ISOMETRIAS - SIMETRIAS

ISOMETRIAS

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUma isometria uma transformao geomtrica que preserva a distncia entre pontos, isto , a figura inicial e a sua transformada so congruentes.

uma isometria.Figura inicial(objecto)Figura transformada(imagem)

No uma isometria.Figura inicial(objecto)Figura transformada(imagem)Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt1. TranslaoUma translao uma isometria em que a imagem de um objecto se pode obter por um movimento horizontal e outro vertical.Estes movimentos podem ser descritos por nmeros.

Os nmeros de unidade de medida podem ser substitudos por um vector que normalmente se representa por uma letra minscula com uma seta por cima ( , , ).

ABCDEFABCDEF

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Propriedades da translao

Um segmento de recta transformado num segmento de recta paralelo e com o mesmo comprimento.

Uma recta ou uma semi-recta transformada numa recta ou numa semi-recta paralelas, respectivamente.

Um ngulo transformado num ngulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptDada uma recta r (eixo de reflexo), d-se o nome de reflexo de eixo r isometria que transforma os pontos de r ou eixo r em si prprios e que, a cada ponto P no pertencente a r , faz corresponder um ponto P tal que o eixo r a mediatriz do segmento de recta [PP].QOPQ'P'O'r[[dd2. Reflexo

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUm segmento de recta transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento.

Uma recta e uma semi-recta so transformadas numa recta e numa semi-recta respectivamente.

Um ngulo orientado transformado num ngulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.

Qualquer ponto do eixo de reflexo transforma-se em si prprio.

A distncia de um ponto original ao eixo de reflexo igual distncia da imagem desse ponto ao eixo.QOPQ'P'O'r[[dd

Propriedades das reflexes

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptDado um ponto O, centro de rotao, e a amplitude , chama-se rotao de centro O e amplitude isometria que a um ponto P faz corresponder um ponto P, tal que:a distncia de O a P igual distncia de O a P (imagem de P);a amplitude do ngulo orientado definido por P, O, P igual a , ou seja, OP = OP e PP = .PPOABCOxBxAxDesenhar a figura transformada da figura dada por uma rotao de centro O e amplitude -900 .1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] .2. o Desenham-se os arcos de circunferncia ou circunferncias de centro O e raios OA , OC , e OB .3. o Com a ajuda do transferidor medem-se os ngulos de modo que : AA=900 ; BB=900 ; CC=900 .4. o Desenhar o tringulo [ABC].Cx3. RotaoMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUm segmento de recta transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento.

Um ngulo transformado num ngulo com a mesma amplitude e com o mesmo sentido.

Uma recta ou uma semi-recta so transformadas numa recta ou numa semi-recta respectivamente.

O centro de rotao o nico ponto que se mantm fixo se o ngulo da rotao no for um mltiplo de 360oBxACxABCOxPropriedades da rotaoMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptReflexo deslizante uma isometria resultante da composio de uma reflexo de eixo r com uma translao cujo vector (no nulo) paralelo a r .QOPQPOr[[ddQPO

O tringulo [OPQ] uma reflexo deslizante do tringulo [OPQ].AA4. Reflexo deslizante

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptNo existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que pertencem ao eixo de reflexo continuam a pertencer-lhe mas so deslocados pelo vector.

Um segmento de recta transformado noutro segmento de recta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vector.

Um ngulos orientado transformado num ngulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.Uma recta e uma semi-recta so transformadas numa recta e numa semi-recta respectivamente.

A distncia de um ponto ao eixo igual distncia da imagem desse ponto ao eixo.Propriedades da reflexo deslizanteAA

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptEm qualquer isometria:Uma isometria do plano necessariamente uma translao, uma reflexo, uma rotao ou uma reflexo deslizante Uma recta transformada numa recta.Uma semi-recta transformada numa semi-recta.Um segmento de recta transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento.Um ngulo transformado num ngulo com a mesma amplitude.

Propriedades das isometriasMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptSimetrias Reflexo Rotao translao Reflexo deslizanteMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptQuando a imagem de uma figura, atravs de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, ento a figura tem simetria.

SimetriasMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

Uma figura tem simetria de reflexo se a sua transformada por uma reflexo a prpria figura.Esta figura tem cinco simetrias de reflexo.e1e2e3e4e51. Simetrias de reflexoMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUma figura tem uma simetria de rotao se a sua transformada por uma rotao, distinta da identidade, a prpria figuraA figura tem quatro simetrias de rotao de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .Rotao de centro O e medida de amplitude 900.Rotao de centro O e medida de amplitude 1800 .Rotao de centro O e medida de amplitude 2700 .Rotao de centro O e medida de amplitude 3600 .2. Simetrias de rotao

Ox

Ox

Ox

Ox

OxMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

Uma figura tem uma simetria de translao de vector se o transformado da figura pela translao associada ao vector a prpria figura.

3. Simetrias de translaoMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

Uma figura tem uma simetria de reflexo deslizante se o transformado da figura por uma dada reflexo deslizante a prpria figura.4. Simetrias de reflexo deslizanteMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptRosceas Frisos PadresMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptRosceas Frisos PadresMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUma roscea e uma figura plana com as seguintes caractersticas: Possui um numero finito de simetrias de rotao ou de reflexo.Todas as rotaes que deixam a figura invariante esto centradas num mesmo ponto O.Todas as simetrias de reflexo esto associadas a uma recta que contem o ponto O.

RosceasMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

7 simetrias de rotao 7 simetrias de reflexo6 simetrias de rotao 0 simetrias de reflexo

12 simetrias de rotao 12 simetrias de reflexo5 simetrias de rotao 0 simetrias de reflexo

8 simetrias de rotao 0 simetrias de reflexo

3 simetrias de rotao 3 simetrias de reflexoSimetrias de rotao e simetrias de reflexo

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptRosceas Frisos PadresMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUm friso e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translao. Osvectores associados a essas translaes possuem todos a mesma direco e so mltiplosinteiros de um dado vector no nulo.Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotaes de ngulo 180, reflexes oureflexes deslizantes relativamente a uma recta paralela a

Frisos

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptFluxograma de Washburn e CroweMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptpmm2pma2pm11p1m1p1a1p112p111Fluxograma de Washburn e CroweMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt(A) O primeiro smbolo sempre um p ;(B) O segundo smbolo : a) 1 o friso no tem reflexo de eixo vertical b) m o friso tem reflexo de eixo vertical(C) O terceiro smbolo : a) m o friso tem reflexo de eixo horizontal b) a o friso tem reflexo deslizante c) 1 - no se verifica nem a) nem b).(D) O quarto smbolo : a) 2 existe rotao (meia-volta) b) 1 no existe rotao Simbologia(para frisos cuja recta fixa para todas as simetrias horizontal)Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptExiste uma reflexo de eixo vertical?SimExiste uma reflexo de eixo horizontal?NoExiste uma meia-volta?Simpma2 Reflexo deslizante Reflexo de eixo vertical RotaoMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

1 - Gerado por translaesSete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

2 - Gerado por translao e reflexo de eixo horizontalSete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

3 - Gerado por translao e reflexo de eixo verticalSete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 4 - Gerado por translao, reflexo de eixo horizontal, reflexo de eixo vertical e rotao de ordem 2 (meia-volta)

Sete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

5 - Gerado por translao e rotao de 1800Sete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

6 - Gerado por translao e reflexo deslizanteSete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt7 - Gerado por translao, reflexo de eixo vertical, reflexo deslizante e rotao.

Sete tipos de frisosMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptRosceas Frisos PadresMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptUm padro e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translao em mais do que uma direco.Nota: Para alm de translaes, um padro pode ser invariante por reflexes, rotaes e reflexes deslizantes.

PadroMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.ptGerado por translaes e reflexes deslizantesTipos de padresMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt

Tipos de padresMaria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt