Matemática - Conjuntos Númericos - Funções Funcao

8/14/2019 Matemtica - Conjuntos Nmericos - Funes Funcao

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UFMS / CCET / DMT DISCIPLINA: Matemtica para Biologia CURSO: Licenciatura em Cincias Biolgicas (EAD) Profa. Sonia Regina Di Giacomo 50

FUNES

Fenmenos do cotidiano de quem trabalha em determinadas reas do conhecimento, como a Fsica, aBiologia, a Qumica, a Economia ou a Sociologia, podem ser modelados matematicamente e analisadosusando-se funes. Com efeito, no estudo de um fenmeno, dados so coletados, organizados e analisadose, nessa anlise, surgem as grandezas mensurveis associadas ao fenmeno. Do estudo dessas grandezas,relaes de dependncia entre elas podem ser estabelecidas, indicando como a variao de algumasgrandezas afeta a variao de outras. Muitas dessas relaes so funes.

Vamos ilustrar essas idias com um exemplo histrico dos mais importantes:

O astrnomo e fsico italiano Galileu Galilei, fazendo vriasexperincias sobre a queda dos corpos, descobriu as leis da quedalivre: A velocidade de um corpo em queda livre proporcional ao

tempo gasto nessa queda. O espao percorrido por um corpo em queda livre

proporcional ao quadrado do tempo gasto no percurso.

Assim, analisando os dados sobre experincias de corpos emqueda livre, Galileu percebeu que a variao da distncia dpercorrida por um corpo que cai depende apenas do tempo t depercurso dessa distncia.

Simbolicamente essa dependncia indicada por ( )td f= ,conforme veremos mais adiante, e, ento diz-se que a distnciapercorrida d funo do tempo de percurso t.

As funes com as quais trabalharemos aparecem em estudos de fenmenos nos quais a variao deuma grandeza depende apenas da variao de uma outra grandeza e essa relao de dependncia pode serrepresentada por meio de frmulas matemticas.

No decorrer destas Notas de Apoio, faremos vrios outros exemplos, mas antes precisamosformalizar o conceito de funo.

Conforme dissemos, esse conceito pode aparecer quando tentamos estabelecer relaes entre doisconjuntos. Observe, ento, algumas relaes que podem ser definidas entre os conjuntos { }4,3,2,1A = e

{ }0,9,7,5,2B = :

a) b)

c) d)

1

2

3

4

A

2

5

7

90

B

1

2

3

4

A

2

5

7

90

B

1

2

34

A

2

5

7

9

0

B

1

2

34

A

2

5

7

9

0

B

Imagem extrada dehttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ltimo acesso em: 02/04/2007

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Galileu Galilei(1564-1642)


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Note que nas relaes descritas em a) e b), a cada nmero do conjunto A est associado um niconmero do conjunto B, alm do que as associaes esto bem definidas, pois cada nmero de A estassociado a um nico elemento de B. Observe que nas outras duas relaes isso no acontece: em c) aonmero 4 no est associado nenhum nmero e em d), ao nmero 3, esto associados dois nmerosdiferentes, 7 e 9. As relaes descritas em a) e b) definem uma funo do conjunto A no conjunto B, asdescritas em c) e d), no definem; pois quando estabelecemos uma relao entre dois conjuntos no-vaziosA e B essa relao somente definir uma funo quando as seguintes condies forem simultaneamente

satisfeitas:Condio 1: Todo elemento x pertencente ao conjunto A tem um elemento y do conjunto B a ele associado.

Condio 2: Cada elemento x de A no pode ter mais de um elemento de B a ele associado.

Assim tome cuidado: nem toda relao entre dois conjuntos define uma funo.Para definirmos uma funo de um conjunto A em um conjunto B, no tem importncia que tenham

elementos no conjunto B sem elementos de A a eles associados e nem que existam elementos de B quetenham sido associados a elementos distintos de A. As condies 1 e 2 se referem apenas ao conjunto A.

Voltando aos exemplos a) e b), qual a funo de A em B que essas duas relaes definem?

a) b)

A funo que a relao descrita em a) define a regra que ao nmero 1 associa o nmero 2, aonmero 2 associa o nmero 9, ao nmero 3 associa o nmero 5 e ao nmero 4 associa o nmero 0.

A funo que a relao descrita em b) define a regra que ao nmero 1 associa o nmero 7, aonmero 2 associa o nmero 0, ao nmero 3 associa o nmero 7 e ao nmero 4 associa o nmero 2.

Sejam A e B conjuntos no vazios. Chamamos de funo f de A em B todaregra que a cadaelemento x de A, associa de maneira nicaum elemento y de B.Nessas condies, dizemos que o conjunto A o domnio da funo f e o conjuntoB, o contradomnio da funo f.

Notaes: Seja f uma funo do conjunto A no conjunto B.1. Denotaremos o fato de f ser uma funo de A em B por BA:f .2. Seja x um elemento genrico do conjunto A. Se y for o nico elemento do conjunto B

associado a x, diremos que y a imagem de x pela f e indicaremos esse fato por( )xfy =

.Exemplos:1) Seja BA:h a funo definida pela relao indicada em a) .

Ento conjunto { }4,3,2,1A = o domnio de h e o conjunto{ }0,9,7,5,2B = o contradomnio de h.

Podemos, tambm, escrever que

( )1h2 = , ( )2h9 = , ( )3h5 = e ( )4h0 = ,

ou seja,2 a imagem de 1 pela h;

9 a imagem de 2 pela h;



7 no imagem de nenhum elemento de A.

IMPORTANTE

12

3

4

A

25

7

9

0

B

1

2

3

4

A

25

7

9

0

B

1

2

3

4

A

2

5

7

9

0

B


3/6


1

2

34

A

2

5

79

0

Bh

1

2

3

4

A

2

5

79

0

Bg

2) Seja BA:g a funo definida pela relao indicada em b).

O conjunto { }4,3,2,1A = o domnio de g e o conjunto{ }0,9,7,5,2B = o contradomnio de g.

Podemos, tambm, escrever que

( )1g7 = , ( )2g0 = , ( )3g7 = e ( )4g2 = ,

ou seja,

7 a imagem de 1 pela g;0 a imagem de 2 pela g;

7 a imagem de 3 pela g;

2 a imagem de 4 pela g;

5 e 9 no so imagens de nenhum elemento de A.

Observamos, mais uma vez, que alguns elementos do contradomnio de uma funo podem no serimagens, por no estarem associados a elementos do domnio. Vamos, ento, diferenciar os elementos docontradomnio de uma funo que so imagens, dos que no so, definindo o que denominaremos deconjunto imagemde uma funo.

Seja BA:f

uma funo. Chamamos de conjunto imagemde f ao conjuntoformado pelos elementos do conjunto B que so imagens de elementos do conjuntoA. Assim o conjunto imagemde f conjunto dos elementos By para os quaisexiste um elemento Ax tal que ( )xfy = . Denotaremos esse conjunto por Im(f).

Exemplos:Considere as funes BA:h e BA:g definidas pelas relaes indicadas em a) e em b).

Vemos, ento, que Im(h) { }0,9,5,2= e Im(g) { }0,7,2= .

Dada uma funo BA:f , sabemos que a cada elemento x de A existe um nico elemento y de Btal que ( )xfy = . A partir dessa dependncia entre os elementos x de A e ( )xfy = de B, vamos definirmais um conjunto relacionado ao conceito de funo:

Seja BA:f uma funo. Chamamosgrficode f ao conjunto formado pelospares ordenados ( )y,x tais que Ax e y o elemento nico de B tal que

( )xfy = .Denotaremos esse conjunto por Gr(f), assim

Gr(f) ( ) ( ){ }xfyeAxquetaisy,x == Podemos, ainda, escrever:

Gr(f) ( )( ){ }Axquetaisxf,x = .

Para as funes BA:h e BA:g definidas pelas relaes indicadas em a) e em b), temos

que: Gr(h) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,4,5,3,9,2,2,1= e

Gr(g) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,7,3,0,2,7,1= .

1

2

3

4

A

2

5

7

90

B

IMPORTANTE

IMPORTANTE


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O domnio e o contradomnio de uma funo no so, necessariamente, conjuntos numricos, mas nss trabalharemos com funes BA:f tais que A IR e B IR , assim os grficos das funes quetrataremos nestas Notas de Apoio sero formados por pares ordenados de nmeros reais.

Como os nmeros reais tm representaes geomtricas como pontos deuma reta, pares ordenados de nmeros reais tm representao comopontos de um plano.

Para representarmos geometricamente um par ordenado de nmeros reais como um ponto de um plano,fixamos nesse plano dois eixos perpendiculares, com a mesma origem O (Um eixo uma reta na qual fixou-se uma origem e um sentido de percurso, conforme fizemos na apresentao dos nmeros naturais,inteiros, racionais e reais).A menos que se afirme o contrrio, trabalharemos com um eixohorizontal orientado da esquerda para direita e um eixo verticalorientado de baixo para cima . O eixo horizontal ser chamado de eixodas abscissas, ou eixo Ox, ou simplesmente eixo x; e o vertical serdenominado eixo das ordenadas, ou eixo Oy, ou eixo y. As unidades demedida no precisam ser, necessariamente, as mesmas, embora namaioria das vezes adotaremos esse critrio.

Fixados os eixos, um par ordenado ( )b,a de nmeros reais pode ser representado geometricamente, seexecutarmos os seguintes passos:

1. Determinar a representao geomtrica do nmero real a no eixo x.

2. Determinar a representao geomtrica do nmero real b no eixo y.

3. Traar uma reta vertical pela representao geomtrica de a e uma reta horizontal pela representaogeomtrica de b.

4. O ponto P de interseco dessas duas retas a representao do par ordenado de nmeros reais( )b,a , com relao ao sistema de eixos Ox e Oy.

Se P for a representao do parordenado ( )b,a , dizemos que osnmeros a e b so as coordenadas doponto P, mais especificamente, a a

abscissa de P e b, a ordenada de P.

Veja alguns exemplos:( )1,1P1 = ;

( )1,3P2 = ;

( )4,5P3 = ;

( )2,1P4 = ;

( )2,2P5 = ;

( )0,4P6 = ;

( )4,0P7 = ;

( )2,5P8 = .

IMPORTANTE

O x

y

O a x

y

b

O a x

y

bP

PB8B

O x

y

-4 -2 -1 1 3 5

4

21

-2

PB1 PB2

PB3

PB4

PB5

PB

6

PB7


5/6


Observe que os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes e as coordenadas dos pontosdesses quadrantes tm caractersticas especiais. Observe:

2PUoUP Quadrante 1PUoUP Quadrante

3PUoUP Quadrante 4PUoUP Quadrante

Se ( )b,aP = um ponto do 1PUoUP Quadrante, ento 0a > e 0b > . Se ( )b,aP = um ponto do 2PUoUP Quadrante, ento 0a < e 0b > . Se ( )b,aP = um ponto do 3PUoUP Quadrante, ento 0a < e 0b < . Se ( )b,aP = um ponto do 4PUoUP Quadrante, ento 0a > e 0b < . Se ( )b,aP = do eixo Ox, ento 0b = . Se ( )b,aP = um ponto do eixo Oy, ento 0a = . O ponto O a origem do nosso sistema de eixos e suas coordenadas so ( )0,0O =

Um plano munido de um eixo vertical e de um eixo horizontal, com a mesma origem, conformedefinimos, pode ser denominado plano cartesiano.

Vamos representar geometricamente os grficos das nossas funes g e h:

Gr(h) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,4,5,3,9,2,2,1=

Gr(g) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,7,3,0,2,7,1= .

O x

y

O 1 2 3 4 x

Y

9

5

2

O 1 2 3 4 x

Y

7

2


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Leonhard Euler B[ 1 ]

Conforme j dissemos, em nossas Notas de Apoio, s trabalharemos com funesBA:f tais que A IR e B IR . Esse tipo de funo denominado funo

de uma varivel real a valores reais, pois se aA e ( )afb = , tanto a quanto bso nmeros reais.

Como trabalharemos apenas com funes de uma varivel real a valores reais, os domnios e oscontradomnios das nossas funes sero subconjuntos de IR . Mas que tipos de subconjuntos? Os nossosdois exemplos iniciais tm domnio de contradomnio finitos, mais do que finitos, so finitos com poucos

elementos. Por isso que a regra que define as funes g e h foram apresentadas explicitando-se qualelemento do conjunto B estava associado a qual elemento do conjunto A por meio de diagramas e flechas.Mas no que se segue, isso no acontecer sempre, pelo contrrio, quase sempre trabalharemos comfunes cujos domnios e contradomnios sero o prprio IR ou subconjuntos infinitos de IR . A regra quedefine uma funo desse tipo indicada por lei matemtica, em geral uma equao (embora existamfunes definidas por vrias equaes). Usaremos, ento, duas notaes para indicar nossas funes:

BA:f xay

onde A e B so conjuntos e xay indica a regra que permite associar acada elemento x de A um elementonico elemento y de B, ou

( )xfy = , para x A.Neste caso, dizemos que x a varivel dependente, y a varivelindependente e y funo de x.Essa notao ( )xfy = foi concebida pelo matemtico suo LeonhardEuler (1707-1783), considerado o mais prolfico matemtico que japareceu.

EExxeerrcccciioossAntes de iniciar o nosso estudo de funes de uma varivel real a valores reais, vamos exercitar os

conceitos e as nomenclaturas definidos at agora. Para isso, considere as funes f, g e h definidas pelos

diagramas abaixo:

1) Determine o domnio, o contradomnio e o conjunto imagem das funes f, g e h.2) Determine o grfico das funes f, g e h e represente cada um deles em um sistema cartesiano deeixos

3) Determine ( )6f , ( )8f , ( )6g , ( )9h , ( )1h , ( )2h ,

[1] Imagem extrada de :hh tt tt pp :: // // ww ww ww -- gg rr oo uu pp ss .. dd cc ss .. ss tt -- aa nn dd .. aa cc .. uu kk // ~~ hh ii ss tt oo rryy // PP ii cc tt DD ii ss pp ll aayy // EE uu ll ee rr .. hh tt mm ll ll .. (( AA cc ee ss ss oo ee mm 22 66 // 00 33 // 00 88 ))

IMPORTANTE

1

8

H

2

3

Gh

068

A

2

6

Bf

2

9

3

1

J

6

4

3

Kg

No endereo abaixo, voc pode encontrar informaes sobre as Leis do Pndulo, asLeis da Queda Livre e outras informaes sobre Galileu.

http://www.searadaciencia.ufc.br/folclore/folclore108.htm. ltimo acesso em 26/ 03 / 2008.

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