MATEMÁTICA CEFET

5/21/2018 MATEMTICA CEFET

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1 www.nuceconcursos.com.br | Informaes: (81)3198.1414NUCE | Concursos PblicosParte integrante da apostila do IFPE - NUCE. Todos os direitos reservados Copyright. Proibida a reproduo total ou parcial desta obra.

Matemtica Prof. Henrique Frana

NMEROS NATURAIS

1. Conjunto dos nmeros Naturais (I)I= { 0, 1, 2, 3 ... }

1.1 Operaes com nmeros Naturais

1.1.1 Adio

x + y = z xe y parcelaszsoma ou total

Propriedades da adio

a) Fechamento: A soma de dois nmerosnaturais um nmero natural.Ex.: 5 + 12 = 17

b) Comutativa: A ordem das parcelas noaltera a soma.Ex.: 3 + 8 = 11

3 + 8 = 8 + 38 + 3 = 11

c) Elemento Neutro:O nmero zero.Ex.: 0 + 5 = 5

5 + 0 = 5

d) Associativa: A adio de trs nmerosnaturais pode ser feita associando-se asduas primeiras ou as ltimas parcelas.Ex.:(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 (2 + 3) + 5 =2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 2 + (3 + 5)

Exerccio: Numa adio de 5 parcelas, a 1 ea 2 so respectivamente, 600 e 700; a 3 igual diferena entre as duas primeiras; a 4 igual soma da 1 com a 3 e a 5 igual diferena entre a 4 e a 3. Calcule a soma.

Resp. 2700

1.1.2 Subtraox minuendo

x - y = z y subtraendozresto ou diferena

Exerccio: Numa subtrao, o dobro dominuendo 160. Calcule o resto, sabendoque o subtraendo vale 20. Resp. 60

1.1.3 Multiplicao

x . y = z xeyfatoresz produto

Propriedades da multiplicao

a) Fechamento: O produto de doisnmeros naturais um nmero natural.Ex.: 5 . 8 = 40

b) Comutativa: A ordem dos fatores noaltera o produto.Ex. 2 . 7 = 14

2 . 7 = 7 . 27 . 2 = 14

c) Elemento Neutro: O nmero um.Ex. 8 . 1 = 8 ou 1 . 8 = 8

d) Associativa: A multiplicao de trs n-meros naturais pode ser feitoassociando-se de dois primeiros ou osdois ltimos fatores.Ex.(3 . 5) . 2 = 15 . 2 = 30

(3.5).2=3 . (5.2)3 . (5 . 2) = 3 . 10 = 30

e) Distributiva em relao adio: Namultiplicao de uma soma por umnmero natural, multiplica-se cada umdos termos por esse nmero.Ex.5 (3 + 2) = 5 . 5 = 25

5(3+2)=5.3+5.25.3+ 5.2 = 15+10 = 25

Exerccio: O produto de dois nmeros 96. Qual o produto de um nmero 2vezes maior do que o primeiro por outronmero 5 vezes maior do que osegundo? Resp. 960

1.1.4 Diviso

D| dr q ou D = d . q + r

DDividendod DivisorqquocienterResto

Obs.: Diviso exata: r = 0.Maior resto possvel: R = d 1

No existe diviso por zero (0).

Exerccio: O quntuplo de um nmero,dividido por este nmero aumentado de duasunidades, d quociente 3 e deixa resto 2.

Qual este nmero? Resp. 4


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1.1.5 Potenciao

xbasexy= z yexpoente

zpotncia

Propriedades da potenciao

a) x0= 1, x 0b) x1= xc) xm. xn= xm+n

d) n-mx=n

m

x

x, x 0

e) (xm)n= xm . nf) (x . y)m= xm. ym

g)m

m

yy

x mx=

, y 0

Obs.:322 xx

3

ExerccioCalculea) 23=b) 30=c) 51=d) 23. 22=e) 54. 52=f) (23)2=

g) =223

h) (2 . 3)3=

i) =

32 2

j) 2

155052713=

k) 2

92557072005=

l) =

5

5

10317

223

m)

32

3222

22729

546754

=

1.1.6 Radiciao

y=n

x x

Radicandon ndiceyRaiz

Exerccio:

a) 36

b) 144

c) 1024

d) 3 729 e) 4 625

1.2 Expresses numricas envolvendo asoperaes estudadas.

1. Resolvemos as potncias e razes /eliminamos os parnteses.

2. Resolvemos as multiplicaes e divises/ eliminamos os colchetes.

3. Resolvemos adies e subtraes /eliminamos as chaves.

ExerccioResolva as seguintes expresses.

a) 120 : 22+ 10 . (11 2 . 22) (3 + 32+ 33) : 13Resp.: 57

b) 202: 52+ 20. 72 82Resp.: 1

c) 22+ [3 . (17 23: 4) + 81 ] : (4 1)2Resp.: 10

d) [(52 2 . 32)2+ (25 : 5)3 (39 : 3)2]2: (82 7 . 32)5Resp.: 25

e) [50(10+4)] {15[9- 16 + (8 7)+ 36 ]} - 100 Resp.: 23


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Exerccios Complementares

01. A soma dos trs nmeros naturais que figuramnuma subtrao 128. O resto triplo dosubtraendo. Determinar o subtraendo.a) 48

b) 16c) 64d) 32e) 27

02. Calcule o quociente de uma diviso, sabendoque, aumentando 52 unidades ao dividendo e 4unidades ao divisor, o quociente e o resto no sealteram.a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15

03. Numa diviso, o quociente 48, o resto a teraparte do quociente e o resto o maior possvel.Calcular o dividendo.a) 16b) 17c) 420d) 832e) 975

04. Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeirahora. A partir das demais cobrado o valor dahora antecedente mais uma taxa de R$ 0,50. Se

um carro passou 4 horas estacionado, quantodever ser pago?a) R$ 13,50b) R$ 11,00c) R$ 12,50d) R$ 15,37e) R$ 15,00

05. Num estacionamento fizeram um trabalho paraque coubesse carros e motos, um certo dia tinha12 carros e 7 motos. O valor pago por cada carro de R$ 3,00 a hora e por cada moto R$ 1,50 ahora. Qual o valor a ser recebido se as motos eos carros permanecerem estacionados por um

perodo de 5 horas?a) R$ 216,00b) R$ 232,50c) R$ 180,25d) R$ 160,30e) R$ 192,30

06. A diferena entre o maior nmero de trsalgarismos diferentes e o menor nmero tambmde trs algarismos diferente :a) 864b) 887c) 932

d) 899e) 885

07. Rodrigo possui uma coleo de CDs, contendo288 no total. Ele quer comprar um porta-CD quecusta R$ 26,00, mas um porta-CD comporta, nomximo, 48 CDs. Quanto ele gastar emporta-CDs, de modo que toda sua coleo fiqueguardada?

a) R$ 156,00b) R$ 170,00c) R$ 288,00d) R$ 164,00e) R$ 148,50

08. Um pai tem 9 filhos e cada filho tem uma irm, elevai deixar uma herana de R$90.000,00. Quantoir receber cada filho?a) R$ 5.000,00b) R$ 6.000,00c) R$ 7.000,00d) R$ 8.000,00e) R$ 9.000,00

09. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos.Como existem 450 alunos matriculados, umadelas ficar incompleta. Para completar estaturma, ela dever matriculara) 11 alunosb) 12 alunosc) 6 alunosd) 32 alunose) 8 alunos

10. Um camel comprou 600 canetas, planejandorevend-las a R$ 2,75 cada uma. No entanto

algumas das canetas compradas estavamestragadas e no podiam ser vendidas. Paracontinuar recebendo a mesma quantia, o camelaumentou o preo de venda para R$3,00.Quantas canetas estavam estragadas?a) 30b) 40c) 50d) 60e) 70

GABARITO

01. B 03.D 05.B 07.A 09.C02.C 04.E 06. E 08.E 10.C


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MLTIPLOS E DIVISORES

1. Critrios de Divisibilidade

Divisibilidade por 2Um nmero divisvel por

2 quando par.Nmeros pares so os que terminam em 0, ou 2,

ou 4, ou 6, ou 08.

Ex.: 42; 100; 1445086; 8; 354.

Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por3 quando a soma dos seus algarismos divisvel por3.

Ex.: 123 (s = 1 + 2 + 3 = 6); 36 (s = 3 + 6 = 9);1478391 (s = 1 + 4 + 7 + 8 + 3 + 9 + 1 = 33)

Divisibilidade por 4Um nmero divisvel por4 quando os dois ltimos algarismos formam umnmero divisvel por 4.

Ex.: 956; 6844; 8357916; 752; 2700

Divisibilidade por 5Um nmero divisvel por5 quando termina em 0 ou 5.

Ex.: 475; 576890; 65; 105; 176592340

Divisibilidade por 6Um nmero divisvel por6 quando divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Ex.: 36; 24; 126; 1476; 13478382

Divisibilidade por 7 Tomar o ltimo algarismoe calcular seu dobro, subtrair esse resultado donmero formado pelos algarismos restantes. Se oresultado for divisvel por 7 ento, o nmero originaltambm ser divisvel por 7.

Ex.1: 238 : 8 . 2 = 16, 23 16 = 7 como 7 divisvel por 7, 238 tambm divisvel.

Ex.2: 693 : 3 . 2 = 6, 69 6 = 63, como 63 divisvel por 7, 693 tambm divisvel.

Ex.3: 235 : 5 . 2 = 10, 23 10 = 13, como 13 no divisvel por 7, 235 tambm no divisvel.

Divisibilidade por 8Um nmero divisvel por8 quando os trs ltimos algarismos formam umnmero divisvel por 8.

Ex.: 876400; 152; 24532816

Divisibilidade por 9Um nmero divisvel por 9quando a soma dos seus algarismos divisvel por 9.

Ex.: 36; 198; 5463; 5461047

Divisibilidade por 10 Um nmero divisvelpor 10 quando termina em 0.

Ex.: 100; 120; 1252780

Divisibilidade por 11Quando a diferena entreas somas dos algarismos de ordem mpar e de ordempara, a partir da direita for mltipla de 11.

Ex.: 7973207 s(ordem mpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23;s(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferena 23 12 = 11

2. Fatorao completa de um nmero naturalTodo nmero natural, no primo, pode ser

decomposto de forma nica em um produto de fatoresprimos.

Exerccio:Fatorar o nmero 480.

3. Determinando o conjunto dos divisoresnaturais de um nmero1 Fatoramos o nmero dado.2 Anotamos o nmero 1, que divisor de todosos nmeros.3 Multiplicamos o primeiro fator primo pelonmero 1 e anotamos o resultado.4 Multiplicamos o prximo fator pelos divisores jobtidos e anotamos os resultados. (no repetimosresultados).

Exerccio:Determine os divisores dos nmeros 180 e 1200.

4. Mximo Divisor Comum (MDC)O MDC de vrios nmeros naturais dado pelo

produto dos fatores comuns com os menoresexpoentes.

Exerccios:1. Calcule

a) MDC (180, 108) Resp.: 36

2. Trs fios que medem respectivamente 24 m,84m e 90m foram cortados em pedaosiguais e do maior tamanho possvel. Ento onmero de pedaos e o tamanho de cada umpedao ser?

Resp.: 33 pedaos de 6m cada.


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5. Mnimo Mltiplo Comum (MMC)

O MMC de vrios nmeros naturais dado peloproduto dos fatores comuns e dos no comuns comos maiores expoentes.

Exerccios:1. Calculea) MMC (180, 108) Resp.: 540

2. Um nibus chega num terminal rodovirio acada 4 dias. Um segundo nibus chega aoterminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7dias. Numa ocasio, os trs nibus chegaramao terminal no mesmo dia. E a prxima vezem que chegaro juntos novamente, aoterminal, ocorrer depois de quantos dias?

Resp.: 84 dias

Exerccios Complementares

01. O nmero de fitas de vdeo que Marcela possuiest compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20,sempre resta uma fita. A soma dos trsalgarismos do nmero total de fitas que elapossui igual a:

a) 3b) 4c) 6d) 8e) 11

02. Trs torneiras esto com vazamento. Daprimeira, cai uma gota de 4 em 4 minutos; dasegunda uma de 6 em 6 minutos e da terceira,uma de 10 em 10 minutos. Exatamente s 2horas cai uma gota de cada torneira. A prximavez em que pingaro juntas novamente ser s:a) 3 horas

b) 4 horasc) 2 horas e 30 minutosd) 3 horas e 30 minutose) 5 horas

03. De um aeroporto parte trs avies que fazemrotas internacionais. O primeiro faz a rota de idae volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e oterceiro em 10 dias. Se, num certo dia, os trsavies partirem simultaneamente, depois dequantos dias esses avies partiro novamente

no mesmo dia?a) 5 b) 10c) 15 d) 20e) 25

04. O produto das idades de trs amigos adoles-centes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080anos. Qual a soma de suas idades em anos?a) 46b) 47c) 48d) 49e) 50

05. Um nmero tem 80 divisores e expresso por2x. 33. 5, pode-se dizer que o valor de x :a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

06. Fatorando determinado nmero encontra-se23. 33. 5y. 7. Sabendo-se que esse nmero tem96 divisores naturais, o valor de y :a) 1b) 3c) 5d) 4

e) 2

07. Seja a e b nmero inteiro tais que o MDC(a, b)=6e ab=132. O Mnimo Mltiplo Comum de a e b :a) 25b) 24c) 23d) 22e) 21

08. Na procura do MDC de dois nmeros peloprocesso das divises sucessivas encontram-seos quocientes 1, 1 e 4 respectivamente. Saben-

do-se que o MDC 13, o maior dos nmeros :a) 117b) 104c) 130d) 143e) 470

09. Um antiqurio adquiriu 112 tinteiros, 48 esptu-las e 80 canivetes. Deseja arrum-los emmostrurios, de modo que ir conter o mesmo eo maior nmero possvel de objetos no total eem natureza. O total de objetos em cadamostrurios ser de:

a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17


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10. Trs fios que medem respectivamente 24m, 84me 90m foram cortados em pedaos iguais e domaior tamanho possvel. Ento o nmero depedaos obtidos :a) 29b) 30

c) 31d) 32e) 33

11. Seja a um nmero natural tal que: a = 3M . 4N,como M, N I*. Se (25.a) possui 60 divisoresinteiros, calcule a.a) 30b) 12c) 1d) 16e) 48

GABARITO

01. B 04.C 07.D 10.E02.A 05.D 08.A 11. E03.D 06. E 09.C

NMEROS INTEIROS

o conjunto formado por nmeros negativos epositivos. Representa-se pela letra Z.

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Obs.: o smbolo Z* indica que o elemento 0 (zero) foiexcludo do conjunto, ficando ento:

Z = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

OPERAES COM NMEROS INTEIROS

Adio e SubtraoPara adicionar ou subtrair nmeros inteiros,

podemos utilizar a seguinte regra: se os nmerostiverem mesmo sinal, adicionamos os nmeros erepetimos o sinal. Caso tenham sinais diferentes,subtramose damos ao resultado o sinal do maior.

Ex.: +7 -3 = +4Ex.: -8 -5 = -13Ex.:(+4) (-2) = +4+2 = 6Ex.:(-5) + (-7) = - 5 7 = - 12

Multiplicao e DivisoPara a multiplicao e/ou diviso de nmeros

inteiros podemos, tambm, aplicar uma nica tcnicaque valer para ambas as operaes: se os nmerostiverem o mesmo sinal, o resultado sempre serpositivo. Caso eles tenham sinais diferentes, oresultado ser sempre negativo.Ex.: 56)8()7( += Ex.: 20)5()4( +=++

Ex.: 54)9()6( =+ Ex.: 5)4()20( =+

Ex.: 2)4()8( += Ex.: 7)7()49( +=

EXPRESSES NUMRICAS COM NMEROS

INTEIROSPara resolver uma expresso numrica envolvendo

nmeros inteiros devemos proceder da mesma formaque fizemos com as expresses de nmeros naturais.

Ex.: Resolver a expresso[ ] )75()53(236 +

Soluo:[ ]

[ ]

[ ]10)2(20

)2(1636

)2(8236

)75()53(236

==

==

==

=+

Na eliminao dos parnteses, podemosfazer o seguinte: se o parntese vier

precedido de um sinal negativo, trocamoso sinal do nmero que est dentro domesmo; caso venha precedido de um sinalpositivo, conservamososinaldo nmeroque est dentro.


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Exerccios:Determine o valor das seguintes expresses.

a) 6 . (-1)4+ 20 [10 + (-40) : (-2)3] Resp.:-8

b) -3 . (-2)2 22+ [(-2)5 : (+2)4 (-1 4)0] Resp.: -19

c) 32 2 . (-2)3 [-10 + (+3) . (-1)2] - 100 Resp.:31

d) -62: (+36) + (-4)2: (+2)4 [6 (-1)3. (+2)] Resp.:-8

e) 25 (+4)2: (-2)3 + 100 (-6)2: (-3)2- 12 Resp.:23

f) 20 (-81) : (-3)3 [5 . (-1)3+ (+40) : (-2)3+ 32] - 60Resp.:17

NMEROS RACIONAIS

Um nmero racional o que pode ser escrito na

forma deba

onde a e b so nmeros inteiros, sendo

que b deve ser diferente de zero. Frequentemente

usamosba

para significar a diviso de a por b.

Frao: nmero que representa pedaos de uminteiro.

Generalidades sobre fraes:

Frao Prpria:

Frao Imprpria:

Frao Decimal:

Frao Ordinria:

Frao Aparente:

Frao Redutvel:

Frao Irredutvel:

OPERAES COM FRAES

Adio/SubtraoDenominadores iguais: Mantemos o denominador e

operamos com os numeradores.

Ex.: 5

1

-5

2

5

3+

=

Denominadores diferentes: Reduzimos as funesao mesmo denominador atravs do calculo do MMCdos denominadores e, em seguida, aplicamos a regraanterior.

Ex.: 143

-32

+ =

MultiplicaoMultiplicamos numerador por numerador e

denominador por denominador.

Ex.:57

.32

=

DivisoRepetimos a primeira funo e multiplicamos pelo

inverso da segunda funo.

Ex.:57

32 =

Potenciao

Devemos elevar o numerador e o denominador aoexpoente em questo.

Ex.:4

23

=

. Potncia de expoente negativo:

NN

a

1a = , sendo a 0

Ex.: 2-5=

. Potncia de expoente fracionrio:

=P

P

aa

Ex.: 32

2 =

RadiciaoExtramos a raiz do numerador e a do denominador.

Ex.: 48116

=


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Exerccio:O valor das expresses :

a)

+

+

23

21

61

31

-61

-12

Resp.:3/5

b)21

03 7441

84

-2

+

+ Resp.:27/4

c)

1

1

1-0

2-2

2-2

Resp.: -3

d)0

31

323

361

.125

1

52

.41

Resp.: 25

OPERAES COM NMEROS DECIMAIS

Adio e Subtrao: Para efetuar a adio ou asubtrao de nmeros decimais temos que seguiralguns passos:

Igualar a quantidade de casas decimais dosnmeros decimais a serem somados ou subtradosacrescentando zeros direita de suas partesdecimais.Ex.: 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723

2,4 1,723 = 2,400 1,723

Escrever os nmeros de tal modo que fique vrgulasob a outra vrgula e, em seguida, realiza-se aoperao.Ex.: 2,400 2,400

+ 1,723 - 1,7234,123 0,677

Multiplicao de nmeros decimais. Podemosmultiplicar os nmeros decimais como se fosseminteiros e dar ao produto tantas casas decimaisquantas forem o total de casas dos fatores envolvidosno clculo.Ex.: 2,25 2 casas decimais

x 3,5 1 casa decimal1125

+ 6757,875 3 casas decimais

Diviso de nmeros decimais. Para dividirmos doisnmeros decimais devemos igualar o nmero decasas decimais e, em seguida, efetuar a diviso comose fossem nmeros inteiros.Ex.: 1,2975 0,15 12975 1500 = 8,65

GERATRIZ DE UMA DZIMA PERIDICA

Dzima Simples: A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo epara denominador tantos noves quantos forem osalgarismos do perodo.

Ex.:97

...777,0 = 9923

...2323,0 =

Dzima Composta : A geratriz de uma dzima

composta uma frao da formar dn

, onde

n a parte no peridica seguida doperodo, menos a parte no peridica.d tantos noves quantos forem os alga-rismos do perodo seguidos de tantoszeros quantos forem os algarismos daparte no peridica.

Ex.:

49562

990124

990

1-125...1252525,0 ===

0,047777 ... =90043

900

04-047=

Exerccios

01. Determine a frao geratriz das seguintesdzimas:a) 0,373737 = Resp.

9937

b) -3,222 ... = Resp.929

c) 0,5666 ... Resp.3017

d) 1,4333 ... Resp.3043

e) 2,1232323 ... Resp4951051

02. O valor de ...777,2 : Resp. Ba) 1,2b) 1,666 ...

c) 1,5d) um valor entre

21

e 1

e) 3,49


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03. Se x = 1,333 ... e y = 0,1666 ..., ento x + y :Resp. E

a)57

b)

45

68

c)9

13

d)34

e)23

04. Calcule o valor das expresses abaixo:

a) 2

1

03

...1,3331-

75...0,666

61

+

Resp.:5

2

b) 2198,12

3x...0,333

54

31

x6,0 +

++ Resp.:52

c)( )

( )

21

31

2-

41

2-

10x4,6

10x25,6

Resp.:2

5

Exerccios

01. Seja

n

m a frao irredutvel da geratriz da

dzima 0,0113636 ... . Determinar m + n.a) 68b) 89c) 92d) 105e) 112

02. Que horas so, se o que ainda resta para

terminar o dia 32

do que j se passou?

a) 12h36min

b) 23h36minc) 17h24mind) 14h48mine) 14h24min

03. Um armrio tem quatro prateleiras. Do total deprocessos que um auxiliar judicirio deveria

arquivar nesse armrio, sabe-se que5

1 foi

colocado na primeira prateleira,6

1 na segunda,

3/8 na terceira e os 62 processos restantes naquarta. Assim sendo, o total de processosarquivados era:

a) 105b) 120c) 204d) 210e) 240

04. Pedro gastou31

da quantia que possua e,

depois,92

dessa quantia. Ficou ainda com

R$40,00. Quanto Pedro possua?a) R$ 60,00b) R$ 70,00c) R$ 80,00d) R$ 90,00e) R$ 100,00

05. (T.R.F) Certo dia, uma equipe de tcnicosespecializados em higiene dental trabalhou emum programa de orientao aos funcionrios dotribunal, sobre a prtica de higiene bucal.

Sabe-se que

3

1do total de membros da equipe

atuou no perodo de 8 s 10 horas e52

do

nmero restante, das 10 s 12 horas. Se noperodo da tarde a orientao foi dada pelosltimos 6 tcnicos, o total de membros da equipeera:

a) 12b) 15c) 18d) 21e) 24

06. Certo ms, todos os agentes de um presdioparticiparam de programas de atualizao sobresegurana. Na primeira semana, o nmero dos

participantes correspondem a41

do total e na

segunda, a41

do nmero restante. Dos que

sobraram,53

participaram do programa na

terceira semana e os ltimos 54, na quartasemana. O nmero de agentes desse presdio :

a) 200

b) 240c) 280d) 300e) 320


10/27



07. (B.B) Num escritrio, 3 funcionrios receberam400 fichas cada um, para datilografar. Na horado lanche o primeiro j havia cumprido 5/8 desua tarefa, o segundo 3/5 e o terceiro 6/10.Quantas fichas restavam para seremdatilografadas?

a) 470b) 500c) 610d) 730e) 950

08. Do total de 120 funcionrios de um tribunal, 3/4so homens e os restantes so mulheres. Emcerto dia faltaram ao servio 1/9 do total dehomens e 1/3 do de mulheres. Quantas pessoascompareceram ao servio nesse dia?

a) 100b) 95c) 90d) 87e) 82

09. Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quantopesa um tijolo e meio?

a) 1 kgb) 2 kgc) 3 kgd) 4 kge) 5 kg

10. (T.R.T) Ana fez 2/5 de um tapete em 8 horas eClara fez 1/3 do restante em 6 horas. Se

trabalharem juntas terminar o tapete numtempo igual a:a) 4h12minb) 4h30minc) 4h36mind) 4h24mine) 4h48min

11. Um negociante ao falir s pode pagar 17/36 doque devia. Se possusse mais R$ 23.600,00poderia pagar 80% da divida. Quanto ele deve?

a) R$ 37.000,00b) R$ 42.000,00

c) R$ 18.000,00d) R$ 36.000,00e) R$ 72.000,00

GABARITO

01. B 04.D 07.A 10.E02. E 05.B 08.A 11. E03. E 06. B 09.C

EQUAES DO 1 GRAU

Chamamos de equao toda sentena matemticaaberta expressa por uma igualdade. No casoespecifico, as equaes so representadas por um

polinmio em x do 1 grau. Da o nome equaes do1 grau.

Exerccio. Resolvendo as equaes abaixo, obtemos:a) 19x 11 = 27 Resp.: x = 2

b) 3x + 29 = -9 + 4x Resp.: x = 38

c) 2 (x + 1) + 5 (x 1) = 7 Resp.:10/7

d)8

4-x-6

9-2x4

8-3x-12

6-x4 = Resp.: x = 4

e)2

1-x-2-x

43-x

-3

2x=

+ Resp.: 7

Sistemas de Equaes do 1 Grau

Exerccio. Resolver os sistemas abaixo:

a)

=+

=

225y4x03y-x2 Resp.: x = 3 e y = 2

b)

=

=

5-9y-8x

1-3y-x4 Resp.: x = e y = 1

c)

=+

=+

373y2x

18x)-(y5y)-(x3 Resp.: x = 2 e y = 11

d)

=

+=

+

3

1-x

2

y-x2

2y3yx

Resp.: x = 4 e y = 2


11/27



e)

=

=+

21

yx

32

4y

6x

Resp.: x = 1 e y = 2

f)

=+

=

52y3x

22y-x

-x2 Resp.: x = 1 e y = 1

EXERCCIOS

01. Uma mala de viagem com bagagem pesa

28,5Kg. Com 2/3 da bagagem, pesa 19,5 kg. Qualo peso da mala vazia?a) 2,0 kgb) 2,5 kgc) 1,5 kgd) 3,0 kge) 1,0 kg

02. Numa prova de matemtica, contendo 20 ques-tes, Lula fez 16 pontos. Sabe-se que eleganhava 5 pontos para cada resposta certa eperdia 2 pontos para cada errada. O total dequestes que Lula acertou na prova foi de:

a) 20b) 7c) 15d) 8e) 5

03. No almoxarifado de certa empresa h 68 pacotesde papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se asquantidades de pacotes em cada prateleiracorrespondem a 4 nmeros pares sucessivos,ento, dos nmeros seguintes, o que representauma dessas quantidades o:

a) 8b) 12

c) 18d) 22e) 24

04. Um individuo encontrou 3 mgicos, ao 1 eleprops: Se voc duplicar o dinheiro que tragocomigo, eu lhe dou R$ 100,00. O mgico o fez eganhou R$ 100,00. Com os outros dois mgicostudo se passou do mesmo modo. Ao fim dasoperaes, o individuo notou que estava semdinheiro. Quanto ele tinha no inicio do processo?

a) R$ 70,50b) R$ 87,00

c) R$ 87,50d) R$ 88,70e) R$ 89,50

05. Na prova de Qumica de um concurso vestibulardo CEFET-PE, um candidato precisava obter o

valor de x racional tal que( ) 324x-1

400x81,01

= .

Qual esse valor?

a) 0,15b) 0,5c) 0,65d) 2/5e) 1/5

06. Numa granja existem galinhas e bodes. Oproprietrio mandou contar as cabeas. Otrabalhador contou e disse para o proprietrio:tem 150 cabeas. Ele achou muito pouco, edisse: conte os ps que deve dar mais. Otrabalhador contou e disse tem 440 ps. Quantasgalinhas existem na granja?

a) 50 galinhasb) 90 galinhasc) 80 galinhasd) 70 galinhase) 60 galinhas

07. (T.R.T) Um criador tinha num stio unicamentecachorros de raa e paves. Contando os ps detodos os animais, observou que o total de psera igual ao quadrado do nmero de paves.Uma semana depois, vendeu seis cachorros edois paves e verificou que de novo o fato sedava, ou seja, o nmero total de ps era oquadrado do nmero de paves. Assim, podemos

afirmar que, antes da venda, havia no stio umnmero de cachorros igual a:a) 20b) 18c) 16d) 14e) 12

08. Quantas pessoas h em um nibus em queviajam 2 passageiros em cada banco e 26 em p;sabendo-se que, se 3 pessoas sentassem emcada banco, 2 bancos ficariam vazios?

a) 75

b) 76c) 86d) 90e) 120

09. Duas vasilhas contem, em conjunto, 36 litros degua. Se transferssemos, para a que tem menos

gua,52

da gua contida na outra, ficariam

ambas com a mesma quantidade de gua.Quantos litros contm cada uma?

Resp.: 30 e 6


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10. Um certo premio foi repartido entre 5 pessoas demodo que cada uma recebesse 1/3 da quantiarecebida pela anterior. Se a terceira pessoarecebeu R$ 81,00, o total distribudo foi:

a) R$ 729,00b) R$ 882,00

c) R$ 918,00d) R$ 1.089,00e) R$ 1.260,00

11. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem onmero de irmos igual ao nmero de irms.Cada filha tem o nmero de irmos igual ao dobrodo nmero de irms. Qual o total de filhos efilhas do casal?

a) 3b) 4c) 5d) 6

e) 712. O preo em reais de 32 jabuticabas igual ao

nmero de jabuticabas que podemos comprarcom 2 reais, quantas jabuticabas podemoscomprar com 25 reais?

a) 32b) 64c) 50d) 100e) 75

13. Duas pessoas receberam juntas R$ 186,00 a 1ganhava diariamente mais 3/5 do que a outra etrabalhou 20 dias e a outra 30 dias. Quantorecebeu cada uma?

Resp.: 90 e 96

GABARITO

01. C 04.C 07.E 10.D02.D 05.B 08.D 11. E03.C 06. C 09. 12. D

RAZO E PROPORO

Chama-se de razoentre dois nmeros racionais a eb, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a

razo de a para b por ba

.

Exerccio. Na sala da 6 B de um colgio h 20rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmerode rapazes e o nmero de moas. (lembrando querazo diviso).

54

2520

MR

== Resp.:54

Exerccio. Voltando ao exerccio anterior, vamosencontrar a razo entre o nmero de moas erapazes.

452025RM == Resp.: 45

Lendo Razes

52

, l-se, 2 est para 5 ou 2 para 5.

Termos de uma Razo

Na razo85

, o nmero 5 o antecedente e o nmero

8 o conseqente.

Grandezas Especiais

Escala a razo entre a medida no desenho e ocorrespondente na medida real.

realMedidadesenhonoMedida

Escala=

ExerccioEm um mapa do Estado de So Paulo, foi utilizada aescala de 1:500.000. Sabendo-se que a cidade deVinhedo est situada a, aproximada-mente, 80 km dacidade de So Paulo, qual a distncia entre So Paulo

e Vinhedo nesse mapa? Resp.: Letra Ba) 12 cmb) 16 cmc) 20 cmd) 24 cme) 28 cm

Velocidade mdia a razo entre a distncia a serpercorrida e o tempo gasto.(Observe que neste caso as unidades so diferentes)

TempoDistncia

Velocidade=

Exerccio. Um carro percorre 320 km em 4h.Determine a velocidade mdia deste carro.

Resp. 80 km/h


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PROPORES

Proporo uma igualdade entre duas razes.

A proporo entre

B

Ae

D

C a igualdade:

D

C

B

A=

Propriedade Fundamental das Propores

Numa proporo:DC

BA= os nmeros A e D so

chamados de extremos enquanto os nmeros B e Cso os meios e vale a propriedade: o produto dosmeios igual ao produto dos extremos, isto : A. D =B. C.

Outras Propriedades das Propores Numa proporo, a soma (ou diferena) dos dois

primeiros termos est para o primeiro termo,

assim como a soma (ou diferena) dos doisltimos termos est para o terceiro termo.

cd-c

ab-a

ouc

dca

ba

dc

ba

=+

=+

=

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos doisprimeiros termos est para o segundo termo,assim como a soma (ou diferena) dos doisltimos termos est para o quarto termo.

dd-c

bb-a

oud

dcb

ba

dc

ba

=+

=+

=

Numa proporo, a soma (ou diferena) dos

antecedentes est para a soma (ou diferena) dosconseqentes, assim com cada antecedente estpara seu conseqente.

dc

ba

d-bc-a

dc

ba

dc

ba

dbca

dc

ba

===

==+

+=

EXERCCIOS

01. Aplicando as propriedades estudadas, calcule osvalores desconhecidos em cada caso:

a) 6be4a

10b

3

2

==

=+

=

a

b

a

b) 12be20a8b-a

ba

35

==

=

=

c) 6be3a

15b3

10b

5 ==

=+

=

a

a

d) 60ze45y30,x

135zy

4

z

3

y

2 ===

=++

==

x

x

02. A soma de dois nmeros 60. Encontre essesnmeros, sabendo que a razo entre o triplo domaior e o menor 9. Resp.:15 e 45

03. A razo entre os nmeros 0,125 e 2,5 nessaordem : Resp.:0,05

DIVISO PROPORCIONAL

1 Diviso em partes Diretamente Proporcionais Os valores devem ser multiplicados por k(termo constante).

Exerccio. Divida o nmero 18 em partes diretamenteproporcionais a 5 e 4.

Resp.:10 e 8

2 Diviso em Partes Inversamente Proporcionais Os valores devem ser divisores do k (termoconstante).

Exerccio. Divida o nmero 380 em partesinversamente proporcionais aos nmeros 2, 5 e 4.

Resp.: 200, 80 e 100

3 Diviso Direta e InversaDevemos, neste caso,aplicar as duas tcnicas simultaneamente.

Exerccio. Repartir 186 cadernos entre trs alunos,em partes ao mesmo tempo diretamenteproporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente proporcionaisa 3, 6 e 9. Resp.: 72, 54 e 60


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EXERCCIOS

01. No setor de seleo de pessoal de umaempresa, 85 pessoas foram contratadas, a partirde 120 candidatos. Se, dentre os pretendenteshavia 3 homens para cada mulher, e se 20

mulheres foram contratadas, ento o nmero dehomens no aceitos foi de:a) 15b) 20c) 25d) 10e)17

02. 60 das 520 galinhas de um avirio NO foramvacinadas, morreram 92 galinhas vacinadas.Para as galinhas vacinadas, a razo entre onmero de mortas e de vivas :

a) 1:4b) 1:5c) 4:1d) 4:5e) 5:4

03. Na tabela a seguir, de valores positivos, F diretamente proporcional ao produto de L peloquadrado de H. Ento x vale:

F L H2000 3 43000 2 X

a) 5b) 6

c) 7d) 8e) 9

04. Dado queAB-1

BAm

+= , onde A = 0,5 e B =

0,333... e sendo n = 0,4999... podemos afirmarque a razo de m/n ser:

a) 3b) 1/3c) 2/3d) 1/2e) 2

05. Os nmeros x, y e 32 so diretamenteproporcionais aos nmeros 40, 72 e 128.Determine o valor de x + y.

a) 28b) 24c) 20d) 16e) 12

06. Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5,a soma entre a menor e a maior parte :

a) 35b) 49

c)56d) 42e) 28

07. Dividir 108 em partes que sejam ao mesmo

tempo proporcionais a43

e97

e inversamente

proporcionais a21

4 e65

5 , encontramos como

diferena em mdulo o nmero:a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12

08. Ao dividir o menor nmero natural formado comos trs primeiros algarismos diferentes de zeroem partes inversamente proporcionais a 0,333...,

0,6 e41

1 , encontramos a menor igual a:

a) 24

b) 22c) 20d) 18e) 16

09. Um nmero N foi dividido em partes propor-cionais aos nmeros 2 e 4. Caso fosse na razodireta dos nmeros 8 e 10, a segunda parteficaria reduzida de 840 unidades. O valor de Nser:

a) 5.670b) 6.570c) 7.560

d) 7.660e) 6.670

10. Dois tcnicos em eletricidade, Artur e Boni,trabalham em uma mesma empresa; Boni h 6anos e Artur h mais tempo que Boni. Ambosforam incumbidos de instalar 16 aparelhos deudio em alguns setores da empresa e dividirama tarefa entre si, na razo inversa de seusrespectivos tempos de servio na mesma. SeArtur instalou 4 aparelhos, h quantos anos eletrabalha na empresa?

a) 8b) 10c) 12d) 16e) 18

11. Trs tcnicos do TRT foram incumbidos decatalogar alguns documentos e os dividiramentre si na razo inversa de seus tempos deservio publico: 4 anos, 6 anos e 15 anos. Seaquele que tem 6 anos de servio coubecatalogar 30 documentos, a diferena positivaentre os nmeros de documentos catalogadospelos outros dois :

a) 28

b) 33c) 39d) 42e) 55


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12. Certa quantia foi dividida entre duas pessoas empartes proporcionais a 2 e 3. sabendo que asegunda recebeu a mais que a primeiraR$1.000,00. Determine qual o valor total daquantia distribuda.

a) R$ 1.000,00

b) R$ 2.000,00c) R$ 3.000,00d) R$ 4.000,00e) R$ 5.000,00

GABARITO

01. C 04.E 07.E 10.E02. A 05.A 08.D 11. B03. B 06. B 09.C 12.E

REGRA DE TRS

Regra prtica:

O termo que se relaciona com x (termodesconhecido) fica sempre no numerador. Compara-se cada razo com a razo que tem x. A pergunta para saber qual o termo da razo que vai para onumerador. Se a resposta for mais(+), o que vai parao numerador o maior termo da razo. Se a respostafor menos(-), o menor.

EXERCCIOS

01. Oito mquinas produzem 16000 peas durante 8horas por dia. Quantas peas seriam produzidaspor 4 mquinas, durante 10 horas por dia?

a) 3000b) 4000c) 6000d) 8000e) 10000

02. Sabe-se que 4 mquinas, operando em 4 horaspor dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas decerto produto. Quantas toneladas do mesmoproduto seriam produzidos por 6 mquinasdaquele tipo, operando 6 horas por dia, durante6 dias?

a) 6b) 8c) 10,5d) 13,5e) 15

03. A rao para 12 animais, durante 8 dias custa24.000,00. O custo da rao para 18 animais,durante 6 dias de:

a) 48.000,00b) 27.000,00c) 21.333,33d) 16.000,00e) 12.000,00

04. Se 10 operrios gastam 12 dias para abrir umcanal de 20m de comprimento, 16 operrios,para abrir um canal de 24m de comprimento,gastaro:

a) 1/3 do msb) 2/5 do ms

c) 1/2 do msd) 3/10 do mse) 3/5 do ms

05. Com 4800 kg de farinha de trigo D. Lucinda fez 7bolos em sua confeitaria. Quantos bolos inteirosconseguir fazer com 16800 kg de farinha detrigo, usando a mesma receita (mesmasmedidas e mesma forma)?

a) 24,5b) 24c) 23,5d) 23e) 22,5

06. Se 30 galinhas botam 30 dzias de ovos em 30dias. Se 20 galinhas comem 20kg de rao em20 dias, ento qual a quantidade de raonecessria para se obter duas dzias de ovos?

a) 1 kgb) 1,5 kgc) 2 kgd) 2,5 kge) 3 kg

07. Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 diasde 7 horas de trabalho; outra costureira

confecciona o mesmo nmero de blusa em 2dias de 9 horas, trabalhando juntas, em quantosdias de 7 horas faro 260 blusas?

a) 7b) 36c) 17d) 9e) 8

08. Um granjeiro tem rao para alimentar 32galinhas durante 22 dias. Aps 4 dias, resolvecomprar mais 4 galinhas. Quanto tempo duraras provises se a rao de cada galinha no fordiminuda?

a) 16 diasb) 12 diasc) 15 diasd) 18 diase) 22 dias

09. (Correios) Um trem com velocidade mdia de57,4 km/h deve fazer certa distncia em 5 horas.Depois de duas horas a viagem teve que pararpor 40 minutos. A velocidade que o maquinistadeve acrescentar ao trem para chegar ao final dadistncia no tempo previsto dever ser de:

a) 16,4 km/h

b) 17,2 km/hc) 18,0 km/hd) 21,2 km/he) 23,1 km/h


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10. Vinte e quatro operrios fazem52

de

determinado servio em 10 dias, trabalhando 7horas por dia. Em quantos dias a obra estarterminada, sabendo-se que foram dispensados 4operrios e o regime de trabalho diminudo deuma hora por dia?

a) 8b) 11c) 12d) 21e) 18

11. Dois carregadores levam caixas do depsito,para um caminho um deles leva 4 caixas porvez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outroleva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ire voltar. Enquanto o mais rpido leva 240 caixas,quantas caixas leva o outro?

a) 232b) 228c) 224d) 220e) 216

12. Um livreiro mandou imprimir suas obras, uma de25 volumes, tendo cada um 14 folhas deimpresso, a 33 linhas de 48 letras por pgina,foram compostas por 5 operrios, em 18 dias detrabalho de 11 horas por dia; a outra, tendo cadavolume 18 folhas de impresso, a 42 linhas de50 letras por pgina, foi composta por 9operrios, em 15 dias, trabalhando 13 horas pordia. Qual o nmero de volumes da segundaobra?

a) 26b) 27c) 28d) 29e) 30

GABARITO

01. E 04.D 07.D 10.D02.D 05.B 08.A 11. E03.B 06. E 09.A 12. A

PORCENTAGEM

Razo Centesimal: a razo cujo conseqente igual a 100.

Ex.: 30%10030

= 15%10015

=

Taxa Percentual a taxa equivalente razo

centesimal.Ex.: 15%

10015

= 27%10027

=

Transformao de Porcentagem em FraoIrredutvel

Ex.:10025

25%= 10040

40% = 10050

50% =

Transformao de Frao Irredutvel emPorcentagem

Ex.: 20%100.5

1= 75%.100

4

3=

Percentual de uma Quantidade

Exerccio. Calcule 45% de 1600. Resp.:720

Exerccio. Calcule 20% dos 30% dos 40% dos 50%de 6000. Resp.:72

Fator de Aumento(100% + i); i taxa percentual.

Exerccio. O preo de uma cala de R$ 80,00. Seela sofresse um reajuste de 25% qual seria seu novopreo? Resp.: R$ 100,00

Fator de Desconto (ou Reduo) (100% - i)

Exerccio. O preo de um rdio R$ 150,00. Quanto

devo pagar por esse rdio se o vendedor concedeu-me um desconto de 20%?

Resp.:R$ 120,00

Aumentos Sucessivos(1 + i1) (1 + i2) ... (1 + in) - 1

Exerccio. Uma mercadoria sofreu um aumento de20% no primeiro ms e, no ms seguinte, um novoaumento de 40%. Qual foi o aumento acumuladonesses dois meses? Resp.: 68%

Exerccio. Trs aumentos consecutivos de 20%, 25%e 30% correspondem a um nico aumento de:

Resp.: 95%

Descontos Sucessivos

1 (1 i1) (1 i2) (1 i3) ... (1 in)

Exerccio. Dando-se um desconto de 20% e, emseguida, outro de 40%. Qual ser o desconto totalacumulado? Resp.:52%


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Exerccio. Trs descontos consecutivos de 20%, 25%e 30% equivalem a um s desconto de: Resp.: 58%

Exerccio. Se um nmero aumentado de 25%, dequanto deve ser reduzido para voltar ao valor inicial?

Resp.: 20%

Aplicao na Matemtica Comercial e Financeira

Equao Fundamental do Comrcio:

L = V - C ou P = C - V

Exerccio. Uma mercadoria vendida por R$ 360,00com lucro de 20% sobre o custo. Quanto custou amercadoria? Resp.: R$ 300,00

Exerccio. Comprei um ventilador por R$ 30,00 e ovendi com prejuzo de 20% sobre o custo. Por quantovendi o ventilador? Resp.: 24,00

Exerccio. Um objeto custou R$ 1.020,00 e deve servendido com lucro de 40% sobre o preo de venda.Por quanto deve ser vendido?

Resp.: R$1700,00

EXERCCIOS

01. Sobre o preo de um carro importado incide um

imposto de importao de 30%. Em funodisso, o seu preo para o importador deR$19.500,00. Supondo que tal imposto passe de30% para 60%, qual ser, em reais, o novopreo do carro para o importador?

a) R$ 22.500,00b) R$ 24.000,00c) R$ 25.350,00d) R$ 31.200,00e) R$ 39.000,00

02. Um feirante comprou 10 caixas de frutas por R$120,00. Se ele vendeu 4 caixas com lucro de40%, 3 caixas com lucro de 20%, 2 caixas pelopreo de custo e se uma caixa estragou-se eno foi vendida, ento o seu lucro total na vendadessa fruta, em relao ao preo de compra, foide:

a) 30%b) 26%c) 19%d) 15%e) 12%

03. Num grupo de 400 pessoas, 30% so homens e65% das mulheres tm mais de 20 anos.Quantas mulheres ainda no comemoraram seu20 aniversrio?

a) 260b) 182c) 120d) 105e) 98

04. Um comerciante comprou 150 caixas de papelo

a R$ 1,00 cada uma. Vendeu31

do total a R$

1,50 cada e as restantes a R$ 1,80 cada. A suaporcentagem de lucro nessa transao foi de:a) 62%b) 62,5%c) 65%d) 65,5%e) 70%

05. (UFMG) Os preos anunciados de um fogo euma geladeira so R$ 20.000,00 e R$35.000,00, respectivamente. Tendo conseguidoum desconto de 8% no preo da geladeira etendo pago R$ 50.000,00 na compra dessasduas mercadorias, o desconto obtido no preodo fogo foi:

a) 10%b) 11%c) 12%d) 13%e) 14%

06. (FMU) Um cidado reserva 30% do seu salriopara o pagamento do BNH e 50% do que restapara alimentao. Tirando BNH e alimentao,20% do que sobra coloca na poupana e osrestantes R$ 5.880,00 sero utilizados em outrasdespesas. Podemos concluir que:

a) o gasto em alimentao de R$ 6.000,00.b) o salrio de R$ 21.000,00.c) o dinheiro destinado a poupana de R$

1.200,00.d) o pagamento do BNH de R$ 5.800,00.e) sobra 20% do salrio para outras despesas.

07. Numa turma mista de certo colgio, 40 estudan-tes inscreveram-se para uma excurso. No diada viagem, faltaram 25% dos rapazes, diminuin-do para 36 o nmero de estudantes presentespara a viagem. Assim, correto afirmar que,dentre os inscritos, viajaram:

a) 15 rapazes

b) 14 rapazesc) 13 rapazesd) 12 rapazese) 11 rapazes


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08. Segundo o censo demogrfico fornecido peloIBGE para o ano de 2000, a quantidade depessoas analfabetas com idade de 10 anos oumais correspondia a 9.226.471, pessoas. Seesse total representava 25% da populao deanalfabetos do Nordeste, qual o total de

analfabetos dessa regio naquele ano?a) 35.806.994 habitantesb) 36.905.884 habitantesc) 38.902.904 habitantesd) 230.668 habitantese) 2.306.680 habitantes

09. Em um certo pas, necessrio que 3/5 doSenado votem a favor para que se aprove umalei. Se 56% do Senado esto a favor de certoprojeto, que frao ainda falta para aprov-lo?

a)101

b)25

2

c)251

d)501

e)100

7

10. Atualmente, 50% das gaivotas que migram paraa Coroa do Avio, na Ilha de Itamarac, sobrancas e 50% so cinzentas. Se a populaodas gaivotas brancas aumentar 40% ao ano e adas cinzentas aumentar 80% ao ano, qual ser a

porcentagem de gaivotas brancas daqui a doisanos, aproximadamente?a) 49%b) 38%c) 65%d) 40%e) 80%

11. Um jovem arteso gasta, em matria-prima,R$1,50 para produzir uma unidade de seuproduto principal, posto venda em feirastpicas. Em toda produo, tem um gastoadicional fixo de R$ 45,00. Sabe-se que cadapea vendida a R$ 4,50. Ento, para que ele

possa obter um lucro de R$ 150,00, ter quevender um nmero de peas correspondente a:a) 65b) 70c) 62d) 54e) 50

12. Um produto, cujo custo foi de R$ 22.000,00 foivendido com um prejuzo de 15% do preo devenda. Qual foi o preo da venda?

a) R$ 20.000,34b) R$ 20.905,50c) R$ 19. 130,43d) R$ 18.915,05e) R$ 19.983,10

GABARITO

01. B 04.E 07.D 10.B02.E 05.B 08.B 11. A03.E 06. B 09.C 12.C

MDIAS

Mdia Aritmtica (MA)

naaa

.A.M n21 +++

= L

Exerccio. Qual a mdia de idade de cinco jogadorescom 21, 22, 23, 24 e 25 anos? Resp.: 23 anos

Mdia Aritmtica Ponderada (MP)

n21

nn2211

ppppapapa

MP+++

+++=

L

L

Exerccio. Assinale o saldo mdio de um cliente, numms em que o seu extrato tem o seguinte histrico.R$ 20.000,00 durante 2 dias Resp.: Letra AR$ 15.000,00 durante 5 diasR$ 4.000,00 durante 8 diasR$ 600,00 durante 15 dias

a) R$ 5.200,00b) R$ 3.500,00c) R$ 5.000,00d) R$ 4.500,00e) R$ 3.800,00

Mdia Geomtrica (MG)

nn321 aaaaMG = L

Exerccio. Determine a mdia geomtrica dosnmeros 4, 6 e 9. Resp.: 6

Mdia Harmnica (MH)

n

a1

a1

a1

a1

1MH

n321++++

=

L

ou, equivalente,

n21 a

1

a

1

a

1n

MH+++

=

L

Exerccio. Calcule a mdia harmnica dos nmeros4, 8, 6 e 12. Resp.: 6,4


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Observaes:1. Para os mesmos nmeros sempre verdade que

MH MG MA.

2. Para dois nmeros positivos tem-se que:

MG2= MA . MH

EXERCCIOS

01. A medida aritmtica de 11 nmeros 45. Se onmero 8 for retirado do conjunto, a mdiaaritmtica dos nmeros restantes ser:

a) 48,7b) 48c) 47,5d) 42e) 41,5

02. Num determinado pas a populao femininarepresenta 51% da populao total. Sabendo-seque a idade mdia (mdia aritmtica das idades)da populao feminina de 38 anos e a damasculina de 36 anos. Qual a idade mdia dapopulao?

a) 37,02 anosb) 37,00 anosc) 37,20 anod) 36,60 anose) 37,05 anos

03. A mdia das notas de todos os alunos de umaturma 5,8. Se a mdia dos rapazes 6,3 e a

das moas 4,3, a porcentagem de rapazes naturma :

a) 60%b) 65%c) 70%d) 75%e) 80%

04. A mdia aritmtica de dois nmeros reaispositivos 10 e a mdia geomtrica dosmesmos , 6. Ento, a soma dos quadradosdesses nmeros :

a) 401

b) 328c) 334d) 214e) 286

05. As bebidas L, V e R possuem teor alcolico de24%, 44% e 36% respectivamente. Qual o teoralcolico de um coquetel consistindo de 50 ml deL, 25 ml de V, 25 ml de R e 100 ml de gua?

a) 15%b) 20%c) 16%d) 17%

e) 19%

06. No ltimo Natal, gastei, em mdia, com cada umdos cinco presentes que comprei, cerca deR$40,00. Com a compra de mais um presente, amdia elevou-se para R$42,00. Quanto custouesse ltimo presente comprado?

a) R$ 75,33

b) R$ 210,00c) R$ 42,00d) R$ 52,00e) R$ 41,00

07. As idades dos funcionrios de certa empresaesto assim distribudas.

Node funcionrios Idade100 2050 2630 3020 40

Nessas condies, correto afirmar que a idademdia desses funcionrios de:a) 24 anosb) 25 anosc) 28 anosd) 27 anose) 26 anos

08. Num concurso vestibular para dois cursos, A eB, compareceram 500 candidatos para o curso Ae 100 candidatos para o curso B. Na prova dematemtica, a mdia aritmtica geral, conside-rando os dois cursos, foi 4,0. Mas considerando-se apenas os candidatos ao curso A, a mdia caipara 3,8. A mdia dos candidatos ao curso B, naprova de matemtica, foi:

a) 4,2b) 5,0c) 5,2d) 6,0e) 6,2

09. Suponha que a > b > c > 0 e que:

I.aa

c-bb-a=

II. bac-b b-a =

Ento:a) c a mdia geomtrica entre a e bb) a a mdia aritmtica entre a e bc) c a mdia aritmtica entre a e bd) b a mdia geomtrica entre a e ce) a a mdia aritmtica entre b e c

10. A mdia harmnica de dois nmeros reaispositivos 3,2 e a mdia geomtrica dosmesmos 4. Ento a soma dos quadradosdesses nmeros :

a) 16b) 62c) 68d) 72e) 64


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GABARITO

01. A 04.B 07.B 10.E02. A 05.C 08.B C03. D 06. D 09.D

CLCULO ALGBRICO

Expresses Algbricasso aquelas que contemnmeros e letras.

Exs.: 2ax2+ bx , y + x2 5x + 6

Variveisso as letras das expresses algbricasque representam um nmero real e que de principiono possuem um valor definido.

Valor numrico de uma expresso algbrica onmero que obtemos substituindo as variveis pornmeros e efetuando suas operaes.

Exerccio.

Calcule o valor numrico da expresso

y4 3xy3+ 7x2y2 4x3y, para21-

x= e y = -2

Resp.: 10

Monmio os nmeros e letras esto ligadosapenas por produtos.

Ex.: 2a43,x4 , - 7ab

3c2

Polinmio a soma ou subtrao de monmios.Ex.: 4x + 2y, 8b, x2 5x + 6

Os polinmios podem ser classificados de acordocom a quantidade de termos que possui, a saber:

Quantidade de termos Nome dado1 termo Monmio2 termos Binmio3 termos Trinmio

4 termos em diante Polinmio

Termos semelhantes so aqueles que possuempartes literais (variveis) iguais.

Ex.: 3x3y2 z e 21x3y2z so termos semelhantespois possuem a mesma parte literal.

Obs.:O graude um polinmio reduzido, no-nulo,

dado pelo seu termo de maior grau. Veja o polinmio2x3y 5x4y3+ xy. Note que o termo de maior grau

-5x4

y3

. A soma dos expoentes da parte literal nos d ograu, ou seja, 4 + 3 = 7, o que nos diz que ele do 7grau. Caso o polinmio seja de uma nica varivel, ograu ser dado pelo maior expoente da varivel.Ex.: x3+ 8x2+ 4x 6 do 3 grau.

Adio e Subtrao de Expresses Algbricas

Para determinarmos a soma ou subtrao deexpresses algbricas, basta somar ou subtrair ostermos semelhantes.

Exerccios

Qual resultado de 8x + (-0,5x) (-1,2x)?Resp. 8,7x

Calcule(2x + 2z y) + (x 2y) (y + x 3z)

Resp. 2x 4y + 5z

Desenvolva10m2 {-[m2+ 6n (7 2n) (-4 + m2)]} (5m + 3)

Resp.: 10m2 5m + 8n - 6

Dados os polinmios:A= -x2+ 4x 2, B = 2x2 3x + 1 eC= -2x2 5x + 6, calcule:

a) A - (B C) Resp.: 5x2+ 2x + 3

b) B + [A (B C)]Resp.: -3x2 x + 4

Multiplicao e Diviso de Expresses Algbricas

Na multiplicao de expresses algbricas, deve-

mos usar a propriedade distributiva. Numa divisoentre polinmios, o grau do resto deve ser menor doque o grau do divisor. Devemos, ainda, observar que:

Para multiplicarmos potncias de mesmabase, conservamos a base e somamos osexpoentes.

Na diviso de potncias devemos conservara base e subtrair os expoentes.

ExerccioEfetue os seguintes produtos:a) (-6t2) (t 1)

Resp.: -6t3+ 6t2


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b) (2x3y2) (5x + 3y)Resp.: 10x

4y

2+ 6x

3y

3

c) (x3 2x2+ x + 1) (x 1)Resp.: x

4 3x

3+ 3x

2- 1

Simplifique a expresso(x2 xy + y2) (x + y) (x2+ xy + y2)(x y)

Resp.: 2y3

Calcule as seguintes divises exibindo quociente eresto(-8a4+ 6a3 10a) (-2a)

Resp.: q = 4a3-3a + 5 e r = 0

(40x2 20x 3ax) (-10x)

Resp.: q= -4x + 2 +

10

a3e r = 0

(6x3 11x2+ 12x 15) (3x2 x + 4)Resp.: q = 2x 3 e r = x 3

(2x4- 9x3 6x2+ 16 x- 5) (2x2+ x 3)Resp.: q = x2 5x + 1 e r = -2

(x4 4x2+ 8x + 35) (x2 4x + 7)Resp.: q= x2+ 4x + 5 e r = 0

Produtos Notveis so aqueles produtos que sofrequentemente usados e para evitar a multiplicaode termo a termo. Existem algumas frmulas queconvm serem memorizadas.

I Quadrado da Soma de Dois Termos: quadradodo primeiro, mais duas vezes o primeiro pelosegundo, mais o quadrado do segundo.

Matematicamente: (a + b)2= a2+ 2ab + b2

ExerccioDesenvolva:a) (3x + 1)2=

b) (x10+ 4)2=

c) (2x + xy)2=

d)2

2n

m2

+ =

II Quadrado da Diferena de Dois Termos: qua-drado do primeiro, menos duas vezes o primeiropelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Matematicamente: (a b)2= a2 2ab + b2

ExerccioCalcule:a) (5x 2y)2=

b) (a2c 3x)2=

III Produto da Soma pela Diferena de DoisTermos: quadrado do primeiro menos o quadradodo segundo.

Matematicamente:

(a + b) (a b) = a2 b2

ExerccioDesenvolva:

a) (c + d) (c d) =b) (4x 1) (4x + 1) =c) (7x3+ y) (7x3 y) =

d)

+

3x

-41

3x

41 22 =

IV Cubo da Soma de Dois Termos / Cubo daDiferena de Dois Termos

Cubo da Soma:

(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3

Cubo da Diferena:

(a b)3= a3 3a2b + 3ab2 b3


22/27



Exerccio:Calcule:(x + 2)3=

(2x y)3=

(2 + 3z2

)3

=

3ca

32

+ =

3

3y

-2x

=

Obs.: Outros produtos notveis (no muitoconhecidos)(a + b+ c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc(a b c)2= a2+ b2+ c2 2ab 2ac + 2bc

Fatorao. Fatorar transformar expressesalgbricas em produtos de duas ou mais expresses,chamadas fatores. Existem vrios casos de fatoraocomo:

I Fator Comum em Evidncia. Quando os termosapresentam fatores comuns.

ExerccioFatore as seguintes expresses:a) 7g2 28 =b) 36cd 6cd2=

c) 10x2

y 15xy + 5y =d)

81

x41

x21 2

+ =

II Fatorao por Agrupamento. Consiste emaplicar duas vezes o caso do fator comum emalguns polinmios especiais.

ExerccioFatore as expresses:a) 5x + 5y + ax + ay=

b) 7a 7b + ma mb =

c) 3am + ay + 3bm + by =

d) ax + bx + ay + by + az + bz =

III Fatorao por Diferena de Dois Quadrados.Consiste em transformar as expresses emprodutos da soma pela diferena, simplesmenteextraindo a raiz quadrada de cada quadrado.

ExerccioFatore as seguintes expresses:

a) x2 36 =

b) 25 a2=

c) 9x2 16 =

d) 36x4 y6=

IV Fatorao do Trinmio Quadrado Perfeito. Otrinmio que se obtm quando se eleva umbinmio ao quadrado chama-se trinmioquadrado perfeito. Por exemplo, os trinmiosa2 2ab + b2 e a2 2ab + b2 so quadradosperfeitos porque so obtidos quando se eleva

(a + b) e (a b) ao quadrado, respectivamente.

ExerccioFatore as expresses:

a) x2+ 2x + 1 =

b) x2 6x + 9 =

c) 1 6m + 9m2=

d)16z

6xz

-9x 22

+ =

V Fatorao do Trinmio do 2 Grau. Expressoda forma x2 + Sx + P, em que S e P so,respectivamente, a soma e o produto de doisnmeros a e b. Escreve-se:

x2+ Sx + P = (x +a) (x + b)

ExerccioFatore:a) x2+ 7x + 12 =

b) x2 6x + 8 =

VI Fatorao da Soma ou da Diferena de DoisCubos.

Soma de Dois Cubos:

a3+ b3= (a + b) (a2 ab + b2)

Diferena de Dois Cubos:

a3 b3= (a b) (a2+ ab + b2)

ExerccioFatore as expresses:a) p3+ q3=

b) 27a3+ 8y3=

c) 8a3+ 1 =

d) x3 27 =

Fraes Algbricas. O clculo de fraesalgbricas utiliza o mesmo processo do clculo dasfraes numricas, admitindo-se sempre que odenominador no seja nulo, ou seja, diferente de zero.

1. Simplificao de Fraes Algbricas. Sim-plificar uma frao algbrica obter umafrao mais simples equivalente. Para simpli-ficar uma frao, fatoramos o numerador e odenominador.


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ExerccioSimplifique cada uma das seguintes fraesalgbricas:

a)2ax6

ax9 =

b)cab2

ba85

43=

c)14-x7

a7 =

d)3a33-a3

+

=

e)x8

7x-x5 2 =

f)22 5y-x5

7y-x7 =

g)4x45-x5 2

+

=

h)

64-x

6416x-x2

2+ =

i)3x3

12xx2

+

++ =

j) ( )

4-x

2x44x-x2

2++ =

2. M.M.C de Polinmios. O m.m.c de polinmios

ser dado pelo produto dos fatores comuns eno comuns, cada um deles com o maiorexpoente.

ExerccioSendo A = x2 10x + 25, B = x2 25 eC = (x 5) (2x + 21), calcule:a) M.M.C. de A e B

Resp.: (x + 5) (x 5)2

b) M.M.C. de A e CResp.: (2x + 1) (x 5)2

c) M.M.C. de B e C

Resp.: (x2

25) (2x + 1)

d) M.M.C. de A, B e CResp.:(x 5)

2(x + 5) (2x + 1)

3. Adio e Subtrao de Fraes Algbricas.Quando as fraes possuem o mesmodenominador, basta somar ou subtrair osnumeradores. Quando as fraes possuemdenominadores diferentes, basta reduzi-las aomesmo denominador e em seguida, somar ou

subtrair os numeradores.

ExerccioCalcule:

a)1-a3-a

1-a

2-

1aa

2 +

+

Resp.:

1-a

5-3a-a22

2

b) 222244

2

y-x 2-y-x 1-y-x x4

Resp.:22 yx

1

+

c)42x

2-

4-x

2x2 +

Resp.: 0

d)1x1-x

1-x1x

++

+

Resp.:

1-x

1x22

2+

4. Multiplicao e Diviso de FraesAlgbricas. Para multiplicar ou dividir fraesalgbricas, usamos o mesmo processo dasfraes numricas. Fatorando os termos dafrao e simplificar os fatores comuns.

ExerccioEfetue:

a)1-a

y

1ax

+

=

b) c3

2a

ac8 =


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c)1a

x

xx

4a4 2

24 +

+

+ =

d)x-p

2p

x-p

px22 =

e)b-a

1x

aba

12xx222

2+

+

++ =

f)a

bab

baba 22 +

+ =

5. Potenciao de Fraes Algbricas. Utiliza-mos o mesmo processo das fraes numri-cas.

Exerccio:Calcule

a)x

ba 3

4

2=

b)2-n

n3 2=

c)3-xm1 2

=

+

d)

yx

23

2 =

e)2

b-a

2ba 22

=

+

+

ESTUDO DOS RADICAIS

Generalidades

1. A raiz n-sima de um nmero A um nmero B,tal que Bn= A.

2. ABBA nn == 3. Na expresso anterior, A o radicando, B a

raiz, n o ndice do radical.4. A raiz de ndice par de um nmero positivo

admite duas razes simtricas.5. A raiz de ndice mpar de um nmero real

positiva ou negativa, conforme o nmero sejapositivo ou negativo, respectivamente.

6. A raiz de ndice par ou mpar de zero zero.7. A raiz de ndice par de nmeros negativos no

existe no universo dos Nmeros Reais.8. Radicais Semelhantes so aqueles que tm o

mesmo ndice e o mesmo radicando.9. A substituio de fraes por outras equiva-lentes que no tenham radicais nos denomi-nadores chamada de racionalizao dedenominadores.

10.2

C-A2

CABA

+= ,onde B-AC

2= .

Note que a expresso A2 B deve ser umquadrado. Dessa forma possvel transformarum radical duplo numa soma algbrica deradicais simples.

11. A raiz de um produto o produto das razes.12. A raiz de um quociente o quociente das razes.13. A raiz de uma potncia a potncia da raiz.14. A raiz de outra raiz dada pelo radical cujo

ndice o produto dos ndices.15. S possvel adicional ou subtrair radicais

semelhantes.16. Pode-se simplificar um radical dividindo-se o

ndice e o expoente do radicando por um mesmonmero real diferente de zero.

Exerccio. Transforme cada radical duplo numa somaalgbrica de radicais simples

a) 32 + b) 7-4

c) 62-7

Exerccio. Racionalize o denominador de cada umadas seguintes fraes.

a)5

215

b)( )57

2

+

c) 3 81

9

d)5 3 5x

x


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EXERCCIOS

01. Verifique a identidade

222-2222222 =++++

02. O nmero irracional 215+ pode ser escrito

na forma yx + , x > y. Ento, calculando-se

W = (x + y)2 ( x y)2, obtm-se:a) 41b) 31c) 21d) 11e) 1

03. Se

+=

33

8-484A , ento, A vale:a) -3b) -2c) 3d) 2e) 4

04. Se voc dividir 1-32 por 13 + , obter comoresultado.

a)2

36 +

b) 233-7

c)3

32-5

d)4

336+

e) 3-2

05. Racionalizando o denominador do nmero racio-

nal2-6

6x = obtm-se do nmero.

a)3

2-6x=

b) ( )2623

x +=

c)4

36x=

d) 236x +=

e)23

x=

GABARITO

01. verdadeira 03.D 05.B02. C 04.B

EQUAES DO 2 GRAU

DefinioDenomina-se equao do 2 grauna incgnita x todaequao na forma ax2+ bx + c = 0, onde a, be csonmeros reais e a 0.

TiposINCOMPLETAS COMPLETAS

=+

=+

=

0cax

0bxax

0ax

2

2

2

ax2+ bx + c = 0

Se a equao incompleta, voc pode resolv-laisolando o x ou fatorando, conforme o caso. Ou,ainda, pode aplicar a frmula de Bhaskara.

Se a equao completa, voc pode resolv-lausando a frmula de Bhaskara indicada abaixo:

ax2+ bx + c = 0, com a 0 temos que:

= b2 4ac (discriminante)

2ab-x =

Obs.:1. se > 0 existem duas razes reais e distintas;2. se = 0 existem duas razes reais e iguais;3. se < 0 no existem razes reais (S = ).4. se c = 0 possui uma raiz nula;5. razes recprocas ou uma inverso da outra .

Produto = 1 ,a

c = 1 logo , c = a.

6.cb

-ca

ab

-

acab

ps

xxxx

x1

x1

=/

/

=

==

+=

+

soma dos

inversos;

7. razes simtricas x= -x

0b)1(0bab

-0ab

-xx-ab

-xxab

-s1

==

==+=+=

8. Soma das razes ab

-S =

9. Produto das razes:a

c=P


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EXERCCIOS

01. Resolver as seguintes equaes:a) 5x2= 0 Resp.: 0 e 0

b) x2+ x = 0 Resp.: 0 e -1

c) 4x2 x = 0 Resp.: 0 e 1/4

d) R2 16 = 0 Resp.: 4

e) 4y2 9 = 0 Resp.:3/2

f) t2+ 5t + 6 = 0 Resp.: -2 e -3

g) m2 6m + 9 = 0 Resp.: 3 e 3

h) x2+ 3x + 5 = 0 Resp.: no h raiz real

02. Que valores pode assumir o parmetro k paraque a equao x2 6x + k2 3k 4 = 0 tenhauma das razes nula?

Resp. 4 ou -1

03. Determine o valor de m para que a equaox2 6x + 3m = 0 admita razes reais e iguais.

Resp. m=3

04. Determinar m, de modo que uma das razes daequao (m 1) x2 8x + 3 = 0 seja o inverso daoutra.

Resp. m=4

05. Calcule h na equao (h + 3) x2 (2h 2) x + 4 = 0de modo que a soma dos inversos das razesseja igual a 1/3.

Resp. h=5/3

06. Determinar k de modo que as razes da equao5x2+ 9x + k = 0 sejam reais e distintas.

Resp.:20

81k <

07. Achar m para que a equao4x2 4x + 2m 1 = 0 no possua razes reais.

Resp. m > 1

08. Determinar m e p na equao(m p)x2 + (m 2)x 4 = 0 de modo que as suasrazes sejam simtricas.

Resp.: m = 2 e p < 2

09. Qual deve ser o valor de p para que a soma dasrazes da equao (p 3)x2 px + 7 = 0 seja

igual a7

10 ?

a) 3b) 6c) 8d) 10e) 12

10. Determinando o valor de K na equaoax2 3x + K = 0, de modo que o produto dasrazes seja o triplo da sua soma, obtm-se:

a) K = 12b) K = 6c) K = 27d) K = 18e) K = 9

11. A equao de 2 grau x2 5x + 2 = M temexatamente duas razes reais distintas, se esomente se:

a)4

-17M>

b)4

17M >

c)4

-17M <

d)4

17M <

e) M = 0

12. A soma e o produto das razes da equaomx2 3(n 2) x 15 = 0 so, respectivamente,6 e -5. Qual o valor de m + n?

a) 5b) 8c) 11d) 15

e) 10

13. A soma de dois nmeros 14 e a soma de seusquadrados 100. Quais so os nmeros?

Resp. 6 e8

14. A soma de dois nmeros 7 e o primeiro mais araiz quadrada do segundo 5. Achar osnmeros.

Resp. 3 e 4


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15. O valor de x na equao

4-x1x-9x2 =++ a) negativob) um nmero irracionalc) maior que 7d) menor que 8e) no inteiro

16. Dois nmeros inteiros esto entre si na razo7

5

e a diferena entre seus quadrados excede de 5centenas o qudruplo do menor. Calcule osnmeros

Resp.: 25 e 35

17. Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Aprimeira gasta 5 horas mais do que a segundapara faz-lo sozinha. Quanto tempo gastar,isoladamente a segunda para encher o tanque?

Resp.: 10 horas

18. Determinar um nmero de dois algarismos, talque, dividindo-o pela soma dos algarismos, igual ao quociente 4; e que o produto destesalgarismos mais 52 igual ao nmero, escrito

em ordem inversa.Resp. 48

19. Dado um segmento de comprimento L, o que historicamente conhecido como seco ureadeste segmento a sua diviso em doissegmentos de comprimentos x e L x, de modo

quex-L

x

x

L= . Com essa informao, correto

afirmar quea) x2= L2 - x

b)( )2

1-5L=x

c) x2 x = L2 Ld) se L inteiro, ento x racionale) x2+ x = L2+ L

20. O conjunto soluo da equao de incgnita x,

2mx-xm

m-n

m-x

2m-1

22

22

+

= :

a) S = {2n m}

b) S = {2n + m, 2n m}c) S = {m + n, m n}d) S = {m + 2n, m 2n}e) S = {2m + n, 2m n}

21. Um grupo de pessoas, fez um contrato com umaempresa de turismo, para fazer uma viagem. Ovalor do contrato foi de R$ 1.500,00. Dois delesno puderam viajar em conseqncia a despesade cada um aumentou em R$ 25,00. Quanto foia despesa de cada pessoa, que viajou?

a) R$ 10,00b) R$ 12,00c) R$ 125,00d) R$ 150,00e) R$ 175,00

22. Vinte empregados, entre operrios e aprendizes,receberam uma gratificao. Aos operrioscoube a importncia de R$ 600,00 e aosaprendizes igual quantia. Sabendo-se que cadaaprendiz recebeu menos R$ 80,00 do quequalquer dos operrios, quantos eram osaprendizes?

Resp. 15

GABARITO

09. D 11.A 15.C 20.E10.E 12.C 19.B 21. D

MATEMÁTICA CEFET

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