MATEMTICA MATEMTICA MATEMTICA MATEMTICA CESPE/ESAF CESPE/ESAF CESPE/ESAF CESPE/ESAF 37/2014 37/2014 37/2014 37/2014

PROJETO EXCOM PROFESSOR JEFFERSON ALVES MATEMTICA Prova: MINISTRIO DA INTEGRAO NACIONAL. Cargo: ADMINISTRADO. Banca: CESPE. Nvel: SUPERIOR. Ano: 2013 Ao comentar a respeito da qualidade dos servios prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmaes: P1: Se for bom e rpido, no ser barato. P2: Se for bom e barato, no ser rpido. P3: Se for rpido e barato, no ser bom. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes. 141 - Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como concluso ser um argumento vlido. 142 - A proposio P1 logicamente equivalente a Se o servio for barato, no ser bom nem ser rpido. 143 - A proposio P2 logicamente equivalente a Ou o servio bom e barato, ou rpido.

144 - Se P3 for falsa, ento o servio prestado bom, rpido e barato. O casal Cssio e Cssia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cssio diz s quartas, quintas e sextas-feiras mentira, sendo verdade o que dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cssia diz aos domingos, segundas e teras-feiras mentira, sendo verdade o que dito por ela nos outros dias da semana. A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos. Separando alguns dados importantes do problema para a resoluo dos itens: Cssio: VERDADE: Segunda, tera, sbado e domingo. FALSO: Quartas, quintas e sextas feiras. Cssia: VERDADE: Quarta, Quinta, sexta, sbado FALSO: Domingo, segundas e teras-feiras.

145 - Se, em certo dia, ambos disserem Amanh meu dia de mentir, ento essa afirmao ter sido feita em uma tera-feira. 146 Na tera-feira, Cssia disse que iria ao supermercado no sbado e na quarta-feira, que compraria arroz no sbado. Nesse caso, a proposio Se Cssia for ao supermercado no sbado, ento comprar arroz verdadeira.

147 - Se, em uma sexta-feira, Cssio disser a Cssia: Se eu te amasse, eu no iria embora, ser correto concluir que Cssio no ama Cssia. Prova: MINISTRIO DE MINAS E ENERGIA. Cargo: ANALISTA DE LICITAO. Banca: CESPE. Nvel: SUPERIOR. Ano: 2013 148

A partir da sequncia de placas apresentada na figura acima, correto concluir que a quantidade de maneiras distintas de trocar entre si as posies das placas e ainda obter a mesma formao inicial igual a

Texto para as questes 149 e 150 Considere que as proposies lgicas simples sejam representadas por letras maisculas P, Q, R etc. A partir de proposies dadas, podem-se construir novas

proposies mediante o uso dos smbolos lgicos e , que significam, respectivamente, e e ou, ou por meio

do emprego dos smbolos lgicos e , chamados, respectivamente, de condicional e bicondicional. 149 A proposio As fontes de energia fsseis esto, pouco a pouco, sendo substitudas por fontes de energia menos poluentes, como a energia eltrica, a elica e a solar as fontes de energia limpa pode ser representada simbolicamente por

150 A representao simblica correta da proposio O homem semelhante mulher assim como o rato semelhante ao elefante

Prova: Ministrio da Fazenda Secretaria Executiva. Cargo: Analista Tcnico-Administrat ivo, Arquiteto, Contador , Engenheiro e Pedagogo. Banca: ESAF. Nvel: Superior. Ano: 2013. RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO 151 Em uma secretaria do Ministrio da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razo entre o nmero de homens e o nmero de mulheres igual 4/5. A diferena entre o nmero de mulheres e o nmero de homens que trabalham nessa secretaria igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 152 Conforme a teoria da lgica proposicional, a proposio ~ P P : a) uma tautologia. b) equivalente proposio ~ P V P . c) uma contradio. d) uma contingncia. e) uma disjuno.

153 A negao da proposio Braslia a Capital Federal e os Territrios Federais integram a Unio : a) Braslia no a Capital Federal e os Territrios Federais no integram a Unio. b) Braslia no a Capital Federal ou os Territrios Federais no integram a Unio. c) Braslia no a Capital Federal ou os Territrios Federais integram a Unio. d) Braslia a Capital Federal ou os Territrios Federais no integram a Unio. e) Braslia no a Capital Federal e os Territrios Federais integram a Unio. 154 Considere verdadeiras as premissas a seguir: se Ana professora, ento Paulo mdico; ou Paulo no mdico, ou Marta estudante; Marta no estudante. Sabendo-se que os trs itens listados acima so as nicas premissas do argumento, pode-se concluir que: a) Ana professora. b) Ana no professora e Paulo mdico. c) Ana no professora ou Paulo mdico. d) Marta no estudante e Ana Professora. e) Ana professora ou Paulo mdico.

155 Em uma progresso geomtrica, tem-se a1 = 2 e a5 = 162. Ento, a soma dos trs primeiros termos dessa progresso geomtrica igual a: a) 26 b) 22 c) 30 d) 28 e) 20 156 A soma dos 100 primeiros termos da sequncia (4, 7, 10, 13, 16,...) igual a: a) 15.270 b) 15.410 c) 15.320 d) 15.340 e) 15.250

157 No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionrios de uma empresa:

Uma bicicleta ser sorteada entre os funcionrios dessa empresa; a probabilidade de que uma mulher que desempenha a funo de servios gerais ganhe a bicicleta igual a: a) 22% b) 23% c) 20%

d) 24% e) 21% 158 Beatriz servidora do Ministrio da Fazenda e costuma se deslocar de casa para o trabalho de carro prprio ou de nibus. Sabe-se que Beatriz se desloca de carro prprio em 90% das vezes e de nibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de nibus, chega atrasada em 30% das vezes e, quando se desloca de carro prprio, chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado, dia Beatriz chegou atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de nibus neste dia? a) 30% b) 15% c) 20% d) 10% e) 25% 159 O nmero de anagramas da palavra FAZENDA que comeam com FA e nessa ordem igual a: a) 130 b) 124 c) 120 d) 115 e) 136 160Uma comisso com 6 pessoas ser formada para representar o Ministrio da Fazenda em um congresso internacional. Essas 6 pessoas sero selecionadas de um grupo formado por 5 homens e 6 mulheres. O nmero de possibilidades de nessa comisso termos 4 pessoas do mesmo sexo igual a: a) 210 b) 215 c) 245 d) 225 e) 240

GABARITO COM RESOLUO DA S QUESTES 141 - Resoluo: Primeiro faamos a contrapositiva de P1(CP1) e P2(CP2).

(pq = ~q~p) CP1: Se barato, ento no ser bom ou no ser rpido. CP2: Se rpido, ento no ser bom ou no ser barato. Repare que em duas condicionais:

pq e

rq Ento temos que:

prq E repare ainda que como temos em comum que a tese tanto de CP1 quanto de CP2 tem o termo em comum no ser bom. Da, podemos concluir que: Se bom e rpido, ento no ser bom.

Logo, a partir de P1 e P2 podemos concluir P3. Resp.: CERTO. 142 - Resoluo: A equivalncia de uma condicional atravs de outra condicional da pela contrapositiva. E tem a seguinte estrutura:

pq = ~q~p Fazendo a equivalncia de P1, temos: Se o servio for barato, ento no ser bom ou no ser rpido. Repare que a tese da condicional enunciada pela banca : no ser bom nem ser rpido. E repare que temos o conectivo nem no lugar do ou. O que constitui um erro! Visto que nem equivale a e...no.... Resp.: ERRADO. 143 - Resoluo: Um outra forma de equivalncia da condicional atravs da seguinte estrutura:

pq = ~pq. Fazendo a Equivalncia de P2, temos: O servio no bom ou no barato ou no ser rpido

Compare com a afirmao enunciada pelo texto e veja que h erro em toda a estrutura. Resp.: ERRADO. 144 - Resoluo: Ou seja, o enunciado pede para conferirmos se a negao da P3 est correta. A P3 dada por: P3: Se for rpido e barato, no ser bom. Lembrado que a negao da condicional dada por:

~(pq) = p~q Obedecendo a estrutura transcrevendo a P3 para sua negao, temos: O servio prestado rpido e barato e bom. Repare que a resposta do texto apenas trocou os termos de posio. Mas como o conectivo o e (conjuno) isto no afeta o valor lgico da resposta. Resp.: CERTO. 145 - Resoluo: Com os dados destacados acima, podemos resolver o exerccio da seguinte forma: CSSIO: Repare que se ele estiver dizendo isso na tera feira, logo ele estar dizendo a Verdade. Ou seja, no dia seguinte ele mentir. E repare que, dado pelo texto, na quarta feira dia dele Mentir. Logo, Tera feira um dia possvel para a afirmao de Cssio. CSSIA. Repare que na tera feira tudo que a Cssia fala tem valor lgico de FALSO. Logo, no dia seguinte no dia dela mentir, ento ela falar a verdade no dia seguinte. E o texto descreve que na Quarta Feira, Cssia fala a VERDADE. Logo, na Tera Feira, tambm um dia possvel para a afirmao da Cssia. Repare que Tera Feira dia em que ambos podem fazer esta afirmao. Assim, a afirmao est CORRETA. Resp.: CERTO. Obs.: Exercite o mesmo Raciocnio nos outros dias da semana. E verifique que no h outro dia em que AMBOS podero dizer esta mesma frase. 146 - Resoluo: Se na tera Feira, Cssia, disse: Vou ao supermercado no sbado. Ento, obedecendo a voz de comando do enunciado, esta afirmao tem o valor lgico FALSO.

Se na quarta feira Cssia disse: Vou comprar arroz no sbado, Ento, novamente pelo enunciado, esta afirmao de valor lgico de VERDADE. Vemos que as duas afirmaes feitas acima so componentes da condicional que se pede para avaliar o valor lgico. Este, pode ser obtido lembrando a tabela verdade da condicional da seguinte maneira:

Logo, a afirmao Verdadeira. Resp.: CERTO. 147 - Resoluo: Na Sexta feira, tudo o Cssio fala tem valor lgico de falso. Isto quer dizer que a condicional enunciada Falsa. E s tem uma possibilidade de termos uma condicional falsa:

p q pq V F F

Ou seja, se uma condicional Falsa, a componente Hiptese (O que est entre o Se e o ento) Verdade e a Tese(O que est depois do ento) FALSO. Assim temos da condicional do texto: Te amo VERDADE. Eu no vou embora FALSO. Ou seja, percebemos que Cssio ama Cssia. Resp.: ERRADO. 148 - Resoluo: Primeiro: Para manter a formao inicial devemos trocar apenas as placas de mesma letra entre si. Segundo: Vamos analisar o problema em duas etapas independentes e simultneas. E1: De quantas maneiras diferentes podemos trocar as placas de mesma letras de posio, desde que no sejam feitas pela letra A. E2: De quantas maneiras diferentes podemos trocar as Letras A de posio entre si. Podendo at trocar as placas A de colunas diferentes. Depois de quantificadas ambas as etapas, como as etapas E1 e E2 so simultneas, devemos multiplicar seu resultados:

E1 x E2.

Vamos aos clculos: E1:

Cada fileira de placa pode trocar de posio, atravs de Permutao simples (Pn = n! Onde n o total de objetos permutados) 3! = 3.2.1 = 6. Como todas tem que acontecer simultaneamente e temos 6 fileiras, o nmero de possibilidades destas trocarem de posio entre si de 6x6x6x6x6x6 = 6

6.

E2:

Trocar as letras A de posio entre si inclusive entre colunas diferentes pode ser feito fazendo Permutao Simples de todas as placas entre si. P6 = 6! Multiplicando os resultados, temos: E1 x E2 = 6

6 x 6! ( A ordem dos fatores no altera o

produto.) Resp.: B. 149 - Resoluo Vamos comear tirando alguns excessos do texto como complementos de informaes e trechos que fazem referncia a termos anteriores. Primeiro: O termo pouco a pouco apenas faz referncias do tempo de acontecimento d substituio do tipo de energia. Logo podemos enxugar a sentena cortando esse trecho. Como resultado temos: As fontes de energia fsseis esto sendo substitudas por fontes de energia menos poluentes, como a energia eltrica, a elica e a solar as fontes de energia limpa Repare que como a energia eltrica, a elica e a solar as fontes de energia limpa uma parte que faz

referncia exemplificando os tipos de energias menos poluentes. Logo, podem ser cortados de todo o trecho sem prejuzo informao: Assim, ficamos com: As fontes de energia fsseis esto sendo substitudas

por fontes de energia menos poluentes

Repare que a sentena resultante no conectivo (ou necessidade de) lgico algum ligando mais de uma sentena. apenas uma sentena simples. Logo pode ser representado por uma nica letra P. Resp.: D. 150 Resoluo Note que o termo assim como um termo que gera a ideia de que as duas comparaes esto para si de forma simultnea. O que corresponde ao conectivo se, e somente se. Logo a proposio acima pode ser reescrita como uma bicondicional. O homem semelhante mulher se, e somente se, o

rato semelhante ao elefante

A proposio O homem semelhante mulher pode ser indicada pela letra P. E a proposio o rato semelhante ao elefante pode ser indicada pela letra Q.

Como o smbolo do se, e somente se, .

Temos como resposta PQ. Resp.: A. 151 Resoluo O texto diz que a razo entre o nmero de homens e mulheres de 4/5. Se o total de pessoas composto de homens(H) mais mulheres(M), ento isto indica que o todo foi dividido em 9 partes iguais(H + M = 9). Assim, cada parte do todo corresponde a: 63 = 7 pessoas. 9 Como pede-se a diferena entre o nmero de mulheres e o nmero de homens, isto pode ser feito entre suas partes em relao ao todo. Ou seja, Se o grupo de homens representa 4 partes do todo e o grupo de mulheres representa 5 partes do todo, ento a diferena pedida fica: M H = 5 4 = 1 parte do todo. Ou seja, a diferena entre o nmero de mulheres e homens representa 1 parte sobre o todo. E como 1 parte representa 7 pessoas, temos: Resp.: b

152 - Resoluo

Se efetuarmos a tabela verdade da proposio ~p p, lembrando da tabela verdade da conjuno temos que:

p ~p ~pp

V F F

F V F

Obs.: Uma conjuno s ser verdadeira se as duas componentes forem verdadeira. Caso contrrio falsa. Olhando para terceira coluna, percebemos que independente das componentes da proposio composta, seu valor Falso. Logo, podemos classificar esta proposio como uma CONTRADIO. Resp.: c 153 - Resoluo A proposio Braslia a Capital Federal e os Territrios Federais integram a Unio uma conjuno. E sua respectiva negao :

~(pq) = ~p ~q Se identificarmos como: p: Braslia a Capital Federal q: os Territrios Federais integram a Unio Temos ento:

~p ~q : Braslia no a Capital Federal ou os Territrios Federais no integram a Unio. Resp.: b 154 Resoluo Supondo todas as premissas verdadeiras, conforme a orientao do texto, precisamos relacion-las, observando a regra dos conectivos de cada premissa, para da extrairmos nossas concluses. Enumeremos as premissas para organizar. (I) se Ana professora, ento Paulo mdico; (V) (II) ou Paulo no mdico, ou Marta estudante; (V) (III) Marta no estudante. (V) Repare que a premissa (III) uma proposio que tem correspondncia na segunda componente da premissa (II). Se Marta no estudante uma proposio Verdadeira, Marta estudante Falsa.

Como pressupomos a premissa (II) uma disjuno exclusiva verdadeira, sabemos, atravs de sua tabela verdade, que uma disjuno exclusiva tem verdadeira quando suas componentes possuem valores lgicos contrrios. Ou seja, se Marta estudante Falso, para confirmar a disjuno exclusiva como Verdade, precisamos ter Paulo no mdico como Verdade.

Logo, primeira concluso: Paulo no mdico.(*) Agora, peguemos a primeira concluso (*) e relacionemos com Tese da premissa (I). Se Paulo no mdico Verdade, Paulo Mdico Falso.

Como a condicional da premissa (I) Verdade e a tese Falsa, devemos lembrar da tabela Verdade da condicional que sobra apenas para a Hiptese Ana professora ser uma proposio Falsa.

Assim, conclumos que, por Ana professora ser Falso, temos a segunda concluso: Ana no professora. Temos ento como resposta correta Ana no professora ou Paulo mdico. Pois, percebam que esta resposta uma proposio composta pela disjuno. E uma disjuno Verdadeira!! Pois como Ana no professora Verdade, ainda que Paulo mdico Falso, a proposio composta pela disjuno Verdade. Pois uma disjuno para ser Verdade basta que uma componente seja Verdade.

Resp.: c. 155 Resoluo Temos a sequncia (2, x, y, z, 162). Se esta sequncia uma progresso geomtrica (PG), temos uma propriedade que diz que numa sequncia de termos em PG, o termo central a raiz do produto de seus extremos. Veja que o terceiro termo, o elemento y, o termo central da sequncia em PG de 5 termos em que o primeiro termo 2 e o quinto 162. Ento, aplicando a propriedade citada, temos:

y =

y = y = 18 Considerando os trs primeiros termos da sequncia 2, x, 18, temos a mesma propriedade. Onde x o termo central.

x =

x = x = 6 Ento, a soma dos trs primeiros termos igual a: 2 + 6 + 18 = 26. Resp.: a 156 Resoluo Repare que a sequncia uma Progresso Aritmtica (PA) de razo igual a 3. E para acharmos a soma dos 100 primeiros termos, precisamos primeiro achar o 100 termo. E para isto usaremos a frmula do termo geral de uma PA. an = a1 + (n 1)r Onde: an Ensimo termo da PA. (Que ser o nosso centsimo termo). a1 primeiro termo da PA. n nmero de termos na PA. r razo da PA. Recolhendo os dados da sequncia, temos: a1 = 4 n = 100 r = 3 a100 = ?? Assim: a100 = 4 + (100 1).3 a100 = 4 + 99 . 3 a100 = 4 + 297 a100 = 301 Agora, para calcularmos a soma dos 100 primeiros termos da PA, precisamos da frmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Sn = (a1 + an).n 2 Substituindo os termos, temos: S100 = (4 + 301).100 2 S100 = 305 . 100 2 S100 = 305 . 50 S100 = 15.250 Resp.: e. 157 Resoluo A probabilidade (P(A)) de um evento acontecer dada pela seguinte condio: P(A) = nmero de casos favorveis = n(A) nmero total de casos n(U) Repare que buscando da tabela n(A) = 33. E que, dado pelo texto, n(U) = 150. Logo: P(A) = 33 150 Simplificando por 3. P(A) = 11 50 Multiplicando por 2 o numerador e o denominador temos: P(A) = 22 100 Logo: P(A) = 22% Resp.:a. 158Resoluo um problema de probabilidade condicional. Pois o texto pede a probabilidade de Beatriz ter ido ao trabalho de nibus(Onb), j sabendo que ela chegou atrasada(Atras.). Indicamos da seguinte forma: P(Onb/Atras.) Probabilidade de Beatriz ter ido de nibus sabendo que ela chegou atrasada.

A condio de clculo a seguinte:

P(Onb/Atras.) = P(OnbAtras.) P(Atras.)

P(OnbAtras.) Significa a probabilidade dela ter ido de nibus e simultaneamente ter chegado atrasada. Como o texto garante que os eventos so independentes, temos:

P(OnbAtras.) = P(Onb) x P(Atras.) Retirando os dados do texto, podemos calcular da seguinte forma:

P(OnbAtras.) = 10% x 30% = 3% P(Atras.) Significa a probabilidade total de chegar atrasada. E isso se d pela probabilidade dela ter ido de

nibus e ter chegado atrasada (P(OnbAtras.)) ou ter ido

de carro e chegado atrasada (P(CarrAtras.)). Podemos calcular isto atravs da seguinte expresso.

P(Atras.) = P(OnbAtras.) + P(CarrAtras.) Temos: P(Atras.) = 10% x 30% + 90% x 10% = 3% + 9% = 12% Assim, finalizando o clculo: P(Onb/Atras.) = 3% = 3 = 1 = 25% 12% 12 4

Resp.: e. 159 Resoluo Um anagrama qualquer palavra que possa ter significado ou no que possa ser obtida apenas trocando as letras da palavra FAZENDA de posio. Vamos determinar o nmero de possibilidades de inserir um letra na sua respectiva posio e multiplicar esses resultados: Perceba que como temos que comear o anagrama com FA juntos e nesta ordem, s temos uma possibilidade de iniciar o anagrama, com a let F. 1

F Como a segunda letra tem que ser o A, temos duas possibilidades de inseri-la. 1 2

F A Sobram as letras Z, E, N, D, A como em relao posio que estas podem ocupar no h restrio, podemos distribuir suas quantidades de insero de forma decrescente.

1 2 5 4 3 2 1

F A Multiplicando as possibilidades de cada etapa: 1 x

2 x

5 x

4 x

3 x

2 x

1 = 240

F A Porm, como angramas FAZENDA e FAZENDA so iguais, ou seja, trocar as duas letras A de posio no altera a palavra formada, precisamos retira a repetio. E para isto, basta dividir o resultado pelo nmero de possibilidades de troca de posio entre as letras A. Ou seja, 2! Vezes. Que igual a 2 x 1 = 2. Assim: 240 = 120 anagramas comeando com FA juntas e na mesma ordem. 2 Resp.: c. 160 Resoluo A ordem com a qual chamamos as pessoas no importa. Logo, um caso de combinao. Assim teremos grupos com 4 homens e 2 mulheres ou grupos com 4 mulheres e 2 homens. (I) 4 homens e 2 mulheres. Sempre que o conectivo e relaciona evento, multiplica o resultado dos mesmos. C5,4 x C6,2 C5,4 = . 5! . 4!(5 4)! C5,4 = . 5.4! . 4!(1)! C5,4 = 5 C6,2 = . 6! . 2!(6 2)! C6,2 = . 6.5.4! . 2!(4)! C6,2 = 15 Assim:

C5,4 x C6,2 = 5 x 15 = 75 (II) 4 mulheres e 2 homens. C6,4 x C5,2 C6,4 = . 6! . 4!(6 4)! C6,4 = . 6.5.4! . 4!(2)! C6,4 = 15 C5,2 = . 5! . 2!(5 2)! C5,2 = . 5.4.3! . 2!(3)! C5,2 = 10 Portanto: C6,4 x C5,2 = 15 x 10 = 150. Como precisamos de 4 homens e 2 mulheres ou grupos com 4 mulheres e 2 homens, devemos associar o conectivo ou operao de soma. Logo: C5,4 x C6,2 + C6,4 x C5,2 = 75 + 150 = 225. Resp.: d. Obs.: O texto desta questo no est preciso, pois ele precisaria destacar que quer EXATAMENTE 4 pessoas do mesmo sexo.

Daqui em diante, depois da terceira letra, cada insero sempre

contar com uma possibilidade a menos, pois retira-se a letra usada

anteriormente.