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MA211 - Calculo II

Segundo semestre de 2020

Turmas D/E

Ricardo M. Martins

[email protected]

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 2: Limites e continuidade

Rk

Denotaremos por Rk o conjunto R× · · · × R, onde existem k

termos neste produto, ou seja,

Rk = R× · · · × R = {(x1, x2, . . . , xk), xi ∈ R, i = 1, . . . , k}

Assim R2 e o plano cartesiano que ja conhecemos, R3 e o

“espaco” e por aı vai.

Por enquanto, chamaremos os elementos de Rk de pontos. Mais

para frente, esta nocao vai se confundir um pouco com a nocao de

vetor.

Rk

Representamos geometricamente R1 = R por uma reta, R2 pelo

sistema de eixos cartesianos e R3 por um sistema de tres eixos

mutualmente ortogonais.

Para medir distancias entres pontos de Rk , usaremos a norma

euclidiana, ou seja, dados x = (x1, . . . , xk) e y = (y1, . . . , yk) em

Rk , a distancia entre x e y sera medida por

d(x, y) = ||x− y|| =�(x1 − y1)2 + . . .+ (xk − yk)2.

No comeco do curso, nossas funcoes terao como domınio um

subconjunto de Rk para algum k e como contra-domınio R.

Funcoes R2 → R

Seja U ⊂ Rn um conjunto e f : U ⊆ R2 → R uma funcao. Muitas

vezes escreveremos somente z = f (x , y) quando o domınio da

funcao estiver claro pelo contexto (ou tomaremos o “maior

domınio possıvel”).

As variaveis x , y sao as variaveis independentes e z e a variavel

dependente.

Funcoes R2 → R

Seja U ⊂ Rn um conjunto e f : U ⊆ R2 → R uma funcao. Muitas

vezes escreveremos somente z = f (x , y) quando o domınio da

funcao estiver claro pelo contexto (ou tomaremos o “maior

domınio possıvel”).

As variaveis x , y sao as variaveis independentes e z e a variavel

dependente.

Duvida existencial: Nao seria melhor estudar logo funcoes

Rm → R? Seria, mas os ındices introduziriam complicacoes

desnecessarias no momento. Vamos falar sobre dimensoes mais

altas de vez em quando.

Funcoes R2 → R

O grafico de f : U ⊆ R2 → R e um subconjunto de R3 = R2 × R.

As curvas de nıvel de z = f (x , y), que sao uma boa forma de

representar graficamente esta funcao, sao as curvas no plano xy

obtidas como solucoes de equacoes da forma f (x , y) = k , com k

variando no conjunto dos numeros reais.

Em geral representaremos tais curvas identificando cada uma delas

pelo valor correspondente de k .

Funcoes R2 → R

Exemplo

Determine o domınio, a imagem, as curvas de nıvel e o grafico de

f (x , y) =�

9− x2 − y2.

Funcoes R2 → R

Exemplo

Determine o domınio, a imagem, as curvas de nıvel e o grafico de

f (x , y) =�

9− x2 − y2.

� Precisamos que 9− x2 − y2 ≥ 0, ou seja, que x2 + y2 ≤ 9.

Logo o domınio de f e D(f ) =�(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 9

�.

� Como f (x , y) =�9− x2 − y2 =

�9− (x2 + y2) e

x2 + y2 ≥ 0, o valor maximo de f e√9 = 3 e o mınimo e 0.

� As curvas de nıvel sao as curvas�

9− x2 − y2 = k no plano

z = k , ou seja, as curvas x2 + y2 = 9− k2 com k ∈ R(cırculos).

� Para o grafico, note que elevando z =�

9− x2 − y2 ao

quadrado temos a equacao de uma esfera de raio 3:

x2 + y2 + z2 = 9. Como z ≥ 0, ficamos com uma semi-esfera.

Funcoes R3 → R

Exemplo (Superfıcies de nıvel)

Quais sao as superfıcies de nıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 − z2?

Funcoes R3 → R



k = 0: x2 + y2 − z2 = 0 ⇔ z = ±�

x2 + y2.

Funcoes R2 → R



k > 0: x2 + y2 − z2 = α2.

Funcoes R2 → R



k < 0: x2 + y2 − z2 = −α2.

Limites

Seja f : D ⊂ R2 → R uma funcao, (a, b) ∈ D.

Dizemos que o limite de f (x , y) quando (x , y) tende a (a, b) e

igual a L se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 < ||(x , y)− (a, b)|| < δ implica |f (x , y)− L| < ε,

onde ||(x , y)− (a, b)|| =�(x − a)2 + (y − b)2.

A notacao para isto e

lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) = L.

Limites

Limites

� A exigencia “(a, b) ∈ D” nao e suficiente: (a, b) nao pode ser

um ponto isolado. Nao falaremos muito sobre isto, mas fique

com o seguinte problema na cabeca: se

D = [0, 1]× [0, 1] ∪ {(2, 2)} ,

como fazemos para calcular limite com (x , y) → (2, 2)?

� A funcao nao precisa estar definida em (a, b) para o limite

existir.

� Como ja observamos, existem infinitas formas de

(x , y) → (a, b), ao contrario do caso de funcoes R → R. Sepercorrendo caminhos distintos, os limites forem diferentes,

entao o limite nao existira.

Continuidade

Seja f : U ⊂ R2 → R e (a, b) ∈ U. Diremos que f e contınua em

(a, b) se

lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b).

Diremos que f e contınua se for contınua em todos os pontos de

seu domınio.

A funcao f sera contınua em (a, b) se:

� f (a, b) existir,

� lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) existir,

� lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) = f (a, b).

Exercıcios

ExercıcioO limite abaixo existe?

lim(x ,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

Exercıcios


lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y2

Exercıcios


lim(x ,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4

Exercıcios (prometo que este existe)


lim(x ,y)→(0,0)

3x2y

x2 + y2

Observacoes importantes

� As propriedades que usavamos no Calculo I continuam validas

aqui: limite da soma e a soma dos limites (se ambos

existirem), etc.




existirem), etc.

� Polinomios, funcoes trigonometricas, etc em varias variaveis

sao funcoes contınuas.




existirem), etc.



� Pode-se passar o limite para “dentro” de funcoes contınuas,

lim(x ,y)→(a,b)

f (g(x , y)) = f

�lim

(x ,y)→(a,b)g(x , y)

�

se f e contınua em g(a, b).




existirem), etc.



� Pode-se passar o limite para “dentro” de funcoes contınuas,

lim(x ,y)→(a,b)

f (g(x , y)) = f

�lim

(x ,y)→(a,b)g(x , y)

�

se f e contınua em g(a, b).

� O teorema do sanduıche ainda e verdadeiro: se

f (x , y) ≤ g(x , y) ≤ h(x , y) entao

lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) ≤ lim(x ,y)→(a,b)

g(x , y) lim(x ,y)→(a,b)

h(x , y).

Exercıcios

Exemplo

Mostre que a funcao

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0)

nao e contınua.

Exercıcios

Exemplo

Mostre que a funcao

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0)

nao e contınua.

Exemplo

Mostre que a funcao

f (x , y) =

�x2 + y2 , x + y ∈ Q,

0 , x + y �∈ Q

e contınua na origem.

Limites em coordenadas polares

Em alguns casos, trocar de coordenadas cartesianas para

coordenadas polares ajuda no calculo do limite.

Lembre-se que o sistema de coordenadas polares e dado por

�x = r cos(θ),

y = r sen(θ).

Desta forma, quando (x , y) → (0, 0) teremos r → 0+

(independente do angulo).


Coordenadas polares.


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.

� Se x = y entao ficamos com

lim(x ,x)→(0,0)

2x3

2x2= lim

(x ,x)→(0,0)x = 0,

entao nosso primeiro chute e que o limite de zero.

� Testando varios outros caminhos sempre obtemos o mesmo

limite 0.


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.

� Usando coordenadas polares x = r cos(t), y = r sen(t) temos

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2= lim

r→0

r3 cos3(t) + r3 sen3(t)

r2 cos2(t) + r2 sen2(t)

= limr→0

(r cos3(t) + r sen3(t))

= 0

Kahoot!

Kahoot!

Questao

O domınio da funcao

f (x , y) =

�25− x2 − y2

x2 + y2

e

� um quadrado

� um disco

◦ um disco menos um ponto

� R2

Kahoot!

Questao

Se

z = f (x , y) =1

x2 + y2

entao f e contınua em todos os pontos de seu domınio.

� falso

� verdadeiro

Kahoot!

Questao

Qual o valor do limite de

f (x , y) =x3y3

2 + x2 + y2

quando (x , y) → (0, 0)?

� nao existe

� 0

◦ 1

� 2

Proxima aula: Derivadas parciais.

Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.

Fique em casa.

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