MATE1_Cap_1_1oS_11-12_v1

Matemática I

Engenharia Civil

22001111 // 22001122

Departamento de Matemática

Complementos de Cálculo Diferencial em IR

MAT Matemática I - Civil 2/13

Função módulo, exponencial e logarítmica 1. Considere as funções:

( ) 4−−= xxr ; ( ) ( )xrxs +−= 3 e ( ) ( )xrxt +−= 3 .

1.1 Defina analiticamente as funções ( )xs e ( )xt . Represente-as geometricamente.

1.2 Determine os zeros da função ( )xs .

1.3 Innddiiqquuee ssuubbiinntteerrvvaallooss ddoo ddoommíínniioo ddee ( )xs eemm qquuee aa ffuunnççããoo éé iinnjjeeccttiivvaa..

1.4 Determine ( )

=−+

−∈= 5221

4: xr

xrIRxT .

2. CCaallccuullee::

2.1 1log5log81log4log 7125321 +++ ;; 2.2

4 301.04

31

21

1ln10log2log

91

log8loge

−+++ .

3. Se ( )dcbaA ln3ln21

ln2ln31

ln +−+= ,, eessccrreevvaa A ccoommoo ffuunnççããoo ddee dcba e,, ..

4. RReessoollvvaa ccaaddaa uummaa ddaass sseegguuiinntteess eeqquuaaççõõeess::

4.1 ( ) xx 33 log12log −=+ ; 4.2 ( ) ( ) 014log1log2 22 =++−+ xx ..

5. Considere a função ( ) 121 −+−= xxf .

5.1 Determine o domínio e o contradomínio da função f .

5.2 Calcule a função inversa ( )xf 1− .

5.3 Mostre que ( ) ( ) 3log25

723

1 =+ −ff .

6. Considere a função ( )1

3−

−=

x

x

xxf .(modificado)

6.1 Defina analiticamente a função f e determine o domínio e o contradomínio.

6.2 Considerando a função ( ) ( )xfxg = , Ix∈∀ , em que ] [0,∞−=I , calcule

−

211g .

7. Considere a função ( )

+=

19

log3 xxf .

7.1 Determine o domínio e o contradomínio da função f .

7.2 Calcule ( )31−f .

7.3 Determine o conjunto solução da equação ( ) 13

2 =

++x

fxf .

8. Seja dada a função ( )( )

−=

321

8log

xxf .

8.1 Simplifique a expressão analítica da função, utilizando propriedades da função logarítmica.

8.2 Calcule o domínio e o contradomínio da função ( ) ( )xfxg −=3 .

8.3 Determine o conjunto solução da equação ( ) ( ) ( ) 0031

61 1 =+−+− − ffxf .



Funções trigonométricas directas e inversas 1. Para cada uma das funções indicadas, determine o domínio e o contradomínio:

1.1 ( )

−−=

4cos21

xxf ; 1.2 ( ) ( )xxf 3sen2 −= ;

1.3 ( ) ( )xxf 4tg3 +−= ; 1.4 ( )

+−=2

sen512x

xf ;

1.5 ( ) ( )x-1arcsen2−=xf ; 1.6 ( ) ( )xxf 2arccotg32−−=

π;

1.7 ( ) xxf arctg4−=

π; 1.8 ( )

−=

3arcsen4

6x

xfππππ

;

1.9 ( ) ( )xxf lnarccos2−= ; 1.10 ( ) ( )xxf 41arctg35

−−= ππππ .

2. Calcule:

2.1

−21

arccos ; 2.2

−

23

arcsen ;

2.3

−

33

arctg ; 2.4

−

23

arccos ;

2.5 ( )3arctg − ; 2.6 ( )3arccotg − ;

2.7

−

22

arcsencos ; 2.8

−21

arcsen2tg ;

2.9

21

arccos2sec ; 2.10

−

23

arccoscotg ;

2.11 ( )( )1-arccotgcosec ; 2.12

−21

arccoscotg ;

2.13 ( )( )0arccos3cosec ; 2.14 ( )

− 3arctg21

sec ;

2.15

5-senarcsenπ

; 2.16

59

senarcsenπ

;

2.17

−6

cotgarccotgπ

; 2.18

−3

cosarccosπ

;

2.19

67

senarcsenππππ

; 2.20

98

tgarctgππππ

;

2.21

54

arcsencosec ; 2.22 ( )( )4arccotgtg ;

2.23

−31

arccossec ; 2.24

−317

arctgcotg .

3. Determine o ponto ( )yxP , , cujas coordenadas satisfazem a:

+

−=

−

=

41

arccossec3

sec2

51

log43

tg

ln3

5

π

π

ye

x .



4. Seja dada a função ( ) ( )xfy −−== 2senarc23

xπ

.

4.1 Determine o domínio e o contradomínio da função.

4.2 A expressão da função inversa ( )xf 1− .

4.3 Resolva a equação: ( ) ( )( )3tgarcsec3

4 1 −−

=−

π-fxf .

5. Considere a função ( ) ( )1arctg21

4−−== xxfy

π. Determine:

5.1 O domínio e o contradomínio da função.


5.3 ( )( )

−

− +−+

−= 31

ln21 1arccotgsec2

4efA

π.

6. Sendo dada a função ( ) ( )axbxf +−= 2arccos2 , em que IRba ∈, , determine:

6.1 As constantes a e b de modo que [ ]1,2 −−=fD e

−=′32,

34 ππ

fD .


6.3 ( ){ }1: =∈= − xfbeIRxS . Derivadas e aplicações 1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

1.1 ( )21

3

−=

xy ; 1.2 ( ) ( )322 sensen

21

xxy += ;

1.3

=

2cotg

3cos2

xxy ; 1.4 ( )

+=

3sec2cosec 33 2 x

xy ;

1.5 ( )x-1arcsen=y ; 1.6

=

xy

1arctg ;

1.7 ( ) ( )2xseclnln2

xey x= ; 1.8 ( ) ( )

−−−

=3

21ln

3

xxx

y ;

1.9 ( )( )x

xy

cosln

senln= ; 1.10 ( )( )42senln xy = ;

1.11 ( )( )24 senln xy = ; 1.12

+= 21arctgln xy ;

1.13 ( )( )32 x1lnarcsen +=y ; 1.14 2xnaxy −= IRa∈ ;

1.15 ( )xy 3sen1 4

10 −= ; 1.16 xx

y ln2= ;

1.17 2xxy = ; 1.18 ( )xxny l= ;

1.19 ( ) xxy

arccotg12 1+

+= ; 1.20 xxxy = .

Nota: No anexo I é indicada uma lista de exercícios suplementares de derivadas.



2. Determine a equação da recta tangente e a da recta normal à curva ( )xy 21arcsen −= , no ponto de

ordenada 6π.

3. Determine a equação da recta tangente e a da recta normal à curva ( ) xxy

sec1+= , no ponto 0=x .

4. Determine as coordenadas do ponto da curva ( ) ( )23arccos −−= xxf , em que a recta tangente ao

gráfico da função nesse ponto, é paralela à recta 043 =+− xy .

5. Escreva a equação da recta tangente e a da recta normal à curva ( ) ( )1ln 2 ++= xxxf , no ponto em

que a função possui derivada nula. 6. Determine a equação da normal à curva xy −−= 234 , no ponto de intersecção da curva com OY.

7. Determine a equação da recta tangente à curva

−=

23

arccos33

xy

π, no ponto de abcissa positiva

em que esta é paralela à recta de equação 023 =+− xy .

8. Aplicando o teorema da derivada da função composta, calcule a derivada indicada:

8.1 ( )1arctg21

4−−= xy

π e ( )tx −+= 2cotg1 , ?=

dtdy

;

8.2 zew 2−= ,

=

yz

1ln e

( )22cos

1x

y += , ?=dxdw

;

8.3

−=

xy

11

ln , tx 2sen= e ( )ut 2arctg= , ?=dudy

;

8.4 ( )xy −−= 2senarc23π

, t-ex 22= e 1ln += wt , ?dwdy

0t

==

.

9. Aplicando o teorema da derivada da função inversa, calcule:

9.1 ( )xey −−= 3131

, ?=dydx

;. 9.2 ( )xy 21arccotg3 +−= , ?=dydx

;

9.3 xy −−= 234 , ?=dxdy

; 9.4

+= 1ln 3xy , ?=

dxdy

;

9.5 ( )23arcsen −= xy , ?=dxdy

; 9.6

−−=2

1arctg4

xy

π, ?=

dxdy

.

10. Para cada uma das funções indicadas, determine:

10.1 ( ) xxfy arctg== , ( ) ?1 =′′f ; 10.2 xxy ln3= , ?4

4

=dx

yd.

11. Calcule o acréscimo e o diferencial da função xxy −= 2 para 10=x e 1.0=x∆ .

12. Para cada uma das funções indicadas, determine:

12.1 x

y2

= , ?01.0

9 =−=

=x

xdy∆

; 12.2 xy tg= , ?º1

3=

=

=

x

xdy∆

π ;

12.3 ( )xy tgln5= , ?4=

=π

xdy ; 12.4 ( ) xy cossenx= , ?=dy .



Exercícios de revisão

1. Considere a curva definida pela equação ( ) ( ) yxeyx y cosxarccotgtgln2 112 +=+

− −− .

1.1 Prove que xy arccos= .

1.2 Calcule dxdy

, utilizando o teorema da derivada da função inversa.

1.3 Determine a equação da recta normal à curva no ponto de intersecção da curva com o eixo OY .

1.4 Sendo xy arccos= ,

=

ev

x2

cosπ

e 1−= tev , calcule 2=tdt

dy, utilizando o teorema da derivada

da função composta.

2. Seja dada a função ( ) xexfy −−==

21

5 .

2.1 Determine ( )

+

=+∈− 3ln4ln

21

621

-arccoscosec43

1: exfIRx .

2.2 Mostre que ( )

−=−

xxf

2101

ln1 .

2.3 Calcule o domínio e o contradomínio da função ( ) ( )xfxg 11 −+−= .

2.4 Sabendo que tz ln= , ( )yt 210cos −= e ( )xfy = , mostre que ( )x-etg21 xe

dxdz −= , aplicando o

teorema da derivada da função composta.

2.5 Determine o ponto da curva ( )xfy = , em que a recta tangente é paralela à recta 03 =+− xy .

Complementos de Cálculo Diferencial em IR Anexo I – Exerc. suplementares de derivadas


1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

1.1 ( )( )313 2 +−= xxy ; 1.2 12

32 +−

=xx

y ;

1.3 2

2

1

1

x

xy

+

−= ; 1.4 13 2 += xy ;

1.5 ( )332

1

−=

xy ; 1.6

32

−=

xx

y ;

1.7 3

2

+=

x

xy ; 1.8

( )212

13

+

−=

x

xy ;

1.9 13 2

5 −= xy ; 1.10 ( )23log 33 −+= xxy ;

1.11

+=

−

8ln

xx eey ; 1.12

1

ln 2

−=

xe

xy ;

1.13 ( )252 xxy = ; 1.14

+++= 22ln xaxxay const−a ;

1.15 ( ) ( )xtg5

cos3sen +

+=x

xy ; 1.16

−

=ax

ax

ay coseccotg const−a ;

1.17 ( ) ( )xxy 5cotg5tg 22 −= ; 1.18 3 23 sensec xxy += ;

1.19 ( )xy cosec= ; 1.20 ( )xy arccos= ;

1.21

=

2

1arcsen

xy ; 1.22

( )xey

2arctg

1−

= ;

1.23

−+

=xx

y11

arccotg ; 1.24 ( ) xy arccosarcsenx21 2= ;

1.25 21

arccos

x

xy

−= ; 1.26 xxy = ;

1.27 xxy = ; 1.28 x

xy

+=1

1 ;

1.29 ( )xxy tg= ; 1.30 ( )xxy arctg= ;

1.31 ( )xxy lnlnln2 −= ; 1.32 xxy ln= ;

1.33

= xy1

cotg3 ; 1.34

=

2cotg

3sen2

xxy ;

1.35 ( )xxy lnarcsen= ; 1.36

−=

xx

y1

cosln ;

1.37 ( )( )323lnln xy −= ; 1.38 ( )xxy tglncosec21 2 +−= ;

1.39

−=

xx

yln1

sen2 ; 1.40 xaxy coscos= const−a ;

1.41 ( ) xxy

sen2 1+= ; 1.42

+=

x

xy

sen-1

sen1ln .

Complementos de Cálculo Diferencial em IR Anexo II – Provas de avaliação


PPrroovvaa 11

1. Seja dada a função ( ) ( )xxg −= 4log2 .

1.1 Calcule o domínio e o contradomínio da função ( ) ( )xgxh +−= 1 .

1.2 Considerando as funções ( )xgy = e ( )tx 3arctg4 += , calcule

31

−=tdtdy

, aplicando o teorema da

derivada da função composta.

1.3 Determine ( ) ( ) ( )

−++=+∈= −

33

arctg2cosec3931: 3ln2ln2egxgIRxS .

2. Seja dada a função ( )

−−==

23

arccos23

xxfy

π.

Considerando a restrição principal da função cosseno:


2.2 Aplicando o teorema da derivada da função inversa, mostre que ( )234

2

−−=

xdxdy

.

2.3 Determine as coordenadas do ponto ( )00,yxP , em que a recta normal à curva é paralela à recta

0133 =−+ yx .

3. Calcule o diferencial da função ( ) 2

cotgln xxy = , para 4π

=x .

PPrroovvaa 22

1. Considere a função ( ) ( )xexgy −−== 3131

.

1.1 Caracterize a função inversa da função g .

1.2 Calcule dydx

:

1.2.1 Directamente.

1.2.2 Confirme o resultado, aplicando o teorema da derivada da função inversa.

1.3 Escreva a equação da recta normal, no ponto de intersecção da curva com o eixo das abcissas.

2. Seja dada a função ( ) ( )xxf −−= 2arctg

32π .

Considerando a restrição principal da função tangente:


2.2 Resolva a equação ( ) ( )

+−+=−

23

-arcsen2sec67

5 1- ππfxf .

2.3 Sendo ( )xfy = e te

x2

1−= , mostre que

152

0

==tdt

dy, aplicando o teorema da derivada da função

composta.

3. Seja dada a função

x

xx

y

+=

cos3

ln . Determine o diferencial da função para 0=x e 02.0=∆x .

Complementos de Cálculo Diferencial em IR Soluções


Função módulo, exponencial e logarítmica

1.1 ( )

−>⇐+

−≤⇐−−=

41

47

xx

xxxs

( )

−>⇐+

−≤⇐−−=

77

77

xx

xxxt

1.2 ( ) ( ) 017 =−=− ss

1.3 Por exemplo, ] ]4,−∞− e [ [∞− ,4 1.4 { }8=T

2.1 37 2.2

21

−

3. 3

23

dc

baA =

4.1 { }1=S 4.2

=21

S

5.1 IRD = ; ] [∞−=′ ,1D 5.2 ( ) ( )1log1 21 ++=− xxf

6.1 ( )

>

<=

−

−

0se2

0se41

1

x

xxf

x

x

6.2 21

211 =

−g

{ }0\IRD = ; +=′ IRD

7.1 ] [∞−= ,1D ; IRD =′ 7.2 ( )32

31 −=−f

7.3 { }6=S

8.1 ( ) ( )xxf −−= 1log33 2 8.2 ] [1,∞−=D ; ] ]3,∞−=′D

8.3

=21

S

Funções trigonométricas directas e inversas 1.1 IRD = ; [ ]1,3−=′D 1.2 IRD = ; [ ]2,1=′D

1.3

∈

+≠∈= Zkk

xIRx ,48

:Dππ

; 1.4 IRD = ; [ ]2,4−=′D

[ [∞−=′ ,3D

1.5 [ ]2,0=D ; [ ]ππ ,−=′D 1.6 IRD = ;

−−=′2

,27 ππ

D

y

x

- 4

- 3

y

x - 7



1.7 IRD = ;

−=′4

,4

ππD 1.8 [ ]3,3−=D ;

−=′

613,

611 ππππππππ

D

1.9

= e

eD ,

1; [ ]0,2ππππ−=′D 1.10 IRD = ;

=′ ππππ

ππππ,

6D

2.1 32π

2.2 3ππππ

−

2.3 6π

− 2.4 65ππππ

2.5 3ππππ

− 2.6 65ππππ

2.7 22 2.8 3−

2.9 2− 2.10 3−

2.11 2 2.12 33

−

2.13 1− 2.14 332

2.15 5π

− 2.16 5π

−

2.17 6

5π 2.18

3ππππ

2.19 6ππππ

− 2.20 9ππππ

−

2.21 45 2.22

41

2.23 3− 2.24 173

−

3. ( )2,0

4.1 [ ]3,1=D ;

−=

34,

32' ππ

D 4.2 ( )

−−=−

63

sen21 xxf

π

4.3 25

=x

5.1 IRD = ;

=′

2,0π

D 5.2 ( )

−+=− xxf 2

2tg11 π

5.3 8=A

6.1 3=a ; 32π

=b 6.2 ( )

−+−=−

23cos

21

231 x

xfπ

6.3 1−=x

Derivadas e aplicações

1.1 ( )31

6

−−

x 1.2 ( ) ( )322 2sen3cos xxxx +

1.3

−

−

2cosec

3c

21

2cotg

32

sen31 22 xx

osxx

1.4 ( ) ( )

+−

3tg

3sec2cotg2cosec

34 33 2 xx

xx

1.5 x-12

1

x− 1.6

21

1

x+−



1.7 ( ) ( ) ( ) ( )

++ xx

xxxxe x 2tglnln2

ln1

lnln22xsec2

1.8 ( ) ( ) ( )321

191633

12

11

3 2

−−−

+−=

−−

−+

− xxx

xxxxx

1.9 ( ) ( )

( )xxxxx

cosln

senlntgcoslncotg2

+ 1.10 ( )2cotg8 xx

1.11 ( ) ( )( )232 senlncotg8 xxx 1.12 ( )

+++ 222 1arctg12 xxx

x

1.13 ( )( )

( ) ( )323

32

x1ln1x1

x1lnarcsen6x

+−+

+ 1.14 ( )axnax xn ln2 21 2

−−−

1.15 ( ) ( ) ( ) ( )xxx 3cos3sen1010ln12 33sen1 4−− 1.16 ( )x

x xx

2

ln

ln

2ln12ln +−

1.17 ( )1ln212

++ xx x 1.18 ( ) ( )

+ xx

xn x lnlnln1

l

1.19 ( ) ( ) ( )[ ]1lnarccotg121 2arccotg2 +−++ xxxxx

1.20

++x

xxxx xx x 1lnln2

2. Recta tangente → 63

3x

334

yπ

++−= ; Recta normal → 616

3x

43

yπ

+−=

3. Recta tangente → 1x21

y += ; Recta normal → 12x-y +=

4.

−2

,32 π

5. Recta tangente → 2ln1+−=y ; Recta normal → 1−=x

6. 53ln9

1−−= xy

7.

−=31

3 xy

8.1 21

−=dtdy

8.2 ( ) ( )( )xxdxdw

2cos22sen +−=

8.3 241

8

u

ududy

+= 8.4 4

dwdy

0t

−==

9.1 ydy

dx313−

= 9.2

−=3

cosec61 2 y

dydx

9.3 3ln32 x

dxdy −= 9.4

( )12

33

2

+=

x

xdxdy

9.5 ( )2231

3

−−=

xdxdy

9.6 ( )224

2

xdxdy

−+=

10.1 ( )21

1 −=′′f 10.2 xdx

yd 64

4

=

11. 91.1=y∆ ; 9.1=dy

12.1 27001

01.09 =−=

=x

xdy∆

12.2 45º1

3

π

∆

π ==

=

x

xdy

12.3 dxdyx

5ln24=

=π 12.4 ( ) ( ) dxxx

xx

dy x

−= senlnsen

sencos

senx2

cos



EExxeerrccíícciiooss ddee rreevviissããoo

1.2 21

1

xdxdy

−−= 1.3

2π

+= xy

1.4 42

π=

=tdtdy

2.1 1−=x 2.3 ] [5,∞−=D ; ] ]0,∞−=′D 2.5 ( )4,2ln−=P EExxeerrccíícciiooss ssuupplleemmeennttaarreess ddee ddeerriivvaaddaass

1.1 929 2 +− xx 1.2 ( )31

6

−−

x

1.3 ( )221

4

x

x

+− 1.4

13

32 +x

x

1.5 ( )432

6

−−

x 1.6

( )4

226

x

x −

1.7 ( )

( )232

43

+

+

x

xx 1.8

( )312

76

+

+−

x

x

1.9 13 2

55ln6 −xx 1.10 ( ) 3ln23

333

2

−+

+

xx

x

1.11 1

12

2

+

−x

x

e

e 1.12

( )( )2

2

1

ln12

−

−−x

xx

ex

xexe

1.13 ( )2ln512210 xxx + 1.14 22

1

xax +

1.15 ( ) ( )xx

xx 2sec

2

15

sen51

3cos3 +

− 1.16

−

ax

ax

ax

coseccotgcosec

1.17 ( ) ( ) ( ) ( )( )xxxx 5cosec5cotg5sec5tg10 22 + 1.18 3

3

senx3

cos2tgsec3

xxx +

1.19 ( ) ( )xxx

cotgcosec4

1− 1.20

22

1

xx −−

1.21 1

24 −

−xx

1.22 ( ) ( )( )224

2

arctg1

2xx

x

ee

e−−

−

+

1.23 21

1

x+− 1.24

( )21

arcsenarccos2arcsen21

x

xxx

−

−

1.25 ( )32

2

1

1arccosx

x

xx

−

−− 1.26 ( )xx x ln1+

1.27

+

−xx

xln

21

121

1.28

+−

+

+

xxx

x

111

1ln1

1

1.29 ( ) ( )

+ x

xxx

x x tglntgsec

tg2

1.30 ( ) ( )( )

++

xx

xxx x

arctg1arctglnarctg

2



1.31 xxx

xln1ln2

− 1.32 xx x ln2 1ln −

1.33 2

1cotg

2 3ln31

cosec

x

xx

1.34

−

2cosec

3sen

21

2cotg

32

sen31 22 xxxx

1.35 ( )x

x2ln1

1lnarcsen

−+ 1.36

−−

xx

x

1tg

12

1.37 ( ) ( )33

2

23ln23

6

xx

x

−−

− 1.38 xx 3cosecsec

1.39

−x

xln12sen

x

2-lnx2

1.40 ( )axax

x x lncos1cos

sen21 cos +−

1.41 ( ) ( )

++

++ 1lncos

1

sen21 2

2

sen2 xxx

xxx

x 1.42

x

xx

sen-1

sencotg

PPrroovvaa 11

1.1 ] [4,∞−=D ; [ [∞−=′ ,1D 1.2 2ln

6

31 π

−=−=tdt

dy

1.3 { }1−=S

2.1 [ ]

−=′=

3,

35

;5,1ππ

DD 2.3

−

32

,3π

P

3. dxdy8

2

4x

ππ −=

=

PPrroovvaa 22

1.1 ( )

−−=− yxg

31

ln1 ;

∞−=

31,D ; IRD =′

1.2 ydy

dx313−

= 1.3 ( )3ln3 −−= xy

2.1

=′=34

,32

;ππ

DIRD 2.2 2=x

3. ln301.002.0

0 ==∆=xxdy

MATE1_Cap_1_1oS_11-12_v1

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