Matemática Elementar I - GOPEM · Onde A e D são os extremos e B e C são os meios. 2.3...

MatemáticaElementar I

Autor Leonardo Brodbeck Chaves

MatemáticaElementar I

Caderno de Atividades

2009

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C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:

IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

CDD 510


Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade

Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em

Eletrônica também pela UFPR.


Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E

desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações

matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;

b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre

outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias

matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com

menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante

a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da

natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado

a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais


(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de

comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios

de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,

percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua

sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações

que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,

frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de

adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas

de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com

agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma

máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências

lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com

maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias

e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio

de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a

concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma

ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,

que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e

desenvolvimento para a sociedade.


Razão e proporção

1. Razão

1.1 DefiniçãoRazão é o quociente entre dois números, sendo que o segundo número é diferente de zero.

AB

ou A : B com B ≠ 0

Como você pode perceber, uma razão é também representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:

Número racional (representado por fração)

Razão (representado por fração)

13 lê-se: um terço 1

3 lê-se: um para três ou um está para três

95 lê-se: nove quintos 9

5 lê-se: nove para cinco ou nove está para cinco

410 lê-se: quatro décimos

410 lê-se: quatro para dez ou quatro está para dez


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades76

1.2 Os termos de uma razãoVamos considerar a notação 3

7. O que ela representa?

A notação 37 é um numeral (fração) que representa o número “três sétimos”, em que 3 é o

numerador, e 7 o denominador. Porém, 37

é a representação também da razão “três para sete”,

em que 3 é denominado antecedente, e 7 é denominado conseqüente.

Fração Razãonumerador

denominadorantecedenteconseqüente

1.3 Razões iguais e simplificação de uma razãoPara obtermos razões iguais, basta aplicarmos a propriedade fundamental das razões, que

é a seguinte:

Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão igual à primeira.

Acompanhe duas aplicações da propriedade fundamental das razões:

23 = 4

6 = 69 = 8

12 = ...

2xx3

x4

2xx3

x4

4860 = = =

:2

2430

1215

45

:2:3

:2:2

:3 Forma irredutível

Observe que, no exemplo anterior, a razão 45

é a forma mais simples de 4860

e não é possível

simplificá-la ainda mais, portanto, é chamada de irredutível.


Razão e proporção 77

Exercícios

1. Complete, indicando a leitura das seguintes razões:

a) 34 : ____________________________________________________________________

b) 1 : 5 : ___________________________________________________________________

c) 49 : _____________________________________________________________________________

d) 97 : _____________________________________________________________________________

e) 5 : 10 : __________________________________________________________________________

2. Complete as frases com numerador, denominador, antecedente ou conseqüente:

a) 49

é uma fração, em que 4 é o _____________ e 9 o _____________.

b) 1317

é uma razão, em que 13 é o _____________ e 17 o _____________.

c) 37 é uma fração, em que 3 é o _____________ e 7 o _________________.

d) 16 é uma razão, em que 1 é o _____________ e 6 o _________________.

3. Simplifique as razões a seguir até a forma irredutível:

a) 1824

=

b) 627

=



c) 1230

=

d) 1516

=

e) 3054

=

f ) 5688

=

4. Acompanhe os problemas resolvidos a seguir e, depois, resolva os exercícios:

• Você tem 25 anos de idade e seu irmão mais velho tem 30 anos. Qual é a razão entre a sua idade e a do seu irmão?

Solução:25 anos30 anos

56

=

• Qual é a razão entre 2 dias e uma semana?

Solução:

1 semana ⇔ 7 dias

2 dias7 dias

27

=

a) Um casal possui 6 filhos, sendo 2 meninas e 4 meninos. Qual é a razão entre o número de meninos e de meninas?

b) Um time de futebol marcou em um campeonato 17 gols e sofreu 21. Qual é a razão entre o número de gols marcados e sofridos?

c) Uma colméia possuía 150 abelhas. Após três meses, esse número passou para 320 abelhas. Qual é a razão entre o número de abelhas depois e antes desse período?



2. Proporção

2.1 DefiniçãoA sentença que representa uma igualdade entre duas razões equivalentes constitui uma

proporção.

Então, 6040

3020

= é uma proporção que se lê: sessenta está para quarenta, assim como

trinta está para vinte.

2.2 Termos de uma proporção

A proporção formada pelas razões AB

e CD

é dada por:

AB

CD

=

ou

A : B = C : D

Onde A e D são os extremos e B e C são os meios.

2.3 Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Assim, na proporção

AB

CD

=

temos: A x D = B x C



3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica

Você já se perguntou por que uma bolinha de isopor flutua na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume, afunda?

Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor.

Mas o que é densidade?

Densidade volumétrica de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, que pode ser medida em quilograma (kg) ou grama (g) e o seu volume, que pode ser medido em metro cúbico (m³), centímetro cúbico (cm³) ou litro ( ), entre outras unidades de medida.

A fórmula da densidade é representada por:

d = mv

d: densidade

m: massa

v: volume

A unidade da densidade pode ser kg/m³, g/cm³, entre outras.

Note que a densidade é uma aplicação de razão.

Observe alguns exemplos de substâncias e suas densidades:

Substância Densidade (g/cm³)

madeira 0,5

gasolina 0,7

álcool 0,8

alumínio 2,7

ferro 7,8

mercúrio 13,6



Observe os exercícios resolvidos:

1. Um artista esculpiu um enfeite em madeira que possui um volume de 500cm3. Agora, ele quer construir uma réplica do objeto usando ferro. Se o ferro possui uma densidade volumétrica de 7,8g/cm3, qual é a massa de ferro necessária?

Como a densidade é a razão entre a massa e o volume:

d = mv

, em que m é a massa e v é o volume.

Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções:

7,8g = m1cm3 500cm3

m . 1 = 7,8 . 500

m = 3 900g ou 3,9kg

Resposta: A massa de ferro necessária para construir o mesmo objeto é de 3,9kg.

2. Você seria capaz de calcular a massa de madeira inicialmente utilizada na construção do enfeite?

De acordo com a tabela de densidades, a densidade volumétrica da madeira é 0,5g/cm3. Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções:

0,5g = m1cm3 500cm3

m . 1 = 0,5 . 500

m = 250g

Resposta: A massa de madeira utilizada foi de 250g.

A massa de madeira necessária para construir o mesmo objeto é menor do que a massa de ferro. Isso se deve ao fato de a densidade volumétrica da madeira ser inferior à densidade do ferro.

Exercícios

5. Dê a leitura das seguintes proporções:

a) 32

64

ou 3 : 2 = 6 : 4 = lê-se: __________________________________________

b) 45

810

ou 4 : 5 = 8 :10 = lê-se: __________________________________________

c) 1215

45

ou 12 :15 = 4 : 5 = lê-se: __________________________________________



d) ab

xy

ou a : b = x : y = lê-se: __________________________________________

6. O termo x é desconhecido. Descubra seu valor em cada uma das proporções, aplicando a propriedade fundamental das proporções. Acompanhe o exercício resolvido a seguir:

a)

43

=x6

3 . x = 4 . 6

3x = 24 x = 243

⇔

∴x = 8

b) x

4559

=

c) 48x

125

=

d) 11 : 3 = x : 6



7. Estude o problema resolvido a seguir e, depois, resolva os demais.

a) Uma vara de 12cm encravada verticalmente no solo produz uma sombra de 15cm. Quanto deve medir o comprimento da vara para que ela produza uma sombra de 45cm?

12cm

15cm

x

45cm

15 . x = 12 . 45

15x = 540 x540

15

=

⇔ =

∴x=36cm

b) Você tem um arquivo de imagem no computador medindo 9cm de largura por 12cm de comprimento. Se você ampliar essa fotografia usando um software de edição de imagens de modo que a medida de seu comprimento passe a ser de 60cm, quanto medirá sua nova largura?

c) Na planta que representa o projeto de uma casa, as dimensões da sala são 6cm de largura e 10cm de comprimento. Ao construir a casa, a sala ficou com uma largura de 4,5m. Qual é a medida do comprimento da sala, em metros?



Anotações


Gabarito

Razão e proporção

1. a) 34

lê-se: três para quatro ou três está para quatro.

b) 1:5 lê-se: um para cinco ou um está para cinco.

c) 49 lê-se: quatro para nove ou quatro está para nove.

d) 97 lê-se: nove para sete ou nove está para sete.

e) 5:10 lê-se: cinco para dez ou cinco está para dez.

2. a) numerador; denominador.

b) antecedente; conseqüente.

c) numerador; denominador.

d) antecedente; conseqüente.

3. a) 18 = 9 = 324 12 4

b) 6 = 227 9

c) 1230

615

25

= =

d) 1560

520

14

= =

e) 3054

1527

59

= =

f ) 5688

2844

1422

711

= = =

4. a) 4 m eninos2 m eninas

21

=

b) 17 gols m arcados21 gols sofridos

1721

=

Gabarito


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

c) 320 abelhas depois150 abelhas antes

320150

16075

3215

= = =

5. a) 3 = 62 4

ou 3 : 2 = 6 : 4 lê-se: três está para dois assim como seis está para quatro.

b) 45

810

ou 4:5 = 8:10 = lê-se: quatro está para cinco assim como oito está para dez.

c) 1215

45ou 12:15 = 4:5 = lê-se: doze está para quinze assim como quatro está para cinco.

d) ab

xyou a:b = x:y = lê-se: “a” está para “b” assim como “x” está para “y”.

6. b) x45

59

9 . x = 45 . 5

9x = 225 x = 2259

=

⇔

x = 25

c) 48x

125

x . 12 = 48 . 5

12x = 240 x = 24012

=

⇔

x = 20

d) 11:3= x:6

113 = x6

3 . x = 11 . 6

3x = 66 x = 663

⇔

x = 22


Gabarito

7. b) 9cm12cm

= x60

12 . x = 540

12x = 540 x = 54012

⇔

x = 45cm

c) 6cm10cm

= 4,5mx

6 . x = 10 . 4,5

6x = 45 x = 456

⇔

x = 7,5m


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Anotações


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