Matemática - Curso Anglo - n3 aulas16a18

AULAS 16 a 18• TRIÂNGULO RETÂNGULO (relações métricas e razões trigonométricas)• ÂREAS (polígonos e círculo)

I. Triângulo retângulo e seus principais elementosDizemos que um triângulo ABC é retângulo em A se, e somente se, o ângulo de vértice A é reto.

Elementos:Os lados BA e AC, adjacentes ao ângulo reto, de comprimentos c

e b respectivamente são denominados de catetos. Enquanto que olado CB, oposto ao ângulo reto, de comprimento a, é denominado dehipotenusa.

O segmento AH perpendicular a hipotenusa, de comprimento h, édenominado de altura relativa à hipotenusa.

O segmento BH, de comprimento n e o segmento CH, de compri-mento m, são denominados de projeções (ortogonais ) dos cate-tos b e c, sobre a hipotenusa, respectivamente.

II. Relações Métricas

Proposição 1 — Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, de catetos b e c e hipote-nusa a, tem-se a2 = b2 + c2, isto é, o quadrado da hipotenusaé igual a soma dos quadrados dos catetos.

Teorema Recíproco (Pitágoras)

Se num triângulo o quadrado de um de seus lados éigual a soma dos quadrados dos outros dois lados destetriângulo, então o ângulo determinado por estes dois ladosdo triângulo é reto

Exemplos:

• O triângulo de lados medindo 3, 4 e 5 é retângu-lo, pois

52 = 32 + 42.

RelacionadosConceitos

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008

www.cursoanglo.com.br2008

N • Í • V • E • L 3

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática

A

C B

cb

Hm n a

A

C B

cb

a

⇒ a2 = b2 + c2

A

C B

cb

a

⇒ Â é reto

a2 = b2 + c2

5

43

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

• O triângulo de lados medindo 5, 12 e 13 é retângulo,pois

132 = 52 + 122.

Proposição 2 — Altura relativa a hipotenusa e projeçõesdos catetos sobre ela

O quadrado da medida da altura relativa a hipotenusa é igual aoproduto das medidas das projeções (ortogonais) dos catetos sobre a hi-potenusa, ou seja,

Proposição 3 — Cateto e sua projeção sobre a hipotenusaO quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida de sua projeção (ortogonal) sobre a hipotenusa

pela medida da hipotenusa, ou seja,

e

Proposição 4 — Catetos, altura e hipotenusa

O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medidada hipotenusa pela medida da altura relativa a hipotenusa, ou seja,

III. Razões Trigonométricas (Seno, Cossenoe Tangente)

Considere um triângulo retângulo com um ângulo agudo demedida θ. Em relação a este ângulo, os catetos deste triângulosão denominados de: oposto (quando não apoia-se sobre seus la-dos) e adjacente (quando apóia-se sobre um dos seus lados).

As razões: , e são denominadas de razões trigonomé-

tricas e conhecidas por senθ (seno), cosθ (cosseno) e tgθ (tangente) respectivamente.

cateto oposto a θcateto adjacente a θ

cateto adjacentes a θhipotenusa

cateto oposto a θhipotenusa

b ⋅ c = a ⋅ h

BC

A

H n

c

aBC

A

Hm

b

a

c2 = n ⋅ ab2 = m ⋅ a

h2 = m ⋅ n

2008

13

125

BC

A

H nm

h

BC

A

H

c

a

bh

cateto adjacente

catetooposto

hipotenusa

θ

IV. Áreas (polígonos e círculo)Denotaremos a área de uma figura plana X por (X). Assim, por exemplo, a área de um triângulo ABC será denotada

por (ABC) enquanto que, a de um trapézio ABCD por (ABCD).

Proposição 5 — Área de um triângulo ABC

onde ha, hb e hc são respectivamente os comprimentos das alturas deste triângulo relativas aos lados (bases) de compri-mentos a, b e c.

Equivalentemente temos também:

Proposição 6 — Área de triângulos com a mesma altura

Sejam os triângulos de bases BC e CD e alturas relativas a estas basesde mesmo comprimento h, conforme figura. A razão da área do triânguloABC para a área do triângulo ACD, é igual a razão do comprimento da baseBC para o comprimento da base CD, isto é,

Conseqüências desta propriedade:

• A mediana AM de um triângulo ABC divide este em 2 triângulos ABM e AMC de áreas iguais.

BM = MC

A

B M C

h

ABC

ACDBC

CD

( )( ) = .

A

C Ba

b ch

ABC bcsenA acsenB absenC( ) = = =12

12

12

ˆ ˆ ˆ

c

C

A

B

b

a

hc

ha

hb

hB

hA

A

B C

hC

hA

hBc b

a

ABC ah ah aha b c( ) = = =1

212

12


A

B C D

h


• A bissetriz (interna) AS de um triângulo ABC divide esteem 2 triângulos ABS e ASC de áreas, tais que.

Proposição 7 — Razão entre áreas de triângulos semelhantes

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é o quadrado darazão de semelhança.

Se K é a razão de semelhança do triângulo ADE para o triângulo ABC,então:

= K2

Proposição 8 — Área de um quadrado de lado ll é ll2.

Proposição 9 — Área de um paralelogramo de base b e altura h é b ⋅⋅ h

Proposição 10 — Área de um trapézio de bases a e b, e altura h, é

Proposição 11 — Área de um círculo de raio R é ππ ⋅⋅ R2

Notas:1. A soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (externamente) de um triângulo retângulo é igual a

área do quadrado construído (externamente) sobre a hipotenusa.

a2 = b2 + c2

2. (generalização) A soma das áreas dos polígonos regulares de n lados construídos (externamente) sobre os ca-tetos de um triângulo retângulo é igual a área do polígono regular de n lados construído (externamente) sobre ahipotenusa.

O

R

a b h

2

+( ) ⋅

área do ∆ADEárea do ∆ABC

ADE

ABC

( )( ) =

ABS

ASCBS

SC

cb

( )( ) = =

2008

A

B S C

h

bc

A

DE

BC

(DE//BC)

c2b2

a2

B

C

A

V. Uma demonstração do teorema de pitágorasDemonstrar o teorema de Pitágoras tem sido um desafio ao longo da História. Elisha Scott Loomis registrou num

livro 370 demonstrações desse teorema. Uma delas é atribuída ao general americano James Abram Garfield (1831-1881),foi presidente dos Estados Unidos, no período de 4 de março a 19 de setembro de 1881, quando faleceu.

Ele partiu de um trapézio retângulo, dividido em três triângulos retângulos (conforme figura abaixo). As áreas dostrês triângulos que compõem o trapézio, são dadas por:

Área de I = Área de II = e Área de III =

Desde que este trapézio (retângulo), tem bases b e c e altura (b + c), a

sua área é

Por outro lado, observe que a área do trapézio é a soma das áreas dostriângulos, ou seja:

Área (trapézio) = Área de I + Área de II + Área de III.

Portanto,

Logo,

Conseqüentemente b2 + c2 = a2 (teorema de Pitágoras)

Nota: Você poderá encontrar outras demonstrações nos links abaixo:1. http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/java/html/pythagoras.html2. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml3. http://www.jimloy.com/geometry/pythag.htm

VI. Conseqüências Importantes

Proposição 11 — Teorema dos cossenos (conseqüência de Pitágoras)

•

Proposição 12 — Teorema dos senos (conseqüência das razões trigonométricas)

•

Pode-se provar que: , onde

(r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC)

asen A

r= 2

asen A

bsenB

csenC

= =

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅⋅ bc ⋅⋅ cosA

b2 = a2 + c2 – 2 ⋅⋅ ac ⋅⋅ cosB

c2 = a2 + b2 – 2 ⋅⋅ ab ⋅⋅ cosC

b bc c bc bc a2 2 222 2 2 2

+ + = + +

b c b c bc bc a+( ) ⋅ +( )= + +

2 2 2 2

2

b c b c+( ) ⋅ +( )2

.

a2

2bc2


a

a

III

b

c

b

c

I

II

c a

b C

B

A

B

C

AO

ba

c

r


VII. Problemas

1. (Olimpíada Italiana) Um ponto P é interno ao quadrado ABCD. A distância de P aos vértices A, B, C valemrespectivamente 2, 7 e 9. A distância MD é igual aa) 3 d) 7b) 5 e) 10c) 6

2. (Olimpíada Portuguesa) Num quadrado ABCD de lado 1. Pelo lado AB, constrói-se (externamente) um triânguloABM, retângulo em M, tal que AM = a e BM = b (b � a). No lado oposto a AB, constrói-se (também externamente), otriângulo CND, retângulo em N, tal que CN = a, ND = b. O comprimento do segmento MN, em função de a e b, éigual a

a) 2(a + b) d)

b) 3(a + b) e)

c)

3. (Olimpíada Australiana) Na figura abaixo:

O é o centro de uma circunferência de diâmetro AB. ABC é um triângulo, retângulo em A, com AB̂C= 45°, DE éum segmento paralelo ao lado AB deste triângulo que intercepta o lado BC em D, o lado AC em E, e a circunfe-rência de centro O, em M, de modo que DM = ME (conforme figura acima). Sabendo que o comprimento, em cm, dosegmento AB é 4, então o comprimento do segmento DE, em cm, é igual a:

a) d)

b) e)

c) 3

4. (Olimpíada Italiana) Em um círculo de centro O, AD é um diâmetro, AC uma corda, B um ponto de AC. Sabendoque BO = 5cm e que ∠ ABO = ∠ COD = 60°, então o comprimento da corda AC, em cm, é:a) 10 d) 14

b) 15 e)

c)

5. (Sangaku — Problema Japonês) Três círculos de raios a, b e c, com c � b � a, são mutuamente tangentes entresi e a uma reta. Então, podemos afirmar que:

a)

b)

c)

d)

e)1 1 1

c a b= +

a b c= +

c a b= −

c a b= ⋅

1 1 1c a b

= +

15 2

15 3

53

165

85

35

a b2 3+

a b+( ) 3

a b+( ) 2

ClasseEm

2008

a

c

b

M

O

A

C

B

D

4

45°E

6. (OBM) No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de64cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 36cm2. Os vérticesA, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesmareta. Então a área do quadrado BEFG, em cm2, é igual a:a) 80b) 81c) 90d) 100e) 120

7. (OBM) Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes menorespor duas cercas retas unindo os pontos médios dos lados do terreno.As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros quadrados nomapa ao lado. Qual é a área do quarto lote, em metros quadrados, re-presentado pela região destacada no mapa?a) 240b) 220c) 300d) 230e) 260

8. (Olimpíada Italiana) Constroem-se semicírculos sobre os lados de umtriângulo retângulo de hipotenusa BC, como mostra a figura ao lado. SeR e S são áreas de regiões planas (figura) limitadas por dois semicírcu-los e T a área do triângulo retângulo, então podemos afirmar que:a) T = 2R + Sb) T = R + 2Sc) T = R + Sd) 2T = R + Se) T2 = R2 + S2

1. (Olimpíada Americana) Na figura ao lado, ABC é um triânguloretângulo de hipotenusa BC, BCDE e ABFG são quadrados.Dado que AB = c e AC = b, podemos afirmar que GD2 =

a) 2(b2 + bc + c2)

b) 2b2 + 2bc + 4c2

c) b2 + 2bc + 4c2

d) 2b2 + 4bc + 4c2

e) 2c2 + 4bc + 4b2

2. (Olimpíada Americana) Os lados PQ e PR do triângulo PQR medem respectivamente 4cm e 7cm e a medianaPM 3,5cm. O comprimento do lado QR, em cm, éa) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

CasaEm


A E H I

JF

G

BC

D

200210

250

AR

S

T

B C

ab

cA B

C

D

E

FG

P

QM R

3,5

74


3. Na figura abaixo ABCD é um quadrado. Calcule seu lado sabendo que M é ponto médio de AB, CP é perpen-dicular a MD e MP = 3.a) 5

b)

c)d) 7

e)

4. A área do triângulo ABC, figura abaixo, de altura , α = 30° e β = 45° é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

5. As raízes da equação x2 – 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo re-tângulo. A medida da hipotenusa e do perímetro, em cm, desse triângulo são respectivamente iguais a:a) 100 e 114 d) 10 e 24b) 9 e 23 e) 15 e 29c) 16 e 30

6. (Olimpíada Americana) As três circunferências da figura tem o mesmo raio r = 5cm e seus centros são colineares, acircunferência do meio é tangente as outras duas.

Por O traça-se uma tangente a circunferência de Centro C3. Nestas condições, o comprimento do segmento AB, emcm, é igual a:a) 4 d) 8

b) 5 e)

c) 6

7. (Olimpíada Italiana) Duas circunferências distintas são tangentes externamente. Seja t uma tangente comum, e sejamP e Q pontos de tangência de t com estas circunferências. Sabendo que o produto dos diâmetros destas circun-ferências é 25, determine o comprimento de PQ.a) 5b) 8c) 10

d)

e) 5 2⋅

5 2⋅

92

AB

C

OC1 C2 C3

13

3+

6 6+

33

3+

3 2+

3

h = 2

72

2 5

7

2008

A

B

C

D

P

P

A H B

C

h

βα

8. ABCDEFGH é um octógono regular inscrito em uma circunferência de diâmetro 1.Sendo P um ponto do menor arco AH desta circunferência, determine o valor da soma:

a) 4b) 5c) 6d) 8

e)

9. (Olimpíada Australiana) Um quadrado, PQRS, está inscrito em um semicírculo de diâmetro TU como na figura ao lado.

Seja PT = x e PR = y. O valor de é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

10. (Olimpíada de Maio) ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC. Seja S um ponto desta hipotenusa e M o pon-to médio do cateto AB. Dado que AC = 1cm, ∠ SAB = 45° e AS ⊥ SM, então o comprimento, em cm, do catetoAB, é igual aa) 2b) 3c) 4

d)

e)

11. (OBM) O professor Pardal está estudando o comportamento familiar de uma espécie de pássaro. Os pontos A,B, C e D da figura ao lado, representam a disposição de quatro ninhos desses pássaros. O professor construiuum posto de observação eqüidistante dos quatro ninhos. Todos os ninhos e o posto de observação estão em ummesmo nível de altura a partir do solo, a distância de B a D é de 16 metros e BÂD = 45°.

A distância, em metros, que o posto guarda de cada ninho, é:

a) 2 d)

b) 3 e)c) 4

2 2

8 2

A

BC

D

72

52

35

5 1

2 2

−

5 1

2 2

+

5 12−

π4

xy

92

PA PB PC PD PE PF PG PH2 2 2 2 2 2 2 2

+ + + + + + +


A

B

C

D

E

F

G

HP

x

y

T P Q U

RS

A M B

S

C


12. (Olimpíada Peruana) A, B, C e D são centros de 4 circunferências, tangentes duas a duas, segundo a disposiçãoda figura ao lado. Sabe-se que A, B e C são colineares, B ponto médio de AC, AC = R, e r é o raio da circunferên-cia de centro D. Nestas condições podemos afirmar que:a) R = 2rb) R = 3rc) R = 4r

d) R =

e) R =

13. (Olimpíada Italiana) Considere em um plano três circunferências tangentes externamente duas a duas. Sabendoque os raios destas circunferências são 1cm, 2cm e 3cm, então o raio da circunferência circunscrita ao triângulocujos os vértices são os centros destas três circunferências, em cm, é igual aa) 2 d) πb) 2,5 e) não é possível determiná-lo.c) 3

14. (Olimpíada Americana) Seja P um ponto externo a uma circunferência C. Por P são traçadas duas tangentes queinterceptam C em A e B. Se AP = BP = 7 e o comprimento do arco maior AB é duas vezes o comprimento do arcoAB menor. Então, o comprimento da corda AB éa) 6 d) 7

b) e)

c)

15. (OBM) Juntando dois retângulos iguais lado a lado, sem sobreposição, podemos formar dois tipos de figura: umquadrado de área igual a 144cm2 ou um retângulo de largura diferente do comprimento. Qual é o perímetro des-te último retângulo, em cm?a) 12 d) 60b) 24 e) 72c) 48

16. (OBM) O jardim da casa de Maria é formado por cinco qua-drados de igual área e tem a forma da figura ao lado. SeAB = 10m, então a área do jardim em metros quadrados é:a) 200

b)c) 100

d)

e)

17. (Olimpíada Italiana) Na figura BC é paralelo a AE e BD éparalelo a CE. Se x é a área do quadrilátero ABCD e y a áreado triângulo ACE, entãoa) x = yb) x = 2yc) 2x = yd) 3x = 2ye) 3x = y

1003

5003

10 5

11 32

72

7 3

72

r

52

r

2008

BA C

D

A

B

A

B C

D E

18. (OBM) A figura abaixo é formada por três quadrados de lado 1 e um retângulo que os contorna. A área do retângulo é:

a)

b)c) 6

d)e) 8

19. (OBM) Observe na figura os três quadrados identificados por 1, 2 e 3. Se a área do quadrado1 é 36cm2 e a área do quadrado 2 é 100cm2, qual é, em centímetros quadrados, a área doquadrado 3? a) 64b) 81c) 25d) 49e) 90

20. (OBM) A figura ao lado é formada por dois quadrados de área 100cm2 cada um,parcialmente sobrepostos, de modo que o perímetro da figura (linha mais grossa) éigual 50cm. A área da região comum aos dois quadrados, em cm2, éa) 20b) 25c) 30d) 40e) 50

21. (OBM) No triângulo ABC tem-se que M é o ponto médio do lado AB(isto é, os segmentos AM e MB têm o mesmo comprimento). N é oponto médio de MC e R é o ponto médio de NA. O triângulo ABC temárea 2000m2. Então, a área do triângulo AMR, em m2, é igual a:a) 500b) 250c) 200d) 100e) 50

22. (OBM) A figura abaixo mostra um retângulo, um pentágono, um triângulo e um círculo, com áreas respectivamente121, 81, 49 e 25 centímetros quadrados. A diferença entre a área preta e a área cinza, em centímetros quadrados, é:a) 25b) 36c) 49d) 64e) 81

23. (Olimpíada Italiana) Um hexágono convexo é obtido a partir de quadradosconstruídos sobre os lados de um triângulo retângulo de catetos medindo p eq, conforme mostra-se na figura ao lado. Nestas condições, a área dohexágono em função de p e q, é igual a

a) d)

b) 2pq + 2 ⋅ (p2 + q2) e)

c) 32

2 2 2

+ ⋅ +⋅ pq p q( )

52

2 2 2⋅ ⋅+ +pq p q( )

pq p q+ ⋅ +32

2 2( )pq p q+ +52

2 2( )

6 2

4 2

3 2


1

3

2

A

C

R

N

M B

pq


24. (OBM) Na figura temos dois semicírculos de diâmetros PS, de medida 4, eQR, paralelo a PS. Além disso, o semicírculo menor é tangente a PS em O.Qual é a área destacada?a) 2π– 2b) 3πc) πd) 4e) 2π– 4

25. (OBM) Um grande painel na forma de um quarto de círculo foi compostocom 4 cores, conforme indicado na figura ao lado, onde o segmento divideo setor em duas partes iguais e o arco interno é uma semicircunferência. Se x,y, z e w são as áreas das regiões branca, amarela, azul e verde, respectiva-mente, então podemos afirmar:a) x = z � y = wb) x = w � y = zc) x = y � z = wd) x � z � y � we) x � z � y � w

26. (Olimpíada Italiana) Um círculo A está inscrito em um triângulo retângulo isósceles e um círculo B está cir-cunscrito ao mesmo triângulo. A razão da área do círculo A para a área do círculo B é

a) d)

b) e)

c)

27. (Olimpíada Espanhola) Em um triângulo retângulo, c é o comprimento da hipotenusa, a e b são os comprimentosdos catetos e d é o comprimento do diâmetro do incírculo. Podemos afirmar que:a) a+b+c = d d) b + c = a + db) a + c = b + d e) 2d = a + b + cc) a + b = c + d

28. (Olimpíada Mexicana) Na figura abaixo o lado AB do qua-drilátero ABDC cíclico é um diâmetro do circuncírculo, eBD = 7, CD = CA = 3. O comprimento do diâmetro AB é igual a:a) 10b) 12

c)d) 9

e)

29. (Olimpíada Centroamericana e do Caribe) No trapézio ABCD de bases AB e CD, seja M o ponto médio do lado DA.Se o segmento BC mede a, o segmento MC mede b e o ângulo MCB mede 150°, quanto mede a área do trapézioABCD em função de a e b?a) 2abb) ab

c)

d) 3abe) 4ab

ab2

92

5 2

3 2+

3 2 2+3 2−

3 2 2−12

2008

P S

RQ

verde

amarelo

azul

branco

A

C

D

3

37

B

A B

CD

M

Matemática - Curso Anglo - n3 aulas16a18

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