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Conjuntos dos números racionais.

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Conjunto dos Racionais: Os números racionais surgiram da necessidade de representar partes de um inteiro, provavelmente associados a resultados de medidas. Historicamente surgiram antes dos negativos embora didaticamente sejam apresentados depois. Podemos definir um número racional como qualquer número que pode ser expresso em forma de fração. Qualquer fração obviamente é um número racional, são exemplos -1/2, 3/4 e -3/2. Qualquer fração pode ser expressa em forma decimal, bastando dividir o numerador pelo denominador. Um número inteiro também pode ser expresso em forma de fração. Basta deixá-lo com denominador igual a 1. Exemplos: Todos os números decimais exatos ou dízimas periódicas podem ser representados em forma de fração. Chamamos esse processo de determinação da fração geratriz. Qualquer decimal finito pode ser expresso através de uma razão centesimal.

Para dízimas periódicas simples, ou seja, números decimais menores que 1, seguidos de repetições após a vírgula, basta considerar o período ou a repetição como numerador, e o denominador formado por tantos noves quanto numerais do denominador. Exemplos:

Para dízimas periódicas compostas, isto é, números quaisquer seguidos por uma dízima periódica o processo é um pouco diferente:

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Agora podemos definir o conjunto dos números racionais que é indicado pela letra Q. Então um número será considerado racional quando podemos expressá-lo na forma a sobre b, isto é, em forma de fração, sendo que a pode ser qualquer número inteiro e b também inteiro porém nunca zero, pois não existe divisão com denominador igual a zero. Como todo número inteiro pode ser expresso em forma de fração, dizemos que o conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos números racionais.

EXERCÍCIOS: 1. Identifique como decimal exata (finita), decimal infinita periódica ou decimal infinita não-periódica cada um dos números a seguir: a) 0,555 b) 0,11454545... c) 0,1231251271291211... d) 0,26666... e) 0,020020002... f) 0,789145 2. Dê a representação decimal dos seguintes números racionais: a) b) c) d) e) f) 3. Determine a geratriz das seguintes decimais periódicas:

a) 0,3333... b) 0,1666...

c) 0,2424...

d) 0,125777...

8

7

4

3

13

5

5

7

7

11

3

12

b

a

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GABARITO: 1. a) Decimal exata. b) Decimal infinita periódica. c) Decimal infinita não periódica. d) Decimal infinita periódica. e) Decimal infinita não periódica. f) Decimal exata. 2. a) 0,875 b) 0,75 c) 3846150, d) 1,4 e) 1428571, f) 2,333... 3. a) b)

c) d)

3

1

9

3

6

1

90

15

33

8

99

24

2250

283

99000

1132