Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE...

Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

COLABORAÇÃO

Rosiane Terumi Sato de Souza

Cleyton Isamu Muto

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

F676d Fonseca, Rubens Vilhena

Desafios geométricos com palitos de fósforos / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.

40 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-62-8 1.Geometria. 2. Matemática recreativa. I. Universidade

Estadual do Pará. II. Título. CDU: 514

CDD: 516.2

Índice para catálogo sistemático 1. Geometria: 514

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2011 -

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

5

IMPORTANTE: Mover um palito de fósforo significa mudá-lo de posição sem

alterar o número total de palitos. Retirar um palito de fósforo significa que ele não fará parte da

resposta, portanto, ficará reduzido o número de palitos dados no enunciado do problema.

Acrescentar um palito de fósforo significa que o número total dado no enunciado será aumentado quando da resposta.

I. Quadrados

Observe a figura abaixo: Para formar os 5 quadrados que a compõem foram utilizados 12 palitos. Com imaginação e muita criatividade tente resolver os 6 primeiros desafios propostos.

Mova: 1) 3 palitos e forme 3 quadrados.

2) 4 palitos e forme 3 quadrados.


Retire: 4) 2 palitos e forme 2 quadrados.

5) 3 palitos e mova 2 para formar 3 quadrados.

6) 1 palito e mova 4 para formar 11 quadrados.

Nos desafios 7, 8,9,10 e 11 mova:



Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

6

9) 3 palitos e forme 4 quadrados interligados.




7

Os desafios seguintes são sobre a figura abaixo.

Retire: 12) 4 palitos e forme 5 quadrados.

13) 5 palitos para formar 6 quadrados .

14) e 15) 6 palitos para formar 5 quadrados (duas soluções).

16) e 17) 8 palitos e forme 5 quadrados (duas soluções).


19) e 20) 8 palitos e forme 2 quadrados (duas soluções).


8

A figura abaixo possui vários quadrados, retire:

21) 9 palitos de modo que não reste nenhum quadrado na figura. 22) Na figura abaixo, retire 3 palitos e forme 3 quadrados.

A figura abaixo refere-se as questões 23 e 24

23) Retire 5 palitos e forme 3 quadrado.


9

24) Retire 6 palitos e forme 2 quadrados. 25) Na figura abaixo, retire 6 palitos e forme 6 quadrados.

26) Na figura abaixo, retire 4 palitos e forme 9 quadrados.


10

27) Na figura abaixo, retire 7 palitos e forme 4 quadrados.

Temos 6 palitos de fósforos. Dois estão quebrados ao meio. Use todos os palitos e forme:

28) 1 quadrado. 29) 2 quadrados. 30) 3 quadrados. 31) 4 quadrados.

Pegue palitos e construa a figura abaixo.


11

32) Retire, primeiramente, 2 palitos e forme 5 quadrados; 33) Da figura que você construiu acima, mova 2 palitos e forme 4 quadrados.

Nos desafios 34,35 e 36, observe as figuras e mova:




12

36) 4 palitos e forme um outro quadrado menor sem sobrepor os palitos.

Nos desafios 37 e 38 considere a figura abaixo e construa:

37) 4 quadrados movendo 3 palitos.

38) 8 quadrados de mesma área com 15 palitos. Não é permitido quebrar palitos.

Observe a figura abaixo e vença mais estes desafios, movendo:

39) 3 palitos e formando 3 quadrados.

40) 4 palitos e formando 3 quadrados.


13

II. Retângulos, Triângulos e Losangos.

41) Mova 3 palitos e forme 4 triângulos.

Observe a figura abaixo e resolva os desafios seguintes. Para isso, mova:

42) 4 palitos e forme 3 triângulos.





Retire: 47) 3 palitos e forme 3 triângulos interligados.


14

Resolva os desafios sobre a figura abaixo, movendo:

48) 6 palitos e formando 6 losangos. 49) 2 palitos e formando 6 triângulos.

50) Na figura abaixo mova 2 palitos e forme 6 triângulos.

51) Na figura abaixo retire 4 palitos e forme 4 triângulos.


15

52) Mova 1 palito e forme 4 retângulos.

53) Na figura, os quatro triângulos foram construídos usando-se 9 palitos. Retire três e

construa 4 triângulos novamente.

54) Mova 3 palitos e forme 8 triângulos.

55) Mova 4 palitos, na figura abaixo, de modo a obter 3 triângulos.


16

A figura abaixo foi construída com 13 palitos de fósforos. Tente resolver os desafios

56,57, 58 e 59, retirando:

56) 2 palitos de modo a ficarem 4 triângulos.




A figura abaixo deve ser utilizada para resolver os desafios 60 e 61 e dela se deve

retirar:

60) 4 palitos para obter 5 triângulos.

61) 6 palitos para que fiquem apenas 3 triângulos.


17

III- Miscelânea 62) O peixinho da figura está nadando para a esquerda. Mova 3 palitos para que ele nade no

sentido contrário.

63) F aça com que o “bichinho” abaixo olhe para a direita, movendo dois palitos.

64) Movendo 6 palitos nesses dois copinhos, forme uma casinha.


18

Tente colocar o gelo fora do copinho, sem mexê-lo do lugar, movendo:

65) 2 palitos. 66) 3 palitos.

67) O “pirulito” abaixo foi formado com palitos. Mova 4 palitos e forme 2 “pirulitos”.

Mova: 68) 2 palitos e dobre o valor do número abaixo.

69) 5 palitos e coloque a balança em equilíbrio.


19

70) 2 palitos e acrescente mais 1 para obter o tempo exato das 4 e meia.

71) 2 palitos e forme 4 polígonos de mesma forma.

72) Acrescente 3 palitos e obtenha 11.

73) Consiga o nome de outra nota musical com o mesmo número de palitos (desconsidere a falta do acento).


20

IV- ÁREAS

Nos desafios seguintes, considere cada palito com o comprimento de 1 cm

74) 14 palitos formam uma área de 12 cm2 . Mova 8 palitos de modo que a área passe a ter

8 cm2.

75) Adicione 2 palitos à figura de modo que a sua nova área seja o dobro da apresentada.

Nos desafios 76, 77 e 78, observe a figura e mova:

76) 5 palitos de forma a reduzir a área da figura pela metade.

77) 3 palitos de forma que a área da nova figura seja 5/9 da área original.


21

78) 3 palitos e reduza a área da figura em 2/3.

Nos desafios 79 e 80, 20 palitos estão divididos em 2 grupos A e B, A com 6 e B com 14.

Cada grupo forma um polígono fechado cuja medida da região interior do grupo B é o

triplo da medida da região interior do grupo A.

79) Divida esses 20 palitos em dois grupos de 13 e 7 palitos e forme polígonos fechados

cuja medida da região interior de um grupo também seja o triplo da medida da região interior do outro grupo.


22

80) Desloque um palito do grupo B para o grupo A e forme dois novos polígonos com 15(B) e 7(A) palitos de modo que a medida da área de um seja também o triplo da medida da área do outro.

81) Acrescente 11 palitos ao quadrado abaixo de maneira que ele fique dividido em quatro

partes com a mesma área.

82) Divida o quadrado em duas regiões iguais utilizando os quatro palitos.


23

V. IGUALDADES

As igualdades dos desafios 83, 84, 85, 86, 87 e 88 como se pode ver estão incorretas

então, para torná-las verdadeiras, mova:

83) 1 palito.

84) 1 e retire 1.

85) 2 palitos.

Mova apenas 1 palito em cada um dos desafios 86, 87 e 88, de modo a tornar as igualdades

verdadeiras.

86)

87)


24

88)

VI – OS ROMANOS

Como se pode ver, a igualdade acima está incorreta. Para torná-la verdadeira, mova:

89) 1 palito.

90) 3 palitos (duas soluções).

Nos problemas abaixo, mova apenas um palito para que as igualdades fiquem corretas.

91)

92)

93)


25

94)

95)

96)

97)

98)

99)

100) Mova um palito e torne a igualdade verdadeira com aproximação de duas casas decimais exatas.


26

EPÍLOGO

Nosso livro chegou ao fim e nosso desejo é que ele tenha sido um companheiro constante e divertido para você e todos ao seu redor.

Não poderíamos nos despedir sem parabenizá-lo pelo seu esforço em resolver os desafios aqui propostos. E como forma de incentivá-lo deixaremos 6 probleminhas extras para você se divertir.

Até a próxima, se Deus quiser.

Usando palitos forme os números 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8 conforme se vê abaixo:

Nos desafios a seguir você deve dizer qual o número mínimo de palitos, e como eles devem ser movidos para conseguir o que se pede.

1) A partir de 25, escreva 52.




5) Quatro quadrados estão sendo formados por 16 palitos. Tente retirar 2 palitos,

movimentando 4 deles para obter ONZE.

6) Em baixo há 3 quadrados e 1 palito solto. Retire 2 palitos, movimente 1 e obtenha OITO.

Desafios Matemáticos.

Rubens Vilhena Fonseca

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2011 –


28

1. O muro das subtrações

Cada um dos tijolos do muro desenhado abaixo repousa sobre outros dois tijolos. O valor inscrito em cada um deles representa a diferença entre os números inscritos nos tijolos sobre os quais está apoiado. Complete os números que faltam, sabendo que na fila de baixo os dígitos de 0 a 9 só aparecem uma vez.

2. Que cachorrada!

Em uma experiência científica, os pesquisadores isolaram dez cães em celas individuais de mesmo tamanho. Mas um grupo de ativistas contrários a pesquisas com animais atacou o laboratório e quebrou dois dos painéis que confinavam os bichos. Para não invalidar a experiência, os cientistas precisam agora dispor os painéis restantes de forma a isolar os dez cachorrinhos novamente em celas de mesmo tamanho. Você saberia resolver esse problema?

3. Craque preguiçoso

Hilbert é jogador de futebol, mas não gosta de treinar. Em um treinamento, o técnico fez um desenho no chão, dispôs 28 bolas e mandou Hilbert percorrer todas as linhas e chutar todas as bolas. Ajude o jogador a obedecer ao técnico com o menor esforço. Atenção: ele pode percorrer duas vezes o mesmo trajeto.


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4. Somas ocultas

Preencha as casas vazias deste esquema com números de 11 a 35, colocando os ímpares nos círculos e os pares nos triângulos. Regras: a soma de uma linha qualquer (como de A a K) sempre deve dar 115. Na casa A deve entrar o maior número ímpar e na D, o menor par. K é a soma de D com 2 e V é igual a J mais 6.

5. Que rolem os dados

Quem gosta de dados pode jogar consigo mesmo agrupando-os como no exemplo acima (onde se vê uma seqüência de 1 a 4 valendo 25 pontos). Eles


30

não têm de estar em ordem, só alinhados na horizontal ou na vertical. Cada dado só deve entrar em uma combinação. Será que você consegue bater o recorde de 290 pontos?

TABELA DE VALORES

DADOS PONTOS

Dois iguais 5

Três iguais 10

Dois pares 15

Quatro iguais 20

Seqüência de quatro 25

Um par mais um trio 30

Seqüência de cinco 35

Cinco iguais 40

Dado isolado 5

6. Fósforo manhoso

O desafio deste quebra-cabeça é fazer as contas darem certo mexendo um único palito em cada uma. E de fundir a cuca!


31

7. Trabalho dobrado

A máquina copiadora do Hilbert quebrou. Ele precisa de cópias do mesmo tamanho que o original, mas a tecla que faz isso (botão 100%) pifou. Hilbert contornou o problema: fez uma (tecla 50%). Ficou com 100%. Mas o botão de 50% enroscou. Hilbert deu um jeito e continuou tirando cópias de 100%. Ai pifou a tecla 250%. E não é que ele achou uma saída? Você consegue descobrir as soluções do Zé? E se quebrar o botão de 200%, como ele faz?

8. Reciclando números

Uma fábrica de copos reciclados consegue fazer um copo novo com nove copos usados. Quantas unidades podem ser produzidas a partir de 505 copos usados. Quantas unidades podem ser produzidas a partir de 505 copos usados?

9. Seqüência lógica

Em quais das casas numeradas devem entrar as duas peças ao lado? Não pode ser em linhas ou colunas que já tenham peças da mesma cor forma (quadrados, por exemplo) ou com mesmo número de objetos (barras, bolas ou quadrados).


32

10. Número da besta Se você se impressiona com números vai achar o quadrado abaixo incrível. Ele contém 36 números primos (que só podem ser divididos por 1 ou por si mesmos) e se você somar qualquer Linha, coluna ou diagonal vai achar sempre 666, o número do demônio.

3 107 5 131 109 311

7 331 193 11 83 41

103 53 71 89 151 199

113 61 97 197 167 31

367 13 173 59 17 37

73 101 127 179 139 47

Será que você é capaz de completar o quadrado que desenhamos abaixo? Nele, as somas verticais, horizontais e diagonais devem dar sempre 34.

3 13

5 11

6 12

4 14

11. Víctor tem seis pacotes com bolinhas de mesma cor e tamanho. Em um dos

pacotes, cada bolinha tem 110 g; nos outros cinco, cada bolinha tem 100 g. Víctor deseja descobrir em qual dos pacotes estão as bolinhas de maior massa. Para isso, ele dispõe de uma balança como a indicada abaixo.

Fazendo uma única pesagem, como Víctor pode descobrir em qual dos pacotes estão as bolinhas de maior massa?


33

12. As figuras a seguir representam 21 garrafas de água sendo que sete delas estão

cheias, sete estão pela metade e sete estão vazias.

Garrafas cheias

Garrafas com metade da capacidade

Garrafas vazias

Como podemos separar essas garrafas em três grupos de maneira que, em cada grupo fique a mesma quantidade de água e a mesma quantidade de garrafas?

13. Emily dispôs 16 moedas sobre os lados de um quadrado, como mostra a

ilustração abaixo.


34

Note que em cada lado desse quadrado há cinco moedas. Como Emily pode dispor novamente essas 16 moedas de forma que em cada lado desse quadrado fiquem:

a) seis moedas? b) sete moedas? c) oito moedas? Dê suas respostas por meio de desenhos.

14. Recorte a figura abaixo. Em seguida, divida-a em duas partes iguais.

15. Como é possível formar, com 12 moedas, seis fileiras com quatro moedas cada uma? Dê a resposta por meio de um desenho.

16. Para cada item abaixo, escreva qual é a menor quantidade de elos que devemos cortar para que todos eles fiquem soltos?


35

17. DESAFIOS COM LÁPIS Desenhe as figuras sem levantar o lápis do Papel. Não é permitido voltar ou repassar sobre alguma linha porém, pode-se cruzar sobre elas.

18. Os sólidos geométricos representados abaixo possuem massas diferentes entre si. Sabe-se que:

tem o dobro da massa da ;

tem o quádruplo da massa da ;

tem o dobro da massa do ;

tem a terça parte da massa do ;

tem3kg.

Utilizando uma balança de dois pratos coloque os pratos em equilíbrio utilizando os sólidos


36

19. Em uma caixa há 15 bolinhas de mesma cor e tamanho. Dessas bolinhas, 14 têm a mesma massa e uma tem massa maior que as demais.

Como é possível descobrir qual é a bolinha de maior massa utilizando uma balança de dois pratos e efetuando, no máximo, três pesagens?

20. Na balança a seguir está indicada a massa de algumas balas de mesmo tipo.

Quantas balas desse tipo há, aproximadamente, em um pacote de 1 kg? 21. Victor é um pequeno produtor e comerciante de leite. Ele armazena sua

produção em 4 galões como os indicados abaixo.

Certo dia, ao terminar suas vendas, Victor decidiu repartir igualmente, entre seus três irmãos, os 30L de leite que havia restado em um dos galões. a) Quantos litros de leite cada uma de suas irmãs recebeu? b) Como Antônio repartiu esse leite, sabendo que ele usou como medida os

galões que possui? 22. Recorte o quadrado abaixo. Em seguida, trace quatro segmentos de reta nesse

quadrado, de modo que cada segmento comece no ponto médio de um de seus lados e termine em um de seus vértices.


37

Observação: Dois ou mais segmentos não podem terminar em um mesmo vértice. Agora, corte esse quadrado nos segmentos que você traçou e, com as partes obtidas, monte cinco quadrados menores.

23. Recorte a figura abaixo. Em seguida, com dois cortes retos, divida a figura em três partes de maneira que, ao encaixá-las, seja possível obter um quadrado.

Observação: Os dois cortes devem passar pelo ponto indicado. 24. Um casal vai fazer uma viagem de 18.000 km, de automóvel. Entretanto, os

pneus em uso só agüentam 12.000 Km. Quantos pneus reservas precisam levar, no mínimo?


38

25. Qual o próximo número na seqüência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19... 26. Um negociante tinha dois cavalos. Vendeu o primeiro por R$ 198,00, tendo um

lucro de 10%. No dia seguinte vendeu o outro por R$ 198,00 e perdeu 10%. Nos dois negócios, teve ele lucro ou prejuízo?

Fonte: http://blogdamartabellini.blogspot.com/2008_05_01_archive.html

27. Um homem fez várias compras totalizando R$ 63,00. Sabendo que eram 6 notas

de compras e nenhuma delas de R$ 1,00, como foi isto possível ?

28. Estes três recipientes, do maior para o menor, suportam respectivamente os seguintes volumes:

O Primeiro, 6 litros O Segundo, 5 litros O Terceiro, 1 litro A situação atual é a seguinte: No momento, o de 6 litros está com apenas 2 litros, o de 5 litros está com seus 5 litros e, o de 1 litro está com 1 litro. Eis o Problema:


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Sabendo-se que os volumes só podem ser manipulados com seus respectivos recipientes, como fazer para distribuir os volumes de modo que o de 5 e o de 6 litros, fiquem com 4 litros cada um?

29. O asilo que ganhou pacotes de feijão

A diretoria de um asilo recebeu a doação de cinco pacotes de feijão para ajudar na alimentação dos velhinhos que ali estão internados. Desejando saber quanto pesava cada pacote, o administrador da casa foi ao depósito buscar uma velha balança que lá havia. Infelizmente, constatou que o mostrador estava parcialmente danificado e só assinalava corretamente pesos (massas) entre 25 e 50 quilos. E agora, como saber o peso dos pacotes? Um dos membros da diretoria teve uma brilhante idéia: resolveu pesar os volumes dois a dois, fazendo todos os pares possíveis, e registrou os seguintes pesos: 29, 31, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 38, 39 kg. Depois passou a fazer contas e mais contas, descobrindo, finalmente, o peso dos pacotes. Quanto pesa cada pacote?

30. Três números (6, 3 e 1) estão desenhados nas faces dos cubos – um número

em cada cubo como mostra a ilustração. Coloque os três cubos alinhados de modo a obter um número de 3 dígitos divisível por 7.

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