Matemática 2º bimestre - semana 5

Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção Bimestre 2

Atividade de Portfólio da Semana 5 Aulas 17 e 18 Exercício A Expoentes e Logaritmos

A história do logaritmo vem aparecer no final do século XVI e começo do século XVII, com a intenção de simplificar cálculos que antes eram conhecidos como desafios.

Em primeiro lugar, podemos tratar da abstração da matemática. Como ela é uma matéria de difícil visualização, fica um pouco complicado

compreender quando falamos de grandezas numerais, tanto positiva como negativa. É certo de que quando menor os números, sua compreensão fica mais facilitada,

exemplo é o uso de nossas mãos na realização de cálculo com os dedos. Até animais tem mais compreensão com valores pequenos.

E o logaritmo chegou para exatamente sanar esta dificuldade. Seu uso descomplicou tarefas que antes eram consideradas muito difíceis de serem realizadas. È sem nenhuma dúvida um marco. Como diz os italianos “um Ovo de Colombo”.

Utilizandose do número 10 com expoentes diferenciados, através de uma tabela é possível resolver vários problemas. Por exemplo, no passados para serviços de navegação e atualmente para cálculos de ph da água à medidas de terremoto.

Sua aplicação é muito usada na informática, sendo o precursor no uso desta tecnologia. Mesmo as tabelas mais antigas podem ser utilizadas atualmente.

O conceito de logaritmo trouxe cálculos complexos para uma forma mais simples e usual.

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Exercício B

Texto A

Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associandoos a números menores. Em vez de 107 ou 107, penso nos expoentes 7 ou no 7.

O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa o valor de N: log N = n quer dizer que 10n = N.

Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se

N = ax então x = logaritmo de N na base a = logaN.

De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os valores aproximados de tais expoentes.

1. 1 Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a tabela abaixo:

N N = 10n n (log N) 1 1 = 100 0 2 2 = 100,30 0,30 3 3 = 100,47 0,47 4 4 = 100,60 0,60 5 5 = 100,69 0,69 6 6 = 100,77 0,77 8 8 = 100,90 0,90 9 9 = 100,95 0,95 10 10 = 101 1 12 12 = 101,079 1,079 15 15 = 101,176 1,176 18 18 = 101,255 1,255 20 20 = 101,301 1,301 27 27 = 101,431 1,431 30 30 = 101,477 1,477 32 32 = 101,505 1,505 36 36 = 101,556 1,556

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Atividade de Portfólio da Semana 5 40 40 = 101,602 1,602 60 60 = 101,778 1,778 100 100 = 102 2 300 300 = 102,477 2,477 400 400 = 102,602 2,602 1000 1000 = 103 3 3000 3000 = 103,477 3,477 9000 9000 = 103,954 3,954 10000 10000 = 104 4 50000 50000 = 104,698 4,698 100000 100000 = 105 5

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Texto B

Escala Richter para medir intensidade de Terremotos

A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que R = log(A/Ao), onde a razão A/Ao representa a comparação, medida por um aparelho chamado sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com uma amplitude de referência Ao. Como esta razão costuma ser um número muito grande, ele é expresso por uma potência de 10; o expoente de tal potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida R em graus na escala Richter.

A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a amplitude das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para relacionar o valor da medida R e o montante da Energia destruidora E: R = 0,67.log E – 3,25. A consequência prática é o fato de que a cada grau a mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes.

Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do que um terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de potências de 10; entretanto, a energia correspondente é 31,6 vezes maior a cada grau R a mais.

Os exercícios seguintes explorarão tais fatos.

1 Complete a tabela abaixo:

Escala Richter (graus)

Amplitude (n x valor de referência)

Energia (n x valor de referência)

0 1 1

1 10 31,6

2 100 31,62 = 1000 (aprox.)

3 1000 31,63

4 10000 31,64

5 100000 31,65

6 1000000 31,66

7 10000000 31,67

8 100000000 31,68

9 1000000000 31,69

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Texto C

A fórmula química da água é H2O; entretanto, mesmo a mais pura, contém cátions H+ dissociados de ânions OH. A quantidade de tais íons dissociados é relativamente pequena: cerca de 1 íon grama de H+ para cada 107 litros de água. (Apenas para comparação, uma caixa d’água costuma ter 1000 litros de água; existiria, então, 1 íon grama de H+ para cada 10 000 caixas d’água...)

É a atividade dos H+ que corresponde à sensação de acidez, quando se ingere um líquido, por exemplo. Para baixas concentrações, tal atividade pode ser identificada com a concentração de tais íons. Numa limonada, que é mais ácida do que a água, existe cerca de 1 íon grama de H+ para cada 102 litros. Em uma substância básica, usada para combater a acidez, como o leite de magnésia, ou um sal de frutas, existe muito menos: cerca de 1 íon grama para cada 1012 litros. Ao se ingerir uma substância básica, o efeito produzido é o da diluição dos H+, com a diminuição da acidez.

O que se chama pH (potencial hidrogeniônico) é, então, o expoente de 10 na concentração de H+. O logaritmo é negativo, nessa concentração, uma vez que, no caso da água, por exemplo, temos a razão 1/107, ou 107 como concentração de H+.

Na prática, no entanto, constróise uma escala que vai de 0 a 14, ou seja, caracterizase a acidez pelo simétrico da concentração de H+. Em tal escala, a água encontrase no meio, tendo pH igual a 7. Entre 0 e 7, encontramse as substâncias ácidas; entre 7 e 14, as básicas. Os exercícios abaixo exploram tais fatos.

1 Complete a tabela abaixo:

Medida de Acidez: pH Natureza: Substância Ácida ou Básica

Concentração de H+

1 H+ para cada ...litros

1 Muito Acida 10

2 Muito Acida 102

3 Acida 103

5 Pouco Acida 105

7 Neutra 107

9 Pouco Básica 109

11 Básica 1011

13 Muito Básica 1013

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Aulas 19 e 20 Exercício A Questão 1 Observe a representação da circunferência trigonométrica com a extremidade final do arco de medida x assinalado.

Determine o valor de: a) cos x = 0,6 b) sen x = 0,8

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Questão 2 Observe os gráficos das funções y = senx e y = cosx. Neles, é possível observar os valores dos senos e cossenos dos arcos notáveis e também de seus simétricos em relação aos eixos horizontal e vertical.

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Preencha as tabelas seguintes a partir das características observadas nesses gráficos:

f(x)=10sen(1/5x)

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Atividade de Portfólio da Semana 5 Exercício B Questão 2 Suponha a existência de um fenômeno que ocorra regularmente, de tempos em tempos, mantendo suas características, envolvendo uma grandeza M variando ao longo do tempo t. Nessas condições, esse fenômeno é periódico e, vamos supor, que a intensidade da grandeza M (medida em centímetros) varie em função do tempo t (dado em minutos) de acordo com a equação:

Determine o período e a imagem dessa função Período: > π/2=[4 ] Imagem: eixo y [0.4 , 5.6] Questão 3 O gráfico seguinte apresenta, de forma simplificada, as alturas das marés altas em certo ponto do litoral. Nesse gráfico, y = 0 representa a linha sobre a qual estão registradas observações da maré de altura média.

A equação que podemos escrever para representar esse gráfico é: y = 0,5 cos

Nessa equação, x é o dia de observação e y é a altura, em metros, da maré alta nesse dia de observação. Note que há uma linha horizontal traçada por y = 0,25 m, e que essa linha cruza o gráfico em vários pontos. Quais são as abscissas desses pontos, ou, em outras palavras, em quais dias, no período considerado, foram observadas marés com 0,25 m de altura acima da média? 0,25=0,5 cos [(2π/15)x] cos [(2π/15)x]=0,25/0,5 cos [(2π/15)x]=0,5

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