MANUAL DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA O CURSO...

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MANUAL DE MATEMTICA FINANCEIRA PARA O CURSO TCNICO DE

ADMINISTRAO E CONTABILIDADE

1. TAXA DE PORCENTAGEM

No nosso dia-a-dia vemos nos meios de comunicao notcias como estas:

A gasolina subiu 3,5%.

A poupana rendeu esse ms 0,53%.

O ndice da Bolsa de Valores teve alta de 2,2%.

O ouro teve uma valorizao de 12% no ano.

O preo do barril de Petrleo subiu 5,7%.

Devido s fortes chuvas, o alface subiu 45%.

Podemos interpretar essas notcias se soubermos resolver problemas como os que so

apresentados e resolvidos a seguir, com auxlio da planilha Excel:

1. O preo do litro da gasolina, que custa R$ 2,52, ter um aumento de 4,5%. Qual ser

seu novo preo?

Na clula B1 foi digitado o valor atual do litro da gasolina e na clula B2, o valor que

corresponde ao aumento que ter a gasolina. Para acharmos o novo preo da gasolina, na

clula B3, multiplicamos a clula B1 por 1,045 [(4,5+100)/100], obtendo R$ 2,63.

2. Um apartamento de trs quartos foi vendido por R$ 190.000,00. Sabendo-se que a taxa

de corretagem de 6%, qual foi a importncia recebida pelo corretor?

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Outra maneira de resolver o problema:

100

6 de R$ 190.000,00 = 0,06 x R$ 190.000,00 = R$ 11.400,00

A importncia recebida pelo corretor foi, portanto, de R$ 11.400,00.

3. Numa grande loja de departamento, o preo de um barbeador eltrico de R$ 120,00 e

para pagamento vista oferecido um desconto de 15%. Qual o preo vista desse

barbeador?

O preo do barbeador eltrico foi digitado na clula B1 e a taxa de desconto na clula

B2. O preo vista corresponde a 100% de R$ 120,00 15% de R$ 120,00 = 85% de R$

120,00. Basta multiplicar a clula B1 (R$ 120,00) por C3 (85%).

O preo vista do barbeador eltrico , portanto, R$ 102,00.

4. Um carro avaliado em R$ 12.500,00 foi vendido com um desconto de 12% sobre esse

preo. Qual foi o preo de venda?

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Nas figuras acima, temos duas maneiras diferentes de resolver o problema, usando a

Planilha. Na Pasta 1, primeiramente foi calculado 12% de R$ 12.500,00, sendo achado o valor

do desconto, que de R$ 1.500,00; logo aps, foi subtrado R$ 1.500,00 do valor do preo do

carro, que de R$ 12.500,00, resultando o valor de R$ 11.000,00 que o preo de venda. Na

Pasta 2 foi descontado 12% de 100%, onde resultou 88% , que a taxa do preo de venda do

carro. Multiplicando essa taxa pelo valor do preo do carro, que de R$ 12.500,00, resulta o

valor de R$ 11.000,00 que o preo de venda.

1.1 Quatro maneiras de resolver exerccios de porcentagem, exemplificados no problema

a seguir.

Tomemos o problema n 1, acima, para exemplificarmos as trs situaes.

Aumento de 4,5% de R$ 2,52?

100

5,4. 2,52 = 0,1134

0,1134 + 2,52 = 2,6334 Arredondamos para duas casas decimais, portanto com o

aumento de 4,5% o preo do litro da gasolina fica em R$ 2,63.


4,5% = 0,045

0,045 . 2,52 = 0,1134. Arredondando na operao abaixo,

0,1134 + 2,52 R$ 2,63 , que o preo atual do litro da gasolina.


100% mais o aumento de 4,5% = 104,5%. Transformando em nmero decimal,

temos 1,045. Da, basta multiplicarmos por 2,52 e arredondarmos.

Ento, 1,045 . R$ 2,52 R$ 2,63


100% mais o aumento de 4,5% = 104,5%,

100

5,104=

52,2

x

100x = 263,34

x = 2,6334

4

Fazendo o arredondamento para duas casas decimais, teremos o preo da gasolina,

R$ 2,63.

2 LUCRO E PREJUZO

Nas transaes comerciais pode ocorrer lucro ou prejuzo. O lucro ocorre quando o

valor de venda maior do que o valor do custo (ou compra) e o prejuzo ocorre quando o

valor de venda menor que o valor de compra.

Sendo:

V: Valor de venda;

C: preo de custo ou de compra;

L: lucro;

P: prejuzo;

iL: taxa percentual de lucro.

a) Transao com lucro:

L = V C, onde V > C

b) Transao com prejuzo:

P = C V, onde C > V

Para encontrar as taxas percentuais de lucro para o preo da venda e o preo de custo,

basta calcular as razes:

V

Li

C

Li

Exemplo 1: Uma tela de tela de LCD para um computador custa R$ 200,00 para ser fabricada

e vendida por R$ 250,00. Achar a taxa percentual de lucro para:

a) o preo da venda;

b) o preo do custo.

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Para acharmos as taxas pedidas, primeiramente calculamos o lucro, que a diferena

entre o preo da venda e o preo de compra. Na letra a, para calcularmos a taxa percentual do

preo de venda, basta dividir o lucro pelo preo de venda, onde teremos o resultado de 0,2 na

clula B5 e aps clicamos no cone % para aparecer na tela 20%. Na letra b, faremos o

mesmo procedimento, s que dividiremos o lucro pelo preo de compra, onde teremos o

resultado da taxa percentual de 25%.

2.1 Exerccios de Porcentagem, Lucro e Prejuzo

Sugere-se que os exerccios sejam feitos com auxlio da planilha

01) Quanto vale 3,5% de R$ 650,00?

02) No vestibular da UDC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099

concluram todas as provas. O percentual de absteno foi de quanto?

03) Representar 40% de 30% numa nica porcentagem.

04) Numa cidade, 30% da populao adulta so homens e 40% da populao adulta so

mulheres. Sabendo-se que h 4.500 crianas, pergunta-se: qual a quantidade de

homens e mulheres adultos e qual a populao da cidade?

05) Pedro teve um aumento de 8% e passou a receber R$ 1.680,00. Qual era seu salrio

antes do reajuste?

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06) O salrio de um pedreiro era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a

porcentagem de aumento?

07) Marcelo quer vender um apartamento que custou R$ 160.000,00, lucrando 30% do

preo de custo. Qual ser o preo da venda do apartamento de Marcelo?

08) Mary vendeu seu terreno por R$ 30.000,00 com um prejuzo de 20% do preo de

custo. Quanto ela havia pago pelo terreno?

09) Um telefone celular foi comprado por R$ 145,00 e vendido por R$ 181,25.

Determine:

a) a porcentagem de lucro em relao ao preo de compra;

b) a porcentagem de lucro em relao ao preo de venda.

10) Uma televiso foi vendida por R$ 600,00 com uma taxa percentual de lucro de 25%

sobre o valor de venda. Calcular o valor do custo dessa televiso.

GABARITO

1) R$ 22,75 6) 15%

2) 8% 7) R$ 208.000,00

3) 12% 8) R$ 37.500,00

4) Homens 4500, Mulheres 6000 e

Populao 15.000 hab.

9) a) 25%

b) 20%

5) R$ 1.555,55 10) R$ 450,00

3 JUROS

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos

matemticos para simplificar a operao financeira a um fluxo de caixa.

Juro

a quantia que se paga a ttulo de compensao pelo uso do dinheiro emprestado.

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Capital

o valor aplicado atravs de alguma operao financeira, sobre o qual recairo os

juros, tambm conhecido como Principal ou Valor Atual.

Taxa de juros

Indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado

perodo. Ela vem normalmente expressa em forma percentual, seguida da especificao do

perodo de tempo a que se refere:

5% a.a. (ao ano).

12% a.t. (ao trimestre).

Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual taxa percentual

dividida por 100, sem o smbolo %.

0,15 a.m. (ao ms).

0,10 a.q. (ao quadrimestre).

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: Simples ou Composto.

Juros Simples

Chamamos de Simples os juros que so acrescentados ao capital inicial no final da

aplicao.

Juros Compostos

Chamamos de Compostos os juros que so somados ao capital, ao fim de cada

perodo de aplicao, formando com este um novo capital.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Entre elas:

compras a mdio e longo prazo, compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as

aplicaes financeiras usuais como Caderneta de Poupana e aplicaes em fundos de renda

fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das operaes

de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

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3.1 Problemas de Juros Simples

Vamos considerar, como exemplo, o seguinte problema:

Temos um capital de R$ 2.000,00, aplicado taxa de 20% a.a. por um perodo de 4

anos a juros simples.

Temos:

Capital (C): R$ 2.000,00

Tempo (t): 4 anos

Taxa (i): 20% ou 0,2 a.a.

Obs.: para ser calculado o juro simples, a taxa de juros ser sempre sobre o capital inicial;

ento temos: 0,2 . R$ 2.000,00 = R$ 400,00, portanto nos demais anos tambm ser de R$

400,00 os juros aplicados.

Desse modo, no final da aplicao, devero ser pagos R$ 1.600,00 de juros.

De modo geral podemos escrever:

Capital: C Tempo: t Taxa: i

Fazendo o clculo ano a ano:

No final do 1 ano, os juros sero calculados por i . C

No final do 2 ano, os juros sero calculados por i . C + i . C

..............................................................................

No final do ano t, os juros sero: i . C + i . C + ...+ i . C

t vezes

Portanto, temos j = C . i . t

Observaes:

A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade.

Nessa frmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.

Chamamos de montante (M) a soma de capital com os juros, ou seja.

M = C + J

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Na frmula J = C . i . t temos quatro variveis. Se trs delas forem valores

conhecidos, podemos calcular o 4 valor.

J = C. i . t

onde

Juro: J Capital: C Taxa: i Tempo: t

Exemplo: Temos uma dvida de R$ 1.000,00, que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo

regime de juros simples e devemos pag-la em 4 meses. Os juros que pagaremos so:

Juro por ms = 1000 x 0,08 = R$ 80,00

Total Juros = 1000 x 0,08 x 4 = R$ 320,00

Ao somarmos os juros ao capital temos o montante.

Montante = Capital + Juros

M = C + J

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1) Ana aplicou R$ 600,00 a juro simples taxa de juro de 60% a.a. Calcular quanto Ana

receber aps 3 anos.

2) Achar o tempo de aplicao de um capital de R$ 360,00 a 0,8% a.m. para render R$ 17,28

de juro simples.

3) Um investidor aplicou R$ 430,00 a juro simples taxa de 15% a.a. Calcular o montante

que receber daqui 320 dias. Obs.: taxa e tempo devem estar sempre na mesma unidade.

4) Calcular os juros produzidos por R$ 35.000,00 emprestados taxa de 2,6 % ao ms,

durante 3 meses.

5) Um capital de R$ 3.500,00, emprestado a certa taxa por ms, durante 8 meses, gerou um

total de juros de R$ 4.480,00. Qual foi a taxa de emprstimo?

6) Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 5.000.000,00, taxa de 5% ao ms,

durante 6 meses.

7) Que taxa mensal faz um capital de R$ 2.000,00 render R$ 500,00 em 5 meses?

8) Um capital de R$ 12.000,00 aplicados a Juros simples durante 150 dias, rendendo juros

de R$ 900,00. Calcule a taxa anual dessa aplicao.

9) Qual deve ser o capital aplicado, a juros simples, para que produza juros de R$ 6.723,00

durante 1 ano e 6 meses, taxa de 0,15% ao dia?

10) Uma pessoa consegue um emprstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor,

aps 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada.

11) Em quanto tempo um capital triplica de valor taxa de 20% ao ano?

12) Rafael aplicou o valor de R$ 600,00 taxa de 2% a. m. durante 5 meses, capitalizado

mensalmente. Calcule o Montante.

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13) O preo vista de um automvel de R$ 25.000,00. Uma pessoa deseja compr-lo e s

dispe de 30% para a entrada, financiando os 70% restantes em 18 meses. Determine o

valor de cada prestao, sabendo que a taxa de juros simples de 30% ao ano. Despreze os

centavos, no clculo.

14) Uma pessoa fez um emprstimo, por 6 meses, de R$ 1.500,00 taxa de 6% ao

ano e de R$ 2.000,00 taxa de 2% ao ms.

a) Qual o valor a ser pago no final de 6 meses?

b) Qual a taxa semestral mdia? (Taxa mdia o quociente do total de juros pela soma

dos capitais.)

15) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao ms,resultou

um montante de R$ 880,00 aps um certo tempo. Qual foi o tempo de aplicao?

16) Uma dvida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contrada e os juros pagos

foram de R$ 60,00. Sabendo que o clculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa

de juros?

GABARITO

1) R$ 1.680,00 9) R$ 8.300,00

2) 6 meses 10) 42% a. a.

3) R$ 487,33 11) 10 anos

4) R$ 2.730,00 12) R$ 662,45

5) 16% 13) R$ 1.409,00

6) R$ 1.500.000,00 14) a) R$ 3.785,00 b) ~ 8,14% ao semestre

7) 5% 15) 5 meses

8) 18% 16) 1% ao ano

3.2 Problemas de Juros Compostos

Como j vimos anteriormente, se o juro vem sendo incorporado ao capital aps cada

perodo de tempo, ele chamado de juro composto. A taxa aplicada sempre em relao ao

montante de cada perodo.

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No exemplo anterior, vimos que o capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros simples,

durante 4 anos, taxa de 20% ao ano, rende R$ 1.600,00 de juros.

Vamos agora, resolver este mesmo problema, porem fazendo o clculo com juros

compostos, e, depois comparar os resultados.

Obs.: No sistema de juros compostos, deve-se calcular o juros no final de cada perodo,

formando um montante sobre o qual se calculam os juros do perodo seguinte. Chamamos de

juros sobre juros.

No final do 1 ano calcula-se 20% de R$ 2.000,00, ento: 0,2 . R$ 2.000,00 = R$ 400,00




Diferena Entre Juros Simples e Juros Compostos

n Juros Simples Juros Compostos

Juro por perodo Montante Juro por perodo Montante 1 2.000 x 0,2 = 400 2.400 2.000 x 0,2 = 400 2.400

2 2.000 x 0,2 = 400 2.800 2.400 x 0,2 = 480 2.880

3 2.000 x 0,2 = 400 3.200 2.880 x 0,2 = 576 3.456

4 2.000 x 0,2 = 400 3.600 3.456 x 0,2 = 691,20 4.147,20

O grfico abaixo permite uma melhor visualizao entre os montantes calculados com

juros simples e juros compostos. A visualizao nos permite identificar que o regime de juros

simples linear enquanto o de juros compostos exponencial.

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Nos juros simples, temos um Montante de R$ 3.600,00 e nos juros compostos temos

um Montante R$ 4.147,20, portanto a diferena de R$ 547,20.

De um modo geral, o montante gerado por um capital C aplicado a juro composto, a

uma taxa de juro i por um prazo t dado por:

Exemplo: Para obtermos o juro composto produzido por um capital de R$ 200,00 taxa de

juro de 5% ao ms em 3 meses.

Devemos encontrar primeiro o valor acumulado (montante) do final desse prazo e

depois calcular a diferena entre esse montante e o capital inicial.

C = 200 i = 5% t = 3

M = C . (1 + i) t

M = 200 . (1 + 0,05)3

M = C . (1 + i)t

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M = 200 . (1,05)3

M = 200 . 1,157625

M = 231,525

Montante de R$ 231,53

J = M C

J = 231,53 200

J = 31,53

Logo, o juro composto ser de R$ 31,53

Exemplo: Pedro aplicou R$ 4.000,00 a juro composto a uma taxa de juro de 10% ao ano,

durante 3 anos. Vamos calcular o montante dessa aplicao.

1o modo

Prazo

(em anos)

Saldo do incio

de cada ano (reais)

Juro de cada ano

(reais)

Montante de

cada ano(reais)

1o ano 4.000 10% de 4.000 = 400 4.000 + 400 = 4.400

2o ano 4.400 10% de 4.400 = 440 4.400 + 440 = 4.840

3o ano 4.840 10% de 4.840 = 484 4.840 + 484 = 5.324

2o modo

M = C . (1 + i) t M = 4.000 . (1 + 0,10)

3 M = 4.000 . (1,10)

3 M = 5.324

Logo, o montante dessa aplicao de R$ 5.324,00

Exemplo: Vamos calcular o juro composto produzido por uma aplicao de R$ 1.700,00 a

uma taxa de juro de 27% ao ano, durante 720 dias. Obs.: sempre na mesma unidade.

t = 360

720 = 2 t = 2 anos

15

M = C . (1 + i) t M = 1.700 . (1 + 0,27 )

2

M = 2.741,93

Logo, o montante dessa aplicao de R$ 2.741,93

J = M C

J = 2.741,93 1.700

J = 1.041,93

Logo, o juro composto ser de R$ 1.041,93

Exemplo: Aplicar R$ 1.000,00 na poupana por seis meses e a taxa de 0,53% ao ms, sendo

que a taxa de aplicao se manter a mesma, durante esse tempo. Quanto terei aps esses 6

meses?

Quando queremos apenas saber o Montante no final de 6 meses, aplicamos a frmula

do Montante (M = C. (1 + i)t).

Depois de definida a programao da clula de cada coluna, na linha 3 ao ser colocado

o mouse no canto direito inferior surgira uma cruz. Clicaremos no boto esquerdo do mouse,

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arrastando essa programao at a linha 7 (ms 6) e teremos na coluna D7 o resultado de 6

meses de aplicao.

No problema abaixo temos duas situaes: na letra a, como foi dada a taxa de juros ao

ms e o tempo tambm em meses, basta aplicar a frmula do montante. Na letra b o tempo foi

dado em anos, por isso teremos que transform-lo em meses (2 anos = 24 meses), depois

aplicar a frmula do montante.

3.3 Novos Exerccios Sobre Juros Compostos

1) Aplicou-se a juro composto um capital de R$ 1.200,00 a 4% ao ms durante 3 meses.

Calcule o montante e juro.

2) Luiza aplicou R$ 2.500,00 em um banco a juro composto de 12% a.a. durante 48 meses.

Qual o juro obtido no final dessa aplicao?

3) Qual o capital que aplicado a juro composto produz um montante de R$ 82.200,00 em 2

meses, a 5% ao ms?

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4) Determine o capital que aplicado a juro composto, taxa de juro de 8% ao ms, produz em

2 meses um montante de R$ 349,92.

5) Marcelo aplicou R$ 1.000,00 a juro composto taxa de juro de 4% a.m. durante 60 dias.

Determine o montante e o juro gerado por esse capital.

6) Uma industria obtm um emprstimo de R$ 700.000,00 que ser liquidado de uma s vez,

no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros de 25% ao semestre, calcular o valor pelo

qual esse emprstimo dever ser quitado.

7) Qual o valor do capital que aplicado a taxa de 18% ao trimestre, durante 181 dias, produziu

um montante de R$ 5.000,00?

8) Giulia pode comprar um terreno por R$ 40.000,00. Ela sabe que daqui a 5 anos o terreno

valer R$ 65.000,00. Se ela tiver uma alternativa de aplicar esse dinheiro a juro composto,

taxa de 12% ao ano, qual investimento mais vantajoso?

GABARITO

1) M = R$ 1.349,84

J = R$ 149,84

5) M = R$ 1.081,60

J = R$ 81,60

2) R$ 1.433,80 6) R$ 1.708.984,38

3) R$ 74.557,82 7) R$ 3.584,32

4) R$ 300,00 8) Aplicao (R$ 70.493,66)

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