Mate Matic A

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APOSTILA MATEMTICA

INTERSECOA interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao con-junto B.

A U B = { x / x A e x B }

ExemploDados A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5} determine: {2,3}

Na representao atravs do diagrama , teremos

OPERAO ENTRE CONJUNTOS

UnioA unio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os ele-mentos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.A U B = { x / x A ou x B }

ExemploDados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-5, 2, 3, 4} determine

A U B = {-5,0,1,2,3,4}

A unio entre dois conjuntos A e B pode ser representa-da atravs de diagramas

Assunto 1

CONJUNTOS INTRODUO

No definimos conjunto na matemtica. Conjunto uma noo primitiva. No entanto, esta noo vem da lingua-gem do dia a dia, dando a idia de agrupamento , reu-nio de partes que formam um todo, grupo, equipe, etc

Simbologia pertence no pertence contem no contem

C

CC

C C

C C

C

C

C

Mulher de azul pertence ao conjunto

Mulher de amarelo no pertence ao con-junto

Conjunto vazio: um conjunto que no possui ele-mentos. representado por { } ou por . O conjunto vazio est contido em todos os conjuntos.Conjunto universo: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e tambm contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U. Na sequncia no mais usaremos o conjunto universo.

U

U

=

=

DIFERENAA diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e nopertencem ao conjunto B.

A - B = { x / x A e x B }

Dados A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5} determineA-B= {1,4}B-A={5}

C C

Conjuntos Numricos

Conjunto dos Nmeros Naturais:Resulta da contagem de objetosN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}N*={1,2,3,4,5,...}Conjunto dos Nmeros Inteiros: formado atravs da unio dos nmeros negativos com os nmeros naturais.Z={...,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,....}Conjunto dos Nmeros Racionais:Nmero racional todo nmero representado na forma de frao

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Conjunto dos Nmero Irracionais:So todos os nmeros que no podem ser escritos na forma de frao

Conjunto dos Nmero Reais: o conjunto formado pela unio dos nmeros racionais , Q , com o conjunto dos nmeros irracionais , I .

TESTES

1) Numa pesquisa realizada num colgio sobre o gosto musical dos alunos, foram feitas duas perguntas: Voc gosta de rock? Voc gosta de msica clssica? Aps a tabulao, foram obtidos os seguintes resultados

Numero de Alunos

Rock 458

Musica Clssica 112

Ambos 62

Nenhum 36

Com base nesses dados, determine o nmero dealunos consultados:(A) 540(B) 544(C) 444(D) 412(E) 284

2) Uma pesquisa de mercado sobre o uso de novos artigos de consumo, obteve-se a seguinte amostragem de dados:

Artigos de Consumo

A

400

B

1200

C

900

AeB

200

BeC

500

Nenhum

200Nmero de RespostasPositivas

Foram consultadas m pessoas, verificando-se que n pessoas no utilizam o artigo A e p pessoas SOMENTE utilizam o artigo B. Sabendo que os usurios de A no so usurios de C, os valores para m, n e p so, respec-tivamente,(A) 2000, 1800 e 1200.(B) 2000, 1600 e 500.(C) 2700, 1600 e 500.(D) 2700, 1800 e 1200.(E) 3400, 1600 e 1200.

3)(ENEM) Um fabricante de cosmticos decide produ-zir trs catlogos de seus produtos, visando a pblicos distintos. Como alguns produtos estaro presentes em mais de um catlogo e ocupam uma pgina inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impresso. Os catlogos 1 C 2 C e 3 C tero,respectivamente, 50, 45 e 40 pginas.Comparando os projetos de cada catlogo, ele verifica que 1 C e 2 C tero 10 pginas em comum; 1 C e 3 C tero 6 pginas em comum; 2 C e 3 C tero 5 pginas em comum, das quais 4 tambm estaro em 1 C .Efetuando os clculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos trs catlogos, necessitar de umtotal de originais de impresso igual a:(A) 135(B) 126(C) 118 (D) 114(E) 110

4) A lista completa dos adjetivos natural, inteiro, positi-vo, negativo, racional, irracional, real e complexo, que seaplica ao nmero abaixo :

(A) complexo, real, irracional, negativo(B) complexo, racional, inteiro, positivo(C) real, racional, inteiro, negativo(D) complexo, racional, inteiro, negativo, natural(E) complexo, real, racional, inteiro, negativo

5) Entre os nmeros apresentados nas alternativas, qual o nico que racional?(A) 2,333...(B) 0,01001000100001...(C) 2/2(D) (E) Razo do comprimento de um crculo e seu raio

6) O produto entre os elementos do conjunto{ 2 | a Z -10 a -9 }

1 - 25 2

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RACIONALIZAO DEDENOMINADORES

TESTES

14) O valor da expresso 161/4 + 81/3 - (-2)2 + 84/3 (A) 16(B) 20(C) 24(D) 28(E) 32

15) A expresso igual a

17) Uma fbrica produz barras de chocolates no for-mato de paraleleppedos e de cubos, com o mesmo vo-lume. As arestas da barra de chocolate no formato de paraleleppedo medem 3 cm de largura, 18 cm de com-primento e 4 cm de espessura.Analisando as caractersticas das figuras geomtricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tm o formato de cubo igual a (A) 5 cm(B) 6cm(C) 12cm(D) 24cm(E) 25cm

18) Considere as desigualdades abaixo.

* confira o gabarito em www.unifonte.com.br

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Pode-se afirmar que esto corretas:(A) apenas a desigualdade I(B) apenas a desigualdade II(C) apenas a desigualdade III(D) apenas as desigualdades I e II(E) apenas as desigualdades II e III

19) A somas do numerador e do numerador da frao irreditvel da soluo da expresso a seguir igual a:

(A) 180(B) 140 (C) 169(D) 149(E) n.d.a

Assunto 4

RAZO Quando comparamos dois nmeros atravs de uma di-viso, o resultado obtido, chama-se razo entre esses nmeros.Assim:Sendo a e b dois nmeros racionais, com b = 0, denomi-na-se razo a e b ou razo de a para b o quociente

a/b ou a:bExemplos:

a) Calcular a razo entre 15 e 25.

Soluo: 15/25 = 3/5

b) Calcular a razo entre 2/5 e 3/10

Soluo:

c) Num jogo de basquete, Oscar fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e Luis, em 30 arremessos obteve 20 pontos, Quem teve a maior razo de acertos? R. Oscar

TESTES

20) A razo entre dois nmeros 2/3 e a soma 35.Calcular esses nmeros.

21) A idade de um filho est para 2 assim como a idade de seu pai est para 10. Determine essas idades, sabendo que a soma deles 54.

23) O valor de x na proporo :

A) 1B) 1C) 0D) 1/3E) 1/3

24) Se (2,3,x) e (15,y,5) so sequncias de nmeros inversamente proporcionais, o quociente (y-x) : 6 (A) 1/4(B) 2/5(C) 2/3(D) 2(E) 3

25 ) A soma de dois nmeros naturais 51. Sabe-seainda que o mpar est para 14 assim como o par est para 20. A diferena entre o n par e o n mpar :A) 9 B)10C) 11 D) 12 E) 13

26) (UFRGS) A planta de um terreno foi feita na escala 1:500. Se, na planta, o terreno tem rea de 10 cm2, sua rea real, em metros quadrados, (A) 25(B) 50(C) 100(D) 250(E) 500

27) (ENEM ) No monte de Cerro Armazones, no de-serto de Atacama, no Chile, ficar o maior Telescpio da superfcie terrestre , o Telescpio Europeu Extremamen-te Grande ( E- ELT) . O E-ELT ter um espelho primrio de 42m de dimetro, o maior olho do mundo voltado para o cu . Ao ler esse texto em uma sala de aula , uma


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APOSTILA MATEMTICA

professora fez uma suposio de que o dimetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm . Qual a razoentre o dimetro aproximado do olho humano suposto pela professora, e o dimetro do espelho primrio do te-lescpio citado ?a) 1 : 20b) 1 : 100c) 1 : 200d) 1 : 1 000e) 1 : 2 000

28) Para uma atividade realizada no laboratrio de Matemtica, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28m de compri-mento por 12m de largura. A maquete dever ser cons-truda na escala de 1 ; 250. Que medidas de comprimen-to e largura, em cm, o aluno utilizar na construo da maquete?(A) 4,8 e 11,2(B) 7 e 3(C) 11,2 e 4,8(D) 28 e 12(E) 30 e 70

Assunto 5

INTERVALOS Intervalos AbertosExemplos:

A = {x R / 1 < x < 4}

Intervalos FechadosExemplos:

B = {x R / -3 < x < 2}B = [-3 ; 2]

Assunto 6

REGRA DE TRS Simplesempregamos em problemas que envolvem apenas duas grandezas que sero comparadas.Em nosso quotidiano, encontramos, algumas vezes, pro-blemas matemticos que podem ser resolvidos atravsda regra de trs. . Os problemas de regra de trs consis-tem em comparar se duas grandezas so diretamente ouinversamente proporcionais.

Grandezas diretamente Proporcionais Duas grandezas denominam-se diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo, uma delas, a outra tambm aumenta ou diminui.

Intervalos IlimitadosExemplos:

C = {x R / x < 4}C = ]- ; 4]

Intervalos IlimitadosExemplos:

C = {x R / x -2}C = [-2 ; +[

4

-2

Exemplo:A produo e o nmero de mquinas numa determinada empresa so GDP , pois quanto maior ( ou menor ) o nmero de mquinas, implica numa maior ( ou menor ) produo na empresa.a) Uma mquina, trabalhando continuamente, produz 450 peas em 1 hora . Quantas peas produzir em 2h e 30 min?


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Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, au-mentando (ou diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou aumenta).Exemplo:A velocidade de um automvel e o tempo so GIP , pois quanto maior for a velocidade desenvolvida pelo carro, o tempo utilizado para percorrer uma distncia constante ser menor . Caso tivermos uma diminuio da velocida-de desenvolvida pelo carro, o tempo ser maior .b) Um automvel percorre uma determinada distncia numa velocidade constante de 220km/h , terminando o percurso em 40min. Caso resolvesse percorrer o mesmo trajeto com velocidade de 25 km/h , quanto tempo levaria?

COMPOSTAA empregamos em problemas que envolvem mais de duas grandezas que sero comparadas .Exemplo:Um operrio levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas levar para fazer 2000m da mesma fazenda ?

1 Mtodo

2 Mtodo

TESTES

21) Determinada obra foi contratada por R$ 420,00 .Dizer quanto recebeu cada operrio, sabendo-se que oprimeiro faltou 3 dias, o segundo 5 e o terceiro 6.

22) A importncia de R$ 36500 foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais s suas idades e inversamente , ao mesmo tempo, ao nmero de filhos. Sabendo-se que a primeira pessoas tem 30 anos e 2 filhos, a segunda , 36 anos e 3 filhos e a tercei-ra tem38 anos e que a primeira recebeu R$ 15.000,00 , pergunta-se :a) Quanto recebeu a segunda pessoa ?b) Quantos filhos tem a terceira pessoa ?

23) Dois irmos compraram um carro em sociedade.Um entrou com R$ 9.000,00 e o outro R$7.000,00 .Conseguiram revend-lo com R$1.600,00 de lucro.Quanto deve receber cada um de lucro ?

24)(UFRGS) Uma estrada de 315 Km foi asfaltada pr 3 equipes, A, B e C, cada uma delas atuando, respecti-vamente, em um trecho proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que coube equipe C foi de :a) 70 Kmb) 96 kmc) 126 km d) 105 kme) 140 km

25)(PIUCRS) Dois amigos jogaram na loteria espor-tiva, sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um prmio de R$ 162,000,00. Como deve ser rateado o prmio:a) 36.000 e 63.000b) 63.000 e 99.000c) 6.300 e 9.900d) 3.600 e 9.600e) 99.000 e 66.000

26) Uma composio de 10 vages iguais transporta 360 toneladas de carvo de- pedra . Se a composio tivesse apenas 6 vages, quantas toneladas carrega-riam ?a) 216 Tb) 217 Tc) 2818 Td) 219 Te) 220 T

27) Com 4kg de algodo pode-se tecer 14m de fazen-da com 0,8m de largura. Quantos kg so necessrios para produzir 350m com 1,2m de largura?a) 450b) 350c) 250d) 150e) 50


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APOSTILA MATEMTICA

28) (UFRGS)As rodas traseiras de um veculo tm 4,25 metros de circunferncia cada uma. Enquanto as rodas dianteiras do 15 voltas, as traseiras do somente 12. A circunferncia de cada roda dianteira mede:a) 2,125 metrosb) 2,225 metrosc) 3,4 metrosd) 3,75 metrose) 5 metros

29) (UFRGS) 0,3 semanas corresponde aa) 2 dias e 1 hora.b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos .c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos.d) 2 dias e 12 horas.e) 3 dias.

30) ( UFRGS) Os 3/50 de um dia correspondem aa) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos.b) 1 hora, 26 minutos e 4 segundos.c) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos.d) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos.e) 1 hora, 44 minutos.

31)(CESP) Uma mquina varredeira limpa uma rea de 5100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condi-es, em 7 horas limpar uma rea de 11.900m2 :

32)(UFRGS) Para certa aluna de uma universidade, cujo ano letivo consta de 2 semestres, com 15 semanas cada um, a previso era gastar 800 reais em despesas eventuais durante o ano letivo. Depois de 3 semanas de aulas verificou que j havia gasto 100 reais com este item. Admitindo-se que ela continue a gastar a mesma taxa, ento ela precisar, para completar o ano letivo, de mais:a) 300 reaisb) 400 reaisc) 600 reaisd) 200 reaise ) 100 reais

33) Uma famlia de 6 pessoas consome em 2 dias 3 Kg de po. Quantos quilos sero necessrios para ali-ment-la durante 5 dias estando ausente 2 pessoas?

34) Sabe-se que 4 mquinas, operando 4 horas pr dia, durante 4 dias , produzem 4 toneladas de certo pro-duto. Quantas toneladas do mesmov produto seriam produzidas por 6 mquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?a) 14 Tb) 13,5 Tc) 13 Td) 12Te) 6T

35)Para asfaltar 1 Km de estrada, 30 homens gasta-ram 12 dias trabalhando 8 horas pr dia. Vinte homens, para asfaltar 2 Km da mesma estrada, trabalhando 12 horas pr dia gastaro quantos dias:a) 24 horasb) 3 semanas e 3 diasc) 12 diasd) 6 semanase) 1 ms

36)Um automvel gasta 10 litros de gasolina para per-correr 85 Km. Quantos quilmetros percorrer com 45litros de gasolina?a) 38,25b) 208,5c) 282,5d) 328,5 e) 382,5

37) Se forem empregados 4 Kg de fio para tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas sero necessrios para produzir 350m de fazenda com 120 cm de largura?a)130b) 150 c) 160 d) 180 e) 250

38)Alfredo colocou lajotas no piso de seu banheiro, que mede 4m por 4m , e gastou R$100,00 . Agora ele quer colocar o mesmo tipo de lajota na cozinha, que mede 5m por 6m. A quantia que Alfredo vai gastar na compra das lajotas de :a) R$ 167,50 b) R$ 187,50 c) R$ 200,00d) R$ 207,50 e) R$ 217,50

39) Em uma repblica de estudantes moram 4 pes-soas que gastam R$ 490,00 com alimentao a cada 10 dias. Se mais duas pessoas passarem a morar nessa re-pblica , o valor que ser gasto com alimentao a cada 15 dias :a) R$1102,50 b) R$2000,50 c) R$2150,34d) R$2240,16 e) n .d. a

40) A sombra de um poste vertical, projetada pelo solsobre um cho plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um basto vertical de 1m de altura mede 0,6m . A altura do poste :a) 6m


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b) 7,2 m c) 12m d) 20 m e ) 72 m

41) (INSS ) Uma empresa gastou a quantia de R$ 3 315,00 na compra dos seguintes produtos: sabo, de-tergente e desinfetante. As quantias gastas na compra desses produtos so diretamente proporcionais a 3 ,5 e7, respectivamente. Com base nessas informaes, jul-gue os seguintes itens.I) A empresa gastou com sabo uma quantia inferior a R$ 600,00II) A quantia que a empresa gastou com desinfetante foi superior a R$1500,00III) Com detergente , a empresa gastou R$1500,00

42) (INSS) Uma equipe de pedreiros trocou o piso de um escritrio em 3 dias de trabalho. No primeiro dia, em 6 horas de trabalho, a equipe trocou 45% do piso. No segundo dia, a jornada de trabalho foi de 4 horas. Nessasituao, assumindo que a equipe trabalhou sempre no mesmo ritmo, julgue os itens que se seguem.I) No segundo dia de trabalho, a equipe trocou 25% do pisoII) No terceiro dia , a jornada foi inferior a 3 horas

43) Trs torneiras despejam 5000 L de gua em um re-servatrio em 5 horas. O nmero de horas que 6 torneiras despejam 6000 L de gua :a) 1 hora b) 2 horas c) 3 horas d) 4 horase) 5 horas

44) (ENEM ) Os dados do grfico foram coletados pormeio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclios

Supondo-se que no Sudeste, 14.900 estudantes foramentrevistados nessa pesquisa, quantos deles posuiamtelefone celular?a) 5513 b) 6556 c) 7450 d) 8344 e) 9536

45) (ENEM) Caf no Brasil: O consumo atingio o maior nvel da histria no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331bilhes de xcaras.Considere aproximadamente a xcara citada na notcia seja equivalente a, aproximadamente, 120mL de caf. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais caf, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consu-mido no ano anterior.De acordo com essas informaes, qual a previso mais aproximada para o consumo de caf em 2010?a) 8 bilhes de litros.b) 16 bilhes de litros.c) 32 bilhes de litros.d) 40 bilhes de litros.e) 48 bilhes de litros.

Assunto 6

PORCENTAGEM A expresso por cento vem do latim per cen-tum, que quer dizer por um cento. Assim quando voc l ou escutauma afirmao como Grande liquidao de vero na loja BA- RATOS : 50 por cento de desconto em todo o vesturio ,significa que voc tem um desconto de 50 reais para cada 100 reais do preo de uma pea de roupa, ou seja :

50% = 50 / 100 Toda razo centesimal por ser representada na forma percentual. Exemplo:a) 7/100=7% b) 35/100=35%c) 3/4=75/100=75% d)3/8=0,375= 35,5%

PROBLEMAS ENVOLVENDO PORCENTAGEMa) Em uma classe de 60 alunos, faltaram 15. Qual a por-

centagem dos alunos presentes?

b) Um comerciante recebeu um desconto de R$1.240,00

numa compra cujo valor era de R$ 37000,00. Qual foi a

taxa de desconto ?

c) Ao comprar um livro paguei com um desconto de

R$2,50 que corresponde a taxa de 5% . Qual era o preo

do livro ? Quanto paguei ?

d) Qual o valor lquido de uma duplicada de R$

15.000,00 que tenha sofrido um desconto de 3%?


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APOSTILA MATEMTICA

TESTES

46) Considere as proposies abaixoI) 125% de 1/5 igual a 7/4II) Se 1/a + 1/b = 1/2, ento a = b = 4III) 20 metros pr segundo correspondem a 72 quilme-tros por hora.a) Apenas a I verdadeira.b) Apenas a I e II so verdadeiras.c) Apenas a I e III so verdadeiras.d) Apenas a II e III so verdadeiras.e) I, II e III so verdadeiras.

47) O preo de venda de um bem de consumo R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preo de custo deste bem. O valor do preo de custo a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

49) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preo de uma mercadoria, nas compras com carto de crdito, dividindo o preo vista pr 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com o carto decrdito, em relao ao preo vista, apresenta:a) um desconto de 20%b) um aumento de 20%c) um desconto de 25%d) um aumento de 25%e) um aumento de 80%

50) Se num determinado perodo o dolar sofreu uma alta de 100% em relao ao real, no mesmo perodo o real, em relao ao dlar, sofrer uma :a) queda de 1/100%b) alta de 1/100%c) queda de 50%d) queda de 100%e) queda de 200%

51) Se x % de y igual a 20, ento y% de x igual a:a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80

52) Um negociante recebeu uma encomenda de ,05 ton de caf torrado. Supondo que o caf em gro perca 19% de seu peso na torrefao, quantas toneladas de caf em gro precisa o negociante torrar para atender exatamente encomenda?a) 3,28 b) 4,00 c) 5,00 d) 6,00 e) 7,69

53) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um to-tal de 30 mil reais. Pouco tempo depois, vendeu-os pr 28 mil reais, ganhando 10% na venda de um deles e perdendo 10% na venda do outro. Quantos reais custou cada carro?

a) 15.500 e 14.500 b) 10.000 e 20.000c) 6.500 e 23.500 d) 7.500 e 22.500e) 5.000 e 25.000

54) A quantidade de gua que deve ser evaporada de 300 g de uma soluo salina ( gua e sal ) a 2% ( sal ) para se obter uma soluo salina a 3% ( sal ) a) 90 g b) 94 g c) 97 g d) 98g e) 100g

55) Um total de R$ 6,000,00 ser investido, parte a 3,5% e parte a 6 %. Se o rendimento total esperado , no mnimo, de R$ 300,00, o valor mximo que pode ser investido a 3,5 % :a) R$ 210,00b) R$ 360,00c) R$ 2,400,00d) R$ 570,00e) R$ 3,600,00

56) Um revendedor aumenta o preo inicial de um produto em 35% e, em seguida, resolve fazer uma pro-moo, dando um desconto de 35% sobre o novo preo. O preo final do produto :a) impossvel de ser relacionado com o preo inicial.b) Superior ao preo inicial.c) Superior ao preo inicial, apenas se este for maior do que R$ 350,00d) Igual ao preo inicial.e) Inferior ao preo inicial.

57) um garom recebe mensalmente um salrio com-posto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00 e uma varivel que corresponde a um comisso de 8% do total das despesas dos clientes que ele aten-deu durante o ms. Sabendo que durante um ms o gas-to de seus clientes foi de R$ 5,000,00, ento o salrio do garom ser dea) R$ 500,00b) R$ 800,00c) R$ 300,00d) R$ 400,00e) R$ 700,00

58) Uma certa mercadoria que custava R$ 10,50 teve um aumento, passando a custar R$ 11,34. O percentual de aumento da mercadoria foi de :a)1,0% b) 10,0% c) 10,8% d) 8,0% e) 0,84%

59) Um comerciante pagou R$ 30,00 pr um artigo.Ele pretende colocar uma etiqueta de preo nesse artigo de modo a poder oferecer um desconto de 10% sobre o preo a etiqueta e ainda Ter um lucro de 20% sobre o preo de custo. Que preo ele deve marcar na etiqueta ?a) R$ 40,00 b) R$ 39,60 c) R$ 39,00d) R$ 36,00 e) R$ 32,40.


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60) Dois dos lados opostos de um quadrado tm um aumento de 40% e os outros dois lados tm um decrs-cimo de 40%. A rea desse quadrado: a) aumenta de 20%b) aumenta de 16%c) permanece inalteradad) diminui 16%e) diminui 20%

61) TRF) Em uma fbrica com 100 empregados, 1% do sexo masculino. O nmero de mulheres que devem ser dispensadas para que a mesma quantidade de ho-mens represente 2% do total :a) 1 b) 2 c) 49d) 50e)51

62) (BB)Um refresco feito adicionando-se quatro partes de gua para uma parte de essncia de frutas. Se a quantidade de gua dobrada e a de essncia quadruplicada, ento a quantidade de essncia na nova mistura :a) 30%b) 33 e 1/3%c) 50%d) 66 e 2/3%e) 80%

63) (ENEM ) Em sete de abril de 2004 , um jornal pu-blicou o ranking de desmatamento , conforme grfico, da chamada Amaznia Legal, integrada por nove estados. Considerando-se que at 2009 o desmatamento cres-ceu 10,5% em relao aos dados de 2004, o desmata-mento mdio por estado est entre:

a) 100km2 e 900km2

b) 1000km2 e 2700km2

c) 2800km2 e 3200km2

d) 3300km2 e 4000km2

e) 4100km2 e 5800km2

64) (ENEM) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trar maior retorno financeiro em uma aplicao de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o ren-dimento e o imposto a ser pago em dois investimentos; poupana e CDB (certificado de depsito bancrio). As informaes obtidas esto resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um ms, a aplicao mais vantajosa :a) a poupana, pois totalizar um montante de R$ 502,80b) a poupana, pois totalizar um montantete de 500,56c) o CBD, pois mobilizar um montante de R$504,38d) o CDB, pois mobilizar um montante de R$ 504,21e) o CDB, pois mobilizar um montante de R$ 500,87

Poupana

Rendimento Mensal (%)

0,560 Isento

0,876 4% (sobre o ganho)

IR (Impostode Renda)

CBD

Assunto 7

EQUAES DE1GRAU Toda sentena matemtica que representa uma igualdade e na qual existem uma ou mais letras que se referem a nmeros desconhecidos dessa sentena de-nominada equao. Cada letra que se refere a um nmero desco-nhecido chama-se incgnita. Neste momento analisare-mos equaes em que o expoente da incgnita 1. . Essas equaes so classificadas como equaes do 1 grau . Para facilitarmos a compreenso do contedo , abordaremos alguns exemplos:

a) 4x + 12= 3x +10

b) 4x + 25 +3x +70 = 12 + 9x +50

c) 4(2x + 10 ) = -3(-2x+15 )

d) 5(4x + 2)= -7(-2x+1)

e) 3x-5 = 5x+30 7 3

f) (2/3)x + 5/6 = x+2

g) 3x/4 - 2/8 = x - (5/2) + 3x

h) x/2 + 5x/3 - 2 = x/4 + 10


13

APOSTILA MATEMTICA

TESTES

65) A raiz da equao 2(x+1)=2-x esta situada entre os nmeros inteiros? 3a) 0 e 1b) 1 e 0c) 1 e 2d) -1,5 e 0e) 2 e 3

66) Observando as equaes 10y + 4 = 16y 8 e 9x 4 = 6x + 8 , podemos concluir que o produto e o quociente de y por x so respectivamente :a) 2 e 8b) 4 e 5c) 8 e 2d) 10 e 5e) n .d . a

67)O valor racional de x para que se tenha aigualdade x+1 + 6x+1 = 3x + 1 : 5 12 3a) 6b) (1/6)c) 12d) 5e) n. d. a

69) (PUCRS) Na equao(m -3)x + 3x +4( m - 5 ) =0, temos que x =2 .Nessas condies , conclumos que o valor de m :a) 7b) 40c) 31d) 14e) 10/3

70) Divisores naturais do nmero querepresenta a soluo da equaox - 4 - 1 = x - 2 so: 3 8a) 1 , 2 , 5 , 10 e 14b) 1 , 2 , 5 , 7 , 9 e 10c) 1 ,2, 3 , 5 , 7 e 10d) 1 , 2 , 5 e 10e) n .d . a

71) (UFRGS) Se x um nmero real, ento xnunca assume o valor: x+1a) -1b) -2c) 0d) 1e)2

72) (BANRISUL) Se x= 2 1, o nmero (1/x) - x :a) mparb) negativoc) nulod) irracionale) primo

73) A soma do qudruplo de um nmero com 63 igual a 211. O valor desse nmero :a) 21b) 37c) 30d) 5e) -27

75) (PRF-CESP) Um reservatrio estava totalmente cheio de gua. Inicialmente esvaziou-se 1/3 da capaci-dade desse reservatrio e a seguir, retirou-se 400 l de gua. O volume de gua que restou no reservatrio, aps essas operaes, corresponde a 3/5 da capacidade to-tal do reservatrio. Nessas condies podemos afirmar que a capacidade e a quantidade de litros de gua que restaram nesse reservatrio so respectivamente:a) 4500 l e 7800 lb) 6000 l e 3600 lc) 2700 l e 1000 ld) 2500 l e 2800 le) n . d . a

76) A idade de um pai o qudruplo da idade de seu filho. Dentro de 5 anos , a idade do pai ser o triplo da do filho. A soma das idades de ambos :a) 30 anosb) 40 anosc) 50 anosd) 60 anose) 70 anos

77) A soluo da equao 3(x - 2) - 1 = 1/5 - x+3 um nmero racional que 20 4fica entre:a) 2 e 3b) 1 e 2c) -3 e -2d) 3 e 4e) 4 e 5

78) Um motorista de txi cobra R$ 4,00 a bandeirada e R$ 1,20 por quilmetro rodado. Se um cliente pagou R$ 100,00 por uma corrida, ento o percurso foi de :a) 10 kmb) 40 kmc) 50 kmd) 68 kme) 80 km


14

79) No incio de uma reunio de negcios, o nmero de homens era 3 a menos do que o nmero de mulheres. Duas horas depois o nmero de homens havia aumentado em 8, o de mulheres havia dobrado e a quantidade de ho-mens e de mulheres era a mesma. A razo entre o numero de homens e de mulheres no incio da reunio era de :a) 1 / 2b) 2 / 5c) 5 / 2d) 1/5e) 3/5

80) Rafael disse a Patrcia: Pense em um nmero: dobre esse nmero; some 12 ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu? Patrcia disse: 15, ao que Rafael imediatamente revelou o nmero original que Pa-trcia havia pensado. Calcule esse nmero?a) 9b) 12c) 15 d) 17 e) 18

81) (UFRGS) Na promoo de venda de um produto cujo custo unitrio de R$ 5,75 se l: Leve 3, pague 2.Usando as condies da promoo, a economia m-xima que se poder ser feita na compra de 188 itens des-te produto de

a) R$ 336,50.b) R$ 348,00.c) R$ 356,50.d) R$ 366,50.e) R$ 368,00.

82) (ENEM ) A disparidade de volume entre os plane-tas to grande que seria possvel coloc-los uns dentro dos outros. O planeta Mercrio o menor de todos. Mar-te o segundo menor: dentro dele cabem trs Mercrios. Terra o nico com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Jpiter o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Seguindo o raciocnio proposto, quantas Terras cabem dentro de Jpiter?a) 406 b) 1334 c) 4002 d) 9338e) 28014

83) (FEEVALE) O valor de x, que soluo da equao3 - 2x - 3 = x + 1/2 pertence ao intervalo 4a) [-1 , 0]b) [0 , 1] c) [1 , 2]d) [2 , 4]e) [4 , 6]

Assunto 8

EQUAES DE2GRAU Equao do 2 grau toda equao com uma varivel apresentada na forma :

ax2+bx+c=0

Analisando a Forma Geral da equao apre-sentada acima, temos : x a incgnita ( varivel ) a , b e c so nmeros reais , chamados de coeficientes.Exemplos:Nas equaes a seguir destacaremos os coeficientesa , b, e c :

a) x2 - 7x 12 = 0

b) x2 49 = 0

c) 8x x2 = 0

RESOLUO DAS EQUAES DO 2 GRAU Resolver uma equao determinarmos as uas

razes, ou seja, os valores de x que tornam a igualdade

verdadeira. Veremos atravs de exemplos como se resol-

vem as equaes incompletas e completas do 2 grau.

1 CASOEquao incompleta do 2 grau na forma

ax2 + c =0 , com ( b=0) .

Exemplo: Resolver as seguintes equaes, sendo U= R

a) x2 - 25 = 0

b) 7x2 14 = 0

c) x2+25 = 0

2 CASOEquao incompleta do 2 grau na forma

ax2 + bx =0 , com ( c =0) .

Exemplo: Resolver as seguintes equaes, sendo U= R

a) x2 25x = 0

b) 7x2 14x x= 0

c) 3x2 - 25 = 0


15

APOSTILA MATEMTICA

3 CASOEquaes completas do 2 grau na forma

ax2 + bx + c =0 .

Exemplo: Resolver as seguintes equaes, sendo U= Ra) x2 7x + 12 = 0 b) 3x2 7x = -2 c) x2 = - 4x -10

PROPRIEDADE DAS RAZES Sejam x e x as razes da equao ax2 + bx + c = 0 . Entre as razes x e x e os coeficientes a , b e c , existem relaes importantes , que calcularemos a seguir. Observando a equao x2 -5x + 6 = 0 , temos como razes os valores x =3 e x =2 . Caso o enunciado da questo que estivermos resolvendo num determinado momento solicitar:

A soma das razes ento calcularemosx + x = 2 + 3 = 5ousoma das razes = -b/a = -(-5)/1 = 5

Produto das razes ento calcularemos x . x =2 . 3 = 6ouproduto das razes = c/a = 6/1 = 6

TESTES

84) A menor das razes da equao x2 + x 12 = 0 :a) 3b) 4c) 3d) 4e) zero

85) (UF-ES ) A equao x2-10x + 25 = 0 tem as se-guintes solues no conjunto dos nmeros reais :a) somente 5b) somente 10c) 5d) 5 e 10e) 5 e 10

86) ( PUC-SP) Uma das razes da equao0,1x 2- 0,7x + 1=0 :a) 0,2b) 0,5c) 7d) 2e) zero

87) A soluo da equao

a) {-1 ; 3}b) {-1 ; 4}c) {1 ; 4}d) {1 ; -3}e) [-1 ; 3]

88) A soma das razes de equao

a) -17b) -6c) 6d) 11e) 17

89) (PUCRS) Desde os tempos remotos , a seco u-rea usada por pintores, escultores e arquitetos, por re-presentar a forma visualmente mais equilibrada e harmo-niosa. Obras de arquitetura clssica, como Parthenon, a Monalisa de Leonardo da Vinci, entre outros, revelam o uso da razo urea na busca da harmonia e esttica.Sabendo-se que o nmero de ouro a raiz da equao x2 -x-1= 0, esse nmero vale:

90) A soma e o produto das razes da equao y2 9y = -20, so respectivamente :a) 20 e 9b) 9 e 20c) 9 e 20d) 20 e 9e) n . d .a

91) (UFRGS) Os nmeros 5 + 18 e5 18 so razes da equao :a) x2 -10x 7 = 0b) x2 10x +7 = 0c) x2+ 10x 7 = 0d) x2+ 10x + 7 = 0e) n.d.a

92) Determine a equao cujas razes so3 + 2 7 e 3 2 7 :a) x2 + 6x +19 = 0b) x2- 6x 19 = 0c) x2- 6x + 19 = 0d) x2+ 6x- 19 = 0e) x2-8x-19 = 0


16

93) Sendo m e m as razes da equao 2x2 + 9x - 3=0, calcule o valor de 1/m + 1/na) 3 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3

94) (FEI-SP)Sendo a e b as razes da equao2x2 x + m = 3, ento , se 1/a + 1/b = 4/3. m igual a:a)3/4b) -4/3c) 27/4d) 0e) n.d.a

95) (FER)As razes da equao x2 + nx + p = 0so 6 e 4 , ento n e p valem respectivamente :a) 2 e 24b) 24 e 2c) 2 e 24d) 2 e 24e) 2 e 24

96) Um pai tinha 24 anos quando nasceu seu filho. Hoje, o quadrado da idade do filho igual ao dobro da idade do pai. As idades de ambos hoje somam:a) 32 anosb) 36 anosc) 40 anosd) 42 anose) 44 anos

97) A soma das idades de Adriano e Carla 11 e o produto de suas idades 28. Quantos anos tem Carla, sabendo-se que Adriano o mais velho ?a) 2 anosb) 3 anosc) 4 anosd) 7 anose) 9 anos

98)(FGV) A soma das razes da equaoax2 + bx + c = 0 10 e o produto -2 , podemos con-cluir que a afirmao correta esta na alternativa :a) b + c = -12ab) b + c = -8ac) b + c = -12d ) b . c = 12 ae) b . c = -12a

99) (ENEM ) Nos processos Industriais, como na in-dstria de cermicas, necessrio o uso de fornos ca-pazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas

situaes, o tempo de elvao dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a quantidade de produto fi-nal e a economia no processo. Em uma Industria de Ce-rmica , o forno programado para elevar a temperatura ao longo do tempoi de acordo com a funo

Em que t o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t o tempo, em minutos, decorri-do desde o instante em que o forno ligado. Uma pea deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for de 48 C e retirada quando a temperatura for de 200 C.O tempo de permanncia dessa pea no forno , em minutos igual a :a) 100b) 108c) 128d) 130e) 150

Assunto 9

SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Nesta etapa do material, solucionaremos sis-temas de equaes com duas variveis, ou seja, o par ordenado que verifica ambas as equaes:

Exemplo: x + y = 24 3x - y = 8

1 Mtodo de Substituio

{


17

APOSTILA MATEMTICA

2 Mtodo de Adio

TESTES

100) (PUC)A soluo do sistema 3x + y = 1 2x + 2y =1

a) {(0 ; 1/4)}b) {(-1/2 ; 1)}c) {(-1/2 ; 1/4)}d) {(1/4 ; 1/4)}e) n.d.a

101)A diferena entre dois nmero 60. Acrescen-tando-se 5 unidades a cada um deles, o maior torna-se o quntuplo do menor. A soma desses nmeros :a) 10 b) 20 c) 40 d) 70 e) 80

102) Um colgio tem 30 professores. O nmero x de professores que ensinam ou- tras matrias igual a quatro vezes o nmero y de professores que ensinam Matemtica. O nmero de professores que ensinam Ma-temtica nesse colgio ?a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 10

103) (UNISINOS )Na loja Revoluo das Bermudas e Camisetas, qualquer camiseta vendida pelo preo de R$15,00. Juca Surfista deseja comprar 3 camisetas e duas bermudas para o prximo veraneio. Sabendo-se que cada camiseta custa o equivalente a 2/3 do preo deuma bermuda e que ele pretende pagar com uma nota de R$100,00 , o valor que ele receber de troco :a) R$10,00 b) R$15,00 c) R$20,00d) R$25,00e) R$30,00

104) (UNIMEP-SP)Uma pessoa comprou bicicleta de duas rodas e guarda chuva de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas 38000 e o nmero de guarda- chuvas

{

o triplo do de bicicletas, ento o nmero de guarda--chuvas corresponde a:a) 1000 b) 9500 c) 3800 d) 3000 e) 19000

105) Num quintal h galinhas e coelhos num total de 53 bichos e 170 ps. O produto entre o nmero de gali-nhas e o nmero de coelhos :a) 562b) 672c) 732d) 762e) 872

106) Numa caixa h bolas brancas e bolas pretas num total de 360 . Se o nmero de brancas o quadru-plo do de pretas , ento o nmero de bolas brancas :a) 72 b) 120 c) 240 d) 288 e) n.d.a

107) ( ENEM ) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 en-quanto para folhetos do segundo tipo seriam necess-rios trs selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do mximo possvel de folhetos do pri-meiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?a) 476b) 675c) 923d) 965e) 1538

108) (ENEM) O Indicador do Cadnico (ICadnico),que compe o clculo do ndice de Gesto Descentrali-zada do Programa Bolsa Famlia (IGD), obtido por meio da mdia aritmtica entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualizao de cadastros (TA), em que

NC = NV / NF , TA = NA / NVNV o nmero de cadastros domiciliares vlidos no per-fil do Cadnico, NF o nmero de famlias estimadas como pblico alvo do Cadnico e NA o nmero de ca-dastros domiciliares atualizados no perfil do Cadnico.Portaria n 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).Suponha que o Icadnico de um municpio especfico 0,6. Porm, dobrando NF o Icadnico cair para 0,5. SeNA + NV = 3.600, ento NF igual aA 10.000.B 7.500.C 5.000.D 4.500.E 3.000.


18

Assunto 10

FUNES

Produto Cartesiano Dados dois conjuntos no-vazios A e B, deno-mina-se produto cartesiano de A por B o conjunto forma-do pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

A X B = {(x, y) / x A e y B}Exemplo: Dados A = {2, 5 } e B = {-2, 2, 5}, determine

n ( A x B ) = n ( A) x n ( B)

Exemplos

01. Dados : A = {1 , 2 , 3} e B = {0 , 2}a) AXBb) BXAc) B

02. Dados os intervalos A = [ -5 ; 4) e B (-2 ; 4] determine o produto cartesiano AxB

Relaes Dados dois conjuntos A e B, chama-se relao R de A em B a qualquer subconjunto de A X B.Exemplo: Sejam os conjuntos A={1 , 2 , 4 } e B = {3, 4, 5, 7, 9}, determine a relao

R = {(x, y) A X B/ y = 2x + 1}.

A X B = { (1,3) , (1,4), ( 1,5), (1,7), (1,9), (2,3), (2,4) , (2,5), (2,7), (2,9), (4,3), (4, 4) ,(4,5), ( 4,7), (4,9) }

R=

Domnio =

Imgem =

TESTES

109) Considerando A = {x Z 1< x 10} , e sendo R a relao em A formada pelos pares (x, y) tais que y = 2x 1, o domnio e a imagem dessa relao correspon-dem, respectivamente, a(A) { 0, 1, 2, 3 } e { 1, 3, 5, 7 }(B) { 1, 2, 3, 4 } e { 3, 5, 7, 9 }(C) { 0, 1, 2, 3, 4 } e { 0, 2, 4, 6, 8 }(D) { 1, 2, 3, 4, 5 } e { 1, 3, 5, 7, 9 }(E) { 1, 2, 3, 4, 5 } e { 0, 2, 4, 6, 8 }

110) (ENEM) A figura a seguir a representao de uma re-gio por meio de curvas de nvel, que so cur-vas fechadas representando a altitude da regio, com relao ao nvel do mar. As coordenadas esto expres-sas em graus de acordo com a longitude, no eixo ho-rizontal, e a latitude, no eixo ver-tical. A escala em tons de cinza desenhada direita est associada altitude da regio.

Um pequeno helicptero usado para reconhecimento sobrevoa a regio a partir do ponto X = (20; 60).O helicptero segue o percurso:0,8L 0,5N 0,2O 0,1 S 0,4 N 0,3 L

Ao final, desce verticalmente at pousar no solo. De acordo com as orientaes, o helicptero pousou em um local cuja altitude a) menor ou igual a 200 m.b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m .c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m .d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.e) maior que 800 m.

111) Acompanhando o crescimento do filho, um ca-sal constatou que, de 0 a 10 anos, a variao da sua al-tura se dava de forma mais rpida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variao passava a ser cada vez menor, at se tornar imperceptvel. Para ilustrar essa situao, esse casal fez um grfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradasQual o grfico a seguir representa a altura do seu filho em relao a sua idade ?


19

APOSTILA MATEMTICA

a) b) c) d) e)

Funes

Sendo A e B dois conjuntos no vazios e uma relao f de A em B, essa relao uma funo de A em B quan-do a cada elemento x do conjunto A est associado um e s um elemento y do conjunto B.Pode-se escrever: f : A > B (l-se: f uma funo de A em B)

Exemplos:1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B ={1, 2, 3, 4, 5}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x+ 2,com x A e y B.

Domnio = Imagem =

2) Dados os conjuntos A={-3, 0, 1, 2, 3} e B={1, 2, 3, 4, 5}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x,com x A e y B.

Domno = Imagem =

TESTES

112) (UFRGS) Dentre os conjuntos de pontos do pla-no cartesiano, apresentados abaixo...

...quais os que NO podem representargrficos de uma funo?a) Apenas I e III.b) Apenas II e IV.c) Apenas III e IV.d) Apenas I, III e IV.e) Apenas II, III e IV.

113) (ENEM) Embora o ndice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inme-ras restries tericas ao uso e s faixas de normalidade preconizadas. O Recproco do ndice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alomtrico, possui uma melhor fundamentao matemtica, j que a massa uma va-rivel de dimenses cbicas e a altura, uma varivel de dimenses lineares. As frmulas que determinam esses ndices so:

Se uma menina, com 64Kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, ento ela possui RIP igual aa) 0,4cm / kg1/4

b) 2,5cm / kg1/3

c) 8cm / kg1/3

d) 20cm / kg1/3

e) 40cm / kg1/3


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Construo de Grficos pelo mtodo da tabela

Funo do Primeiro GrauChama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo fim, a qualquer funo f de R em R dada porf(x) = ax + b ou y = ax + bcom a R, b R, e a 0 definida para todo x real.

Exemplos: f(x) = 5x + 3 (a = 5 e b = 3) f(x) = x + 10 (a = 1/2 e b = 5) 2Anlise do grfico de uma funo poligonal do 1 grau pelo valor dos seus coeficientes

Coeficiente Angular a

Coeficiente linear b

ExemplosRepresente graficamente as funes a seguira) f(x) = x + 4 b) f(x) = -2x + 10

Indica se a fun-

o crescente

ou decrescente

Indica o ponto

onde a funo

passa pelo eixo

das ordenadas

c) f(x) = x 10 2

TESTES

114) (UFAM) A funo f definida por f(x) = -3x + m, est representada abaixo:

Ento o valor de f(2) + f(1) f(0)a) -1b) 0c) 1d) 7/5e) -5/7

21

APOSTILA MATEMTICA

115) FAAP-SP) Em 2008, uma indstria fabricou 4000 unidades de um determinado produto. A cada ano, porm, acrescenta duzentas e cinquenta unidades sua produo.Se esse ritmo de crescimento for mantido, a produo da indstria num ano t qualquer ser:a) 250tb) 4000tc) 4000 + 250td) 4000 250te) 4000t + 250

116) (ENEM) Na cidade de Joo e Maria, haver sho-ws em uma boate. Pensando em todos, a boate props pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria melhor para si.Pacote 1: taxa de R$ 40,00 por showPacote 2 : taxa de R$ 80, 00 mais R$10,00 por showPacote 3: taxa de R$60, 00 para 4 shows, e 15 reaispor cada show a mais Joo assistir a 7 shows e Maria, a 4. As melhores opes para Joo e Maria so, respec-tivamente, os pacotesa) 1 e 2b) 2 e 2c) 3 e 1d) 2 e 1e) 3 e 3

117) (ENEM) Paulo emprestou R$5.000,00 a um ami-go, a uma taxa de juros simples de 3% ao ms. Conside-re x o nmero de meses do emprstimo e M(x) o montan-te a ser devolvido para Paulo no final de x meses. Nessascondies, a representao grfica correta de M(x) :

Funes do 2 Grau

A funo f : R > R , dada porf(x) = ax + bx + c, com a, b, c reais e a 0, denomina-se funo do 2 grau ou funo quadrtica.

Exemplos:f(x) = x2 4x + 3 f(x) = 2x2 5xf(x) = 3x2 9 f(x) = 2x2

Grfico:O grfico de uma funo do 2 grau ou quadrtica sempre uma parbola.Anlise do grfico de uma funo polinomial do 2 grau pelo valor dos seus coeficientes

RazesDenominam-se zeros ou razes da funo quadrtica os valores de x que anulam a funo, ou seja, que tornam f(x) = 0.Para determinar as razes de uma funo quadrtica de-vemos resolver a equao ax + bx + c = 0(frmula de Bskara).


22

Exemplos:1. Determine as razes de f(x) = x2 5x + 6

2. Determine as razes de f(x) = x2 4x + 4

3. Determine as razes de f(x) = x2 2x + 2

Coordenadas do VrticeA parbola, que representa o grfico da funof(x) = ax + bx + c, passa por um ponto V, chamado vrtice da parbola, cujas coordenadas so:

xv = -b/2a (abscissa)

yv = - /4a (ordanada)

Valor Mnimo e Valor MximoSe a > 0, yv = /4a o valor mnimo da funo e

Im = {y R | y /4a}

Se a > 0, yv = /4a o valor mnimo da funo e

Im = {y R | y /4a}

Exemplo 01: Determine as coordenadas do vrtice def(x) = x 8x + 15

Exemplo 02: Uma bola, lanada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) ex-pressa em funo do tempo t (em segundos) decorrido aps o lanamento pela lei:h(t) = 40t 5t

Determine:a) a altura em que a bola se encontra 1s aps o lanamento;b) o(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75m do solo;c) a altura mxima atingida pela bola;d) o instante em que a bola retorna ao solo.

TESTES

118) Sobre o grfico da funo de R em R definida por f(x) = -3x + 18x 15 , verdade que :

a) sua concavidade voltada para cimab) intercepta o eixo das abcissas para x=-1c) intercepta o eixo das ordenadas para x =-5d) tem seu vrtice no primeiro quadrantee) tem um eixo de simetria vertical que passa pelo ponto (4;-12)

119) (UFRGS 95) O movimento de um projtil, lan-ado para cima verticalmente, descrito pela equaoy = 40x + 200x, onde y a altura, em metros, atingi-da pelo projtil x segundos aps o lanamento. A altura mxima atingida e o tempo que esse projtil permanece no ar correspondem, respectivamente, a(A) 6,25 m, 5 s(B) 250 m, 0 s(C) 250 m, 5 s(D) 250 m, 200 s(E) 10.000 m, 5 s

120) (UFRGS) Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura mxima de 12 metros e voltou ao solo 8 segundos aps o chute. Sabendo que uma funo qua-drtica expressa a altura y da bola em funo do tempo t de percurso, esta funo a) y = t + 8tb) y = (3/8)t + tc) y = (3/4)t + 6td) y = 1/4t + 2te) y = (2/3)t + (16/3)t

121) (UFRGS) A parbola na figura abaixo tem vr-tice no ponto (1, 3) e representa a funo quadrticaf(x) = ax + bx + c


23

APOSTILA MATEMTICA

Portanto, a + b (A) 3.(B) 2.(C) 1.(D) 0.(E) 1.

122) (ENEM) A empresa WQTU Cosmtico vende um determinado produto x, cujo custo de fabricao de cada unidade dado por 3x+232, e o seu valor de ven-da expresso pela funo 180x-116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja sa-ber quantas unidades precisa vender para obter um lu-cro mximo. A quantidade mxima de unidades a serem vendidas pela empresa MQTU para a obteno do maior lucro :a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232

123) Seja f: R>R, definida por f(x) = -x + 9x.Ento f (8) f (10) a) 26b) 126c) 154d) 198e) 326

124) (UFPEL) O valor mnimo da funo quadrtica definida em R por y = 3x - 5x + 5 obtido se, x =a) 5 b) 3 c) 5/7 d) 3/5 e) 5/6

125) (UFRGS) Se o grfico abaixo tem expressoy = ax + bx + c , os valores de a, b e c so, respectiva -mente, y(A) 3/2 , -1 e 3(B) 1 , -3/2 e 3(C) 1 , -1 e 3/2(D) 1 , 8 e 3(E) 4 , 8 e 3 -3/2 -1

126) Galileu formou a primeira descrio matemtica do movimento de queda dos corpos, segundo a qual a distncia percorrida por um corpo em queda propor-cional ao quadrado do tempo de queda , isto , d = kt De acordo com os seus conhecimentos e com as infor-maes do texto, considerando K , a constante de pro-porcionalidade, igual a 4,9m/ s , correto afirmar que, de acordo com Galileu, o tempo de queda de um corpo que percorreu 19,6 m de :a) 4 segundosb) 3 segundosc) 5 segundosd) 8 segundose) 2 segundos

Assunto 11

INEQUAES

Inequao de 1 Grau

a) 2x + 6 >0

b) 5x - 15 < 0

c) -3x - 15 0

Inequao de 2 Grau

a) x - 5x + 6 0

b) x - 6x + 8 0

c) -x + 7 x - 12 0

Inequao Produto

a) (x - 3)(-x - 2) 0

b) (x - 6x +8)( -x + 7x - 12)

Inequao Quociente

a) x -7x + 12 x - x - 30

b) -x + 25 > 0 x + 12


24

Determine o domnio das seguintes funes:1) Funo quocientea) f(x)= x + 2 x - 2

b) f(x)= 1 (x - 4)(-x + 1)

c) f(x)= 10 x - 7x + 12

2) Funo Raiz de ndice Pard) f(x)= (x+2)(-x + 3)

e) f(x)= x + 7 x - 2

f) f(x)= x - 3 x + 1

TESTES127. (FURG) Determine o domnio da funoh(x)= x x - 1a) {x R / x 1} b) {x R / x > 1} c) {x R / 0 x < 1}d) {x R / x 0 ou x > 1}e) {x R / x < 0 ou x > 1}

128. PUC) Temos (x - 4x)/(2x - 4)0 se, e somente se, x est no intervaloa) (2; +)b) (0;2] ou (4; +) c) [0;2) ou [4;+)d) (0;2) ou (2; 4]e) (4;+)

129. ENEM) Nos processos industriais, como na indstria da cermica , necessrio o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situaes, o tempo de elevao dessa tempera-tura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma Indus-tria de cermica, o forno programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a funo

+

0 c) m

25

APOSTILA MATEMTICA

ASSUNTO 13

ANLISE COMBI-NATRIAI) Princpio da Multiplicao ou Princpio fundamental da Contagem Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferen-tes e, se para cada uma dessas m maneiras, um se-gundo evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, ento o nmero de maneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro , m x n.

Exemplo 01: Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por So Paulo. Sabendo que h 5 roteiros diferentes para chegar a So Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partin-do de So Paulo, de quantas maneiras possveis essa pessoa poder viajar de Recife a Porto Alegre? Soluo Esquematizando o problema, temos:

RECIFE SO PAULO PORTO ALEGRE 5 roteiros 4 roteiros

total: 5x4 = 20 roteiros

Exemplo 02:Um quiosque de praia em Florianpolis lanou a seguinte promoo durante uma temporada de vero: Combinado de sanduche natural e suco a R$ 5,00. Nesse combinado, constam quatro opes de sandu-che (frango, atum, vegetariano e queijo branco) e trs opes de suco (laranja, uva e morango). De quantas formas distintas uma pessoa pode escolher o seu combinado?

TESTES132. (UFRGS) Do ponto A a um ponto B, existem 5 caminhos, de B at um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um ponto D existem tambm 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D?a) 17b) 30c) 180d) 680e) 4080

133. (FURG) De quantos modos diferentes pode--se arrumar cinco discos em uma estante de modo que dois desses discos estejam sempre juntos?a) 48b) 120c) 12d) 6e) 38

134. (PUC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam--se todos os nmeros possveis de 3 algarismos distin-tos. Dentre esses, os divisveis por 2 so em nmero dea) 24b) 28c) 34d) 40e) 44

135. (FURG) Num acidente automobilstico, aps ouvir vrias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veculo cuja placa era constituda de trs vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o final da placa era o nmero 73. A nica alternativa correspondente ao nmero de veculos suspeitos a) 1140b) 3360c) 144d) 450e) 2700

136. (UFRGS) Se cada placa de carro tiver 3 letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas de 4 algarismos, a totalidade de carros que podem ser emplacados : a) 3! X 4!b) 7!c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7d) 263 x 104 e) (26! ) x (10! )

137. ( UFRGS) Para colocar preo em seus produ-tos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de cdigos de barras , formado por cinco linhas sepa-radas por quatro espaos. Podem ser usadas linhas de trs larguras possveis e espaos de duas larguras possveis. O nmero total de preos que podem ser repre-sentados por esse cdigo : a) 1440b) 2880c) 3125d) 3888e) 4320* confira o gabarito em www.unifonte.com.br

26

II) FatorialSendo n um nmero natural maior que 1, definimos como fatorial de n (n!) o nmero

n! = n.(n 1).(n 2).(n 3) . . . 2.1

IMPORTANTE: 0 ! = 1 e 1! = 1

2! = 2.1 = 26! = 3! = 3.2.1 = 67! = 4! = 4.3.2.1 = 24 (n+2)! =5! = 5.4.3.2.1 = 120 (n+3) !=

OBS.(-5) ! = no existe (3,5)! = no existe

Simplificao de fraes Envolvendo fatorial: 10!

=!7!10

=+!6

!5!4

Quais as razes da equao

6)!1n()!1n(=

+

=+

)!1()!2(

nn

TESTES

139) UFRGS) O conjunto soluo da equao :

30)!2(

!=

nn

a) {-5}b) {5}c) {6}d) {-5;6}e) {26}

140) PUCRS) Se 811

!)!1()!1(

=+

nn

n , ento n

igual a : a) 13 b) 11 c) 9 d) 8 e) 6

141) Sendo 7!)!1(=

+n

n, o valor da

)!1()!3(

++

nn

:

a) 2 b) 7 c) 0 d) n+1

e) 26

142)( UFRGS) Sen um nmero natural qualquer maior que 1, ento n! + n-1 divisvel por : a) n-1 b) n c) n+1 d) n!-1 e) n!

143)(UFRGS( O nmero de divisores de 7! igual :a) 36 b) 45 c) 60 d) 72 e) 96

*confira o gabarito em www.unifonte.com.br

30

81

27

APOSTILA MATEMTICA

III ) Arranjo

)!(!

, pnnA pn

=

Exemplos

a) 3,5A = b) 2,8A =

c) No Campeonato Mundial de Basquete feminino de 2006, disputado no Ibirapuera, em So Paulo, as quatro selees semifinalistas foram: Brasil, Austrlia, Rssia e EUA. De quantas maneiras distintas poderia ter sido definido o pdio (ouro, prata e bronze)?

d) Para ocupar os cargos de presidente e tesoureiro do grmio de um colgio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha?

(n - p)!

IV) Permutao

Pn=n!

Exemplos: a)P3=

b)P5=

c) Determine o nmero de anagramas formados a partir de ESCOLA?d) Determine o nmero de anagramas formados com as letras da palavra PAULINHO que iniciam por conso-ante? e) Determine o nmero de anagramas formados as letras da palavra BATATA?

V) Combinao

Cn,p= n! (n - p)!p!

Exemplos:a)C8,4b)C7,3c)Quantos tringulos podemos formar com 12 pon-tos de um plano, sabendo que no existem 3 pontos alinhados?

d) De quantos modos distintos Eduardo pode escolher quatro entre as nove camisetas de clubes de futebol que possui para levar em uma viagem?

Lembre-se:E x

OU +e)Em um curso de espanhol estudam vinte alunos, sendo doze rapazes e oito moas. O professor quer formar uma equipe de quatro alunos para intercmbio em outro pas. Quantas equipes de dois rapazes e duas moas podem ser formadas?

TESTES144. (FURG) Quantos so os anagramas da palavra BRASIL?a) 720b) 360c) 240d) 6e) 120

145.(FURG) De quantos modos diferentes pode-se arrumar cinco discos em uma estante de modo que dois desses discos estejam sempre juntos?a) 48b) 120c) 12d) 6e) 38

146(PUC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam-se todos os nmeros possveis de 3 algarismos distintos. Dentre esses, os divisveis por 2 so em nmero dea) 24b) 28c) 34d) 40e) 44


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Assunto 14

PROBALIDADE

Experimento aleatrio e expe-rimento determinstico

Experimento Determinstico qualquer experimento cujo resultado pode ser previsto antes de sua realizao, ou seja, no depende do acaso . Ex. 1. Prever a temperatura em que a gua entrar em ebulio, ao ser aquecida.Ex. 2. Prever a velocidade em que um corpo atingir o solo, estando o mesmo em queda livre.Experimento Aleatrio qualquer experimento cujo resultado depende exclusi-vamente do acaso.Ex. 1. Lanamento de uma moeda.Ex. 2. Lanamento de um dado.O estudo das teorias das probabilidades esta baseado no estudo dos experimentos aleatrios.

II ) Espao amostral Espao Amostral o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio.Notao. O conjunto espao amostral ser representa-do pela letra S e o nmero de seus elementos por n(S). Ex.1 : Lanar um dado e observar o nmero na face que est voltada para cima.Assim, S= { 1,2,3,4,5,6} e n(S) = 6

Ex2: Lanar uma moeda duas vezes, simultaneamente, e observar a face voltada para cima. Observao. Para facilitar vamos representar Cara por K e coroa por c.

III ) Evento qualquer subconjunto do espao amostral S.Notao. Cada evento de um espao amostral repre-sentado pelas letras A ou B ou C ..., e o nmero de seus elementos, respectivamente , por n(A) ou n(B) ou n(C) ...Observando o experimento do dado apresentado ante-riormente, destacaremos alguns eventos importantes : Ex. 1. Seja A o evento em que a face voltada para cima apresenta nmero mpar. Portanto, A ={1,3,5} e n(A) = 3.Ex. 2. Seja B o evento em que a face voltada para cima apresenta um nmero divisor de 6. Portanto, C = {1,2,3,6 }e n(B) = 4OBSERVAO: Quando um evento um conjunto uni-trio, o mesmo chamado de evento simples ou evento elementar.

IV ) Definio de Probabilidade A probabilidade da ocorrncia de ocorrer um evento A

igual ao nmero de casos favorveis a ocorrncia do evento A dividido pelo nmero de casos possveis, ou seja :

)S(n)A(n)A(P =

Exemplo: Observando o lanamento sucessivo de duas moedas , determine a probabilidade de : a)Ocorrer exatamente duas caras b) Ocorrer pelo menos uma coroa .

V) Probabilidade da unio de dois eventos A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B igual a probabilidade de ocorrer o evento A mais a pro-babilidade de ocorrer o evento B menos a probabilidade de ocorrer A e B.

Exemplo: Numa escola de 1000 alunos , 300 ouvem a rdio A, 200 ouvem a rdio B e 120 ouvem as rdios A e B . A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ouvir a rdio A ou a rdio B.Dois eventos so MUTUAMENTE EXCLUSIVOS quando a ocorrncia de um exclui a ocorrncia do outro, ou seja, dois eventos so mutualmente exclusivos , temos A B = . Desta forma, registramos:

P (A B) = P (A) + P(B)

Exemplo: Uma urna contem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Qual a probabilidade do nmero de uma bola esco-lhida ao acaso ser ( mltiplo de 6) ou (ser menor que 2) ?

VI ) Probabilidade de dois eventos independentes Quando dois eventos A e B so independentes , a pro-babilidade da ocorrncia de A e B obtida atravs do produto da probabilidade de A com a probabilidade de B . Desta forma :

P (A B) = P (A).P(B)

Exemplos: 1)No lanamento simultneo de 3 moedas , a probabili-dade da ocorrncia de trs faces iguais : 2)No nascimento de 4 filhos , qual a probabilidade deles serem do mesmo sexo?

VII ) Probabilidade condicional Seja S um espao amostral e consideramos dois even-

tos, A e B . Com o smbolo ( )BAP indicamos a probabilidade do evento A, dado que o

P (A B) = P (A) + P(B) P(A B)

29

APOSTILA MATEMTICA

dicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido.

Quando calculamos ( )BAP , tudo se passa como se B fosse o novo espao amostral reduzido dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A .

( ))B(P

)BA(PB

AP =

Exemplo: Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas , segundo sexo e estado civil de acordo com a tabela abaixo:

Solteiro

(S)

Casado

(C)

Desquitado

(D)

Vivo

(V)

Masc( M) 50 60 40 30

Fem (F) 150 40 10 20

Sabendo que a pessoa escolhida foi do sexo masculino , qual a probabilidade dela ser solteira ?

TESTES

150) Um globo contm 100 bolas numeradas de 1 a 100. Retirando-se ao acaso uma bola do globo, a proba-bilidade de que a mesma apresente o algarismo nove : a)0,15 b)0,11c)0,19d)0,10e) 0,5

151) Fuvest3)(- SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 60, a probabilidade de que ele seja primo :

a) b) 1/3

c) d) 1/5

e)1/6

152) (UFRGS) Na figura a seguir, A e B so vrtices do quadrado inscrito no crculo. Se um ponto E do crcu-lo, diferente de todos os vrtices do quadrado, tomado ao acaso, a probabilidade de que A, B e E sejam vrtices

de um tringulo obtusngulo .

a) 41

b) 31

c) 21

d) 32

e) 43

153) (UFRGS) A figura abaixo representa uma parede quadrada na qual esto pintados discos de raio r. Se uma bola lanada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de ela tocar fora dos discos est entre

A)14% e 16%B)17% e 19%C)20% e 22%D)23% e 25%E) 26% e 28%

154)

Uma das principais causas da degradao de peixes

30

frescos a contaminao por bactrias. O grfico apresenta resulta-dos de um estudo acerca da temperatura de pexixes frescos vendidos em cinco peixarias. O ideal que esses peixes se-jam vendidos com temperaturas entre 2 C e 4C . Sele-cionando-se aleatoriamente umas cinco peixarias pesqui-sadas, a probabilidade de ela ter peixes frescos na condi-o ideal igual a :a) b) 1/3c) d) 1/5e) 1/6

155) Numa enqute, foram entrevistados 100 estudantes . Setenta deles responderam que freqentavam um curso de microcomputadores, 28 responderam que freqentavam um curso de ingls e 10 responderam que freqentavam ambos. A probabilidade de um desses estudantes selecionado ao acaso no estar freqentando nenhum desses cursos :a)18% b) 28% c) 88% d) 10%

e) 12%

156) No Pr-Vestibular , a probabilidade de uma aluno escolhido ao acaso ter 18 anos ou mais 38% e a probabilidade de ter 18 anos ou menos 79%. A probabilidade de esse aluno ter exatamente 18 anos : a)15% b) 17% c) 19% d) 23% e) 26%

157) A probabilidades de trs jogadores marcarem um gol cobrando pnalti so, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um nico pnalti, a probabilidade de todos errarem igual aa)3% b) 5% c) 17% d) 20%

e) 25%

158) (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de trs bebs. Se a probabilidade de que cada beb seja menino igual a probabilidade de que seja menina, ou seja, 50%. A probabilidade de que cada os trs bebs sejam do mesmo sexo :

a) 1/2b) 1/3c) 1/3d) 1/6e) 1/8

159) (ENEM) A populao brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena no zero, mas quase Mesmo assim, milhes de pessoas so atradas por essa loteria, especialmente quando o prmio se acumula em valores altos. At junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponvel em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta ltima. Nesse caso, melhor que essa pessoa faa 84 apostas de seis dezenas diferentes, que no tenham cinco nmeros em comum, do que uma nica aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relao ao primeiro , aproximadamente,a) 1 1/2 vez menorb) 2 1/2 vezes menorc) 4 vezes menord) 9 vezes menore) 14 vezes menor

160) . (ENEM) A queima de cana aumenta a concentrao de dixido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa alterao do clima e contribui para o aumento de doenas respiratrias. A tabela abaixo apresenta nmeros relativos a pacientes internados em um hospital no perodo da queima da cana.

Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internadonesse hospital por problemas respiratrios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criana igual aA) 0,26, o que sugere a necessidade de implementaode medidas que reforcem a ateno ao idoso

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APOSTILA MATEMTICA

internadocom problemas respiratrios.B) 0,50, o que comprova ser de grau mdio a gravidadedos problemas respiratrios que atingem a populaonas regies das queimadas.C) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo sade infantil pode ser negligenciado.D) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas deconscientizao que objetivem a eliminao dasqueimadas.E) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em reasatingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimentohospitalar no setor de pediatria seja reforado.


Mate Matic A

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