Ensino SuperiorMatemtica BsicaUnidade 2.2 Razes e ProporesAmintas Paiva Afonso

Razes e ProporesAmintas Paiva Afonso

1- RazoEm nossa vida diria, estamos sempre fazendo comparaes, e quando fazemos comparaes, estamos relacionando dois nmeros.Na linguagem matemtica, todas essas comparaes so expressas por um quociente chamado razo. A palavra razo vem do latim ratio, e significa diviso. Temos, ento:Uma razo uma diviso entre dois nmeros.

So exemplos de razes:

1- RazoUsa-se uma razo quando queremos comparar unidades, entre si.Por exemplo:Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de sumo de laranja e 2 litros de gua.O sumo de laranja est para a gua na razo de 3:2 ou na razo 3/2.

1- RazoA Maria e o Joo dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o Joo ficou com 5 fatias.Qual a razo entre o nmero fatias da Maria e o nmero de fatias do Joo?

Resposta: A razo de 4:5 (l-se 4 para 5).

1- RazoNuma razo, os termos (nmeros) tm um nome prprio, tendo em conta o stio onde se escrevem.Por exemplo:Na razo 3/5 ou 3:5 o nmero 3 chama-se antecedente e o nmero 5 chama-se consequente.

1- RazoNum mapa, a escala a razo entre a distncia no mapa e a distncia real correspondente. No mapa da figura, a distncia entre Cascais e Estoril de 1,6 cm. A distncia real entre as duas localidades de 3,2 km.Qual a escala do mapa?

1- RazoNa escala de um mapa o antecedente da razo costuma ser 1 e as unidades utilizadas so as mesmas, nos dois termos da razo. 1,6 cm (distncia no mapa entre Cascais e Estoril)3,2 km = 320000 cm (distncia real entre Cascais e Estoril)A razo 1,6:320000. Mas como o antecedente deve ser 1, temos de dividir os termos da razo por 1,6.(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)A escala do mapa 1:200000.

1- RazoSe as grandezas so da mesma espcie (comprimento e largura, ou rea e rea), suas medidas devem ser expressas na mesma unidade e nesse caso, a razo um nmero puro. Ex: Se temos que determinar a razo entre as reas das superfcies das quadras de vlei e basquete, sabendo que a quadra de vlei possui uma rea de 180 m2 e a de basquete possui uma rea de 240 m2, vamos escrever:Razo entre as reas da quadra de vlei e de basquete:

1- RazoSe as grandezas no so da mesma espcie (quilmetros percorridos e o tempo transcorrido), a razo um nmero cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razo. Para irmos de uma cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3 horas, a razo entre a distncia percorrida e o tempo gasto em percorr-la igual diviso entre as medidas das duas grandezas. No podemos esquecer a unidade resultante desta diviso:

Exerccios2) No incio de uma partida de futebol, a altura mdia dos 11 jogadores de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura foi substitudo. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador, com 1,73m de altura foi expulso. Ao terminar a partida qual era a mdia de altura dos jogadores desse time?1) A largura e o comprimento de um terreno retangular esto na razo de 4 para 7. Admitindo-se que o permetro desse terreno seja 66 m, determine a largura (em metros).3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da conta em um bar. Na hora de pagar, trs pessoas no tinham dinheiro e, por isso, cada uma das outras teve que pagar R$ 5,00 a mais do que o previsto. Qual foi o valor da conta?

2- ProporoEm uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos entrevistados na Faculdade Pitgoras, 10 gostam de Matemtica, portanto tambm poderamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 devero gostar de Matemtica. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 esto representando em 30 o mesmo que 40 em 120.Escrevemos: Uma propriedade fundamental das propores a seguinte: em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos. 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

2- ProporoConsidera a razo .

Se multiplicares ambos os termos da razo pelo mesmo nmero, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razo:

Quando escrevemos a igualdade temos uma proporo.

Uma PROPORO uma igualdade entre duas razes.

2- ProporoA proporo deve ler-se:

2 est para 7 assim como 6 est para 21.

Numa proporo, os nmeros (termos) que l aparecem tm um determinado nome de acordo com o stio onde se encontram escritos.

Os nmeros 2 e 21 so chamados os extremos.Os nmeros 7 e 6 so chamados os meios.

2- ProporoMultiplica os extremos da proporo

Produto dos extremos: 2 x 21 = 42

Multiplica os meios da proporo

Produto dos meios: 7 x 6 = 42

O produto dos extremos igual ao produto dos meios.

Chama-se igualdade anterior a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES.

2- ProporoExerccioNuma escola, a razo do nmero de professores para o nmero de auxiliares de 16:2. Que concluso podemos tirar da informao dada?RESPOSTAComo a razo entre o nmero de professores e o nmero de auxiliares de 16:2, podemos concluir que para cada 16 professores existem 2 auxiliares.

2- Proporo

Se o nmero total de professores e auxiliares for igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares tm a escola?RESPOSTA:Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores. Ento, para 108 trabalhadores haver x professores.

A escola tem 96 professores e 108 96 = 12 auxiliares.

Diviso ProporcionalDiviso em partes diretamente proporcionais2- ProporoUma propriedade fundamental para srie de razes iguais (ou proporo mltipla) a seguinte: em uma srie de razes iguais, a soma dos numeradores est para a soma dos denominadores assim como qualquer numerador est para o seu respectivo denominador.Dividir um nmero em partes diretamente proporcionais a outros nmeros dados significa encontrar parcelas desse nmero que so diretamente proporcionais aos nmeros dados e que, somadas, reproduzam esse nmero.

Diviso ProporcionalDiviso em partes diretamente proporcionaisDividir um nmero em partes diretamente proporcionais a outros nmeros dados significa encontrar parcelas desse nmero que so diretamente proporcionais aos nmeros dados e que, somadas, reproduzam esse nmero. 1) Joo e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidrulico em um prdio, servio pelo qual recebero R$ 990,00. Como Joo trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles devero dividir com justia os R$ 990,00 que sero pagos por essa tarefa?2) Trs scios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Aps 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribudo aos scios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.

Diviso ProporcionalDiviso em partes inversamente proporcionaisDividir um nmero em partes inversamente proporcionais a outros nmeros dados encontrar parcelas desse nmero que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses nmeros dados.Exerccio:Joo e Pedro vo trabalhar por um mesmo perodo de tempo para fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se Joo chegou atrasado por 3 dias e Pedro 5 dias, como efetuar essa diviso com justia?

Grandezas ProporcionaisA proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou inversa. Esquematicamente, se duas grandezas so diretamente proporcionais podemos represent-las como: Duas grandezas variveis so diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razo, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razo.

Grandezas Diretamente ProporcionaisQuando vais ao bar comprar um sumo, por exemplo, verificas o seguinte:1 embalagem custa 0,5 euros;2 embalagens custam 1 euro;3 embalagens custam 1,5 euros;4 embalagens custam 2 euros;5 embalagens custam 2,5 euros;6 embalagens custam 3 euros;...

Grandezas Diretamente Proporcionais

As duas grandezas (custo e nmero de embalagens) variam sempre na mesma razo:

Se uma das grandezas duplica a outra tambm duplicaSe uma das grandezas triplica a outra tambm triplica...Quando isto acontece dizemos que as grandezas so diretamente proporcionais.

Grandezas Diretamente ProporcionaisPodes escrever os dados anteriores numa tabela.Como o valor das grandezas varia, podes usar uma letra (varivel) para representar cada uma delas.Neste caso, a letra x representa o nmero de embalagens e a letra y representa o custo.

Divide cada um dos valores de y pelo correspondente valor de x.

O que observas?

Grandezas Diretamente ProporcionaisDividindo os valores correspondentes de y e x, temos o seguinte:

O nmero que obtns no varia. sempre igual e, por isso, chama-se constante. Neste caso o seu valor 0,5.

Como as grandezas so directamente proporcionais diz-se que essa constante (neste caso, 0,5) a constante de proporcionalidade directa.

Grandezas Diretamente ProporcionaisRESUMODadas duas grandezas X e Y, Y diretamente proporcional a X se:

Para X = 0 tambm Y = 0;Para X 0 e Y 0, o quociente entre dois quaisquer valores correspondentes um nmero constante (k).

O nmero k a constante de proporcionalidade direta.

Grandezas Diretamente ProporcionaisNum papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos iguais a quantia de 8,75 euros.Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles cadernos?

RESOLUO:Podemos usar uma proporo. Sabemos que 7 cadernos esto para 8,75 euros, pelo que 9 cadernos estaro para x euros. Assim:

Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago 11,25 euros.

Grandezas Diretamente ProporcionaisPara fazer um determinado bolo, a razo entre o peso (em grama) do aucar e o peso da farinha de 5:2.Se usares 160 g de aucar, quantos gramas de farinha deves usar?

RESOLUO:Podemos usar uma proporo. Sabemos que 5 g de aucar esto para 2 g de farinha, pelo que 160 g de aucar estaro para x g de farinha. Assim:

Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.

Grandezas Diretamente ProporcionaisUma torneira deita uniformemente, para um tanque que de inicio estava vazio, 4 litros de gua por minuto.Ao fim de meia hora quantos litros de gua deitou a torneira ?

RESOLUO:Podemos tambm usar uma proporo. Sabemos que 4 litros de gua esto para 1 minuto, pelo que x litros de gua estaro para 30 minutos (meia hora). Assim:

Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou 120 litros de gua.

Grandezas Diretamente ProporcionaisA me da Teresa comprou 1232 dlares americanos por 1000 euros. mesma taxa de cmbio, quantos dlares americanos poderia comprar com 50 euros?

RESOLUO:Podemos tambm usar uma proporo. Sabemos que 1232 dlares americanos esto para 1000 euros, pelo que x dlares americanos estaro para 50 euros. Assim:

Resposta: Com 50 euros, a me da Teresa poderia ter comprado 61,6 dlares americanos.

Grandezas Diretamente Proporcionais123465001 0001 5002 0003 000Duas grandezas so diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra tambm aumenta na mesma proporo.x 2X 3x 4x 6x 2X 3x 4x 6

N MAS (N)PREO (P)

Grandezas Diretamente Proporcionais123465001 0001 5002 0003 0005003 0002 5001 0001 5002 000165432Duas grandezas so diretamente proporcionais, se ao representa-las graficamente obtemos uma linha reta que passa pela origem.

N MAS (N)PREO (P)

Grandezas Diretamente Proporcionais123465001 0001 5002 0003 000PN=5001=1 0002=1 5003=2 0004=3 0006=500=kPN=kP = k NDuas grandezas so diretamente proporcionais, se esto ligadas por um quociente constante.

N MAS (N)PREO (P)

Proporo Inversa ou Grandezas Inversamente ProporcionaisSe duas grandezas forem inversamente proporcionais podemos represent-las como: Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razo, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razo.

3- Regra de TrsExerccios 2Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e 27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distncia. Se um gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo ciclista mais lento.Regra de trs simples

Exerccios 1Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45 kWh, quanto consumir se aumentar o tempo de seu banho para 20 minutos?W = P.T, onde: W - energia consumida; P - potncia do eletrodomstico considerado; T - tempo de utilizao do eletrodomstico.V = E/T, onde: V - velocidade; E - espao; T - tempo.

3- Regra de TrsExerccios 2Se 45 mquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7 horas por dia, quantas mquinas seriam necessrias para realizar esta obra em 12 dias, funcionando 10 horas por dia?Regra de trs composta

Exerccios 1Trs operrios, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peas. Quantas peas desse mesmo tipo produziro 7 operrios, trabalhando 9 dias?

Grandezas Inversamente Proporcionais1206040302012346Duas grandezas so inversamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra diminui na mesma proporo, e vice-versa. 2 3 4 6x 2X 3x 4x 6X = 120 km

VELOCIDADE (V)TEMPO (t)

Grandezas Inversamente Proporcionais 20120100 40 60 80165432Duas grandezas so inversamente proporcionais, se ao representar-as graficamente obtemos uma curva chamada hiprbola.1206040302012346

VELOCIDADE (V)TEMPO (t)

Grandezas Inversamente Proporcionais= kkt=VV t = kDuas grandezas so inversamente proporcionais, se estiverem ligadas por um produto constante.1206040302012346V t= (120)(1)= (60)(2)= (40)(3)= (30)(4)= (20)(6)= 120

VELOCIDADE (V)TEMPO (t)