Universidade Federal de Alagoas – UFALUnidade Acadêmica Centro de Tecnologia – U.A. CTEC

Curso de Engenharia QuímicaCurso de Nivelamento 2010

Geometria Plana e Espacial

Solução dos Exercícios

Hélvio de Farias Costa Peixoto

6º período de Engenharia Civil

• Determine o ângulo θ.

Resp: 93°

Exercício

Solução

Prolonga-se o segmento t até

que este toque a reta r. O ângulo agudo

formado entre os dois é igual ao ângulo

formado por t e s (48°). Prolonga-se o

segmento w e nota-se que o ângulo de

51° é oposto pelo vértice ao ângulo α,

que, portanto também é 51°. O ângulo β é

suplementar de α, logo é 129º.

Sendo assim, faz-se o somatório

dos ângulos internos do quadrilátero

formado pelos prolongamentos e esta

deve ser igual a 360°. É achado então o ângulo γ que é de 87º, mas este é

suplementar de θ, que vale então 93º.

tβ

α

γ

Resp:

Exercício

Solução

x x - 1

1 L

L

L

x - 1

Utiliza-se o teorema de pitágoras no triângulo ADE

e no triângulo EFB, obtendo as equações e

, respectivamente. O sistema é

resolvido para L². O valor obtido é .

A área do triângulo é calculada através da fórmula

para a área de um triângulo equilátero ( ).

O valor obtido é .

• Ache a área colorida na figura:

Resp: 12cm²

Exercício

Solução

A área dos retângulos em azul é igual a

4cm². A área em roxo deve ser dividida

em duas partes, um semi círculo completo

e a área de um retângulo menos a de um

semi círculo.

A área do semi círculo é .

Sendo assim, a área do retângulo menos

a do semi círculo é .

E a área total é a soma de todas as

parcelas, que é igual a 12cm².

• Determine o volume de um cubo inscrito numa esfera de 8 cm de raio.

Resp:

Exercício

Solução

centro

r

r

Note que a diagonal principal do cubo

é igual a duas vezes o raio da esfera,

ou seja, o seu diâmetro. Mas sabe-se

que a diagonal de um cubo é dada

por , onde “a” é a dimensão dos

lados do cubo. Sabendo que d =

16cm, pode-se calcular “a” como

Calcula-se então o volume como

sendo . Que fornece

Resp: 3 m

Exercício

6m

h

4m

r1

2m

r2

h

Inicialmente deve ser calculado o volume

total de água disponível, que é o volume

do cilindro dado por .

A altura de água “h” é igual nos dois cones

devido ao vaso comunicante entre eles.

Realizando semelhança de triângulo nos

dois cones, vemos as seguintes

proporções: e . Assim, o volume

dos cones pode ser calculado em função

dos raios r1 e r2. Sabendo que o volume

inicial de água não se alterou, temos que

, que fornece .

Resolvendo para h, temos que h=3m.

Solução

Resp:. 94

Exercício

Solução

x

xx

x

12-x

A soma da área do quadrado com a do

trapézio é dada por

Se considerarmos A uma função de x, A(x),

podemos esboçar seu gráfico e perceber

que seu valor mínimo se dá quando ,

isto é, no vértice da função.

O valor de y mínimo é y=94.

Resp:.

376 +18π

Exercício

Solução

A área lateral é calculada através de

A área das bases é obtida pela área dos

retângulos de base, menos o furo

E, por fim, a área do cilindro interno que é

dada por

A área total é dada pela soma destas 3

áreas, sendo .

Resp:.

Exercício

Solução

O volume contido no cilindro, na primeira

situação, é o volume da esfera grande (r=2)

mais o volume de líquido. Sendo assim, temos

que o volume total é

Então .

No segundo caso, temos que o volume

total é o do líquido mais o da esfera

menor (r=?) o que fornece

Resolvendo para r, chegamos à seguinte

função . Sabendo que 2 é raiz

desta equação, podemos utilizar o método de

briot ruffini para solucionar a equação. Obtendo

o valor r =

r

2r

Raio do

cilindro

Altura

do

clinidro

Raio do

cilindro

Altura

do

clinidro

2r

Obrigado Pela Atenção!!!!!!