GABARITO

1Matemática D

Matemática D – Semiextensivo – V. 1

Exercícios

01) E

Observe a figura:

9

12

3

4

6

O relógio é uma circunferência, o ponteiro dos minutos leva 1 hora para percorrer os 360o e o ponteiro das horas leva 12 horas para fazer o mesmo.

Ponteiro de horas: A cada 1 hora, o ponteiro avança para a próxima

marcação de hora. Se há 12 marcações dessas no relógio, o percurso angular do ponteiro das horas de uma para outra é de (360/12)o = 30o. Então, a cada hora o ponteiro das horas anda 30o, mas como 1 hora = 60 minutos, esse ponteiro anda 30o em 60 minutos, ou seja, 0,5o por minuto.

Ponteiro dos minutos: Esse ponteiro sempre fica exatamente no lugar

da marcação dos minutos. Há 60 marcações dessas no relógio. Então, cada uma corresponde a 360°/60° = 6°.

Logo, às 15 horas e 20 minutos, o ponteiro grande está na marcação do número 4, que corresponde a 20 minutos, e o ponteiro pequeno está entre o 3 e o 4.

Como este último se desloca 0,5o/minuto (20 minutos depois de estar no 3), ele se encontra a – 10° depois do 3 (20 x 0,5o = 10o). Agora é só pensar no ângulo interno entre os dois e fazer a conversão para radianos. Temos:

180° –––––––– π rad. 20° –––––––– x rad.

⇒ x rad= =20180 9

π π.

02) C

Considerando o relógio da esquerda: Ponteiro pequeno: 60 min –––––––– 30° 20 min –––––––– x° x = 10°

Logo, α = 30° + 30° + 10° = 70°

X° 30°

30°

α

Agora considerando os dois relógios:

20°

30°

3

α = 70°4 50°

30°

110°

70°

40°

60 min –––––––– 30° y min –––––––– 20° x = 40 minutos

Observe que utilizamos o ponteiro pequeno para calcular o deslocamento do ponteiro grande.

03) A

+

2 30

2 15

4 45

h

h

h

min.

min.

min. 9

12

3

4

65

Às 4h 45min, com certeza o ponteiro dos minutos está sobre o 9, mas o ponteiro das horas está um pouco mais perto do 5 que do 4.

O ponteiro das horas percorre a cada hora 30°, como 1 hora = 60 min, ele percorre em 1 minuto 0,5°, ou seja, em 45 minutos ele encontra-se a 45 x 22,5° após o 4.

Como partindo do 4 e indo até o 9 o ângulo formado é de 150° (5 x 30°), temos que o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio é:

150° – 22,5° = 127,5°

GABARITO

2 Matemática D

04) E

Como a figura representa um cubo, suas faces são quadrados, cujas diagonais são todas iguais. Unindo-se

as diagonais AC, FC e AF, formamos um triângulo equilátero, conforme figura abaixo, cujos ângulos inter-nos são de 60°.

DA

B

F G

C

E

H

05) A

5x + 10

3x + 18 r

s

t

r //s ⇒ 5x + 10 = 3x + 18 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4

06) C

40° r

s

112°

68°

x40°

Temos que: x + 68° + 40° = 180° ⇒ x = 180° – 108° ⇒ x = 72°

07) A

r

s

t

3x

β 100°80°

2x40°

60°

Temos que: 3x + 2x = 100° ⇒ 5x = 100° ⇒ x = 20° e β + 60° = 180° ⇒ β = 180° – 60° = 120°

08) E

55°

r

s

α

45°

80°

55°

Temos que: α + 80° = 180° ⇒ α = 100° Obs: α = ângulo 3.

09) E

120°

r

s

5x

x

y

x

Temos que: 5x + x = 120° ⇒ 6x = 120° ⇒ x = 20° e 5x + y = 180° ⇒ 5 . (20°) + y = 180° ⇒ 100° +y = 180°⇒

y = 80°

10) D

F

A

E

CB

D

105°

57°

28°

57° α

75°

Temos que: α + 75° + 57° = 180° ⇒ α + 132° = 180° ⇒ α = 48°

GABARITO

3Matemática D

11) B

4x

3x

5x

6x 2xy z

zy

Logo: 3x + 4x + y = 180° e y = 180 – 7x

y + z + 5x = 180° e 180 – 7x + z + 5x = 180 z = 2x

z + 6x + 2x = 180° 2x + 6x + 2x = 180 10x = 180 x = 18°

12) B

O inverso de 12

é 2. Logo a parte correspondente é 2k.

O inverso de 13

é 3. Logo a parte correspondente é 3k.

O inverso de 15

é 5. Logo a parte correspondente é 5k.

Portanto a constante de proporcionalidade é:

K = 1802 3 5

18010+ +

= = 18°

Logo:2k ⇒ 2 . 18 = 36°3k ⇒ 3 . 18 = 54°5k ⇒ 5 . 18 = 90°

13) B

A B

C

β30°

α

D

x

Como α = B3

⇒ B = 3α.

Como β = C3

⇒ C = 3β.

Logo: 3α + 3β + 30 = 180 ⇒ 3α + 3β = 150 ⇒ α + β = 50°Porém, α + β + x = 180°, logo 50 + x = 180 ⇒ x = 130°Portanto D = 130°, pois X = D (O.P.V)

14) E

4x

6x 5x

2x

5x

180 –10x 180 –10x

180 –10x180 –10x

Logo:180 – 10x + 180 – 10x + 2x = 180–18x + 360 = 180360 – 180 = 18x

x = 18018

⇒ x = 10°

15) B

Si = 180(n – 2)120 + 150 + 130 + 140 + 100 + 140 + x = 180(7 – 2)780 + x = 900x = 900 – 780 ⇒ x = 120°

16) 135

Ai = Sin

= 180 2( )n

n−

Logo: 160 = 180 2( )n

n−

160n = 180n – 360360 = 180n – 160n

360 = 20n ⇒ n = 36020

⇒ n = 18 lados

Portanto:

D = n n−( )32

⇒ 18 18 3

218 15

2−( )

=.

= 135 diagonais

17) B

Ai = 180 2( )n

n−

⇒ x = 180 5 25

180 35

−( )=

. = 108°

Logo: x + y = 108° + 108° = 216°, pois x = y.

GABARITO

4 Matemática D

18) 08

90° 90°

Dois quadrados e três triângulos

19) A

B

A

A

C

2Â + B + C = 360°

20) D

Sn = 180(n – 2)Logo:Sn –1 = 180(n – 1 – 2)Sn –1 = 180(n – 3)1900 = 180(n – 3)1900180

= n – 3

n = 10,5 + 3n = 13,5 lados

Logo o polígono deve ter 13 lados Sn = 180(13 – 2) ⇒ Sn = 180(11) ⇒ Sn = 1980°.

Portanto, se Sn = 1980° e Sn – 1 = 1900°, o ângulo remanescente é 1980 – 1900 = 80°.

21) E

2.130 + 128(n – 2) = 180(n – 2)260 + 128n – 256 = 180n – 360260 – 256 + 360 = 180n – 128n52n = 364

n = 36452

= 7

22) D

90°

90° 90°

90° 90°

90° 90°

90°

8 . 90 = 720°

23) C

α

72°

108°

72°

108°

Ai = Sin

= 180 2( )n

n−

Ai = 180 5 2

5540

5( )−

= = 108

α + 2.(72) = 180α = 180 – 144 ⇒ α = 36°

24) C

IdemCÂD = 180° – 144° = 36°

25) D

γ

e180 –e

ab

c d

α

δ

β

ε180 –d

GABARITO

5Matemática D

a + b + c + d + e = 180(5 –2) a + b + c + d + e = 540

180 – e + 180 – d + β = 180 , logo, usando raciocínio equivalente, temos que:

e + d = β + 180 e + a = γ + 180 a + b = δ+ 180 b + c = ε + 180 c + d = α + 180

2a + 2b + 2c + 2d + 2e = α + β + γ + δ + ε + 900 2(a + b + c + d + e) = α + β + γ + δ + ε + 900 2 . (540) = α + β + γ + δ + ε + 900 1080 – 900 = α + β + γ + δ + ε α + β + γ + δ + ε = 180°

26) B

α = 100°

40° 40°

140° 140°

Ai = 180 2( )n

n−

Ai = 180 9 29

( )−

Ai = 140°

α + 2 . (40) = 180 ⇒ α = 180 – 80 = 100

Portanto a soma dos ângulos é 9 . 100 = 900°.

27) 29

(a, b, c) P.A n(A) = a SA = 180(a – 2)r = –2 n(B) = b SB = 180(b – 2) n(C) = c SC = 180(c – 2)

180(a – 2) + 180(b – 2) + 180(c – 2) = 3240180(a – 2 + b – 2 + c – 2) = 3240

a + b + c – 6 = 3240180

//

a + b + c = 18 + 6a + b + c = 24

Como: b = a + r ⇒ b = a – 2 c = b + r ⇒ c = b – 2 ⇒ c = a – 2 – 2 ⇒ c = a – 4

Substituindo:a + a – 2 + a – 4 = 24 ⇒ 3a = 30 ⇒ a = 10(10, 8, 6)

01. Correta. D = n n( ) .−=

32

10 72

= 35 diagonais

02. Incorreta. D = 6 32.

= 9

04. Correta. Sn = 180(6 – 2) = 720°

08. Correta. Âi = 180 10 210( )− = 18 . 8 = 144°

Logo Ae = 180° – 144° = 36° (C)

16. Correta. Ai = 180 8 28

180 68

2702

( ) .−= = = 135°

28) B

ar=

152

⇒ 15r = 2a

r = 215

a

a6 = a1 + 5r

a6 = a + 5 . 215

a

a6 = a + 23a

a6 = 53a

Sn = 180(6 –2)

( )a a1 6

3

62+ //

= 180(6 – 2)

(a1 + a6)3 = 180 . 4a1 + a6 = 240

a + 53a

= 240

8a = 720a = 90°

r = 2 9015. ⇒ r = 12°

Logo (90°, 102°, 114°, 126°, 138°, 150°)

29) 10

(a, b, c) P.A P.A. b – a = c – b 2b = a + c a + b + c = 24 e2b + b = 24

b = 243

b = 8

180(a – 2) = 1620

a – 2 = 1620180

//

a = 9 +2a = 11

Logo: (11, 8, 5)A → 11 ladosB → 8 ladosC → 5 lados

01. Incorreta. Ai = 180 5 25−( )

= 108° ⇒ Ae = 180 – 108°

⇒ Ae = 72°

GABARITO

6 Matemática D

02. Correta. Ai = 180 8 28−( )

= 90 64. = 135° ⇒ Ae = 180°

– 135° ⇒ Ae = 45° (V)

04. Incorreta. D = n n−( )=

−( )=

32

11 11 32

11 82. = 44

diagonais.08. Correta.

16. Incorreta. Ai = 180 11 211

180 911

−( )=

. = 147,27°

30) n = 14

Sn – x = 2004, onde x é o ângulo n.

180(n – 2) – x = 2004

n – 2 = 2004180+ x

n = 2004180+ x + 2

n = 2004 156180+ +2 = 12 + 2

n = 14 lados

2004 1801113,

180

12

2160

x

21602004

156Logo: x = 156

31) 99

F

x

y

A B

C

DE 20

23

15

13

A soma de dois lados consecutivos é igual à soma dos ângulos opostos, também consecutivos.

20 + x = 15 + 23x = 38 – 20x = 18

y + 23 = 20 + 13y = 33 – 23y = 10

Logo: P = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99

32) A

n = 8 lados

D = n n−( )32

⇒ D = 8 8 32

( )−

D = 4 . 5 ⇒ D = 20

33) C

D = n n−( )32

20 = n n−( )32

⇒ 40 = n2 – 3n

⇒ n2 – 3n – 40 = 0n' = 8 lados ⇒ octógonon" = –5 (não serve)

34) E

D = n n−( )32

K . n = n n−( )32

2 Kn = n2 – 3n ⇒ n2 – 3n – 2kn = 0n(n – 3 – 2K) = 0n = 0 ou n – 3 – 2k = 0n = 2K + 3

35) A

D = n n−( )32

2D = n(n – 3)

D + 40 = n n+( ) + −( )5 5 3

22D + 80 = (n + 5)(n + 2)n(n – 3) + 80 = (n + 5)(n + 2)

n2 – 3n + 80 = n2 + 7n + 10– 3n – 7n = 10 – 80–10n = – 70n = 7 ⇒ Heptágono

36) Ay

z

x

A

B

Menor caminho entre AB e Z.

37) A

2x +16

y

x34

x + 10

34

x + 10

GABARITO

7Matemática D

2(34

x + 10) + x + 2x + 16 = 180

32

x +20 + x + 2x + 16 = 180

3 40 2 4 32

2

360

2

x x x+ + + +=

9x = 360 – 72

x = 2889

= 32°

Logo, x + y + 34

x + 10 = 180

32 + y + 3 324. + 10 = 180 ⇒ 32 + y + 24 + 10 = 180 ⇒

y = 180 – 66y = 144°

38) B

70°

55°

55°125°

110°35°

145°

xE

B

D

145° 35°

15°165°

Logo no Δ BED15 + 145 + x = 180x = 180 – 160x = 20°

39) C

h2 + x2 = (2x)2

h2 + 4x2 – x2

h2 = 3x2

h = x 3

tgx = x

x. 3

tgx = 3 ⇒ x = 60°

α

x

2x

2x

x

h = x 3

GABARITO

8 Matemática D

40) 03

01. Verdadeiro. Qualquer mediana divide um triângulo em dois outros com as medidas iguais de base e altura.02. Verdadeiro. Qualquer triângulo retângulo tem a hipotenusa com diâmetro do círculo circunscrito. Então o ponto

médio da hipotenusa é o centro do círculo e equidista dos três vértices do triângulo. Assim, a medida relativa à hipotenusa mede a metade dessa hipotenusa, dividindo o triângulo retângulo em dois triângulos isósceles, sendo um acutângulo e outro obtusângulo.

04. Falso. As duas partes são triângulos semelhantes mas não são congruentes.08. Falso. A bissetriz do ângulo reto não divide a hipotenusa em partes iguais, pois essa bissetriz só se confunde com

a mediana se o triângulo retângulo for isosceles.16. Falso. Sendo escaleno, o triângulo retângulo não tem a mediatriz da hipotenusa como ceviana. Tal mediatriz cortará

o triângulo em uma parte triangular e outra quadrangular. Suas àreas são visivelmente diferentes.

41) DB

A

N

CM 11

1

30°

G

30°60°60°

60°

120°

1

BC 2 = 12 + 12 – 2 . 1 . 1 . cos 120°

BC 2 = 1 + 1 – 2.(–12

)

BC 2 = 1 + 1 + 1

BC = 3 Logo BN = 3

2

Portanto

AN2 = 12 32

2

AN2 = 1 + 34

= 4 3

4+

AN = 74

= 72

Como G é o baricentro, então:

GN = 13

AN ⇒ GN = 13

. 7

2 = 7

6

42) C

30° 120°60°

60°30°

N

12

A

CBE

Logo EB = AB ⇒ AB = 12Como N é o baricentro do ΔAEC, então:

BN = 13

. AB

BN = 13

. 12 = 4

43) D

h

2 3

3

h2 + 3 2 = (2 3 )2

h2 + 3 = 4 . 3h2 = 12 – 3

h = 9 ⇒ h = 3 cm

GABARITO

9Matemática D

44) B

B C

y

x

A

α0

30°120°

BO�C = 2(BA�C)

BO�C = 2 . (60°) = 120° = 23π rad.

Como BC OX/ /� ���

, temos BC�O = CO�X = 30° = π6

rad.

Logo α = 2π − 23π − π

6 =

12 46

π π π− − =

76

π

45) A

β = 2 3

α 4

2

BA

D

B2 + 22 = 42

B2 = 16 – 4

B = 12

B = 2 3

tg α = BD4

2

2 3 = BD

4

2 3 BD = 8

BD = 8

2 3 =

4

3

BD = 4

3 . 3

3 = 4 3

3

46) C

30°

h2 3

2 3

30° 60°120°

sen 60° = h

2 3

32

= h

2 3 ⇒ h =

//

2 3 3

2

. . = 3 km

47) B

α

�

α

� �

�

135°

45°

�

2α + 135° = 180° 2α = 45°4α = 90°

48) C

3x + x + 15 + 75 – x = 1803x = 180 – 90

x = 903

x = 30°

3 . 30 = 90°30 + 15 = 45°75 – 30 = 45°

49) E

D

CB

H

y

2

x x

y

2y

A

E

No Δ BDC

x + x + y2

= 90° ⇒

2x + y2

= 90

GABARITO

10 Matemática D

No Δ CEH

x + y2

+ y2

= 90° ⇒

x + y = 90

22

90

90

xy

x y

+ =

+ =

↓ y = 90 – x

⇒ 2x = 902−x = 90

4x + 90 – x = 180 3x = 180 – 90

x = 903

= 30°

50) D

B 6

8 –x

D

A

C

x

x

x2 = (8 – x)2 + 62

x2 = 64 – 16x + x2 + 3616x = 100

x = 10016

x = 254

51) D

F

E D

C

PBA

Q

x

x

G

2x

∆ ∆QDE QGC

Trapézio TrapézioABCF EDCF

≅≅

⇒ x + x + 2x = 12

4x = 12x = 3 Concluímos portanto, que a altura do ∆ APQ é: x + 2x = 3 + 6 = 9

52) A

B DC

H

A

L 1

30°60°

L 2

cos 60° = 10

2L ⇒ 1

2 = 10

2L ⇒ L2 = 20

sen 60° = HL2

32

= H20

2H = 20 3

H = 10 3

sen 30° = HL1

12

= 10 3

1L

L1 = 20 3 = 20 . 1,73L1 = 34,6

Logo, L1 + L2 = 34,6 + 20 = 54,6 m

53) D

60°

1,4 m

C

A B

1,0 m

x

Logo, x = 1,6 m

Lei dos cossenos1,42 = 12 + x2 – 2 . 1. x . cos 60°

1,96 = 1 + x2 – /2 . 1. x . 12/

1,96 = 1 + x2 – xx2 – x – 0,96 = 0

x = 1 1 4 1 0 96

2 1

± − −. ,

.

x = 1 1 3 842

± + ,

x = 1 4 842

± ,

GABARITO

11Matemática D

56) B

bola

α

β

3 m

1

jogador A

canto da quadra

Cjogador B

D

Como BD // AC, então α e β são alternos internos, portantoα = β etg α = tg β =

31

= 3

Logo, tg α = 3

57) 12,92m

Z =6 m

y = 4 3

60°

x = 4 4

8 m8

10

4 3

cos 60° = x8

12

= x8

x = 4 m

sen 60° = y8

32

= y8

y = 4 3z2 + 82 = 102

z2 = 100 – 64

z = 36z = 6 m

Logo,

H = (6 + 4 3)H = 6 + 6,92H = 12,92 m

x = 1 2 2

2± , ⟨

x' = 1 2 22+ , = 1,6

x" = 1 2 22− , = –0,6 (não serve)

54) B

30°45°

2 mh

L

senh

h

h

452

22 2

2

° =

/=/

=

⇒

sen 30° = hL

12

= 2

L

L = 2 2 m

55) C

4 2

0 A2 m

H

h4 2

45°

H2 + 22 = (4 2)2

H2 + 4 = 16 . 2H2 = 32 – 4

H = 28 = 2 7

sen 45° = h

4 2

22

= h

4 22h = 4 . 2h = 4

Logo, H – h = 2 7 – 4 = 2( 7 – 2) m

GABARITO

12 Matemática D

58) 81

x

x'

BA

D C

x 6 2

Fy

EGG

z

6 2

y

H

45° 45°

6 2

Portanto,z + y = 12 + 6 = 18Logo, 2x = 18x = 9A = l2

A = 92 = 81

y2 + y2 = (6 2)2

2y2 = 36 . 2y2 = 36y = 6

z2 = (6 2)2 + (6 2)2

z2 = 36 . 2 + 36 . 2z2 = 72 + 72

z = 144z = 12

59) B

D C

BA

3

K L

6

3

G

E

J

HD

d

F

I

30°

EI2 + 22 = 62

EI = 36 9−

EI = 3 3

Logo, FJ = 3 3

Portanto,

D = 3 3 + 3 3 – 6

D = 6 3 – 6

tg 30° = KG3

33

= KG3

⇒ KG = 3

Logo, HL = 3

Portanto,

d = 6 – 3 – 3

d = 6 – 2 3

Então: A = D d.2

⇒ ( ) . ( )6 3 6 6 2 32

− −

A = 36 3 12 3 36 12 32

− − +. ⇒ 48 3 722−

A = 24 3 – 36 ⇒ A = 12(2 3 – 3)

GABARITO

13Matemática D

60) A

D C

BA

5 F

M

Nαβ

β

α

E

52

sen α =

525

sen α = 52

. 15

= 12

sen α = 12

⇒ α = 30°

se α = 30° ⇒ β = 60° ⇒ γ = 30°

Logo, tg γ = CF

DC

tg 30° = CF5

1

3 = CF

5

CF = 5

3

Logo, BF = 5 – CF

BF = 5 – 5

3

BF = 5 3 5

3

−

Portanto

cos α = NB

BF

cos 30° = NB

BF

32

= NB

5 3 5

3

−

2NB = 5 3 5

33

−.

NB = 52

( 3 – 1)

61) 12

x 2R x

2( )3 –1R30°

30°

3 –1

tg 30° = 3 1−h

33

= 3 1−h

3h = 3 3 – 3

h = 3 3 3

3

− .

3

3 =

9 3 33−

= 3 – 3

tg 30° = Rx

⇒

x = h = 3 – 3 ⇒

L = x + 2R + x

⇒ L = 3 – 3 + 2( 3 – 1) + 3 – 3

⇒ L = 3 – 3 + 2 3 – 2 + 3 – 3⇒ L = 4

Portanto, perímetro P = 3 . 4 = 12 u.c.

62) A

45° = α

255°

105°

105°

BA

β =75°F

D

C

2 x

E

a

GABARITO

14 Matemática D

O quadrilátero CDEF é um paralelogramo. Logo, ângulos consecutivos são suplementares; portanto D = 105° e consequentemente Ê = 255°.

Sendo Si = 180(5 – 2) = 180 . 3 = 540°,

logo 45° + 75° + 105° + 255° + a = 540° ⇒ a = 60° Então

sen 60° = x2

⇒ 3

2 =

x2

⇒ x = 3

63) C

B

24E

CAD

26

12

x

Os triângulos ABC e DCE são semelhantes, pois têm o ângulo C em comum e ambos tem um ângulo reto. Como

AB2 + 242 = 262 ⇒ AB = 10

Portanto ABBC

EDDC

= ⇒ 1024 12=

x ⇒ x = 5

64) D

a

b

d

d'

d = 23

d'

ba

= dc

bc = ad

bc = a . 23

d'

ba

= 23

dc’

65) 1,76 cm

A

B5

6 –xD

x

4

E

C

4,8F

O ângulo B ~ F e C ~ D e consequentemente  ~ Ê.65

44 8

=+x,

5x + 20 = 28,85x = 8,8

x = 8 85, = 1,76 cm