Geometria Plana 2015 -...

www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 16

Geometria Plana – 2015

1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x 2y 4. Para cada número real t

tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de

abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.

a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T,

e esboce o seu gráfico.

b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo

número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem

somente um ponto em comum com a reta r.


2. (Uerj 2015) Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela

seguinte estrutura:

- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem

comprimentos diferentes e formam o ângulo DÂE igual a 45 ;

- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca

em seu ponto médio M;

- um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade;

- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.

Observe o esquema que representa essa estrutura:

Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtém-

se, na reta que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada.

Calcule ,α supondo que o ângulo AÊD mede 85 .

3. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro

quadrados.

O valor da razão AB

BC é igual a

a) 5

.3

b) 5

.2

c) 4

.3

d) 3

.2


4. (Unesp 2015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e

André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio

largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em

C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'.

Considere os dados:

- ABCD e A'B'C'D' são retângulos.

- B', A ' e E estão alinhados.

- C, D e E estão alinhados.

- A'D e B'C são arcos de circunferência de centro E.

Sabendo que AB 10 m, BC 98 m, ED 30 m, ED' 34 m e 72 ,α calcule o

comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos

finais 3.π

5. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede

12cm e o cateto BC mede 6cm.

Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a

a) 2

7 b)

3

7 c)

2

7 d)

2 2

7 e)

2 3

7


6. (Fuvest 2015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado

BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O

são colineares, AD 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado AB do triângulo ABC;

b) a medida do segmento CO.

7. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD

medindo 9 e o ângulo ˆADB reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as

diagonais se cortam é

a) 21

.8

b) 27

.8

c) 35

.8

d) 37

.8

e) 45

.8

8. (Unesp 2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade

japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria

conhecido como “marco zero”.

No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do

militar japonês Yashida, se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poço. No

momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da bomba.


Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km h e adotando a aproximação

5 2,24, os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média,

em km h, de aproximadamente

a) 28. b) 24. c) 40. d) 36. e) 32. 9. (Pucpr 2015) Um mineroduto é uma extensa tubulação para levar minério de ferro extraído

de uma mina até o terminal de minério para beneficiamento. Suponha que se pretenda instalar

um mineroduto em uma mina que está à margem de um rio com 200 metros de largura até um

porto situado do outro lado do rio, 3.000 metros abaixo. O custo para instalar a tubulação no

rio é R$10,00 o metro e o custo para instalar a tubulação em terra é R$6,00 o metro. Estudos

mostram que, neste caso, o custo será minimizado se parte do duto for instalada por terra e parte pelo rio. Determine o custo de instalação do duto em função de x, em que x é a

distância da mina até o ponto P, como mostra a figura.

a) C(x) 6x 10 200 3000 x

b) 22C(x) 6 200 3000 x 10x

c) 22C(x) 4 200 3000 x

d) 22C(x) 6x 10 200 3000 x

e) 22C(x) 10 200 3000 x


10. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um

obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do

prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.

Admita que:

- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são

respectivamente iguais a 2 3 decímetros;

- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.

Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro. 11. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro

3R, conforme ilustra a imagem.

A área do setor equivale a:

a) 2R

b) 2R

4

c) 2R

2

d) 23R

2


12. (Pucrj 2015) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um

segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo.

a) Encontre o raio do maior círculo. b) Encontre o raio do menor círculo. c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois

círculos. 13. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um

setor circular de raio R e ângulo central .θ

a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r.

14. (Pucrj 2015) A medida da área, em 2cm , de um quadrado que pode ser inscrito em um

círculo de raio igual a 5 cm é?

a) 20

b) 25 2 c) 25

d) 50 2 e) 50


15. (Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo

comprimento.

A medida do ângulo θ é igual a

a) 105 . b) 120 . c) 135 . d) 150 .


Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Sabendo que P pertence à reta r, temos t

P t, 2 .2

Além disso, para todo 0 t 4,

o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que

1 t tA(t) t 2 (t 4).

2 2 4

O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes

são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2,1).

b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x

y 22

com a função k

g(x) ,x

sendo

x 0, satisfazem a equação

2x k2 x 4x 2k 0.

2 x

Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a

zero, ou seja, 2( 4) 4 1 2k 0,Δ o que implica em k 2.

Resposta da questão 2:

Considerando BC / /DF, temos:

ˆ ˆADE 45 85 180 ADE 50

180 45ˆADF 67,52

Portanto, 67,5 50 17,5 17 30'α

Resposta da questão 3: [A]

Há três tipos de quadrados, com 1 2 3 sendo os seus lados. É fácil ver que 2 12 e

3 1 2 13 . Portanto, temos 3 2

3

AB 5.

3BC



Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo

comprimento, então

FB B'C A 'D

2(40 30)

5

12 m.

π


[B]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem

2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6

AB 108

AB 6 3 cm.

Do triângulo ABM encontramos

BM 3 3tgBAM tgBAM .

6AB 6 3

É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos

2

2

tgMAC tg(BAC BAM)

2 tgBAM tgBAM

1 2 tgBAM tgBAM

tgBAM

1 2 tg BAM

3

6

31 2

6

3 6

6 7

3.

7



a) No AOE :Δ 22 2 2AE r 3r AE 8r AE 2r 2

AB 2r 3 r 3 r 2ADB ~ AEO AB AB

3r 22 2 r 2Δ Δ

b) No ACO,Δ temos:

2 2 2CO (2r r) r CO 3 r CO r 3

Resposta da questão 7: [E]

No ABD,Δ temos:

2 2BD 9 15 BD 12

15EM 452BEM ADB EM9 12 8

Δ Δ

Portanto, a distância pedida é 45

.8



[D]

A distância d do ponto em que a bomba explodiu até o poço é dada por

2 2 2d 1 (0,5) d 1,25

d 0,5 2,24

d 1,12km.

Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poço em 1,12

0,0014 h800

e, portanto, podemos

concluir que a velocidade média dos personagens foi de 0,05

36km h.0,0014

Resposta da questão 9: [D]

O custo total será dado por: C(x) 6 x 10 d

Onde, 2 2d 3000 x 200

Daí, temos:

2 2C(x) 6 x 10 3000 x 200

Portanto, a opção correta é 22C(x) 4 200 3000 x .



Na figura, temos:

3tg60 x 1

x

a 32 3 a 4

2

2 3 120 2 3y

360 3

π π

Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:

2 3d a x a x y 6 dm

3

π

Resposta da questão 11: [C] A área do setor é dada por

2R AB R R R.

2 2 2



a) 6

3

2

31

3

1R

b) 1 3 2 3 3

r3 2 6 18

c) Teremos:

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

(R r) x (R r)

R 2Rr r x R 2 R

x 4Rr

3 3x 4

6 18

1x

r r

3

(trapézio) (setor I) (setor II)

2 2

A A A A

1 3 3 1 1 3 1 3A

2 6 18 3 3 18 6 6

3A

27 324 72

π π

π π


a) Considere a figura.

Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R, OB OC r e

BAO 30 . Logo, segue que AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO, vem


OB rsenBAO sen30

R rAO

r 1

R 3

Em consequência, a razão pedida é igual a

22

2

r r 26 .

60 R 3R

360

π

π

b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos

r 1sen sen .

2 R r 2 3

θ θ

Por conseguinte, vem

2

2

cos 1 2sen2

11 2

3

7.

9

θθ

Resposta da questão 14: [E]

Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC 10cm, daí temos:

2 2 2 2x x 10 x 50

Portanto, a área do quadrado é 250cm .



[B]

Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura.

É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED.

Sabendo que BAE 90 , tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2.

Em consequência, sendo ABC 135 , concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.

Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 3.

Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem

2 2 2 1( 3) 2 cos cos

2

120 .

θ θ

θ

Geometria Plana 2015 -...

Documents

Transcript of Geometria Plana 2015 -...