1, . . . , (an1, an)).

Demonstrao Vamos provar a proposio por induo sobre n ( 2).Para n = 2, sabemos que o resultado vlido. Suponha que o resultado valepara n. Para provar que o resultado vlido para n+ 1, basta mostrar que

(a1, . . . , an, an+1) = (a1, . . . , (an, an+1)),

pois isso provar tambm a existncia.Seja d = (a1, . . . , (an, an+1)). Logo, d|a1, . . . , d|an1 e d|(an, an+1)). Por-

tanto, d|a1, . . . , d|an1, d|an e d|an+1.Por outro lado, seja c um divisor comum de a1, . . . , an, an+1; logo, c um

divisor comum de a1, . . . , an1 e (an, an+1); e, portanto, c|d.

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Para calcular o nmero (a1, . . . , an), pode-se usar recursivamente o Algo-ritmo de Euclides.

Problemas

1. Mostre que, se (a, b) = 1, a|c e b|c, ento a b|c.

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2. a) Mostre que, se (a, b) = 1, ento (a c, b) = (c, b).b) Mostre que (a c, b) = 1 se, e somente se, (a, b) = (c, b) = 1.3. Suponha que (a, b) = (a, d) = (c, b) = (c, d) = 1.a) Mostre que (a c, b d) = 1.b) Mostre que (an, bm) = 1, n,m N.c) Mostre que, se a > b e n N, ento (a+ b, bn) = (a b, bn) = 1.4. a) Mostre que, se n mpar, n(n2 1) divisvel por 24.b) Mostre que 24 divide n(n2 1)(3n+ 2) para todo n N.5. a) Mostre que n5 n divisvel por 30.b) Mostre que n5 e n possuem o mesmo algarismo das unidades.

6. Mostre que a|bc se, e somente se, a(a, b)

|c.

7. Sejam a e b dois nmeros naturais com a < b e (a, b) = 1.a) Mostre que (b+ a, b a) 1 ou 2.b) Mostre que (a+ b, a2 + b2) 1 ou 2.

8. Sejam a, b,m N, com (a, b) = 1.a) Se a > b, mostre que

(a b, a

m bma b

)= (a b,m).

b) Se m mpar, mostre que(a+ b,

am + bm

a+ b

)= (a+ b,m).

9. Mostre que, se a, b, x, y N, com ax by = (a, b), ento (x, y) = 1.10. Calcule (1116, 984, 852).

11. Trs nmeros naturais so ditos primos entre si se (a, b, c) = 1. Mostreque trs nmeros naturais, dois a dois primos entre si, so primos entre si.Mostre que no vale a recproca; isto , ache trs nmeros naturais primosentre si, mas no dois a dois primos entre si.

12. Mostre que, para todo n N, tem-se que n+ 1 divide(2nn

)