MAT 9A AULA 25

25.01

0,001 = 10-3

25.02

7,3 = 10,7 + 2

3 log10 m0

18 3

2 = log10 m0

27 = log10m0

M0 = 1027,00

25.03

1. VERDADEIRO – logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0.

2. VERDADEIRO – logaritmando e base são iguais, assim, o logaritmo é igual a 1.

3. VERDADEIRO - 2log0,001 log10 2

4. VERDADEIRO – potência do logaritmando possui a mesma base do logaritmo, assim, o

resultado é o expoente da potência.

5. VERDADEIRO - 3log0,0001 log10 3

ALTERNATIVA E

25.04

0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10

25.05

x1 = 0,25 = 1

4 = 41

x = 4

25.06

log1

8

4 = x

x1

8

= 4

23x = 22

3x = 2

x = 2

3

25.07

log

3

3 =1

2, verdadeiro pois

1

2log

3

3 =1

2

log

9

81 Þ log9

92

Þ 2 × log9

9= 2, verdadeiro.

log

10

0,0001= 4 , falso pois 104 ¹ 0,0001

log1024

2 =log

2

2

log2

1024=

1

log2

210=

1

10= 0,1, verdadeiro.

25.08

22 = x2 2x + 1

x2 2x 3 = 0

S = (2)

S = 2

25.09

20

9a = 23 1

32 = 10

32

20 10

9 3a 2

a = 10 20

3 92·

a = 3

322 2 = 2 2

25.10

y = 22x 2 = 22log 52 2

y = 2

2log 52 2

y = 25 2

y = 50

25.11

(32)2x + (34)x

2 =34x + 32x

= 3 34log 2 2log 23 3

= 4 2

3 3log 2 log 23 3

= 24 + 22 = 18 + 4 = 20

25.12

m = m0 t

57302

0,84m0 = m0 t

57302

Log0,84 = logt

57302

0,17 = t

5730 0,69

t = 5730 0,17

0,69

· t = 1 411

25.13

logL

15

= 0,08 12,5 logL

15

= 1

101 = L

15 L =

15

10 = 1,5 lumens

25.14

x2 = 1 3x x

2

= x1 + x3 = 2

log9(2 + 1) = n

9n = 3 n = 1

2

25.15

10log p 210

13 2,6

26

13 = log10p2

Log10p = 4

p = 104 = US$ 10 000,00

25.16

logaa = 1 loga1 = 0 = a

25.17

10log (x + y)(x y)

10log 20 5

10log 100 = 2

25.18

Para ser interno k

1

2

O último será 10

1

2

Então:

2 2 20 10

1 1 1log ; log ; ... log

22 2

11 termos.

25.19

a)

20,05t = 1

2 20,05t = 21

0,05t = 1 t = 20 anos

b)

750 20,05t = 40

20,05t = 2

2

4 2

75 5 3

·

0,05t = 2 2

2 2log 2 log 5 3 ·

0,05t = 2 (2 2,3 + 1,6)

0,05t = 2 6,2

0,05t = 4,2

t = = 84 anos

25.20

y = 10

log 52 7

y = 10

log 52 + 10

log 7

y = 2 0,699 + 0,845

y = 1,398 + 0,845

y = 2,243

MAT 9A AULA 26

26.01

log

3

3 =1

2, verdadeiro pois

1

2log

3

3 =1

2

log

9

81 Þ log9

92

Þ 2 × log9

9= 2, verdadeiro.

log

10

0,0001= 4 , falso pois 104 ¹ 0,0001

log1024

2 =log

2

2

log2

1024=

1

log2

210=

1

10= 0,1, verdadeiro.

26.02

pH = - logH+ Þ pH = - log0,1

pH = - log10-1 Þ pH = 1 solução ácida.

26.06.

y = log2

a3b

c2

æ

èç

ö

ø÷

y = log

2a3b - log

2

c2

y = log

2

a3

+ log2

b- 2log2

c

y = 3log

2

a+ log2

b- 2log2

c

26.03

log2 3 10 = log2 + log3 + 1 = 0,30 + 0,48 + 1

1,78

26.04

2 2 = 0

26.05

log3

22

3

2 0,30 = 0,45

26.06

3

2 2

3 22 2

32 2 2

2 2 2

a by log

c

y log a b log c

y log a log b 2log c

y 3log a log b 2log c

ALTERNATIVA D

26.07

logE = 3logm+ 2logn-10logp

logE = logm3 ×n2

p10Þ E =

m3 ×n2

p10

26.08

n4 10

5 100

n8 1

10 10

log

n8

10

< log 1

10

n(log8 log10) < log1 log10

n(3 0,301 1) < 0 1

0,097n < 1

n > 1

0,097 n = 10,3

26.09

(24)10 = 240

(100,301)40 1012,04

26.10

10log (x + 1) =

10log (x2 + 35)

1 = 10

log 2x 35

x 1

x2 + 35 = 10x + 10

x2 10 + 25 = 0

x = 5

26.11

200log 5A 2B = C

200C = 5A 2B

(2 22 52)C = 5A 2B

B = 3C e A = 2C

A + B + C

2C + 3C + C = 6C

26.12

logx = 3 + log 3

2 log25 logx = 3 + log

3

2 25

·

logx log3

50 = 3

x50

3 = 103

x = 310 3

50

· x = 60

26.13

R = 10 10

0

32000log log

l

(25 103)

5log2 + log103 5 0,3 + 3 = 4,5

26.14

t,)(n)t(n 800

tt ,,)(n)(n

802

1800

2

0

t,loglog 802

1

)log(logt,logtlog 1083010

82

anost)log(t, 312330

27.01.

52

52

100

2525100

loglog

log

loglog

27.02.

7

337

log

logxlogx , conhecer o log3 e log7

26.15

a11 = 2

log 1 = 0

a12 = 2

log 2 = 1

a21 = 2

log 2 = 1

a22 = 2

log 22 = 2

0 1

1 2

= 1 2 = 1

26.16

x = 2t 2

log x = t

y = 2t + 1

y = 2 2

log x + 1

y = 2

log x2 + 2

log 2

y = 2

log (2x2)

26.17

7xy = 1

7 71

x y = 1

3 3log x y log x 3 1

3

1 x ylog 1

2 x 3

3

x ylog 2

x 3

x + y = 9(x 3)

8x y = 27

1x y 1

8x y 27

·

7x = 28

x = 4 e y = 5

S = {(4; 5)}

26.18

3log x = y 3y=x

(y, y + 1, y + 2)

Uma progressão aritmética de razão 1

26.19

3 000 = 1 000 100,159t

log = 1 3 = 100,159t

0,477 = 0,159t

t = 0,477

0,159 t = 3 h

26.20

a)

a nb = 2 3

2 2b = n

3 2b = 22 2b = 22

3

log2b = log22

3

b log2 = 2log2 log3

b 0,3 = 2 0,3 0,45

0,3b = 0,15

b = 0,5 = 1

2

1,5 = a 16

a = 1,5 = 3

2

b)

n = 4

t(4) = 3

4

1

24 = 3

2 2 = 3 min.

MAT 9A AULA 27

27.01

10100

10

210

100 210

10100

100 10

log 25log 25

log 100

log 5log 25

log 10

2log 5log 25

2

log 25 log 5

ALTERNATIVA A

27.02

7x log 3

log3x

log7

ALTERNATIVA C

27.03

152

25

1 mm

logmlog

27.04

152

25

1 mm

logmlog

12542

5

2544

5

25525

42

2 mloglog

loglog

loglog

27.05

3232 loglog xx

6130

480

2

332 ,

,

,x

log

logxloglogx

27.06

134

43 loglog , verdadeira pois

34

43

1

loglog

3443 logloglog , falso pois 34

3

4logloglog

3

443

log

loglog , verdadeira mudança de base.

43

43

33

4316

9 2

22

2

loglog

log

loglog , verdadeira.

27.07

2 22

2 2

log 2 log 3 1 log 5

log 9 log 5 2 ·

27.08

2log x (1 +

1

2 +

1

3 +

1

4) =

25

4

2

25 12log x

4 25 ·

2log x = 3 x = 23 = 8

27.09

97

72

52

23 loglogloglogy

273

93

53

73

23

532

3 ylog

log

log

log

log

loglogy

27.10

a a

b c

loga loga2

loga loga

cloga = 2 bloga

c = b2

27.11

log1280 7log2 log10

log100 2

7 0,301+1

2

· = 1,5535

27.12

22

2

log nlog 3

log 4

2log n = 2

2log 3

n = 32 n = 9

9 gotas a cada 30 segundos. Em 1h = 3 600 seg.

x = 32400

30 = 1 080 gotas.

Cada gota tem 0,2 mL: 1 080 0,2 = 216 mL

27.13

3120 ,log

705 ,log

857170

31

5

20 205

205 ,

,

,log

log

loglog

Portanto um valor entre 1,8 e 1,9

27.14.

alog 2

blog 3

aloglogloglog 12102

105

2

51609

1609

3

52

9

160

log

loglog

log

loglog

b

alog

b

aalog

log

logloglog

2

14

2

15

32

525 1609

1609

1609

27.15.

882 xx loglog

882

22

log

loglog

xx

683

yy

y

6462 xlogx

27.16.

t,t,t, e,e,)e( 101010 5015015025

t,,eln,lne, t,t, 10705050 1010

t = 7 s

27.17.

0105752 xx

2501075 212 yeyyyyx

155 1 xx

252

25

5525 logxloglog

xx

10521

25

5521 logxxloglogxx

27.18.

xx loglog...log 4229

2

3

226

9

3

11

6

1

1

SSq

aS

2

22

924

2

22

92

xx

xx log

logloglog

logloglog

929222

92

x

x

x

xlogloglogloglog xx

convémnãoxxx 0081 12

81081 22 xxx

4813

log

27.19.

a) 567

3

11

45

1

1 ,SSq

aS

b) 30

1

3

145

30

11

n

na

23

11

532

1

3

1

1350

1

3

1

nn

23

1

532

13

loglog n

231 53213 logloglog n

5233231 loglogloglog)n(

2

1024803304801 log,,,)n(

)log(log,,n,, 210244130480480

),(,,n,, 301244130480480

5474804144130480 ,n,,,,n,

8n

27.20.

760

530760530 hh ee

hlnlnelnln h

760530760

530

mh,

,hh,,, 3000

000120

360000120636276

MAT 9B AULA 25

25.01

(57 + 3)4 = 604 = 12 960 000

25.02

mês (1 + 0,10)1 = (1 + im)2

ano (1 + 0,10)6 = (1 + ia)1 1,106 1 = 77%

semestre (1 + 0,10)3 = (1 + is)1 = 1,103 1 = 33,1%

trimestre (1 + 0,10)1 = (1 + it)2

3

quadrimestre (1 + 0,10)2 = (1 + iq)1 = 1,21 1 = iq iq = 21%

25.03

(99 + 1)5 = 1005

(102)5 = 1010

25.04

n = 12

(3 + 13)12 = (16)12 = (24)12 = 248

25.05

(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

25.06

(1 2)18 = 1

25.07

T8 = 7

10C y7x3 = 120x3y7

25.08

P

8C = (x1)P (x2)8P

P

8C = (1)P x163P

P

8C = 56

25.09

P

10C (x1)P (

10 P1

2x

45

3

2P + 5 = 2

3P = 6 P = 2

25.10

1 27b3 + 3 9b2 b + 3 3bb2 + 1 b3 = (2b)6

27b3 + 27b3 + 9b3 + b3 = 64b3

64b6 64b3 = 0

64b3(b3 1) = 0

b = 0 ou b = 1

25.11

T4 = 3

6C (2 x

1

2

)3 x3 = 20 (8) = 160

(x1

2

) (x)6p = x0

1

2p + 6 p = 0

p 2p = 12

3p = 12 p = 4

25.12

3

5C a3 x2 = 80x2

10a3 = 80 a = 2

25.13

p

7C (x5)p (kx2)7p

5p + 14 2p = 0 p = 2

2

7C k5 =

21

32

21k5 = 21

32

k5 =

51 1

5 2

25.14

( 2 + 3)10 = C

10

0 ×( 2)10 ×( 3)0 + C10

1 ×( 2)9 ×( 3)1 + C10

2 ×( 2)8 ×( 3)2 + C10

3 ×( 2)7 ×( 3)3 + ...

Os irracionais são os termos de ordem par, portanto cinco termos.

25.15

(x3)p (x2)np = x0

3p + 2n 2p = 0

5p = 2n

p = 2n

5

25.16

mm

pp 0

2p 1mp = (1 + 2)m = 3m = 36 m = 6

25.17

T1 = 0

n0 2

n

1C x

2x

= 1

T2 = 1

n 11 2

n

1 nC x

2x 2

T3 = 2

n 22 2

n

1 n(n 1)C x

2x 2 4

·

PA(1, n n(n 1)

, 2 8

)

2n 1 n n

2 2 8

8n = 8 + n2 n

n2 9n + 8 = 0

n = 1x ou n = 8

25.18

T1 = p

4C (2)p (x)4p

T2 = p

5C 1p x5p

Para ter x8 há 2 formas: 4 4

3 5

x x

x x

·

·

1ª 0

4C (2)0 x4 1

5C 11 x4 = 1 x4 5 x4 = 5x8

2ª 1

4C (2)1 x3 0

5C 10 x5 = 4(–2) x3 1 x5 = 8x8

1ª + 2ª = 5x8 + (8x8) = 3x8

25.19

25.19.

48

4

2 Cx

y

y

x

, x e y IR+ supondo x y

7044

848

!!

!C

101 x

ye

y

x

321 x

y

y

x

x

y

y

x

48

444

4

281232 Cx

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

25.20

2112001 nnn

n aaabCT

a

abnabCT

nn

n 201112

na

b

abn

10220

2

22223

2

180

a

ab

)n(nabCT

nn

n

5210

2

1802

2

180

22

n

n

)n(n

a

b)n(n

55 222 aaan

5

522

5

10

2

10 b

b

na

b

486222555

MAT 9B AULA 26

26.01

Quantidade de filhos: 0 8 + 1 7 + 2 6 + 3 2 = 25

n(s) = 25

n(a) = 7

7

25

26.02

Em 2011

1ª Linha: A não ficou na frente de ninguém A 5º Lugar

2º Linha: B ficou na frente A, C e D B 1º Lugar

3º Linha: C ficou na frente de A C 3º Lugar

4º Linha: D ficou na frente de A e C 2º Lugar

Em 2012

2011 2012

1º B 1º C

2º D 2º B

3º C 3º A

4º A 4º D

Sendo assim a probabilidade é de 0,00, pois nenhum time repetiu a classificação de um ano

para o outro.

26.03

I

1 2 3 4 5 6

II

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Pedro P(6) = 5

36

Tadeu P(2) = 1

36

Ricardo P(12) = 1

36

Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda

da taça do que Pedro

26.04

n(A) = 110

n(s) = 200

P(A) = 110

200 = 0,55

26.05

n(A) = 4

n(s) = 50

P(A) = 4

50 = 0,08 = 8%

26.06

P(A) = 147

150 = 0,98 = 98%

26.07

Solteiro

_ _ = 2 2 = 4

João KC ou CK

P(A) = 2 1

4 2 = 50%

26.08

P(A) = 36 1

360 10

26.09

Menor 350 : 1,4

Total: 6

P(A) = 2 1

6 3

26.10

1

2 102 3,14 =

314

2

P(A) =

31412

628 4 = 25%

26.11

Lados 1, 2, 3 e 4

a < b + c

1, 1, 1 *2, 2, 3 *3, 3, 2

*1, 2, 2 2, 3, 4 *1, 3, 3

*1, 4, 4 *2, 4, 4 *3, 4, 4

2, 2, 2 3, 3, 3 4, 4, 4

*3, 3, 4

8

13

26.12

n(s) = 2

4

4!P

2! = 12

n(A) = OJOG

OGOJ

= 2

2 1

12 6

26.13

01) (V)

8!

02) (F)

2 6!

04) (V)

3

8A

1m m

2 6 5 3 = 180

2m m m

2 1 6 3 = 36

3H 6 5 4

= 120

180 + 36 + 120 = 336

08) (F)

H H

6 5 2 3 = 180

16) (F)

32) (V)

n(s) = 8!

n(A) = 6! 2!

6!2! 2 1

8! 87 28

26.14

230 10210 30

x 30 x ( 10)

18p(x + 10) = 210(x 30)

3(x + 10) = 4(x 30)

3x + 30 = 4x 120

x = 150

210 x 60 1

210 30 180 3

Ou

230 x 80 1

240 3230 10

26.15

01) (V)

4

6C = 15

02) (V)

2

6C = 15

04) (F)

A A A _ _ _ = 3

6

08) (F)

2

6

16) (F)

1

6C 1

6C = 6 6 = 36

26.16

I)

H e M (mista)

10 10 = 100

Mesmo sexo

H = 2

10C ou m = 2

10C = 45

2 45 = 90

II)

100

145 0,69 = 69%

IV)

45 9

190 38

26.17

7 6 5 = 210

P P P _ _ _ _

5 3! = 30

P P _ _ _ _ _

x _ _ x _ _ _

_ _ _ _

3!(4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4)

3

7

10 3! 60

210C 3!

·

· 28%

26.18

01) (F)

_ _ _ 5 4 3 = 60

Palíndromo

_ _ _ 5 4 2 = 20

20

60 = 0,33 = 33%

02) (V)

4C 8D

4,8

12

12!P

4!8! = 495

04) (F)

7, …, 259

259 = 7 + 7(n + 1) n = 37

08) (F)

2xo 04 303 3 2 4 3 118 12

·· · ·

26.19

Exercícios resolvidos no material

26.20

Exercícios resolvidos no material

MAT 9B AULA 27

27.01

n(P) = 36%

n(Q) = 16%

n(PQ) = 40% n(PQ) = n(P) + n(Q) = n(P) + n(Q) n(PQ) = 40

n(PQ)= 52 40 = 12%

27.02

100% (6% + 48% + 37%) = 9%

27.03

Peixarias = 5

V = Tempo ideal = 1

1

5

27.04

Como A e B são eventos mutuamente excludentes e A B = E (espaço amostral), deve-se ter:

10 )A(P , 10 )B(P e 1 )B(P)A(P , logo P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6

27.05

n(A) = 10

n(B) = 4

n(AB) = 2

n(AB) = 12

n(A B) 12 3

n(A B) 4 5

27.06

120 24 144

600 600

= 0,24 = 24%

27.07

n(AB) = 300

300 3

500 5

27.08

n(AB) = 200 + 180 130 = 250

250 25 1

500 50 2 = 0,50

27.09

13000

500000,26 = 26%

27.10

Total 6 6 = 36

Menor 7 15

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1

1,2 2,2 3,2 4,2

1,3 2,3 3,3

1,4 2,4

1,5

36 15 21 7

36 36 12

27.11

n(A) = 25

n(B) = 10

n(A B) = 5

35 5 30 3

50 50 5

27.12

Soma 7: (1,6)(2,5)(3,5)(4,3)(5,2)(6,1)

Soma 9: (3,6)(4,5)(5,4)(6,3)

6 4 10 5

36 36 18

27.13

n(2) = 125

n(7) = 35

n(14) = 7

n(2 ou 7) = 143

143

250

27.14

n(P) = 7 + 5 + 2 = 14

n(B) = 15

n(PB) = 7

n(PB) = 22

22 11

30 15

27.15

)CBA(P)CB(P)CA(P)BA(P)C(P)B(P)A(P)CBA(P

66400240060080120203040 ,)CBA(P,,,,,,,)CBA(P

%,)CBA(P 466

27.16

Evento A número ímpar

Evento B coroa

3

2)A(P e

4

1)B(P

12

2

4

1

3

2 )BA(P)BA(P)B(P).A(P)BA(P

4

3

12

2

4

1

3

2 )BA(P)BA(P)BA(P)B(P)A(P)BA(P

(MAT 9C aula 25)

27.17

P(T ou E) = 1 PT

ñE

1 4

18

4

20

18!C 14!4!

20!C

16!4!

·

1 18 17 16 15

20 19 18 17

· · ·

· · ·

1 12

19 =

7

19

27.18

Total 6 6 6 = 216

* b sucesso de a

1,2,34,5 a 30 30 4 56 7

5 1 6 216 216 2730

··

* C sucesso de b

b

6 5 1 30· ·

B sucesso de a e C sucesso de b

1,2,3,4 a

4 1 1 4· ·

27.19

Exercício resolvido no material

27.20

Exercício resolvido no material

MAT 9C AULA 25

25.01

3x – 4y – 31 = 0 e P(1,2)

42423

312413

22

r,Pdr,Pd

ba

cPybPxar,Pd

25.02

5x + 12y + 90 = 0 e C(10, 10)

dP,r

=a × x

P+ b × y

P+ c

a2 + b2Þ d

P,r=

5 ×10 +12 ×10 + 90

52 +122Þ d

P,r=

260

13

DE =

260

13-1 Þ DE = 19m

25.03

3x + 4y – 10 = 0 e 3x + 4y + 90 = 0

Para x = 2 3 2 + 4y – 10 = 0 y = 1

Distância do ponto P(2, 1) à reta 3x + 4y + 90 = 0

dP,r

=a × x

P+ b × y

P+ c

a2 + b2Þ d

P,r=

3 ×2 + 4 ×1 + 90

32 + 42Þ d

P,r= 20

25.04

r: x + y – 5 = 0 e s: x = 2

tgb =1

mr

mr = –1

tgb =1

-1Þ tgb = 1 Þ b = 45º

25.05

y = x e xy

mr = 1 e ms = –1

tgb =m

r- m

s

1 + mr

×ms

Þ tgb =1 - (-1)

1 +1 ×(-1)Þ tgb =

2

0 impossível logo = 900.

25.06

r: 3x – y e s: 2x + y – 7 = 0

mr = 3 e ms = –2

tgb =m

r- m

s

1 + mr

×ms

Þ tgb =3 - (-2)

1 + 3 ×(-2)Þ tgb = 1

045

25.07

A(5,1)

4x + 3y + 7 = 0

dP,r

=a × x

P+ b × y

P+ c

a2 + b2Þ d

P,r=

4 ×5 + 3 ×1 + 7

42 + 32Þ d

P,r= 6

25.08

2x - y + 5 = 0 e P(0, 0)

dP,r

=a × x

P+ b × y

P+ c

a2 + b2Þ d

P,r=

2 ×0 -1 ×0 + 5

22 + (-1)2Þ d

P,r= 5

25.09

0543 yx e 01043 yx

Para x = 2 4

105423 yy

Distância do ponto

4

12,P à reta 01043 yx

12423

104

1423

22

r,Pdr,Pd

ba

cPybPxar,Pd

25.10

r: x + y - 3 = 0 e s:

2x - y = 0 t: 5x + 12y + 10 = 0

x + y = 3

y = 2x

ìíï

îïÞ x + 2x = 3 Þ x = 1 e y = 2

321225

1021215

22

r,Pdr,Pd

ba

cPybPxar,Pd

25.11

xy e P(0; -4)

2

4

2121

04101

22

r,Pd

)(r,Pd

ba

cPybPxar,Pd

22r,Pd

25.12

A(0, 0), B(3, 2) e C(1, 5)

hr,Pd

Reta que passa pelos pontos B e C 013230

151

123

1

yx

yx

dP,r

=a × x

P+ b × y

P+ c

a2 + b2Þ d

P,r=

3 ×0 + 2 ×0 -13

32 + 22Þ d

P,r=

13

13

13r,Pd

25.13

0532 yx e 032 yx

Para x = 1 105312 yy

Distância do ponto P(1, 1) à reta 032 yx

dP,r

=a × x

P+ b × y

P+ c

a2 + b2Þ d

P,r=

2 ×1 + 3 ×1 + 0

22 + 32Þ d

P,r=

5

13

13

135r,Pd

25.14

r: x + 3y – 5 = 0

Para 1x 20531 yy

Distância do ponto P(-1, 2) à reta x + 3y – 5 = 0

10

510

2321

231110

22

cc

ba

cPybPxar,Pd

152

51075102

2

10

5210c

ccc

c)(

r1: x + 3y + 5 = 0

r2: x + 3y – 15 = 0

25.15

y = 2x

0343 yx

convémnãox

x

xxxxx

11

272

310816211

5

3116

2423

32436

632 yy

363 yxyx

25.16

P(m, 1)

r: 3x + 4y + 4 = 0

3

382

3

221

083648295

836

2423

41436

x

m

mmmm

3

1621

3

38

3

2221 mmmm

25.17

00

111

111

1

yx

yx

Distância de P(0, 0) à reta 0122 yx

4

2

2222

10202

P,rdP,rd

25.18

Equação da reta que passa por C e D

02340

122

121

1

yx

yx

42324

22334

P,rd

)(

)(P,rd

25.19

0543 yx

32324

51423

R

)(

)(C,rdR

25.20

A(3, 5); B(0, -1) e C(4, 2)

Equação da reta que passa por B e C

04430

124

110

1

yx

yx

32423

45433

h

)(P,rdh

MAT 9C AULA 26

26.01

0700404022210220220 yxyx)y()x(

26.02

12

5

12

50

12

5050125 rmyyx

5

12sm

0140512205

1220 yx)x(y

26.03

mRC,rdR 3021225

502012205

26.04

),(C)y()x( 3552325

26.05

101002422 R)y()x(

26.06

162521 )y()x(

26.07

06262242123 yxyx)y()x(

26.08

Pela figura R = 4.

26.09

5214226212

212 R)()(RC,Pd)yy()yy(C,Pd

26.10

),(C)y()x( 3192321

Distância da reta 03 yx ao ponto ),(C 31

102321

3311

P,rd

)(

)(C,rd

26.11

A(0,–8) e B(6,0)

52

10206280212

212 R)())((B,Ad)yy()yy(B,Ad

),(C,C 432

08

2

60

0862242423 yxyx)y()x(

26.12

C(2,1) e P(–1,3)

13221213212

212 R)()(RC,Pd)yy()yy(C,Pd

082422132122 yxyx)y()x(

26.13.

32pA e C(2,3)

convémnãoR

RRRRR

12

310322322

04642292322 yxyx)y()x(

26.14

),(Cy)x( 0216222

r: 12012 xyyx

2 smrm

042220 yx)x(y

26.15

),(Be),(A 1173

2

5252231271 RB,Ad))(()(B,Ad

132421 )y()x(

26.16

),(Cyyx 30056 122

),(Cxyx 01052 222

330

101

130

1

xy

yx

26.17

Substituindo P(1, 2) em 111 22 )y()x( , temos: 11211 22 )()( , logo P a

circunferência. De acordo com o enunciado (dois pontos diametralmente opostos) o triângulo

em questão é retângulo, pois todo triângulo inscrito numa semi circunferência é retângulo.

A hipotenusa vale a = 2R 212 a.a

A altura h = 1, pois h = R (maior altura é do triângulo retângulo isósceles)

12

12

2

SS

haS

26.18

C(1, 3)

P(4, 7)

R = 5 2531 22 )y()x(

(V) 553714 22 Rd)()(d C,PC,P , logo P a circunferência.

(V) y = 0

3

501522591

2

122

x

xxx)x( ),(Ie),(I 0503 21

(F) Rd)()(d C,PC,Q 293813 22 , logo P é exterior a circunferência.

(V) Rd)()(d C,PC,A 53811 22 , y = 8 é a ordenada máxima.

(F) 2531 22 )y()x(

26.19

Reta que passa (0,2) e (2,0) 12 rmxy , ms = 1

Ponto médio de (0,2) e (2,0) M(1,1)

Reta s perpendicular à reta r que passa por M(1,1): xy)x(y 111

A reta s é a mediatriz de (0,2) e (2,0).

Reta que passa (0,0) e (2,0) y = 0.

A reta t que passa pelo ponto médio de (0,0) e (2,0) é x = 1, e é perpendicular à reta y = 0,

portanto é mediatriz de (0,0) e (2,0), então o centro da circunferência é o ponto (1,1).

O raio é dado por: 21010 222 RR)()( .

Equação da circunferência: 211 22 )y()x(

26.20

a) 50353 22 Re),(Cy)x(

Para y = 2

32

413523

2

122

xpoisdesprezax

xx)x(

Logo P(4,2)

b) 2620

103

124

1

mxy

yx

27.07

0 12 -4y 6x - y x0 24 -8y 12x - 2y 2x 2222

C(3,-2)0 12 -4y 6x - y x 22

49124y4y9x6x 22

5R25)2y()3x( 22

27.08

Se a circunferência está no segundo quadrante e é tangente a ambos os eixos e toca o eixo y

no ponto (0,3): ela também toca o eixo x no ponto (-3,0). Como o raio é perpendicular no

ponto de tangencia, ele também é perpendicular aos eixos x e y nos respectivos pontos de

tangencia. As retas dos raios nos pontos de tangencia, vão se cruzar no centro C(-3,3) e o raio

será R = 3.

27.15

C(2,-3)0 12 -6y 4x y x 22

49129y6y4x4x 22

5R25)3y()2x( 22

7d43

29)3(423d P,r

22P,r

5d27dRdd minminP,rmin

27.18

2

m8,-C0 n my 16x y x 22

R = 1

Ponto médio de BC )3,4(M2

24,

2

62M

Condição de alinhamento de três pontos 12m0

12

m8

134

100

3664n36y12y64x16x 22

100n)6y()8x( 22

99n1100n

27.19

Coordenadas do centro C(, ) à reta y = x + 2 assim, = + 2.

(3, 2) e (2, 5) à circunferência 222 R)y()x(

iR)()(R))(()( 222222 3223

iiR)()(R))(()( 222222 32252

Igualando i com ii 1323 2222 )()()()(

321

5321331 222222 RR)()(R)y()x(

27.20

a) C(1,-2)0 1 4y 2x y x 22

514412 22 yyxx

2421 22 R)y()x(

b) Reta r: 10

101

110

1

xy

yx

Reta s: 4

9

4

33

4

30 xy)x(y

7

6

7

13

4

9

4

3

1

yexxy

xy

c)

21

014211

421

1

22

1122

22 yx

yx)x()x(

)y()x(

xy

d) Distância da reta 4

9

4

3 xy ao ponto C(1, -2).

5

14

14

3

4

9211

4

3

22

C,rC,r d

)(

d

MAT 9C AULA 27

27.01

x2 = 8x + 16 + y2 8y + 16 = 4

(x 4)2 + (y 4)2 = 4

C(4, 4) R = 2

A reta x = y a em duas partes

Sv = 2R 3,14 4

2 2

· = 6,28

6,28 12 = 75,36

75,36 3 = 25,12 26

27.02

x2 12x + 36 + y2 + 8y + 16 = 9

(x 6)2 + (y + 4)2 = 32

(6, 4) e 3

27.03

3 R + 4 R = 5

2 = 2R R =1

27.04

x2 4x + 4 + y2 8y + 16 = 9

(x 2)2 + (y 4)2 = 32

27.05

x2 2x + 1 + y2 2y + 1 14 = 2

(x 1)- + (y 1)2 = 16

16 = 4

27.06

x2 + 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = 1

(x + 3)2 + (y + 2)2 = 1

27.07

2 2

2 2

2 2 2

2

2x 2y 12x 8y 24 0

x y 6x 4y 12 0

6 4Centro , Centro 3, 2

2 2

3 ( 2) ( 12) R

9 4 12 R

R 5

ALTERNATIVA C

27.08

Se a circunferência tangencia os dois eixos, as coordenadas dos pontos de tangência são

simétricos à bissetriz ímpar, ou seja, (0,2) e (2,0). Consequentemente o centro terá

coordenadas (2, 2).

ALTERNATIVA C

27.09

x y 1

x y 3

2x = 4 x = 2

y = 1

(x 2)2 + (y 2)2 = 52

x2 4x + 4 + y2 2y + 1 25 = 0

x2 + y2 4x 2y 20 = 0

27.10

C(1, 2)

2x 4y 8 0

2x y 5 0

3y = 3 y = 1 e x = 2

m = 1

3

y 1 = 1

3(x 2)

3y 3 = x + 2

x + 3y 5 = 0

27.11

x2 6x + 9 + y2 = 15

(x 3)2 + (y 0)2 = 15

C(3, 0)

r: y 0 = 2(x 3) 2x +y 6 = 0

27.12

x2 14x + 49 + y2 6y + 9 = 6 + 58

(x 7)2 + (y 3)2 = 64

P = 7 + 8 = 15

(3 15) + (4 11)

45 + 44 = 89

27.13

I)(V)

II) (F)

(x 1)2 + y2 = 1

x = 0 e y2 = 0 y 0

III)(V)

(x 1)2 + (y + 2)2 = R2

(7 1)2 + (10 + 2)2 = R2

36 + 64 = R2 R = 10

27.14

(6x 25)2 + 36y2 = 252 C = 25

,06

64x2 + (8y 25)2 = 252 C = 25

0,8

m =

25

825

6

= 6

8

y 0 = 6

8(x

25

6)

8y = 6x + 25 6x + 8y = 25

27.15

A distância mínima entre uma circunferência e uma reta é a distância do centro da

circunferência até a reta menos o raio da circunferência:

Cálculo das coordenadas do centro e do raio da circunferência:

2 2

2 2 2

x y 4x 6y 12 0

C(2, 3)

2 ( 3) ( 12) R

R 5

Cálculo da distância entre o centro da circunferência e a reta:

2 2

3.2 4.( 3) 29D D 7

3 4

Cálculo da distância mínima:

Dmínima = D – R

Dmínima = 7 – 5

Dmínima = 2

ALTERNATIVA B

27.16

x2 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 8 k

k < 8

27.17

1 1 1

2 2

·

R 2 1

2 2 R =

2

2

27.18

Centro da circunferência: m

8,2

Ponto A 0,0

Ponto Médio de BC: M(4,3)

Condição de Alinhamento:

8 0 4 8

0m m0 3

2 2

2m 24 0

m 12

A equação da circunferência fica 2 2x y 16x 12y n 0 cujas coordenadas do centro são 8,6

e o raio é igual a 1, assim:

2 2 28 6 n 1

n 99

ALTERNATIVA B

27.19

O centro terá coordenadas (k, k+2) e é equidistante dos pontos (3, 2) e (2, 5). Assim:

2 2 2 2

2 2 22

2 2

k 3 k 2 2 k 2 k 2 5

k 3 k k 2 k 3

k k 4k 4

k 1

Temos então que o centro da circunferência é (1, 3).

O raio é a distância do centro (1, 3) ao ponto (3, 2), ou seja:

2 2

R 1 3 3 2

R 5

27.20

a)

x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0

C(1, -2)

2 2 21 ( 2) 1 R

R 2

b)

Cálculo das equações das duas retas:

0 0

0 1 x 0r : 0

1 0 y 1

r : 0 y x 1 0

r : x y 1 0

s : y y m(x x )

3s : y 0 (x 3)

4

s : 4y 3x 9

s : 3x 4y 9 0

Cálculo da intersecção entre r e s:

x y 1 0

3x 4y 9 0

4x 4y 4 0

3x 4y 9 0

137x 13 0 x

7

13 6y 1 0 y

7 7

13 6I ,

7 7

c)

2 2

2 2

2 2

2

x y 2x 4y 1 0

x y 1 0 y x 1

x (x 1) 2x 4(x 1) 1 0

x x 2x 1 2x 4x 4 1 0

2x 2 0

x 1 y 0 (1,0)

ou

x 1 y 2 ( 1, 2)

d)

2 2

3.1 4.( 2) 9D

3 4

14D

5

MAT 9D AULA 25

25.01 A superfície possui uma base circular e um único vértice. A superfície é um CONE.

ALTERNATIVA E

25.02

1 4

2 3· 33 =

1

3 32 h

2 3 = h h = 6,00

25.03

A = copo cônico.

J = copo cilíndrico.

VA = 1

3 R2 h VA =

1

3 3,14 93 15

VA = 141,3 cm3 10 = 1 413 cm3 = 1,413L

VJ = Sb h VJ = 4,14 4 10 = 125,6 cm3

125,6 cm3 10 = 1 256 cm3 = 1,256 L

Antônio e José, juntos, tomaram mais de 2 litros de chope.

25.04

Sb = R2 Sb = 9 cm2

25.05

Sl - Rg

Sl = 6 10 Sl = 60

25.06

H = altura do cilindro.

H = altura do cone.

Sb = H = 1

3 R2 h

R2 H = 1

3 (2R)2 h

R2 H = 4

3 R2 h

h = 3

4 H

25.07

C = 8

2R = 8 R = 4

H = 12

V = 1

3 42 124

V = 64

25.08

V = 1

3 93 4 V = 37,68 m3 V = 37 680 L

25.09

2 10 360o

x 252

x = 43, 96

x = 2R 43,96 = 2 3,14 R

R = 7

25.10

g = 2 21,5 3,5 14,5 g 3,8

Sl = Rg Sl 3,14 3,5 3,8

Sl = 41,762 42 m2

25.11

01) (V)

h = 114 0,8 h = 91,2 m

02) (F)

Sl = Rg Sl = 3 25 116,7 = 8 752,5 m2

04) (F)

S = R2 S = 3 202 = 1 200 m2

1 200 6 = 7 200 pessoas

08)(F)

S = (252 202) S = 3 225 = 675 m2

16) (V)

2 3 116,7 360º

150 x

x = 54000

700,2 x 77o

25.12

(R, H, g) PA

(x 2, x, x +2)

g2 = R2 + H2

(x + 2)2 = (x 2)2 + x2

x2 + 4x + 4 = x2 4x + 4 + x2

x2 8x = 0

x = 0 ou x = 8

(6, 8, 10)

V = 1

3 Sb h V =

1

3 36 8 V = 96

25.13

8

10 360o

= 36 8 = 288o

25.14

V1 = volume do cilindro

V2 = volume do cone

V1 = 42 3 9 = 432 cm3

V2 = 1

3 42 3 3 = 48 cm3

VT = V1 + V2 = 480 ml

Tempo

V1 1,5 = 288 min

Em 4h = 240 min

288 240 = 48 min.

48 1,5 = 72 ml + V2 = 120ml

25.15

perímetro seção mediana = 2g + 2R (diâmetro)

R circulo = g + R

Stcone = 1

3 So

R2 + Rg = 1

3 (g + R)2

R(R + g) = 1

3 (R + g)2

3R = R + g g = 2R

H2 = 4R2 R2

H = R 3

V = 1

3 R2 H

V = 1

3 R2 R 3

V = 3

3 R3 V =

3

R3

25.16

H = 2a

R = a

Vp = 6 2a 3

4 2a = 3a3 3

R = a 3

2

Vc = 1

3

a 3

2

2a

Vc = 3a

2

3

3

Vp 3a 3 6 3

Vc a

2

25.17

Vcil = 122 16

Vcil = 2 304

Stcone = 144 + 240

Stcone = 384

Stcil = 2 144 + 2 12 16

Stcil = 288 + 382

Stcil = 672

(V)

6 212 3

4 = 216 3 cm2

(F)

384 4

672 7

(F)

(V)

216 3 cm3

(V)

96

V’ = 1

3 62 8 V’ = 96

25.18

Raio da base = 2 2

l = 4

Vc = 1

3(2 2 )2 h

Vp = 1

3 16 h

Vc 8

Vp 16 2

25.19

V = 1

3 152 4 = 300

V’ = 1

3(15 x)2(4 + x) = 300

(225 30x + x2)(4 + x) = 900

900 120x + 4x2 + 225x 30x2 + x3 = 900

x3 26x2 + 105x = 0

x(x2 26x + 105) = 0

x = 0

x = 21

x = 5

25.20

C = 31 2R = 31

R = 31

6,2 = 5

S = Rg S = 3,1 5 13

S = 201,5 cm2

MAT 9D AULA 26

26.01

h 18

h 60 10

10h = 18L 1 080

8h = 1 080

h = 135

26.02

O vinho restante na taça corresponde à metade do volume da taça e tem o formato de outro

cone semelhante ao cone determinado pela taça.

Sendo a altura da taça 8cm, a altura do cone formado pelo restante do vinho chamamos de h,

o volume da taça de V e o volume de vinho restante de v. Então:

3

3

3

3

V 8

v h

2v 512

v h

h 256

h 4 4cm

4cm h 8cm

ALTERNATIVA D

26.03

h

h

2

= k k = 2

V 672

V

= 23

7V = 672 V = 96 mL

26.04

8 4

12 h h = 6m

26.05

823

3V

vv

V

h

H

v

V

26.06

K = 12 3

8 2

K2 = 9

2

26.07

K = 1

2 Vfinal =

1

8 Vo

Vo Vfinal = 7

8

26.08

54 3 = 18

18 2 = 36 cm3

26.09

3 3V ' 20 4 4

V 20 5

V ' 64

V 125 = 0,512

1 0,512 = 0,488 50%

26.10

2

225 h

2Sh

3

2225 3

S 2

S = 225 4

9

· = 100 cm2

26.11

3 31

250025 5 1253

S' 20 4 64

·

S’ = 1280

3

ST= = Sp S’ = 1

3(2 500 1 280) =

1220

3

26.12

K = 1

2

V’ = 1

8 8 000 = 1 000 cm3

cubo = y

y3 = 1 000 y = 10 cm

26.13

V = 1

3 64 62 = 128

01) (V)

3

3

V 6 128 216

V ' x V ' x

V’ = 16

27

x3

02) (F)

x 3

8 6 x = 4

04) (V)

08) (F)

V = 128 3,14 =401,92

Vcubo = 63 = 216

26.14

V ' 1

V 8

3h' 1

10 8

h' 1

10 2 h’ = 5

I)

3 3

t t

a a a

V h 64000 8

V h 27000 h

·

II) a

4 8

3 h ha = 6 m ho = 2 m

III) Vt = 1

3 Sb h

86

4 =

1

3 Sb 8 Sb = 24 m2

26.15

Vt = 27 000 + 37 000

Vt = 64 000 L ou 64 m3

26.16

R = 3

h = 8

K = 1

2

V ' 1

V 2

3x 1

8 3

3

x 1

8 2

x =

3

3

32

3 2

8 8 4

22

·

· x = 4 3 4

26.17

27% V = 8% Vt

Vt 27

V 8

3H Vt 27

12 V 8

H 3

12 2 H = 18 cm

26.18

V ' 1

V 2

Então:

3h' 1

h 2

3

h' 1

h 2 h’ =

3

6

2

d = h h’ d = 6

3

3

2

3 2

6

2

·

·

d = 6 6 3 22 d = 6 3 3 4

26.19

a)

2

A

2B

1 2R H

V 31V

R H3

· ·

· · ·

= 4

b)

A

B

V

V = k3, então:

3H

4h

3

3

H

h = 4

h3 = 3H

4 h =

3

3

2

3 2

H

4

·

· = h =

3H 2

2

26.20

V = 1

3 4 6 = 8

V V’ = 7 V’ =

V ' 1

V 8 8

= k3

31 x

8 6

1 x

2 6 x = 3 cm

MAT 9D AULA 27

27.01

A planificação do bebedouro 3 precisa apresentar dois semicírculos opostos por um retângulo

de comprimento 100m.

ALTERNATIVA E

27.02

PLANIFICAÇÃO

SÓLIDO MONTADO

Tronco de Pirâmide Triangular Regular

ALTERNATIVA A

27.03

Pirâmide maior.

h = 19 3 = 16

V = 1

3 62 16 = 192

Pirâmide menor

h' = 16

4 = 4 cm

V’ = 1

3 (1,5)2 4 V’ = 3

192 3 = 189 cm3

27.04

(F)

(F) Maior

V = 12

3( 100 + 25 + 50) 4(175) = 2 198

(V)

(V) Sl = ( 10 + 5)13 = 195

27.05

32

3

6 V

1089

8 V '

27 108 V’ = 32

V V’ = 108 32 = 76

27.06

V = 10

3( 81 + 9 + 27)

V = 10

3 117 V = 390

27.07

V = 12

3( 4 + 36 + 12)

V = 4 52 V = 208

27.08

x2 =

2 232 24

10 10

x2 = 1024 576

100 100

x2 = 1600

100 x = 4

Sl = 4 7,2 2,4

2

4

Sl = 76,3 m2

76,3 11 = 6,9 7

27.09

R = 3 cm

r = 2 cm

cmh 113

cmgH)rR(g 10222

01) 4

9

2

3

2

2

b

B

b

B

S

S

S

S falsa.

02) 32222 111923233

113

3cmVVRrrR

HV verdadeira.

04) 2502310 cmS)(S)rR(gS verdadeira.

08) 24 cmA , falsa.

16) 222 634950 cmSSrRSS ttt , verdadeira

27.10

cos60o = 3

x

1 3

2 x x = 6

St = 100 + 16 + 4 4 10

2

6

St = 116 + 168 St = 284

27.11

01) (V)

02) (V)

04) (F) 12

08) (V)

h2 + 9 2 = 36 h2 18 h 3 2

16) (F)

ap2 = 9 + 18 ap2 = 27 ap = 3 3

Sl = 4 10 3 3

2

· Sl = 60 3

32) (V)

V = 3 2

3 (64 + 4 + 64 4· ) V = 84 2

64) (F)

64

4 = 16

27.12

31

hV ' 3V h

V’ = 1

27V

VT = 26

27V

T

V 27

V 26

27.13

V1 = 3

3 ( 16 + 1 + 4)

V1 = 21 22

7 = 66

V2 = 770 66 V2 = 704

16 h = 704 h = 704 7

16 22

·

· h = 14

27.14

Hm = H h

2

V = R2 H h

2

4

3 R2

H h

2

V = R2 2h H

2

4H + 4h = 3(3h + H)

4H 3H = 6h 4h

H = 2h

27.15

Vc = 1V

4

r

3

· (4r2 + r2 + 2r2) =

1

4 4r2 28

r(7r2) = 3 28r2

r = 3 28

7

· r 12

27.16

V = 144 30 + 10

3

(144 + 36 + 72)

V = 4 320 + 840

V = 5 160 3 V 15 480 cm3

15 480 6 = 92 880 cm3

92,88 L 46,44 = 2 dias

27.17

V = 4 10 + 6

3 (16 + 4 + 8) 2

V = 125,6 + 351,68

V = 477,28 cm3

477,28 7,9 = 3 770,512

3 770,512 1 000 = 3,77 3,8

27.18

V = x

3 (4x2 + x2 + 2x2)

V = 3 37x 21,98x

3 3

V = 21,98

321,98x

3 = 21,98

x3 = 3 x 3 3

AB = 2x = 2 3 3

27.19

2

3h = 2

2 3

3 = 3

l =

3

3

62 3

3

·

·

V = 1

3

4 3 3

4

· 6 V = 6 3

3V ' 2

V 6

V ' 1

276 3 V’ =

2 3

9

VT = V V’ VT = 6 3 2 3

9 VT =

52 3

9

27.20

a)

H = 4 cm

Sl = 9 + 36 Sl 45

6 12 h

2

= 45

18h = 90 h = 5

H = 4 cm

b)

V = 4

3 (9 + 36 + 18)

V = 4 21 V = 84 cm3

MAT 9E AULA 25

25.01

De acordo com a expressão )n(isen)ncos(pz nn

Se o argumento de z = 200, o argumento de z2 = 400.

25.02

33 18º = 594º

594 360 = 234

234 36 = 6,5

25.03

z6 = 64(cos6

4

+ sen

6

4

)

6z = 64

25.04

[(1 + i)2]4 = (2i)4 = 16

25.05

z9 = cos90o + isen90o

z9 = i

25.06

z 3 1 = 2 z8 = 28 = (22)4

tg =

3

3

1 3

33

·

·

= 8 4

6 6 3

25.07

z2 = 4(cos2

+ isen

2

)

z2 = 4(0 + i) z2 = 4i

25.08

w = 1

z6 = 64(cos2 + isen2)

z6 = 64

y = 64 + 1 = 65

25.09

z3 = cos2

+ isen

2

= i

z6 = cos + isen = 1

z12 = cos2 + isen2 = 1

i + (1) + 1 = i

25.10

542

2 2 2 2i i

2 2 2 2

·

542 2 1 2 2 1

i i2 2 2 4 2

··

542 2i i

2 2

· i54 = i2

2

2 i

2

2

25.11

213 22 pp

0303

1 tg

x

ytg

643063062 60066 z)(isen)cos(z

25.12

z15 = cos90o + isen90o = i

15z = 1

25.13

z = cos1 1 rad 57o

a) (F)

z2 = cos2 + isen2

b) (F)

raio 1

c) (F)

z1 1rad = 57º 1º Q

z2 2rad = 114o 2º Q

z3 3rad = 171o 2º Q

d) (V)

z100 100rad = 5 700o = 300o 4º Q

e) (F)

= 1 rad 57o

25.14

25 144z

25 144

= 1

w = (2i)4 = 16 i4 = 16

25.15

(2i)12 + (2i)24

212 + 224

25.16

z6 = 23(cos + isen) = 8

w4 = [2(i 1)]4 = 24 [(i 1)2]2 = 16 (2i)2 = 64

A = 8 64 = 56

25.17

23122 pp

0601

3 tg

x

ytg

)n(isen)ncos(z nn 00 60602

Para que zn seja um número real, devemos ter a sua parte imaginária nula, ou seja:

knkn)n(sen 318060060 000 , como n IN* e o menor valor n = 3

25.18

cos PAR

sen Impar

f(x) = f(x)

f(x) = f(x)

z = 1(cos + isen)

2n 2 2Z 1 cos2 isen 1 cos sen 2isen cos 1

Zn cos isen cos isen

22cos 2isen cos

cos isen

=

2cos cos isen

cos isen

= 2cos(n)

25.19

z2 = 4(cos 4

+ isen

4

)

z2 = 4(2

2 + i

2

2)

z2 = 2 2 + 2 2 i

2z = 2 2 2 2 i

25.20

z = 3 1 = 2

tg =

3

3

1 3

33

·

· = 30o

zn = 2n(cos(30º n) + isen(30º n))

parte real = 0 então cos(30on) = 0

cos(30on) = 0 30on = {90º, 270º, 450º, ...}

90o n =3

270o n = 9

450o n = 15

n = 15

MAT 9E AULA 26

26.01

Uma equação algébrica do 5º grau pode admitir:

5 Raízes reais

ou

3 Raízes reais e 2 Raízes imaginárias

ou

1 Raiz real e 4 Raízes imaginárias

Considerando que o conjunto dos complexos compreende os números imaginários e os

números reais, todas as opções acima podem ser representadas considerando que a equação

algébrica do 5º grau possui 5 raízes complexas.

ALTERNATIVA D

26.02

4

1 2 3 4

x 3 0

x 3 x 3 x 3 x 3 0 x x x x 3

S : {3}

ALTERNATIVA D

26.03

1 1 2 2 2 1

1 1 1 1 1 0

1 0 1 0

x2 + 1 = 0 x = ± i

{1; i; i}

26.04

4 1 8 29 52

1 4 13 0

= 36

x = 4 6i

2

x = 2 ± 3i

{4; 2 3i; 2 + 3i}

26.05

1 1 6 9 6 10

1 1 5 4 10 0

1 6 10 0

x2 6x + 10 = 0 S = 6

26.06

5 + 6 + 10 = 21

26.07

1 1 2 3 4 4

1 1 3 0 4 0

1 4 4 0

x2 + 4x + 4 = 0 x = 2

26.08

P(1 + i) = (1 + i)3 2(1 + i) + k = 0

2i(1 + i) 2 2i + k = 0

2i 2 2 2i + k = 0

k = 4

26.09

1 2 0 3k 4

2 2 2 3k 6 3k

6 + 3k = k = 2

2x2 2x 4 = 0

x2 x 2 = 0

x' = 1 e x’’ 2

26.10

x3 4x = 0

x = 0

x2 4 = 0

x = 2 e x = 2

x2 + 2x + 1 = 0

(x + 1)2 = 0 x = 1

26.11

x1 = –2 é raiz de x4 + 4x3 + x2 – 6x

0064 223 x)xxx(x

064 23 xxx

1

3032

4

32

x

xxx

)x()x()x(xf 312

26.12

1 3 8 6 24 19

1 3 11 5 19 0

3 14 19 0

3x2 14x + 19 = 0

= 196 228 = 32

26.13

1)

p(i) = i3 ai2 + i a = i + a + i a = 0

2)

a 1 a 1 a

1 0 1 0

3)

P(2) = (2)3 a(2)2 2 a

P(2) = 8 4a 2 a

P(2) = 10 5a = 10

P(2) = 5a = 0 a = 0

26.14

12 17 32 12

2

2 16 24 0

2x2 16x + 24 = 0

S = 16

2 = 8

26.15

2 1 4 8 16 16

2 1 2 4 8 0

1 0 4 0

x2 + 4 = 0 x = 4

x = ± 2i

{2i; 2i}

26.16

8 16 + 2a + 6 = 0

2a = 2 a = 1

2 1 4 1 6

1 2 3 0

x2 2x 3 = 0

x' = 1 e x’’ = 3

26.17

1 1 5 9 7 2

1 1 4 5 2 0

1 1 3 2 0

1 2 0

x 2 = 0 x = 2

26.18

P(x) = 1(x 1)(x 2)(x a)

P(1) = (2)(3)(1 a) = 4

6 6a = 4

6a = 10

a = 5

3

26.19

t3 6t2 + 9t = 4t

t3 6t2 + 9t 4t = 0

t(t2 6t + 5) = 0

t = 0 e = 0

t = 1 e = 4m

t = 5 e = 20m

26.20

a)

8 8 10 + d = 0 d = 10

b)

2 1 2 5 10

1 0 5 0

x2 5 = 0 x2 = 5

x = ± 5

MAT 9E AULA 27

27.01

101 13 xx

2

31

2

31

01

3

22

ix

ix

xx

101 3213 xxx)x(

As duas equações têm o mesmo número de raízes.

27.02

Como a função é do terceiro grau e intercepta o eixo das abscissas em três pontos, têm três

raízes reais.

27.03

012 73 )x()x( polinômio de grau 10 logo apresenta 10 raízes.

27.04

elementos,S)x()x( 212012 73

2 multiplicidade 3 e -1 multiplicidade 7

27.05

8 + 8 10 + k = 0 k = 6

27.06

2 1 2 5 6

1 4 3 0

x2 + 4x + 3 = 0

x' = 1 e x’’ = 3

27.07

2 1 a 8 b

2 1 2 a 4 2a b 8 4a 0

1 4 a 4 4a 0

4 + 4a = 0 a = 1

b 8 + 4a = 0 b 12

27.08

2 1 1 34 56

1 3 28 0

x2 3x 28 = 0

27.09

x(x2 6x 27) = 0

x = 0

x’ = 3 e x’’ = 9

27.10

x' = 1 x’ = 3

x’’ = 2 x’’ = 2

27.11

1 1 1 3 3

1 0 3 0

x2 + 3 = 0

27.12

x' = 1 x’ = 3

x’’ = 2 x’’ = 2

27.13

x2(x 1) [x(x 2) (x + 4)] = 0

x2 2x x 4 = 0

x2 3x 4 = 0

x’ = 1 e x’’ = 4

x2(x 1)

x’ = 0 e x = 1

27.14

Pelas relações de Girardi, temos:

(-1) + (-1) + (-1) + x4 + x5 = -(-1)

-3+x4+x5 = 1

x4 + x5 = 4

ALTERNATIVA E

27.15

p(x) = (x -1)(x2 -1) Þ x = 1

Raiz dupla

27.16

x(x2 x 6) = 0

x = 0

x’ = 2 e x’’ = 3

med = 1

3

27.17

x ×(x +1) ×(x + 2) ×(...) ×(x + 9) = 0

Como uma das raízes é zero o produto das raízes deve ser zero.

27.18

x2 + x + 1 = 0

= 1 4 = 3

x3 1 = 0

x = 1

1 1 0 0 1

1 1 1 0

x2 + x + 1 = 0

x = 1 3

2

x = 1 i 3

2

As raízes da equação x2 + x + 1 = 0 satisfazem x3 1 = 0

27.19

27.19

a = x

b = x

c = x + 3

V = abc Þ 200 = x × x ×(x + 3) Þ x2 ×(x + 3) = 52 ×8

5522 xx

a = 5 cm

b = 5 cm

c = 8 cm

27.20

0940

33

43

32

)x)(x(

x

x

xx

433 ,,S