MAT-140 Derivadas

Walter T. Huaraca Vargas

1 de Agosto de 2016

A Regra da Cadeia

Lema

Se f : RÑ R é uma função derivável em a, então existe ma função Nphq

tal que f pa ` hq ´ f paq “ hNphq para todo pa ` hq P Dompf q com

limhÑ0

Nphq “ 0 “ Np0q.

Teorema (Regra da Cadeia)

Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções tais que Impf q Ă B. Se f é

derivável no ponto a P Dompf q e g é derivável em b “ f paq P B, então

g ˝ f é derivável em a e temos que:

pg ˝ f q1

paq “ g1

pf paqqf1

paq

A Regra da Cadeia

Lema

Se f : RÑ R é uma função derivável em a, então existe ma função Nphq

tal que f pa ` hq ´ f paq “ hNphq para todo pa ` hq P Dompf q com

limhÑ0

Nphq “ 0 “ Np0q.

Teorema (Regra da Cadeia)

Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções tais que Impf q Ă B. Se f é

derivável no ponto a P Dompf q e g é derivável em b “ f paq P B, então

g ˝ f é derivável em a e temos que:

pg ˝ f q1

paq “ g1

pf paqqf1

paq

Observação

1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação

1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação

1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação

1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

3 Se y “ f pxq “ |upxq| e upxq é derivável com upxq ‰ 0, então:

f1

pxq “upxq

|upxq|u1

pxq

Observação

1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

3 Se y “ f pxq “ |upxq| e upxq é derivável com upxq ‰ 0, então:

f1

pxq “upxq

|upxq|u1

pxq

Observação

1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

3 Se y “ f pxq “ |upxq| e upxq é derivável com upxq ‰ 0, então:

f1

pxq “upxq

|upxq|u1

pxq

Exemplos

1 Se f pxq “ px3 ` 12x ` 666q200, achar g1

pxq

2 Se y “ x4 ´ x2 ` x e x “ pt2 ` 1q4. Achar dydt

3 Se f pxq “”

x`2x´2

ı

1

6, achar f1

pxq.

4 Dada f pxq “a

5` |3x2 ´ 8|, achar f1

pxq.

5 Se f1

pxq “ xx´1 e y “ f p x´1x`1q, achar

dydx .

1a Aula

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq é

chamada de segunda derivada de f e é denotada por f2

, D2x f pxq,

d2f pxq

dx2, f ¨¨pxq ou dy

dx .

2 Se f2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e o

número f2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.

3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq é

chamada de segunda derivada de f e é denotada por f2

, D2x f pxq,

d2f pxq

dx2, f ¨¨pxq ou dy

dx .

2 Se f2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e o

número f2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.

3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq é

chamada de segunda derivada de f e é denotada por f2

, D2x f pxq,

d2f pxq

dx2, f ¨¨pxq ou dy

dx .

2 Se f2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e o

número f2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.

3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Diferenciação Implícita

Definição

Seja E px , yq “ 0 uma equação das variáveis x e y . Se ao reemplazarmos y

por f pxq, a equação transforma-se numa identidade, então diremos que a

função y “ f pxq esta de�nida implicitamente pela equação E px , yq.

Exemplos

1 y “ f pxq “?x ´ 1 e y “ gpxq “ ´

?x ´ 1 estão de�nidas

implicitamente pela equação y2 ´ x ` 1 “ 0.

2 y7 ` cospyq ´ x2 ` senpxq ` 4 “ 0

3 x2 ` y2 ` 4 “ 0

A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq de�nida em forma

implicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita e

pode ser obtida com:dy

dx“ ´

E1

x

E1

y

Exemplos

As seguintes equações de�nem implicitamente uma função y “ f pxq, achar

y1

“dydx .

1 x2 ` y2 “ 25

2 4x2 ´ 9y2 “ 36

3

6x ` 8x2y ´ y3 ` y5

x2“ 4

A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq de�nida em forma

implicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita e

pode ser obtida com:dy

dx“ ´

E1

x

E1

y

Exemplos

As seguintes equações de�nem implicitamente uma função y “ f pxq, achar

y1

“dydx .

1 x2 ` y2 “ 25

2 4x2 ´ 9y2 “ 36

3

6x ` 8x2y ´ y3 ` y5

x2“ 4

Derivada da função inversa

Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversa

contínua perto de b “ f paq e f1

paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 é

derivável em b e

pf ´1q1

pbq “1

f1pf ´1pbqq

“1

f1paq

Exemplo

Calcular as derivadas de:

1 gpyq “ arctanpyq

2 gpyq “ arcsenpyq

2a Aula

Derivada da função inversa

Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversa

contínua perto de b “ f paq e f1

paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 é

derivável em b e

pf ´1q1

pbq “1

f1pf ´1pbqq

“1

f1paq

Exemplo

Calcular as derivadas de:

1 gpyq “ arctanpyq

2 gpyq “ arcsenpyq

2a Aula

2o limite fundamental

Teorema

O limite limhÑ0

p1` hq1

h existe e

limhÑ0

p1` hq1

h “ limxÑ˘8

p1`1

xqx “ e “

`8ÿ

i“0

1

i !“ 2.718281828459045 ¨ ¨ ¨

Exemplo

1 limxÑ0

p1`a

xqx “ ea

2 limxÑ0

px2 ´ 4

x ´ 3x ` 2q2x´58´3x , em geral rf pxqsgpxq

3 limxÑ0

px ´ 1

x ` 3qx`2

2o limite fundamental

Teorema

O limite limhÑ0

p1` hq1

h existe e

limhÑ0

p1` hq1

h “ limxÑ˘8

p1`1

xqx “ e “

`8ÿ

i“0

1

i !“ 2.718281828459045 ¨ ¨ ¨

Exemplo

1 limxÑ0

p1`a

xqx “ ea

2 limxÑ0

px2 ´ 4

x ´ 3x ` 2q2x´58´3x , em geral rf pxqsgpxq

3 limxÑ0

px ´ 1

x ` 3qx`2

Taxas Relacionadas

Definição

Seja f : RÑ R função de�nida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a `∆x P Dompf q,

então ∆x é chamado de incremento de x, observe que o incremento

∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passar

de a até a `∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y, denotado por ∆y e esta de�nido por

∆y “ f pa `∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x, denotada por dx é de�nido

como dx “ ∆x.

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento

∆x, denotada por dy é de�nido como dy “ f1

paq∆x “ f1

paqdx, em

geral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,

correspondente ao incremento ∆x é dy “ f1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

Definição

Seja f : RÑ R função de�nida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a `∆x P Dompf q,

então ∆x é chamado de incremento de x, observe que o incremento

∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passar

de a até a `∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y, denotado por ∆y e esta de�nido por

∆y “ f pa `∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x, denotada por dx é de�nido

como dx “ ∆x.

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento

∆x, denotada por dy é de�nido como dy “ f1

paq∆x “ f1

paqdx, em

geral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,

correspondente ao incremento ∆x é dy “ f1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

Definição

Seja f : RÑ R função de�nida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a `∆x P Dompf q,

então ∆x é chamado de incremento de x, observe que o incremento

∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passar

de a até a `∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y, denotado por ∆y e esta de�nido por

∆y “ f pa `∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x, denotada por dx é de�nido

como dx “ ∆x.

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento

∆x, denotada por dy é de�nido como dy “ f1

paq∆x “ f1

paqdx, em

geral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,

correspondente ao incremento ∆x é dy “ f1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

Definição

Seja f : RÑ R função de�nida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a `∆x P Dompf q,

então ∆x é chamado de incremento de x, observe que o incremento

∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passar

de a até a `∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y, denotado por ∆y e esta de�nido por

∆y “ f pa `∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x, denotada por dx é de�nido

como dx “ ∆x.

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento

∆x, denotada por dy é de�nido como dy “ f1

paq∆x “ f1

paqdx, em

geral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,

correspondente ao incremento ∆x é dy “ f1

pxqdx (dy „ δy)

Exemplo

1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.3

2 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 63?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

Exemplo

1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.3

2 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 63?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

Exemplo

1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.3

2 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 63?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

propriedades do diferencial

Sejam u “ f pxq e v “ gpxq duas funções deriváveis e c uma constante,

então:

1 dpcq “ 0

2 dpcuq “ cdu

3 dpu ˘ vq “ du ˘ dv

4 dpu ¨ vq “ vdu ` udv

5 dpuv q “vdu´udv

v2sempre que v ‰ 0.

Exemplo

Se f pxq “ 4x?x2`x2

, achar df pxq.

3a Aula

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Definição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)

Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa ´ δ; a ` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa ´ δ; a ` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Definição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)

Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa ´ δ; a ` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa ´ δ; a ` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Definição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)

Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa ´ δ; a ` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa ´ δ; a ` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Definição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)

Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa ´ δ; a ` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0

tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa ´ δ; a ` δq

Exemplo

1 Se f pxq “?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

2 Se f pxq “ |2x |

1`x2Determine os valores máximos e mínimos globais.

Observação

1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de

valor extremos de f .

Exemplo

1 Se f pxq “?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

2 Se f pxq “ |2x |

1`x2Determine os valores máximos e mínimos globais.

Observação

1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de

valor extremos de f .

Lema

Seja f : RÑ R uma função tal que:

1 f pcq é um extremo local de f

2 f é derivável em c

Então f1

pcq “ 0.

Definição (Ponto Crítico)

Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c é

chamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f1

pcq “ 0

Lema

Seja f : RÑ R uma função tal que:

1 f pcq é um extremo local de f

2 f é derivável em c

Então f1

pcq “ 0.

Definição (Ponto Crítico)

Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c é

chamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f1

pcq “ 0

Exemplos

Carcular os pontos críticos das seguintes funções:

11

6p2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 6q

2 f pxq “|2x |

1` x2

3 f pxq “x

7`

7

x

4a Aula

Teorema (Teorema de Rolle)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

3 f paq “ f pbq “ 0

Então existe c P pa; bq f1

pcq “ 0.

Exemplo

En cada caso, dada f pxq, veri�que se ela satisfaz o Teorema de Rolle no

Intervalo I :

1 f pxq “ x4

3 ´ 3x1

3 , I “ r0; 3s

2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s

Teorema (Teorema de Rolle)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

3 f paq “ f pbq “ 0

Então existe c P pa; bq f1

pcq “ 0.

Exemplo

En cada caso, dada f pxq, veri�que se ela satisfaz o Teorema de Rolle no

Intervalo I :

1 f pxq “ x4

3 ´ 3x1

3 , I “ r0; 3s

2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s

Teorema do valor médio

Teorema (T.V.M.)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

Então existe c P pa; bq tal que f1

pcq “ f pbq´f paqb´a

Observação

Sejam f , g : ra; bs Ñ R funções

1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1

pxq “ 0

para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.

2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1

pxq “ g1

pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todo

x P ra; bs

5a Aula

Teorema do valor médio

Teorema (T.V.M.)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

Então existe c P pa; bq tal que f1

pcq “ f pbq´f paqb´a

Observação

Sejam f , g : ra; bs Ñ R funções

1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1

pxq “ 0

para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.

2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1

pxq “ g1

pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todo

x P ra; bs

5a Aula

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.

Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ą f px2q.

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.

Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ą f px2q.

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.

Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ą f px2q.

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:

Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.

Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ą f px2q.

Teorema

Seja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.

Teorema

Seja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.

Teste de 1ra Derivada

Seja f uma função de�nida numa vizinhança Bpc; δq do ponto c e é:

Contínua em Bpc ; δq “ pc ´ δ;+� δq,

Derivável em Bpc; δq (excepto talves em c)

Logo

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1

pxq ă 0 para todo

x P pc; c ` δq, então f pcq é um valor de máximo local de f .

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1

pxq ą 0 para todo

x P pc; c ` δq, então f pcq é um valor de mínimo local de f .

Teste de 2da Derivada

Seja f uma função tal que:

Existem suas derivadas até de sugunda ordem numa vizinhança

Bpc; δq do ponto c

f1

pcq “ 0

f2

pcq ‰ 0

Logo

1 Se f2

pxq ă 0 então f pcq é um valor de máximo local de f .

2 Se f2

pxq ą 0 então f pcq é um valor de mínimo local de f .

Exemplos

Determine os intervalos de crescimento e os valores extremos locais das

funções:

1 f pxq “ x3 ´ x2 ´ 9x ` 2

2 gpxq “5

x`

x

53 hpxq “ 1

1`|x |` 1

1`|x´a|com a ą 0

4 f pxq “ x3 ` 3x2 ´ 24x ´ 10 no intervalo r0; 4s.

Observação

Se f é de�nido em ra; bs, então ele tem máximo global e mínimo global

(Teorema de Weierstrass), para achar eles, achamos os extremos locais

interiores, calculamos os valores nos extremos do intervalo para �nalmente

compararlos.

6a Aula

Concavidade e Pontos de inflexão

Definição

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf q

lembremos que a equação da reta tangente ao grá�co de f no ponto

Ppc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c, se existe uma

vizinhança Bpc ; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc ; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c, se existe uma

vizinhança Bpc ; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc ; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concava

para cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Concavidade e Pontos de inflexão

Definição

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf q

lembremos que a equação da reta tangente ao grá�co de f no ponto

Ppc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c, se existe uma

vizinhança Bpc ; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc ; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c, se existe uma

vizinhança Bpc ; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc ; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concava

para cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Concavidade e Pontos de inflexão

Definição

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf q

lembremos que a equação da reta tangente ao grá�co de f no ponto

Ppc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c, se existe uma

vizinhança Bpc ; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc ; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c, se existe uma

vizinhança Bpc ; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc ; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concava

para cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Definição

Seja f uma função contínua no ponto c, diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de in�exão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nos

intervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

Teorema

Seja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhança

Bpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c.

2 Se f2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c.

3 Se f2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de in�exão de

f .

Definição

Seja f uma função contínua no ponto c, diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de in�exão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nos

intervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

Teorema

Seja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhança

Bpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c.

2 Se f2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c.

3 Se f2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de in�exão de

f .

Definição

Seja f uma função contínua no ponto c, diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de in�exão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nos

intervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

Teorema

Seja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhança

Bpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c.

2 Se f2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c.

3 Se f2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de in�exão de

f .

Definição

Seja f uma função contínua no ponto c, diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de in�exão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nos

intervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

Teorema

Seja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhança

Bpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c.

2 Se f2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c.

3 Se f2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de in�exão de

f .

Exemplo

Determine os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão das

seguintes funções:

1 f pxq “ x4 ´ 3x3 ´ x ` 1

2 f pxq “ x`3x´3

7a Aula

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Veri�car simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão.

6 Construir o gra�co com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Veri�car simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão.

6 Construir o gra�co com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Veri�car simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão.

6 Construir o gra�co com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Veri�car simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão.

6 Construir o gra�co com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Veri�car simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de in�exão.

6 Construir o gra�co com o auxilio das informações anteriores.

Exemplo

1 f pxq “ x2´x´2x´5

2 f pxq “ xx´4

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado a

optimização dos resultados requer:1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,

geometricamente), achar o dominio da mesma.

2 Identi�car o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.

2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra uma

circunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somas

das áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado a

optimização dos resultados requer:1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,

geometricamente), achar o dominio da mesma.2 Identi�car o tipo de extremo a calcular.

3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.

2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra uma

circunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somas

das áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado a

optimização dos resultados requer:1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,

geometricamente), achar o dominio da mesma.2 Identi�car o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.

2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra uma

circunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somas

das áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado a

optimização dos resultados requer:1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,

geometricamente), achar o dominio da mesma.2 Identi�car o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.

2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra uma

circunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somas

das áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado a

optimização dos resultados requer:1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,

geometricamente), achar o dominio da mesma.2 Identi�car o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.

2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra uma

circunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somas

das áreas seja máxima?

8a Aula