MATEMÁTICA Ensino Médio, 1º Ano Relações métricas num triângulo qualquer.

MATEMÁTICAEnsino Médio, 1º Ano

Relações métricas num triângulo qualquer

Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.

RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Considerando o triângulo retângulo abaixo, vamos destacar os seus elementos:

Com esses dados vamos considerar os triângulos:

que por possuírem dois ângulos congruentes são semelhantes:

BC a hipotenusa

AB c catetoAC b cateto

AH h altura

BH m =Projeção catetoc sobre a hipotenusa

HC n =Projeção catetob sobre a hipot.


I –Comparemos os triângulos


) aacbh

. .b c a h • O produto das medidas dos catetos é igual ao produto damedida da hipotenusa pela medida da altura relativa a mesma.

) abccm

2 .c a m • o quadrado de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela projeção do mesmo sobre ela.

) b cch m . .c h bm • o produto da medida de um cateto pela altura é igual

ao produto da medida do outro cateto pela projeção doprimeiro.

II- Comparemos o

) hanmh

2 .h m n

• O quadrado da altura é igual ao produtodas medidas dos lados das projeções.


FIQUE LIGADO!!!

Poderíamos, de forma não matemática, fazer “cortes transversais”, nos triângulos para obter essas relações, ou seja:

I) 2 .c a m II) 2 .b a n

III)

n

2 .h m n IV). .b c a h


V) VI)

VII) . .c h b m . .b h c n

2 2 2a b c


APLICAÇÕES:

1) No triângulo retângulo ABC abaixo,

determine a , m , n e h.

Resolução:

I) Para calcular o valor da hipotenusa

a,vamos usar Pitágoras:

II) Conhecida a hipotenusa a, vamos

usar as dicas para achar m e n:

Como:

III) Por último, para achar a altura h,

Podemos recorrer a várias relações,

por exemplo:

2) ( FAFI – BH) Considere um triângulo ABC retângulo em A e, nele, tome

2 2 2a b c 2 2 26 8a 2 36 64a

2 100a 100a 10a

26 10.m 3610

m 3,6m

m n a 3,6 10n

6,4n

2 .h m n 2 3,6.6,4h 2 23,04h

23,04h 4,8h

AH


como sendo a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Se cm e cm, então o comprimento do segmento em cm, valerá quanto?

Resolução:

Logo:

cm

3) (UFPA) O perímetro do pentágono PENTA da figura abaixo valerá quanto?

Resolução:

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

144BH 65AC AB

2 2 2 2

2

.144 65 144 65 144

144 20376 0169144 20376 16900 144 194252 2

c a a a a a

a a

a anão serve

2 169.144 156c c

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4 4 2

4 16 32 4 3

4 48 16 8

a b c a a

b a b b

c b c c


4) (PUC – MG ) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são 1 cm e 2 cm. A medida da altura do triângulo relativa à hipotenusa, em cm, é igual a quanto?

Resolução:

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

cm.

Como pela relação trigonométrica IV, temos os catetos e a hipotenusa, podemos achar a altura por:

cm.

5) (CESGRANRIO – RJ) Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo medirá quanto?

Resolução:

Como conhecemos a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, podemos recorrer as relações IV e I, ou seja:

2 2 22 1 5a a

2 5 2 5. . 2.1 5. .55 5

b c a h h h


RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER

Vamos analisar a seguinte situação:

Um navio, navegando em linha reta,

passa pelo ponto A, distante 6 milhas

de um farol C . No mesmo instante, o comandante, de outro navio se encontra num ponto B, distante 15 milhas do farol C, de tal modo que o ângulo de visão de um observador que se encontra no farol C e vê os dois navios é de 30º. Qual a distância entre os dois navios nesse instante?

Para facilitar nosso entendimento, va-

mos montar uma figura para expressar

o modelo matemático.

2

2

. 144 9. 16

15.9 15

h m n n n

c c

6

15

x

30


Pelo desenho, é possível verificar que devemos determinar a medida de um lado de um triângulo que não é triângulo retângulo, quando são conhecidas as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar. Como o triângulo não é retângulo, não podemos aplicar as relações dadas anteriormente. Vamos, então conhecer outras relações aplicadas em triângulos acutângulos ou obtusângu-los, utilizando uma importante ferramen- ta que é a Lei dos senos e a Lei dos cossenos. LEI DOS SENOS

Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:

Ex.: No triângulo da figura abaixo,

Calcule a medida b.

a

b c

a b csen sen sen


Resolução:

Utilizando a Lei dos senos, temos:

LEI DOS COSSENOS

Em todo triângulo, o quadrado da medi-da de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, subtraído do dobro produto desses doislados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

3045º

b 2

230º 45ºb

sen sen 1

2

b222

22b 2

2

22

b222 22

2

a

b c

2 2 2 2. . .cosa b c b c 2 2 2 2. . .cosb a c a c 2 2 2 2. . .cosc a b a b


Estamos em condições, agora, de resolver a situação-problema colocada no início deste assunto.

Pela lei dos cossenos, temos:

Observação:

A lei dos senos ou dos cossenos pode ser usada para calcular as medidas dos lados ou dos ângulos de quaisquer triângulos independetemente dos dados fornecidos, porém, para efeito didático, podemos: Aplicar a lei dos senos se no

triângulo dado, tivermos mais ângulos conhecidos do que lados;

Aplicar a lei dos cossenos em caso contrário, ou seja, quando são conhecidos mais lados do que ângulos.

6 x

1530

2 2 2

32

6 15 2.6.15.cos30ºx

2 36 225 2x 3.90.2

2 261 90 3x 261 90 3x


EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS

1) (FAFI – BH) Considerando a figura abaixo, o quadrado do comprimento do segmento valerá quanto?

Resolução:

No

Ainda no retângulo:

No , aplicando a lei dos cossenos, temos:

2) Num triângulo retângulo ABC temos

=3 m , e .

a) Se m , calcule

b) Se , oposto ao lado

Calcule

AB

:BCD 3 5 330º5 3 5 3x xtg x

BCD

2 2 2 2 25.3 10 35 259 3

y x y y

ABD

2 2 2

2

2

4 2.4. .cos 45º

100 2.4.10 3 216 .3 3 2

148 40 63

AB y y

AB

AB

AC 4BC m ˆBAC

3AB cos ;ˆABC 60º ,AC

.sen


Resolução:

a) Aplicando a lei dos cossenos, temos:

b) Aplicando a lei dos senos, temos:

Como , nestas condições não existirá o triângulo.

3) (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

2 2 2 2 .cos16 9 9 2.3.3.cos16 18 18.cos

2 1cos cos18 9

a b c bc aa

a

a a

360º 23 4 3 4

3 1 2 3. .42 3 3

sen sen sena

sena sena

1sena


Os segmentos simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

Pela Lei dos Senos, segue que:

4) (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

AB, BC, CA

AB 80 m.

160 3 m3

80 3 m3

16 3 m3

8 3 m3

3 m3

AB 80 80 3 80 32R 2R R m.sen60 33 3 3

2


a) Calcule a distância entre A e B.

b) Calcule a distância entre B e D.

Resolução:

a)

Visada Ângulos

6π

^BCD 3

π^

ABC

6π^

A CB

No triângulo ABC assinalado, temos:

2 2 2

2 2

2

2

15 x x 2 x x cos1201225 2x 2x2

225 3x

x 75

x 5 3m

b)


No triângulo BDC, temos:

ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER

Através de conhecimentos de séries an-

teriores, vimos que a área de um triângu-

lo podia ser calculada por

Porém, existem situações em que não te-

mos informações sobre as medidas da ba-

se e da altura, como o exemplo abaixo:

Qual a área de um terreno triangular,

conforme figura abaixo, cujas dimensões

são de 5m e 8m e o ângulo entre eles

mede 30º?

Resolução:

Vejamos o modelo matemático desse

terreno:

2 2 2

2

y 15 10 2 15 10 cos60

y 225 100 150

y 175

y 5 7m

;..2

b baseb hSh altura


Para resolver este problema, usaremos a

seguinte relação:

A área de qualquer triângulo é igual ao

semiproduto das medidas de dois lados

pelo seno do ângulo formado por eles.

Então, considerando o triângulo dado

temos:

REVISÃO GERAL

1) (Ufrn- 2012) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir.

5.85.8. 30º

2senS

4 1.2 220 10

2 2m


Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo.

O valor encontrado pelo fiscal

a) estava entre 30° e 45°;

b) era menor que 30°;

c) foi exatamente 45°;

d) era maior que 45°.

Resolução:

Seja o ângulo que a rampa faz com o solo.

O ângulo é tal que

Desse modo, como a função tangente é crescente e segue que

2) (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de

α 12tg 0,50.24

α

3tg30 0,58 0,50,3

30 .α


seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que

, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:

a) 10.

b) 50.

c) 100.

d) 250.

e) 600.

Resolução:

Considere a figura.

8 22 3 93,4 215 100

cos 0,934 α


Sabendo que

e que

pela Lei dos Cossenos, vem:

Portanto, como temos que a velocidade média pedida é dada por

3) (Ufpr 2012) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície?

ET 360km, ST 320km,

cos 0,934 8 22 3 93,4 215100,

2 2 2

2 2 2

2 2 2 5

2 8 2

2

ES ET ST 2 ET ST cos

ES 360 320 2 360 320 0,934

ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES 232000 2 3 93,4

ES 232000 215100

ES 16900 ES 130km.

1313min h,60

130 600km h.1360


a)

b) 1 cm

c)

d)

e)

Resolução:

1 cm2

3 cm2cm

2

2 cm


Logo,

o 3 1 3sen30 AO 6cmAO 2 AO

6 3 x 8 x 1cm


4) (Ufrn 2012) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de

a) 18 m.

b) 8 m.

c) 36 m.

d) 9 m.

Resolução:

Se é a distância procurada, então:

d 2 d 8 m.

12 3


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Matemática:ciência e aplicações, 1: ensino médio/Gelson Iezzi...(et al).- 6.ed.-São

Paulo: Saraiva, 2010. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1:ensino médio/Jackson Ribeiro-

São Paulo:Scipione,2010. Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar: matemática:1/Joamir Roberto de Souza.-

2.ed.-São Paulo:FTD, 2013. História da matemática / Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza

F. Gomide – 2ª ed. -- São Paulo: Blücher, 1996. Matemática: conceito e aplicações/ Luiz Roberto Dante.-São Paulo:Ática,2010. Matemática fundamental: uma nova abordagem:ensino médio:volume único/

José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr.-São Paulo: FTD, 2002.

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