Maria Isabel Ribeiro António Pascoal · ordem e ordem superior ... Tempo de estabelecimento (a2%)...

Capítulo 3‐ Resposta no Tempo

CONTROLO1º semestre – 2007/2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Cap 3 – Resposta no Tempo

Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalSetembro de 2007

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoal

p p q p qelaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores


Objectivos

• Rever conceitos sobre a resposta no tempo de SLITs

• Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica de, , g pSLITs

• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª ordem e ordem superior

d f ã í• Sistemas de fase não mínima

• Relação tempo‐frequência

ReferênciasReferênciaso Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)

o Sinais e Sistemas Isabel Lourtie Escolar Editora (para revisão de


o Sinais e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora (para revisão de conceitos sobre TL)


Função de Transferência: definição

r(t) y(t)SLIT

( ) y( )

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Q i t d t f d d L l d i l dFUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

)(R)s(Y)s(G =

Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais

0.i.c)s(R)(

=

G(s)R(s) Y(s)

G(s)

)(R)(G)(YPara condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =

• A função de transferência é um conceito potente para descrever o• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

• Para SLITs a função de transferência caracteriza completamente o


• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente osistema do ponto de vista de entrada‐saída


Resposta no Tempo

SLITr(t) y(t)

Dados •a equação diferencial que representa um modelo do SLIT•a equação diferencial que representa um modelo do SLIT•a entrada r(t)•as condições iniciaisçPretende‐se:• Conhecer a evolução temporal da saída, y(t)

Uma maneira de resolver o problema

R l ã dif i l é ã dResolver a equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada‐saída



Função de Transferência e a Resposta no Tempo

SLITr(t) y(t)

G(s)R(s) Y(s)

)s(Y)s(Gr(t) y(t)

Resolução da eq.diferencial

0.i.c)s(R)()s(G

=

=TLu TLu

-1

R(s) Y(s))s(R).s(G)s(Y = )s(R).s(G)s(Y

Se as condições iniciais forem nulas


Capítulo 3‐ Resposta no TempoResposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordemp

m1f(t) )s(V)s(F

Sistemas mecânicos de translação

msm1)s(Gβ+

=b

m f(t) )(G(s)

Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo‐1ªordem

u(t) = escalão de Heaviside f(t) = F u(t) = entrada do ( )

F))t(f(TL 1))t(u(TL =→=

( ) ( )sistema

F1 s

))((s

))((

assume‐se que o

1F

qsistema está

inicialmente em repouso

β+=

ms1.

sF)s(V

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−− 1FTL))(V(TL)t( 11

TL‐1


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ β+

==ms

.s

TL))s(V(TL)t(v 11

Capítulo 3‐ Resposta no TempoResposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordemp

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−− 1FTL))(V(TL)t( 11 m1⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ β+

==ms

.s

TL))s(V(TL)t(v 11

msm1)s(Gβ+

=

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ββ

−β

=β

=β )

11.F)(

m1F1Fdecomposição em fracções parciais

⎟⎠

⎜⎝ β+β+β+ )mss)ms(smss

β

βFsaída

β1

)t(ue1F)t(u1F)t(vt

m

β−

β=

β−

βF

β

0t para e1F1F)t(vt

m

≥β

−β

=β

−

Ganho emregime

ββ


regime estacionário

Capítulo 3‐ Resposta no TempoA FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulas

Utilização da Função deTransferência na obtenção da

r(t) y(t)Resolução da eq.diferencial

Transferência na obtenção daresposta de um SLIT

TL TL‐1Se as condições iniciais forem nulas

R(s) Y(s))s(R).s(G)s(Y =

E se as condições iniciais não forem nulas?

Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?

TLuTLu‐1

G(S)

R(s)

TLueq.diferencial Y(s) y(t)

c.i. ≠0

Já tem em


linha de contaas c.i.

Capítulo 3‐ Resposta no TempoA FT e a obtenção da resposta de um SLIT com c.i. não nulasum SLIT com c.i. não nulas

exemplop

Y(s)/R(s)as

KG(s) =+

= Kr(t)ay(t)dt

dy(t)=+

as+ dtTLu considerando c.i. não nulasu(t)r(t) =

1)0(y =− KR(s)aY(s))y(0sY(s) =+− −

R(s)K)y(0Y(s)−1K)y(0Y(s)

−

R(s)asas

)y(Y(s)+

++

=

TL‐1

sasas)y(Y(s)

++

+=

0t)e(1K)ey(0y(t) atat- ≥−+= −−

TL

Sistema linear


0t ),e(1a

)ey(0y(t) ≥−+= Princípio da sobreposiçãoResposta devida à

excitação pelas condiçõesiniciais

Resposta devida à excitaçãopela entrada r(t)


Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros

G(s)R(s) Y(s)

ngraudepolinómiom grau de polinómio

D(s)N(s)G(s) ==G(s) n grau de polinómioD(s)

01nn01

1m1m

mm Nnm, ,

bbsbsbsb

D( )N(s)G(s) ∈

++++== −

−− L

001

1n1n

nn asasbsaD(s)

( )++++ −

− L

Função de transferência

• própria ⇔ n≥m• própria ⇔ n≥m

• estritamente própria⇔ n>m

• não própria ⇔ n<m

Só estudaremos este tipo de FT

não própria ⇔ n mPólo do SLIT

λ∈C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=∞

Zero do SLIT

λ∈C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G(λ)|=0

Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns• Os pólos do sistema são os zeros de D(s) cuidado ao cancelar factores comuns nos


p ( )• Os zeros do sistema são as zeros de N(s) polinómios N(s) e D(s)


Função de Transferência: outras representações

011m

1mm

m Nnmbsbsbsb)s(N)s(G ∈++++ −

− L0

011n

1nn

n

011mm Nn,m ,asasbsa)s(D

)()s(G ∈++++

== −− L

Representações alternativas ( Se não houver pólos e/ou zeros na origem n≥m )Representações alternativas ( Se não houver pólos e/ou zeros na origem, n≥m )

0m21 Nn,m ,)) ()(()zs)....(zs)(zs(K

)(D)s(N)s(G ∈

+++== 0

n21 )ps)....(ps)(ps()s(D)(

+++

Pólos {‐p1, ‐p2, ... , ‐pn} Zeros {‐z1, ‐z2, ... , ‐zm} (em rad/seg)

ii p

1=τ

ii z

1T =0m21

0 Nnm, ,)s) (1s)(1s(1)sT)....(1sT)(1sT(1K

D(s)N(s)G(s) ∈

++++++

==τττ

Forma dasconstantes de

ipiz(em seg)

n21 )s)....(1s)(1s(1D(s) +++ τττtempo

Se ‐pi for um pólo real

constante10K ganho estático Atenção ao valor do ganho


constante de tempo

ii p=τ0 ç g

estático quando houver pólos e/ou zeros na origem


Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)

m f(t)β

msm1)s(Gβ+

=b

)s(VG(s)

)s(Fpólo =

mβ

−

não tem zerosconstante de tempo=

βm

(seg)

(rad/seg)

( )

jw

β

11)(G

FT na forma das constantes de tempo

1

σmβ

−

β+β=

ms1)s(G

Ganho estático= = 1.33β1

Quando aumenta,

• a resposta do sistema torna‐se mais rápida.mβ

−

• a constante de tempo diminui

• o regime transitório atenua‐se mais rapidamente1=β

|pólo| a aumentar1m

375.0m

=β

|pólo| a aumentarO pólo determina a natureza da componente natural da resposta; pólo real exponencialamortecida


75.0=βamortecidaComo é a resposta em frequência para estas duas situações?


Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem

R(s) Y(s)aK)s(GjwPólo = ‐a (rad/seg)

C t t d t 1/ ( )as

K)s(G 0 +=

σa−

Constante de tempo = 1/a (seg)

Ganho estático = K0r(t)=u(t)

s1)s(R =

asK

sK

asa.

s1KY(s) 00

0 +−=

+=

a.Ktempodetetancons

1.Kdeclive 00 ==

at00 eKKy(t) −−= Para t≥0 K0

tempo de tetancons

0

Tempo de estabelecimento (a 2%)–tempo ao fim do qual a resposta se

5%

tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de ±2% do valor final.

tdt t*44(2%)t

86.5tempo de constante*4

a4(2%)ts ==

ts a 5%


a1

a2

a3

a4

a5tempo de constante * 3

a3(5%)ts ==


Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)

Teorema do Valor Inicial

)]t([TL)(X

Teorema do Valor Inicial

)s(sX lim)t(xlim =)]t(x[TL)s(X = s0t ∞→→ +

Teorema do Valor Final Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.eTeorema do Valor Final

)s(sX lim)t(xlim0st →∞→

=

Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e

De que modo estes teoremas podem ser usados na á ( í )

0st →∞→

análise do comportamento (da saída) de SLITs ?

R( ) Y( ) Sem o cálculo explícito da saída paraG(s)

R(s) Y(s)

)(R)(G)(Y

Sem o cálculo explícito da saída para uma dada entrada é possível avaliar valores particulares da saída:

)0()0()()0( +++ &&&


)s(R).s(G)s(Y = ),....0(),0(),(),0( ++

∞→

+ yytyyt

lim


Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)

no cálculo de características da saída de um SLIT

G(s)R(s) Y(s)

Valor Inicial da Saída

)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylimss0t ∞→∞→

==+ ss0t ∞→∞→→ +

Entrada escalão G(s)lim

1sG(s)limy(t)lim ==1R(s) =

Valor Final da saída

escalão unitário

( )s

( )y( )ss0t ∞→∞→→ +s

( )

Valor Final da saída)s(R)s(sG lim)s(sY lim)t(ylim

0s0st →→∞→==

Entrada escalão

i á i

)s(G lims1)s(sG lim)t(ylim

0s0st →→∞→==

s1)s(R =

Valor do ganho em


unitário Valor do ganho emregime estacionário


Ganho Estático: exemploX

bm f(t)

)s(X)s(F)s(G1

Entrada=f(t)

Saída = x(t)

)(1

)()( )(X)s(V)s(Fms

m1β+

)s(Xs1

m1)s(G

este sistema tem um pólo na origem (aposição é o integral da velocidade)

)ms(s)s(G1 β+=

∞== (s)GlimK 10


→( )lim 1

0s0


Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem

Xexemplo

bm f(t)

Objectivo: controlar o sistema em posição

)s(G1

)s(V)s(Fms

m1β+

)s(Xs1K+)s(R

)(1

ms β+ s_

Qual é a função de transferência do sistema controlado?

[ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X [ ])s(X)s(RK)s(G)s(F)s(G)s(X 11 −==

)s(R)s(KG)s(X))s(KG1( 11 =+ mK

)s(X)s(G

)s(KG1)s(KG

)s(R)s(X

1

1

+= m

Km

ssm

)s(R)()s(G

2 +β

+==


)()( 1• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros• ganho estático = ?


Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral

2nw)s(G =G(s)

R(s) Y(s)

2nn

2 wsw2s)s(G

+ζ+=G(s)

Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?

• depende da localização dos pólos

0wsw2s 2nn

2 =+ζ+ 1ζwζws 2nn −±−=

ζ jw0=ζ

10 <ζ≤ Sistema subamortecido

>>ζ

nw

njwdjw

Pólos complexosconjugados 2

nn 1jww ζ−±ζ−

nζ=θ arcsin

1=ζ

1=ζPólo real duplo ww −=ζ−

Sistema criticamente amortecidonw− nwζ−

1>ζ

pnn ww =ζ

Sistema sobreamortecido njw−djw−


1>ζPólos reais distintos 1ww 2

nn −ζ±ζ−

nj0=ζ


Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)

0 ,1wn =ζ= 0.3 ,1wn =ζ=,n ζ ,n ζSistema subamortecido

1 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=

Sistema criticamente amortecido Sistema sobreamortecido



Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)

0.3 ,1wn =ζ= 2 ,1wn =ζ=Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido

zoom zoom

A derivada na origem é nula

sw2


Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:

0wsw2s

swlim)t(ylim 2

nn2

n

s0t=

+ζ+=

∞→→ +

&


Sistema de 2ª ordem Subamortecido 10 <ζ≤

21jpólos complexos Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas

fi i t d t i tζ43421

dw

2nn2,1 1wjws ζ−±ζ−= ‐‐ coeficiente de amortecimento

Wd – frequência das oscilações amortecidasζ

Resposta a uma entrada escalão unitária

)t1i (11)t( 2tw Ψζζ−Td Período das oscilações

0t ≥)t1wsin(e1

1)t(y 2n

tw

2n Ψ+ζ−

ζ−−= ζ

sobreelevação

0t ≥

parte real dos pólos

parte imaginária dos

Consequência de o ganhoestático ser unitário

S

%2±

sobreelevação

1

0.9

ζζ−

=Ψ21arctg

imaginária dos pólos

ζ

Nota: wn actua apenas como factor de escala t tt

0.1


n pde tempo

tp tsTempo de pico

Tempo de estabelecimento

trTempo desubida


Especificações no domínio do tempo

• As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, porvezes, expressas em termos da sua resposta no tempo

• Especificações típicas em termos de:– Tempo de subida (tr) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de

um novo set‐pointp• Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final

– Tempo de estabelecimento (ts) – tempo que o regime transitório demora adecair

• Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de 5% do valor final

– Sobreelevação ‐ (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo valor final

±

valor final– Tempo de pico (tp) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo

da saída

P i t d 2ª d b t id t• Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estasespecificações podem expressar‐se como função de ζ e de ωn



Sistema de 2ª ordem SubamortecidoCaracterísticas da resposta

• Pontos em que a derivada se anula

0dt

)t(dy= ,...2,1,0n

1wn

wnt

2nd

=ζ−

π=

π=

•Período das oscilações ‐ Td

Para n=0 0)0(y =+& A derivada na origem é nula

Período das oscilações Td

dd w

2T π=

•Tempo de pico ‐ tp

Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)

2T

wπt d

dp == n=1

↓↑⇒⇔↑−= p2

nd t pólos dos imaginária parte ζ1ww




• Sobreelevação – S%

final

finalmax

yyy100S% −

= Só depende do coeficiente de

2ζ1

ζπ

pmax e1)y(ty −−

+==

ζπ

amortecimento

↑⇒↓ S% ζ21e.100%S ζ−

ζ−

=

ζ

T d bid t

Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final

• Tempo de subida ‐ tr

Não há uma expressão analítica simples que relacione trcom o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.

Mas há expressões aproximadas

rt8.1

≅

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoaltr

nr w



• Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%))

•Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de ± 2% do valor final•A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem

)t1wsin(e1

11)t(y 2n

tw

2n Ψ+ζ−

ζ−= ζ−

1 2ζ−

1 aproximação02.0e

11 tw

2n =

ζ−ζ−

1)t1wsin( 2n =Ψ+ζ−

aproximação

ns w

4tζ

=

3

a 2% ↓↑⇒⇔↑ sn tw |pólos dos real parte| ζ

Valores aproximadosVerifique a analogia com os

ns w

3tζ

=a 5%

4 6


sistemas de 1ª ordemn

s ζw4.6t =a 1%


Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos


Figuras retiradas deAnálise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001


Sistema de 2ª ordem SubamortecidoLugar geométrico dos pólos que correspondema determinadas especificações

constante ωn

constante ξωn

Tempo de subida constante

Tempo de estabelecimento constante

constanteξ constante ωdSobreelevação, constante

Tempo de pico constante



Exercício

1 1K

+ Y(s)R(s)

2s+ sK

_

• O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K?• Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a umaentrada escalão de amplitude unitária tenha sobreelevação de 20%.

l d l é d b l % d ?• Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta?

K2)s(sK

Y(s) +K2ss

2)s(sK1

)(R(s) 2 ++

=

++

= Ganho estático unitário, independente de K

O sistema em cadeia fechada Das especificações pretendidas:tem uma f.t. da forma

22

2n

2w)s(Gζ

= 2.0ln2.0ln2.0%20% 22

21 2

+=⇒=⇒= −

−

πξξ

ξπ

eS

460ξ

Das especificações pretendidas:

2nn

2 wsw2s)(

+ζ+

Por ⎨⎧ = 22 nξω

ξ1

=nω

46.0=ξ

8.42.2 =⇒= Kωn


comparação:⎩⎨ = 2

nK ωξsegt

ns 33%)5( ==

ξωConfirme resultados usando Matlab


Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido

2nw)s(G =

1=ζ

2nn

2 wsw2s)s(G

+ζ+

1=ζnw−

2nw)s(G =

1ζ

2n )ws(

)s(G+

1)s(R =t d lã d lit d itá i

ganho estático unitário

s)s(R =entrada escalão de amplitude unitária

3212n cccw)(Y

n

32

n

212

n

n

ws)ws(s)ws(s)s(Y

++

++=

+=

twtwn

nn etew1)t(y −− −−= 0t ≥


twn

n)tew1(1)t(y −+−= 0t ≥


Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais

w.a)s(G2n=

)as)(wsw2s()s(G 2

nn2 ++ζ+

=

s1)s(R = as

Rw)ws(

wR)ws(Rs

R)s(Y 42d

2n

d3n21

++

+ζ++ζ+

+=

at4d3d2

tw1 eR)twsinRtwcosR(eR)t(y n −ζ− +++= 0t ≥

• De que modo um pólo influencia a resposta global?

Através de:Através de:

– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)

t l d t i it d

Contribuição de pólos para a resposta transitória

pólo simples– parte real ‐ que determina o ritmo dedecaimento da componente transitória associada

– resíduo associado – que depende da localização

ate−atat tee −− ,

pólo simples

pólo duplo


resíduo associado que depende da localização dos outros pólos e zeros. )sin( Ψ+− bte at

pólos complexos


Sistema de 3ª ordem sem zeros

a*25)25s4s)(as(

a25)s(G 2 +++=

138

-2

-1-3-8

a =1, 3, 8 rad/seg

sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real

sistema de 2ª ordem

Quando |a| aumentaa=3

a=8

Quando |a| aumenta• a influência do pólo real diminui• O pólo torna‐se “menos dominante”• A resposta é “dominada” pelos pólos complexosa=1

a=3

• A resposta é dominada pelos pólos complexos

Em qualquer das situações o sistema torna‐se mais lento• A largura de banda DECRESCE quando |a| diminui

a 1


Compare o diagrama de Bode para as quatro situações


Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes

a*25)s(G =)25s4s)(as(

)s(G 2 +++=

Quando |a| aumenta• a influência do pólo diminui• O pólo torna‐se “menos dominante”• O pólo torna‐se menos dominante• Os pólos complexos são pólos dominantes

Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?q ç p p p ( )

Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas ascontribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.

Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezesmaior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.



Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes

a*25)(G)25s4s)(as(

)s(G 2 +++=

250)s(G2ªordem

10=a

)25s4s)(10s()s(G 2 +++=

25)s(G3ªordem

2 ordem

)25s4s)(1s101(

)s(G2 +++

=

O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o

ganho estático

)25s4s(25)s(G 2 ++

≅

Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no

tempoQue acontece no domínio da frequência?


Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?


Efeito de zeros adicionais

Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?RRRbc

c)b)(s(sa)(s

abcG(s)

+++

=ganho estáticounitário

)cs

Rbs

Rs

R(a

bc)s(Y 321

++

++=

a1Entrada escalão de amplitude unitária

)bc)(b(baR

bcaR

2

1

−−−

=

=s1R(s) =

Cálculo geométrico dos resíduos

)cb)(c(acR

)bc)(b(

3 −−+−

=

‐b

‐c ‐a

b

Os zeros determinam o valor dos resíduos

)eReRR(a

bc)t(y ct3

bt21

−− ++=

• Os resíduos R2 ou R3 serãopequenos se o zero estiveró i d ól b d ól 32 RR << )eRR(bc)t(y ct

31−+=

aproximação


próximo de pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.

32 RR << )eRR(a

)t(y 31 +


Pólos não dominantes: Redução de ordem

Em que condições

Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?

• Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES

– o resíduo associado ao pólo é pequeno– o resíduo associado ao pólo é pequeno

• Proximidade com um zero

– a parte real do pólo é elevada

• Regime transitório extingue‐se muito rapidamente

Como se faz a aproximação ?

despreza se o pólo e o zero– despreza‐se o pólo e o zero

– despreza‐se o pólo

Cuidado a ter na aproximaçãoCuidado a ter na aproximação

O sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático

)11s(236 +

exemplo


]3)2s)[(20s)(1s()1.1s(236)s(G 22 ++++

+=


Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional

2n )bs(w)s(G +

2n

n

)ws()(

b)s(G

+= 1 pólo duplo e 1 zero

Para entrada escalão unitário

nn2n 1b/w)bw(1)bs(w)(Y −+

n2

n

nn2

n

n

ws)ws()(

s)ws(s)(

b)s(Y

+−

++=

+=

)bw(w ⎞⎛ 0t ,e1tb

)bw(w1)t(y twnn n ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+= −

0)0(y =+

Características da respostaUse os teoremas dos valores inicial e final para chegar a

estas conclusões

1)(yb

w)0(y2n

∞

=+&Pode ser negativo se o zero estiver no spcd


1)(y =∞ o zero estiver no spcd



2

2n

)()bs(

bw)s(G +

= 2n )ws(b +

bw0 n << nwb0 <<

-wn-b -wn-b

Existe

4b2wn

==

sobreelevação

1b2wn

==

1w)ws(s

)bs(b

w)s(Y

2

2n

2n =

++

= Combinação linear de um sinal e da sua derivada


)s(bY)s(sY)ws(s

1b

w)bs( 11

)s(Y

2n

n

1

+=+

+=44 344 21



2n )bs(w)(G + nw0b <<

2n

n

)ws()bs(

b)s(G

+=

-wn-b

nPólo duplo e zero no spcd

Sistema tem um zero no spcd

‐ sistema de FASE NÃO MÍNIMA

• Sistema de fase não mínima é aquele que• Sistema de fase não mínima é aquele quetem pelo menos um pólo e/ou um zero nosemi‐plano complexo direito

Derivada na origem é negativa

– Pólo no spcd – instabilidade

– Qual é o efeito de um zero no spcd ?



Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete

Exemplo – Barrilete– Centrais termoeléctricas

– Produção de vapor

r(t) h(t)b il t

Caudal de água fria à entrada

Altura da água no barrilete

barrilete

• Relação entre a abertura da válvula da Lento

água fria e a altura da água no barrilete depende de:

• Efeito rápido de contracção da águaEfeito rápido de contracção da águadevido à injecção de água fria

• Efeito de integração devido à adição de massa Rápido


massa p


Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete

Exemplo – Barrilete

)s(R)s(H

)s(R)s(H

)s(R)s(H)s(G 21 +==

)1s(ss)1K(K

1s1

sK)s(G 111

+τ−τ+

=+τ

−=

• Para certa relação de K1 e τ o sistema tem um zero no semi‐plano complexo direito (τ <1/ K1 )• Nos sistemas reais τ<<1, K1<<1.

entrada escalão r(t) =u(t)



Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível

Manipulador Rígidosaída

θΤ T(t) θ(t)entrada

T‐binário motor

t0 t0

saídaManipulador Flexível

T(t) θ(t)entrada

θΤ

t0 t

θ

T binário motor


T‐binário motorEfeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA)

Maria Isabel Ribeiro António Pascoal · ordem e ordem superior ... Tempo de estabelecimento (a2%)...

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