MATEMÁTICA APLICADA

REVISÃO BÁSICA

CONJUNTOS NÚMERICOS

RAZÃO E PROPORÇÃO

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

EQUAÇÃO DO 1 GRAU

EQUAÇÃO DO 2 GRAU

INEQUAÇÃO DO 1 E 2 GRAU

CONTEÚDO

CONJUNTOS NÚMERICOS

NÚMERO é a idéia que esta associada à quantidade de elementos de um conjunto.

NUMERAL é o símbolo utilizado para representar a idéia (número).

DEFINIÇÃO

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N ) O conjunto dos Números Naturais é formado pelos números inteiros e

positivos ao mesmo tempo, incluindo o zero. A seguir alguns exemplos de Números Naturais:

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z ) O conjunto dos Números Inteiros é formado pelo conjunto dos

Números Naturais acrescido dos números inteiros e negativos. A seguir alguns exemplos de Números Inteiros.

Z = ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )  O conjunto dos Números Racionais é formado pelo conjunto dos

números inteiros acrescido dos números que podem ser representados na forma de razão ( fração ), inclusive os números decimais, centesimais, milesimais, dizimas e etc. A seguir alguns exemplos de Números Racionais.

Q = ..., -4, , -3, - 2,135, -2, -1, 0, 0,0025, 1, 2, , 3, 4,333..., 5, ...

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R ) O conjunto dos Números Reais é formado pelo conjunto dos números

Racionais acrescido dos números irracionais, ou seja, números que não podem ser expressos na forma de fração, possuem infinitas casas decimais que não apresentam um padrão de repetição. A seguir alguns exemplos de Números Reais.

R = ..., -4, , -3, - -2, -1, 0, 0,3333..., 1, , 2, , 3, , 4, 5, ...

QUATRO OPERAÇÕES

Adição Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir

por um numero o que chamamos de soma.

a + b + c = S parcelas soma Subtração Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos a – b =

d ou a – b = R a = (minuendo)b = (subtraendo)d ou R é a (diferença) ou (resto) 

Multiplicação  Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos

substituir por um numero ou (fator) o que chamamos de produto. 

a . b . c = P fatores produto

É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto.

Divisão

Considerando D e d números inteiros onde D > d 0. Dizemos que “d” é o número pelo qual se divide “D” quando existe “q” também inteiro tal que: D = d . Q + R

 Onde: D = dividendo d= divisor q = quociente R= resto 

RAZÃO E PROPORÇÃO

DEFINIÇÃO

RAZÂO

Representa-se uma razão entre dois números a e b por a/b ou a : b (lê-se “a está para b”).

 a = antecedenteb = conseqüente inversa de uma razão →A inversa de uma razão é determinada

trocando-se a posição dos termos da razão considerada. 

2

3

3

2 inversarazão

DEFINIÇÃO

PROPORÇÃO “É uma igualdade entre duas razões” .  ou a : b :: c : d  Lê-se: “a esta para b, assim como c está para d”. (b 0 e d 0 )  Termos de uma proporção→a e d são os extremos e b e c são os meios.Propriedade Fundamental  “O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

d

c

b

a

adbcd

c

b

a

REGRA DE TRÊS SIMPLES

DEFINIÇÃO

Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido, contado. O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns exemplos de grandezas. Grandezas Diretamente Proporcionais: duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando um delas a outra também triplica. Grandezas Inversamente Proporcionais: duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores (das duas grandezas envolvidas) dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos resolvendo uma proporção.

Passos Utilizados Numa Regra de Três Simples

Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Montar a proporção e resolver a equação.

Esquema Prático para se Resolver uma Regra de três simples e direta

A grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B:

Devemos igualar a razão que contém o termo X com a razão direta da grandeza B:

A B

A1 X

B1 B2

2

11

B

B

X

A

Regra de três composta (três ou mais grandezas envolvidas) A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas

grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Esquema prático para se resolver uma Regra de três composta

Exemplo: a grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B e inversamente proporcional a grandeza C:

A B C

A1 X

B1 B2

C1 C2

Devemos igualar a razão que contém o termo X com a razão

direta da grandeza B:

1

2

2

11

C

C

B

B

X

A

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

DEFINIÇÃO Denomina-se potência de um número ao produto de fatores iguais

desse número. Então: an = a . a . a . a . ... . a “n” vezesonde:  a →base da potência;n → expoente.

Exemplos: a) 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

b)

4

1.

4

1.

4

1

4

13

PROPRIEDADES  P1- Toda potência de expoente zero é igual à unidade.

a0 =1, a Є * NOTA 01: A potência ( 00 ) representa um dos muitos símbolos de indeterminação. P2- Todo número elevado a expoente unitário é igual a ele mesmo. a1 = a, a Є  P3- O número zero elevado a qualquer expoente positivo não nulo é igual ao próprio zero.

0n = 0, n positivo, diferente de zero 

P4- A unidade elevada a qualquer expoente é igual a ela mesma.

1n = 1, n Є  P5- O simétrico da unidade elevado a expoente inteiro apresenta dois resultados, conforme seja par ou ímpar o expoente.

(-1)n =  

ímparénse

parénse

,1

,1

P6- Nos produtos de potências de mesma base, repete-se a base e soma-se os expoentes. am . an = a(m+n)

 P7- Nos quocientes de potência de mesma base, repete-se a base e subtrai-se os expoentes. 

P8- Para se elevar uma potência a uma potência, multiplicam-se os expoentes que aparecem. (am)n = an.m

 Ex. (24) 3 = 212  NOTA 02: (am)n ≠  Ex: (24)3 = 212  

nma

nmn

m

aa

a

 P9- Para se elevar um produto de diversos fatores a um expoente, eleva-se cada um dos termos a esse expoente.  (a . b)n = an. bn

P10- Para se elevar um quociente a um expoente, eleva-se cada um dos termos a esse expoente. P11- A potência de expoente inteiro e negativo de um número equivale a uma fração onde o numerador é a unidade e o denominador é a própria potência com expoente positivo.

a-n =

 

na

1

DEFINIÇÃO

Seja o radical: Então: n →índice do radicalam → radicando

n ma

PROPRIEDADES:

P1 :

P2 :

P3 :

P4 :

P5 :

mnn m aa .

nnn baba .

nn

n

b

a

b

a

pn pmn m aa: :

pn pmn m aa. .

 

PRODUTOS NOTÁVEIS

EQUAÇÕES 1 E 2 GRAU

DEFINIÇÃO

 Denomina-se equação à igualdade que é verificada apenas para alguns valores particulares atribuídos a todas as incógnitas que nela aparecem. Ex:  a) 3x − 4 = 20 é uma equação porque o único valor que a satisfaz é x = 8. b) x + 1 = 2 é uma equação porque o único valor que a satisfaz é x = 3.

Forma Geral de uma Equação do Primeiro Grau

 ax =b; com (a, b) pertencendo aos R e a ≠ 0. 

Forma Geral de uma Equação do Segundo Grau ax2 + bx + c = 0; com (a, b, c) R e a ≠ 0. Nas equações escritas na forma ax2 + bx + c = 0 chamamos a, b e c

de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x2,b é sempre o coeficiente de x,c é coeficiente ou termo independente. Raízes de uma Equação do 2o grau Resolver uma equação do 2o grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara: resolve a equação 2x2 – 72 = 0

 X1 =  onde é o discriminante da equação. (delta) De Acordo com o Discriminante, Temos Três Casos a Considerar: Para delta >0, a equação tem duas raízes reais diferentes.

 Para delta =0, a equação tem duas raízes reais iguais. 

Para delta <0, a equação não tem raízes reais. 

acba

bx

a

b4;

2;

22

2

Relações entre os Coeficientes e as Raízes 

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e sejam x1 e x2 as raízes reais dessa equação. 

Soma das raízes (S): S = x1 + x2 =

Produto das raízes (P) : P = x1 . x2 =

a

b

a

c