MATEMÁTICA -...

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_004

Funções: Função Afim, Função

Inversa e Função Composta

FunçõesPode-se entender uma função como um dispo-

sitivo que responde a perguntas com duas caracte-rísticas especiais: toda pergunta tem resposta e a resposta a cada pergunta é única.

Isso faz com que as funções sejam amplamente utilizadas tanto em Matemática como em outras ciên-cias, pois permitem representar por meio de números os fenômenos observados em experimentos.

Definição: Seja f uma relação de A em B, isto é, f ⊂ A x B, dizemos que f é uma função de A em B se, e somente se, para todo elemento x ∈ A existir um só elemento y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f, ou seja, y = f (x).

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja asso-ciado um único y ∈ B.

Entretanto, pode existir y ∈ B que não este-ja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A ou que esteja associado a mais de um elemento de A.

Os dois diagramas seguintes representam relações de A em B, mas não funções de A em B. O primeiro porque existe um elemento de A que não está associado a nenhum elemento de B, e o segundo porque existe um elemento de A que está associado a mais de um elemento de B.

ABfa

b

c

d

e

f

ABfa

b

c

d

e

f

O diagrama de flechas a seguir representa uma relação de A em B que também é uma função de A em B:

AB

fa

b

c

d

e

f

Domínio de f: D (f) = A

Contradomínio de f: B

Imagem de f: Im(f) ⊂ B

O domínio de f é o conjunto dos elementos de A que são os primeiros termos dos pares ordenados ou o conjunto origem das flechas.


2 EM

_V_M

AT

_004

O conjunto B é chamado contradomínio de f que são os segundos termos dos pares ordenados do produto cartesiano ou o conjunto dos possíveis destinos das flechas.

O conjunto imagem é um subconjunto de B formado pelos elementos que são segundos termos dos pares ordenados da função ou o conjunto dos ele-mentos que são efetivamente destino de flechas.

No diagrama acima deve-se observar que de todo elemento do conjunto A deve partir exatamente uma flecha. Já os elementos do conjunto B podem receber uma ou mais flechas ou até não receber nenhuma flecha.

Notação:

f: A → B ou f = {(x , y)∈AxB y = f (x)}

x → f(x)

Chamam-se funções reais de variável real, aquelas cujo domínio e contradomínio são subcon-juntos dos reais.

Nesse caso, costuma-se definir a função apenas pela “regra de correspondência” e adota-se como domínio o maior subconjunto possível de R.

As funções reais de variável real podem ser representadas graficamente no plano cartesiano or-togonal. O gráfico da função é composto por todos os pares ordenados que compõem a função.

Em virtude da definição de função, toda reta vertical, que passa por um ponto do domínio, in-tercepta o gráfico da função em exatamente um ponto.

A análise do gráfico da função permite identi-ficar o seu domínio e a sua imagem, como pode ser visto a seguir:

Zero ou raiz da função é o número x, cuja ima-gem é nula, isto é, f(x) = 0. Esses pontos são identi-ficados como os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (Ox).

É possível, também, identificar o sinal da função em cada trecho do domínio. Os pontos de imagem positiva encontram-se acima do eixo das abscissas (parte positiva do eixo das ordenadas) e os de ima-gem negativa abaixo (parte negativa do eixo das ordenadas).

– – 1 2 4 7

y = f (x)

x–++ +

Funções iguaisDuas funções f e g são iguais se, e somente se,

tiverem o mesmo domínio, e f(x) = g(x) para todo x no domínio. Isso é equivalente a dizer que todos os pares ordenados que compõem as funções são iguais.

Funções monotônicasChama-se monotônica ou monótona a função que

é sempre crescente ou decrescente no seu domínio.

Seja a função f: A → B

f é1) crescente (não-decrescente) se ∀ x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) ≤ f (y).

f é 2) decrescente (não-crescente) se ∀ x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) ≥ f (y).

f é 3) estritamente crescente (crescente) se ∀ x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) < f (y).

f é4) estritamente decrescente (decrescente) se ∀ x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) > f (y).

São funções crescentes f(x) = 3x – 1, f(x) = 2x

e f(x) = x3.

São funções decrescentes f(x)=–2x + 5, f(x) = (1/2)x e f(x) = –x3.

As funções f(x) = x2 e f(x) = sen x não são cres-centes e nem decrescentes em R.

Esses conceitos acima mencionados são facil-mente notados no gráfico da função. Nas funções crescentes o gráfico “sobe” para a direita, enquanto nas funções decrescentes o gráfico desce para a direita.


3EM

_V_M

AT

_004

yy

x x00

Já a função a seguir não é monótona, pois é decrescente numa parte do domínio e crescente em outra.

y

x0

ParidadeSeja A um conjunto tal que x ∈ A ⇒ −x ∈ A e

a função f: A → B

f é par ⇔ f(–x) = f(x), ∀x ∈ A → o gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy, pois (x, y) ∈ f ⇔ (–x, y) ∈ f.

f é ímpar ⇔ f(–x) = –f(x), ∀x ∈ A → o gráfico é simétrico em relação à origem, pois (x,y) ∈ f ⇔ (–x,–y) ∈ f.

Se uma função não é nem par nem ímpar, dize-mos que ela não possui paridade.

São funções pares f(x) = x2 e f(x) = cos x. São funções ímpares f(x) = x3 e f(x) = sen x. A função f(x) = x2 + x – 1 não é par nem ímpar.

Abaixo são mostrados gráficos desses dois tipos de funções:

y

x0

y

x0

f(x) = x2 → par

f(x) = sen x → ímpar

Tipologia das funçõesSejam a função f: A → B

f é sobrejetora quando todo elemento de B está associado por f a pelo menos um elemento de A, ou seja, quando a imagem é igual ao contradomínio. No diagrama, todo elemento recebe seta. No gráfico, retas horizontais traçadas no contradomínio inter-ceptam o gráfico em pelo menos um ponto. n(A) ≥ n(B), se A e B forem finitos.

f é sobrejetora ⇔ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A tal que (x, y) ∈ f ou y = f (x)

f é injetora quando elementos distintos de A estão associados a elementos distintos de B. No diagrama, não há elemento em B que receba mais de uma seta. No gráfico, retas horizontais cruzam seu gráfico em no máximo um ponto. n(A) ≤ n(B), se A e B forem finitos.

f é injetora ⇔ ∀ x1 , x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2) ou ∀ x1 , x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

f é bijetora se, e somente se, for sobrejetora e injetora. Todo elemento de B está associado por f a um único elemento de A. No diagrama, todo elemento de B recebe uma seta. No gráfico, retas horizontais traçadas pelo contradomínio cruzam o gráfico em exatamente um ponto. n(A) = n(B), se A e B forem finitos.

Os diagramas de flechas abaixo exemplificam essas definições:

1) Sobrejetora

a

b

c

A Bf

d

e

2) Injetora

a

b

c

A Bd

e

f

g

f


4 EM

_V_M

AT

_004

3) Bijetora

a

b

c

A Bd

e

f

f

Função limitadaA função f é limitada se ∃ K > 0, tal que ∀ x ∈

D (f) ⇒f (x) < K.

A função f(x) = sen x é uma função limitada, pois ∀x ∈ R, –1 ≤ sen x ≤ 1. A função f(x) = x2 não é limitada, pois ∀ k > 0, ∃ x, tal que f(x) = x2 > k.

Função periódicaA função f é periódica ⇔ ∃ p > 0 tal que f (x) = f(x

+ p), ∀x ∈ D (f).

Isso significa que os valores da função se repe-tem em intervalos de tamanho p.

O menor número positivo p é chamado período da função.

Os exemplos mais comuns de funções perió-dicas são as funções trigonométricas. A função f(x) = sen x, por exemplo, é uma função periódica de período 2π.

Função definida por várias sentenças abertas

Uma função f pode ser definida por várias sen-tenças abertas, cada uma das quais ligada a um domínio Di contido no domínio de f.

Exemplo: `

≥

<≤

<

=→

1x para 1

1 x 0 para 2

0 x para 1

f(x) que tal R Rf:

Função constanteÉ a função que assume o mesmo valor em todo

o seu domínio.

f (x) = c, ∀ x ∈ D(f)

O gráfico de uma função constante com domínio nos reais é uma reta paralela ao eixo dos x (horizon-tal) e passando pelo ponto (0, c). Sua imagem é o conjunto Im = {c}.

Exemplo: `

f(x) = 5 e f(x) = –3y

x

(0, c)

0

No estudo das funções, muitas vezes é neces-sário saber que valor do domínio leva a determinado resultado na imagem. A função inversa associa os valores da imagem aos do domínio.

Novamente, pensando na função como um dispositivo que responde a perguntas, a função inversa poderia ser entendida como um dispositivo que informa qual a pergunta, dado que a resposta é conhecida.

A função composta também é de grande impor-tância, pois diversos processos ocorrem por meio da aplicação sucessiva de funções. A função composta permite identificar o resultado dessas diversas fun-ções como se fossem uma única função.

Função compostaDados os conjuntos A, B e C e as funções f: A →

B definida por y = f (x) e g: B → C definida por z = g (y), chama-se função composta de g com f a função h = (g o f) : A → C, definida por:

z = (g o f) (x) = g (f (x))

Assim, a função (gof) pode ser entendida como uma função única que apresenta o mesmo resultado que as aplicações sucessivas de f e g.

A função (gof) só é definida quando a imagem de f está contida no domínio de g.

Os conceitos acima podem ser melhor entendi-dos observando-se o diagrama de flechas a seguir:


5EM

_V_M

AT

_004

2 •

3 •

4 •

1 •

2 •

3 •

4 •

• 0

• 2

• 4

• 6

• 8

A

B

C

f

g

h = gof

A composição de funções não é comutativa: g o f ≠ f o g. Pode acontecer também que somente uma das funções (fog) ou (gof) esteja definida.

A sentença aberta que define (gof) (x) = g (f (x)) é obtida de g(x) substituindo-se x pela expressão de f (x).

Exemplo: `

Sejam as funções reais f(x) = x2 + 4x – 5 e g(x) = 2x – 3. As expressões de (fog) e (gof) podem ser calculadas como segue:

(fog) (x) = f(g(x)) = f (2x – 3) = (2x – 3)2 +4⋅(2x – 3) – 5 = 4x2 – 4x – 8

(gof) (x) = g(f(x) = g(x2 + 4x – 5) = 2 . ( x2 – 4x – 5) – 3 = 2x2 + 8x – 13

Função inversaSe f é uma função bijetora de A em B, a relação

inversa de f é uma função de B em A chamada função inversa de f e denotada por f-1 e também é bijetora.

(x , y) ∈ f ⇔ (y , x) ∈ f – 1

Uma função só possui inversa se ela for bi-jetora.

A função inversa é composta pelos pares orde-nados obtidos pela inversão da ordem dos elementos dos pares ordenados da função original. Assim, se a função f: A → B associa cada elemento x ∈ A a um elemento correspondente y ∈ B, a função f-1, inversa de f, associa a cada elemento y ∈ B o elemento cor-respondente x ∈ A.

O domínio da função inversa é a imagem da função original e a imagem da função inversa é o domínio da função original.

D (f – 1) = Im (f) e Im (f – 1) = D (f)

Esses conceitos podem ser observados nos diagramas de flecha seguintes:

a

b

c

d

e

f

d

e

f

a

b

c

A B B A

f f-1

As relações a seguir também são úteis:

1.ª) (f-1) -1 = f

2.ª) ∀ x ∈ A, f-1 (f (x)) = x

3.ª) ∀ x ∈ B, f (f-1 (x)) = x

A primeira significa que a função inversa da função inversa é igual à função original.

A segunda e terceira relações significam que a composição entre a inversa e a função em qual-quer ordem é a função identidade, ou seja, resulta no elemento sobre o qual a função foi aplicada.

Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (B13 ), como pode ser visto no exemplo abaixo:

• –8(–2; –8)

•

•

•

y8

21–2–8

–2–1 2 8 x

(8; 2)

(2; 8)

(–8; –2)

bissetrizf: y = x3

3xy:3–f =

Obtenção da expressão da função inversa

1.º Método:

Na sentença y = f(x), trocamos x por y e y por x, obtendo x = f(y).

Em seguida, expressamos y em função de x, transformando algebricamente a expressão x = f (y) em y = f-1 (x).

Exemplo: `

A função inversa da função bijetora f: R →→ R, definida por y = 2x – 4 pode ser calculada utilizando a regra prática:


6 EM

_V_M

AT

_004

1.º) permutar as variáveis: x = 2y – 4

2.º) expressar y em função de x: x = 2y – 4 ⇒ 2y = x + 4 ⇒ y = x + 4 . 2

A função inversa é então f −1: R→R, definida por ⇒

y = x + 4 . 2

2.º Método:

Basta utilizar a expressão vista anteriormente f (f−1 (x)) = x e então obter a expressão de f−1(x).

Exemplo: `

A função inversa da função bijetora f: → , definida por y = 2x – 4 também pode se calculada como segue:

f (f - 1 (x)) = x ↔ 2⋅( f -1(x)) –4 = x ↔

2⋅( f−1(x)) = x + 4 ↔f –1(x) = x + 4

2

Função identidadeÉ uma função de R em R que a cada elemento

x ∈ R associa o próprio x.

f (x) = x , ∀ x ∈ RO gráfico da função identidade é a bissetriz dos

quadrantes ímpares (β13) e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = R.

y

x

(2; 2)

(1; 1)(0; 0)

(–1; –1)

(–2; –2)

Função linearÉ uma função de R em R que a cada elemento x

∈ R associa o elemento ax ∈ R com a ≠ 0

f (x) = a ⋅ x , a ≠ 0

O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = R.

(1; 2)

(0; 0)

2

1

y

x

A função f(x) =ax, com a > 0 e definida de R+ em R+ é uma restrição da função linear que representa uma proporcionalidade.

Sendo f(x1) = y1 e f(x2) = y2, pode-se escrever

A relação acima é chamada de proporção, as grandezas x e y são ditas diretamente proporcionais e o coeficiente a é chamado fator de proporcionalidade.

Um exemplo comum é a massa de um corpo que é proporcional ao seu volume e a relação entre eles é o fator de proporcionalidade chamado massa específica (ou densidade).

Função afimÉ uma função de R em R definida por

f (x) = ax + b

onde a e b são constantes reais e a ≠ 0.

A função identidade (a = 1 e b = 0) e a fun-ção linear (b = 0) são casos particulares da função afim.

A função afim é uma função polinomial do 1.º grau, seu gráfico é uma reta não-paralela a nenhum dos eixos coordenados e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = R.

O coeficiente a é chamado coeficiente angular e representa a taxa de variação média da função

∆∆

yx

que é igual à tangente do ângulo de inclinação

da reta. Sendo θ o ângulo de inclinação da reta, tem-se

tg θ = a

a > 0 → θ é agudo → função crescente

a < 0 → θ é obtuso → função decrescente

O coeficiente b é chamado coeficiente linear e é o ponto onde a reta intercepta o eixo Oy, ou seja, a reta passa no ponto (0, b).


7EM

_V_M

AT

_004

O gráfico intercepta o eixo dos x em um único ponto que é a raiz da equação f(x) = 0 dada por x = −b/a.

Abaixo são mostrados gráficos da função afim para a negativo e positivo.

•

•

y = ax +b

a > 0b

–b/a x

y

θ

•

x

y

θ

•θ

x1 x2

•

y

θ

• x-b/a

b

y = ax + b

a < 0

y

θ

xθ

DxDy

Dx

Dy

Sinais da função afimConhecendo o gráfico da função afim pode-se

realizar o seu estudo de sinais, isto é, identificar o sinal da função em cada trecho do seu domínio, como representado nas figuras seguintes:

•

y > 0

y < 0

y

x

Caso a > 0

)a

b–(x <

)a

b–(x <

)a

b–(x >

•

y > 0

y < 0

y

x

Caso a < 0

)a

b–(x < )

a

b–(x <

)a

b–(x >

Posições relativas entre retasA análise dos coeficientes angulares das retas

permite identificar a posição relativa entre as retas.

Assim, sejam a reta r dada pela equação y = ax +b e a reta s dada pela equação y = a’x +b’, a relação entre seus gráficos é mostrada abaixo:

a = a’ e b ≠ b’ → retas paralelas

a = a’ e b = b’ → retas coincidentes

a ≠ a’ → retas concorrentes

a.a’ = −1 → retas perpendiculares

Isso permite também discutir sistemas de equa-ções do primeiro grau a duas variáveis.

(PUC-SP) Qual dos gráficos seguintes representa uma 1. função de +* em ?

a)

b)

c)


8 EM

_V_M

AT

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d)

e)

Solução: ` C

O gráfico da letra a representa uma função de em +*.

O gráfico da letra b também representa uma função de em +*.

O gráfico da letra c representa uma função de +* em .

O gráfico da letra d representa uma função de em +.

O gráfico da letra e não representa uma função.

(FUVEST-SP)2. A figura abaixo representa o gráfico de

uma função da forma

3.x1–paracbxax

f(x) ≤≤++

=

3.x1–paracbxax

f(x) ≤≤++

=

•••

•

•

y

x

– 1

– 1

– 3

1

2 3

1/5

–1/3

Pode-se concluir que o valor de b é:

-2a)

-1b)

0c)

1d)

2e)

Solução: ` D

A análise do gráfico mostra que os pontos (–1, – 3); (0, –1) e (2, 0) pertencem à função. Assim,

2 af ( 2 ,0 ) 0 a 2

b.2 c0 a

f ( 0 , 1) 1 c 2b.0 c

1 2f ( 1, 3 ) 3 b 1

b.( 1) 2

+= = ⇒ = −

++

− = = − ⇒ =+− −

− − = = − ⇒ =− +

(PUC-RS) O domínio da função real dada por3. 4–x

x1f(x)

+ = é:

{xa) ∈Rx > –1 e x < 4}

{xb) ∈Rx < –1 ou x ≥ 4}

{xc) ∈Rx ≥ –1 e x ≤ 4}

{xd) ∈Rx ≤ –1 ou x > 4}

{xe) ∈Rx ≥ –1 e x < 4}

Solução: ` D

O domínio da função é o maior subconjunto dos reais para o qual a função é definida. Nesse caso, a expressão, sobre a raiz de índice par, deve ser não-negativa e o denominador não pode ser nulo.

O diagrama a seguir mostra a variação do espaço em 4. função do tempo referente a um ponto material. De-termine:

t (s)

S (m)

6

4

0 2 6 8

o espaço inicial do movimento;a)

o instante em que o ponto material atinge o b) marco zero;

o intervalo de tempo durante o qual a veoci-c) dade do móvel é positiva;

o intervalo de tempo durante o qual a veloci-d) dade do móvel é negativa;

o intervalo de tempo durante o qual o móvel e) se encontra em repouso.


9EM

_V_M

AT

_004

Solução: `

O espaço inicial é a posição em t = 0s, ou seja, a) s(0)= 4 m.

O instante no qual a posição do ponto material é b) zero, o que ocorre quando t = 8 s.

Velocidade do móvel é positiva quando o espaço c) aumenta com o tempo, ou seja, quando a função é crescente; isso ocorre entre 0 s e 2 s.

A velocidade do móvel é negativa quando o espaço d) diminui com o tempo, ou seja, quando a função é crescente; isso ocorre entre 0 s e 2 s.

O móvel está em repouso quando o valor do espaço e) não se altera, isto é, quando a função permanece constante; isso ocorre entre 2 s e 6 s.

(PUC SP) Se 5. x–1

1f(x)= , então (fo(fof)) (x) é igual a:

2xa)

3xb)

4xc)

xd)

-xe)

Solução: ` D

(fo (fof) (x) = f (f (f (x) ) ) = f (f ( 11 – x

) )=

f 1

11-

1 - x =

f (1 – x– x

) = 11 – x– x

= x1-

(CESGRANRIO) Seja f: x6. → f(x) a função cujo grá-fico é:

y

0 x

O gráfico que mais bem representa a função inversa f−1: x → f−1(x) é:

a)

x

y

0

b)

y

0 x

c)

y

x0

d)

xy0

e)

y

x0

Solução: ` E

Basta observarmos o gráfico da função original e procurar dentre as opções um gráfico que seja simétrico a ele em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

O melhor gráfico é o da opção E.

A função c (x) = 5. 7. x – 32

9 pode ser usada para a

conversão de uma temperatura x na escala Fahrenheit para uma temperatura na escala Celsius. A função k (x) = x + 273 pode ser utilizada para a conversão de uma temperatura x na escala Celsius para uma temperatura na escala Kelvin. Obtenha uma expressão para a conversão direta da escala Fahrenheit para a escala Kelvin. Qual a temperatura em que essas duas escalas fornecem o mesmo valor numérico?

Solução: `

Basta efetuar a composição das funções.

K(c(x)) = K 5. x – 329

= 5. x – 329

+ 273 = 5x + 2297

9

Para que as duas temperaturas sejam iguais, devemos fazer

K(c(x)) = x ⇒ 5x + 22979

= x ⇒ x = 547,25° F = 547,25 k

(UERJ-1998) A promoção de uma mercadoria em um 8. supermercado está representada, no gráfico abaixo, por seis pontos de uma mesma reta.


10 EM

_V_M

AT

_004

••

••

••

150

50

5 20 30 quantidade de unidades compradas

valor total da compra (R$)

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:

4,50a)

5,00b)

5,50c)

6,00d)

Solução: ` A

O valor total da compra f(x) está associado à quantidade de unidades compradas x por uma reta. Assim,

f(x) = ax + b

Os pontos (5, 150) e (30, 50) pertencem à reta, então

f(5) = 150 ⇒ 5a + b = 150

f(30) = 50 ⇒ 30a + b = 50

Subtraindo a primeira equação da segunda:

25a = –100 ⇔ a = –4

5 (–4) + b = 150 ⇔ b = 170

Logo, f(x) = –4x + 170

Numa compra de 20 unidades, tem-se x = 20 e o valor da compra f(20) = –4 ⋅ 20 + 170 = 90. O valor por unidade será então 90/20 = 4,5.

(UNICAMP 1992) Calcule a e b positivos na equação 9. da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3, 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual a 6.

Solução: ` a = 1 e b = 3.

Os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados são os pontos para os quais x = 0 e y = 0.

x = 0 ⇒ a ⋅ 0 + by = 6 ⇒ y = 6/b

y = 0 ⇒ ax + b ⋅ 0 = 6 ⇒ x = 6/a

Como mostrado no gráfico a seguir.

a

6

b

6

0 x

y

A área do triângulo é 62a6.

b6

= , logo a ⋅ b = 3.

A reta passa pelo ponto (3, 1), daí 3a + b = 6 ⇒ b = 6 – 3a

Substituindo a expressão de b na equação anterior.

a⋅(6 – 3a) = 3 ⇒ a2 – 2a + 1 = 0 ⇒ ⇒ a = 1 e

b = 6 – 3 ⋅ 1 = 3

(UFJF 2000) O esboço de gráfico abaixo mostra a tem-10. peratura de uma região de 3h da madrugada até às 9h da manhã do mesmo dia.

y

x3

–5

10

0 9

Determine o horário em que a temperatura atingiu a) 0º C.

Determine o tempo em que a temperatura perma-b) neceu negativa.

Determine o tempo em que a temperatura perma-c) neceu positiva.

Solução: `

A reta passa pelos pontos (3, –5) e (9, 10). Supondo a) que a equação da reta seja f(x) = ax + b, tem-se:

f(3) = 3a + b = –5

f(9) = 9a + b = 10

Fazendo a segunda equação menos a primeira.

6a = 15 ⇒ a = 52

3 ⋅ (5/2) + b = –5 ⇒ b = – 252

Logo, f (x) = 52

x –252


11EM

_V_M

AT

_004

O horário em que a temperatura atingiu 0º C é o valor de x tal que f(x) = 0.

f (x) = 52 x – 25

2 = 0 ⇒ x = 5

Logo, a temperatura atingiu 0ºC às 5h.

A temperatura permaneceu negativa para 3 b) ≤ x < 5, ou seja, durante 2h.

A temperatura permaneceu positiva para 5 < x c) ≤ 9, ou seja, durante 4h.

(UNICAMP - 1999) A troposfera, que é a primeira 11. camada da atmosfera, estende-se do nível do mar até a altitude de 40 000 pés; nela, a temperatura diminui 2º C a cada aumento de 1 000 pés na altitude. Suponha que em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura seja de 20ºC. Pergunta-se:

Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura a) é de 0ºC?

Qual é a temperatura a 35 000 pés acima do mesmo b) ponto A?

Solução: `

Como a taxa de variação é constante, a temperatura f(x) pode ser relacionada com a altura x por uma função do 1º grau.

f(x) = ax + b

temperatura ao nível do mar é 20ºC ⇒ f(0) = b = 20 a temperatura diminui 2º a cada aumento de 1 000 pés:

⇒ a = ∆y∆x

= –2

1000 = –1

500

Logo, f (x) –x

500 + 20

Deve-se encontrar x tal que f(x) = 0a)

f (x) –x

500 + 20 = 0 ⇒

–x500 = –20 ⇒ x = 10 000

Resposta: A temperatura é de 0ºC a 10 000 pés.

Deve-se obter o valor da função para x = 35 000b)

f (35000) = –35 000500

+ 20 = –50

A temperatura é –50ºC.

(UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram 1. ao Maracanã 90 000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais três portões e o fluxo constante de

pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo:

12 15 17 horário

n.° de pessoas

45 000

30 000

90 000

Quando o número de torcedores atingiu 45 000, o relógio estava marcando 15 horas e:

20min.a)

30min.b)

40min.c)

50min.d)

(UERJ) A estatura de um adulto do sexo feminino pode 2. ser estimada, através das alturas de seus pais, pela expressão:

(y - 13) + x2

Considere que x é a altura da mãe e y a do pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5cm da altura estimada, obtém-se, respectivamente, as alturas máxima ou mínima que a filha adulta pode atingir. Segundo essa fórmula, se João tem 1,72m de altura e sua esposa tem 1,64m, sua filha medirá, no máximo:

1,70ma)

1,71mb)

1,72mc)

1,73md)

(UERJ) A velocidade angular W de um móvel é inversa-3. mente proporcional ao tempo T e pode ser representada pelo gráfico abaixo.

2

w (radianos/segundo)

0,5

T (segundo)


12 EM

_V_M

AT

_004

Quando W é igual a 0,8π rad/s, T, em segundos, cor-responde a:

2,1a)

2,3b)

2,5c)

2,7d)

(UERJ) Uma panela, contendo um bloco de gelo a −40º 4. C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real:

20x – 40 se 0 ≤ x < 2

0 se 2 ≤ x ≤ 10

10x – 100 se 10 < x ≤ 20

100 se 20 < x ≤ 40

T(x) =

O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50º C, em minutos, equivale a:

4,5a)

9,0b)

15,0c)

30,0d)

(UFRJ 2002) Considere as funções polinomiais 5. f, g e h, cujos gráficos são dados a seguir.

x–5 –3 –2 –1

–4

y

01 2 3

4 5

–2

–4

–6

2

4

6h

f

g

Determine os valores reais de x no intervalo [-5, 5] para os quais valem as desigualdades: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

(UFRJ) Dada a função f: R6. → R definida por:

x3 – 4x se x ≤1

2x – 5 se x > 1f(x) =

determine os zeros de f.

(PUC-RJ) A função 7. :

é sempre positiva.a)

pode assumir qualquer valor real.b)

pode assumir o valor 1/3.c)

pode assumir o valor −1/6.d)

pode assumir o valor 1/2.e)

(PUC-RJ) Dada a função f(x) = (x + 1)⋅(x8. 2 – x + 1), deter-mine:

f(−1) e f(0)a)

Ache as soluções reais da equação f(x) = 9b)

(U9. FF) Determine o domínio da função real da variável

real f, definida por f(x) = x2 - 4x + 3

4 x - 1

(10. UFF) Classifique cada afirmativa abaixo, em verdadeira ou falsa, justificando.

∀ )( x ∈ R, x < 0, -x sempre existe em R.

∀ )( x ∈ R, log (–x) não existe em R.

∀ )( x ∈ R, se (x – a)2 = (x – b)2 então a = b.

∀ )( x ∈ R, 2–x < 0.

∀ )( x ∈ R, sen x ≤ 1.

(UFF) Considere o11. polinômio p(x) = x3 – 3x + 2 e a fun-ção real de variável real f definida por .

Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o domínio de f sob a forma de intervalo.

(UFF) O gráfico da função f está representado na figura:12.

Sobre a função f é falso afirmar que:

f(1) + f(2) = f(3)a)

f(2) = f(7)b)

f(3) = 3f(1)c)

f(4) – f(3) = f(1)d)

f(2) + f(3) = f(5)e)

(UERJ) Nicole pediu a seu irmão João que pensasse 13. em um número e efetuasse as seguintes operações, nesta ordem:

multiplicar o número pensado por 5;1.° )

adicionar 6 ao resultado;2.° )

multiplicar a soma obtida por 4;3.° )

adicionar 9 ao produto;4.° )

multiplicar a nova soma por 5.5.° )


13EM

_V_M

AT

_004

João comunicou que o resultado é igual a K.

As operações que Nicole deve efetuar com K, para “adivinhar” o número pensado, equivalem às da seguinte expressão:

(K – 165) : 100a)

(K – 75) : 100b)

K : 100 + 165c)

(K + 165) : 100d)

(UERJ) Considere a função f:14.

2

Determine suas raízes.a)

Calcule b)

(UFF) Considere as funções reais de variável real 15. f e g definidas por f(x) = 3x +1 e g(x) = −2x −2. Deter-mine:

a função h = fog;a)

as inversas de f e g.b)

(UFF) Considere as funções reais bijetivas 16. f e g tais que:

x f(x) g(x)−1 1 20 2 11 0 −12 −1 0

Determine, justificando, os valores de:

(f o g) (1)a)

(g o f b) –1) (2)

(f c) –1 o g–1) (-1)

(f d) –1 o g) (2)

(UFF) Dada a função real de variável real 17. f tal que f (2x + 1) =

x2 - 1 2x , x ≠ 1 e x ≠ –1, determine:

a expressão de f(x);a)

o domínio da função f.b)

(UFF) Sejam T: M 18. → M e S: M → M as funções repre-sentadas a seguir.

Com respeito à função composta ToS, tem-se:

ToS(3) = S(3)a)

ToS(1) = S(3)b)

ToS(3) = T(2)c)

ToS(2) = T(1)d)

ToS(4) = ToS(1)e)

(UFF) Dada a função real de variável real 19. f, definida por:

f(x) = x + 1

x - 1, x ≠ 1:

determine (fof) (x);a)

escreva uma expressão para f b) –1(x).

(UFF) Considere 20. f e g funções reais de variável real, definidas por f(x) = e g (x) = log (1– x).

Determine o domínio de f.a)

Defina a inversa de g.b)

(UFCE) . Seja 21. f uma função real de variável real definida por f(x) = x2 + c, c > 0 e c ∈ R, cujo gráfico é

y

x

(0, c)

x2

Então o gráfico que melhor representa f(x + 1) é:

a)

y

x


14 EM

_V_M

AT

_004

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

(UNIRIO) Considere as funções:22.

f: R R

x y = x −3

g: R R

x y = 2x

h: R R

x y = x

Determine o conjunto-imagem da função fogoh.

(UNESP) Dadas as funções f(x) = x23. 2 + 2x +1 e g(x) = x −1,

encontre a função composta (fog) (x);a)

resolva a equação: (fog) (y) = 0, onde y = cos x.b)

(FATEC) Um pai dividiu a quantia de R$750,00 entre seus 24. três filhos. A quantia recebida por Carlos correspondeu a 10/7 da recebida por André e esta correspondeu a 7/8 da recebida por Bruno. É verdade que:

Carlos recebeu R$60,00 a mais que Bruno.a)

André recebeu R$100,00 a menos que Carlos.b)

Bruno recebeu R$70,00 a menos que Carlos.c)

Carlos recebeu R$100,00 a mais que André.d)

André recebeu R$40,00 a menos que Bruno.e)

(UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupa-25. das. Algumas, por quatro pessoas; outras, por apenas duas pessoas, num total de 38 fregueses.

O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas é:

4a)

5b)

6c)

7d)

(UERJ) O Real Enferrujou26.

“[...] as moedas de 1 e 5 centavos oxidam antes do previsto [...] Até agora, apenas 116 milhões entre os sete bilhões de moedas em circulação têm nova roupagem lançada pelo governo no dia 1.º julho [...]” (ISTOÉ, 09 set. 1998)

Desses 116 milhões de moedas, metade é de R$0,50, a metade do número restante é de R$0,10, a metade do que sobrou é de R$0,05 e as últimas moedas são de R$0,01. O total de moedas de R$0,01 corresponde, em reais, a:

14.500,00a)

29.000,00b)

145.000,00c)

290.000,00d)

(UERJ) Observe o gráfico:27. P

rod

uct

Aud

it/E

xpan

d.

Se o consumo de vinho branco alemão, entre 1994 e 1998, sofreu um decréscimo linear, o volume total desse consumo em 1995, em milhões de litros, corresponde a:

6,585a)

6,955b)


15EM

_V_M

AT

_004

7,575c)

7,875d)

(UENF) Um tanque com capacidade para 1 200 litros 28. de água tem um furo no fundo por onde a água escoa a uma razão constante. Considere V o volume do tan-que, em litros, e t o tempo de escoamento, em horas, relacionados pela equação: V = 1 200 – 12t

Estando o tanque totalmente cheio, calcule:

o volume de água no tanque, após 30 horas de esco-a) amento;

o tempo necessário para que ele se esvazie total-b) mente.

(UENF) Nos jogos válidos por um campeonato de 29. futebol, cada vitória dá ao time três pontos, enquanto cada empate vale um ponto. Se perder, o time não ganha pontos. Um jornal publicou uma tabela com a classifica-ção dos três melhores times. Entretanto, dois números da tabela não puderam ser identificados, sendo substituídos pelas letras x e y, conforme é mostrado abaixo:

TimePontos ganhos

n.º de vitórias

n.º de empates

Corinthians 24 8 0

Flamengo x 6 0

Atlético 16 y 1

Calcule o valor de:

x;a)

y.b)

(UENF) Um atleta está treinando em uma pista reti-30. línea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu movimento.

4

2

V (m/s)

0 5 10 t (s)

A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado. Calcule essa distância.

(UENF) O gráfico a seguir representa, em bilhões de 31. dólares, a queda das reservas internacionais de um determinado país no período de julho de 2000 a abril de 2002.

35,6

22

12bilh

ões

de d

ólar

es

julho

2000

junho

2001

abril

2002

(Veja, 01 mai. 2002. Adaptado)

Admita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio de 2001.

(UERJ) A função que descreve a dependência temporal 32. da posição S de um ponto material é representada pelo gráfico abaixo.

s(m)

t(s)

1284

0–4

1 2 3 4 5

Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo S = A + Bt + Ct2 , os valores numéricos das constantes A, B e C são, respectivamente:

0, 12, 4a)

0, 12, 4b)

12, 4, 0c)

12, –4 , 0d)

(UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingres-33. sos ganhos para um show. Se cada um de seus filhos ganhar quatro ingressos, sobrarão cinco ingressos; se cada um ganhar seis ingressos, ficarão faltando cinco ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o nú-mero total de ingressos correspondente a:

15a)

25b)

29c)

34d)

(UFRJ) João, Pedro e Maria se encontraram para bater 34. papo em um bar. João e Pedro trouxeram R$50,00 cada um, enquanto Maria chegou com menos dinheiro. Pedro, muito generoso, deu parte do que tinha para Maria, de forma que os dois ficaram com a mesma quantia. A


16 EM

_V_M

AT

_004

seguir, João resolveu também repartir o que tinha com Maria, de modo que ambos ficassem com a mesma quantia. No final, Pedro acabou com R$4,00 a menos do que os outros dois. Determine quanto Maria possuía quando chegou ao encontro.

(PUC-RJ) João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro 35. possui. Em seguida, Pedro dá a João tantos reais quanto João possui. Se terminaram com R$180,00 cada um, quantos reais cada um deles possuía inicialmente?

João possuía R$100,00 e Pedro R$80,00.a)

João possuía R$200,00 e Pedro R$225,00.b)

João possuía R$135,00 e Pedro R$280,00.c)

João possuía R$225,00 e Pedro R$135,00.d)

João possuía R$100,00 e Pedro R$135,00.e)

(UFF) Na figura a seguir estão representadas as retas 36. r e s.

Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e que OP mede 5 cm, a equação de r é:

y = 3/4xa)

y = 4/3xb)

y = 5/3xc)

y = 3 xd)

y = 5 xe)

(UFF) As empresas Alfa e Beta alugam televisores do 37. mesmo tipo. A empresa Alfa cobra R$35,00 fixos pelos primeiros 30 dias de uso e R$1,00 por dia extra. A em-presa Beta cobra R$15,00 pelos primeiros 20 dias de uso e R$1,50 por dia extra. Após n dias o valor cobrado pela empresa Beta passa a ser maior do que o cobrado pela empresa Alfa. O valor de n é:

25a)

35b)

40c)

45d)

50e)

(UNIRIO) Saiu na Veja, em 2003 “A conta do GNV – 38. Quanto vale converter seu carro para o gás natural.

Calcule o gasto de combustível de seu carro por 1) quilômetro. Se ele faz 10km por litro de gasolina, e o litro custa 2 reais, o gasto é de 20 centavos por quilômetro.

A grosso modo, um metro cúbico de gás natural 2) rende quilometragem 20% superior à de 1 litro de gasolina e 40% acima da obtida com 1 litro de álco-ol. Portanto, com GNV o carro do item 1 fará 12 qui-lômetros por metro cúbico a 1 real o metro cúbico, esse veículo gastará 8 centavos por quilômetro.”

Se você pagar R$2.100,00 para fazer a conversão do seu automóvel para GNV, a economia será feita a partir da seguinte quilometragem.

18 000kma)

17 500kmb)

17 000kmc)

16 500kmd)

16 000kme)

(UERJ) Considere a função f, definida para todo x real 1. positivo, e seu respectivo gráfico.

y

x0 a b 3a 3b

f(x) = 1

x

Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b, f(b)) é igual a 0,2.

Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)).

(UFF) Determine o domínio da função de variável real 2. f

definida por −

=−

2( x 1)

1f(x)

1 10(UFJF) A figura a seguir representa, no plano cartesiano, 3. o gráfico de uma função y = f(x) definida no intervalo [-2,5].


17EM

_V_M

AT

_004

Com base neste gráfico, é incorreto afirmar que:

y

4321

0–1

1 2 3 4 5–1–2

x

f(4) > f(5).a)

o conjunto imagem de f contém o intervalo [−1, 4].b)

f(x) < 0 se −2c) ≤ x ≤ 0.

f(f(1)) = 0.d)

o conjunto {xe) ∈ [−2, 5] f(x) = 3} possui exata-mente dois elementos.

(UNIRIO) Considere a função real f : A4. → R, onde R denota o conjunto dos números reais, cujo gráfico é apresentado a seguir, sendo o eixo das ordenadas e a reta de equação y = 3, assíntotas da curva que representa f : x → y = f(x).

y

x

3

0

Determine o domínio e o conjunto-imagem de f.a)

Esboce o gráfico da função g: Bb) → R; x → y = f(x −2) −4

(UNIRIO) Seja f a função real na variável x definida por 5. + −

=+ − −

1 x + 1 xf(x)

1 x 1 x

Determine o domínio de definição D da função.a)

Mostre que, para todo xb) ∈ D, tem-se

+ +=

+

21 1 x f(x)

1 x

(UFF) Considere a função real de variável real f e a fun-6.

ção g tal que Dom(g) = [–1,4] e g (x) = f (2x) – 1.

O gráfico de g é representado na figura a seguir.

Pede-se:

a expressão que define g;a)

a imagem de g;b)

a expressão que define f no intervalo [0,4].c)

(UFF) Para a função f: N*7. → N*, que a cada número natural não-nulo associa o seu número de divisores positivos, considere as afirmativas:

existe um natural não-nulo n tal que f(n) = n.I.

f é crescente.II.

f não é injetiva.III.

Assinale a opção que contém a(s) afirmativa(s) correta(s):

apenas II.a)

apenas I e III.b)

I, II e III.c)

apenas I.d)

apenas I e II.e)

(UFF) Uma função real de variável real 8. f é tal que = π

1f

2

e f(x +1) = x f(x) para todo x ∈ R. O valor

de f(7/2) é:

πa)

7b) π

π

2c)

15 π

8d)

7 π

15e)


18 EM

_V_M

AT

_004(UNESP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade 10. X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas), a distância que falta para percorrer até o destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D, definida por:

D(t) = 4 2

t 71

t 1+ − +

Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:

40kma)

60kmb)

80kmc)

100kmd)

120kme)

(UFF) Sejam 11. f e g funções reais de uma variável real dadas por

3x + 4 , se x ≥ 1 x2 + 1 , se x > 3f(x) e g(x) 5x + 2 , se x < 1 5x - 5 , se x ≤ 3

Pede-se:

g[f(2)]a)

fb) −1[g(0)]

(UFJF ) Responda aos itens I e II, observando os gráficos 12. das duas funções f e g de R em R, respectivamente, do 1.º e 2.º graus, representados abaixo.

y

x

f

g

Sobre a função h = f + g de R em R, definida por I. h(x) = f(x) + g(x), é correto afirmar que:

possui ponto de máximo.a)

possui ponto de mínimo.b)

é uma função crescente.c)

é uma função decrescente.d)

é uma função constante.e)

Sobre a função h = fog de R em R, definida por h(x) II. = f(g(x)), é correto afirmar que:

possui ponto de máximo.a)

possui ponto de mínimo.b)

é uma função crescente. c)

é uma função decrescente.d)

é uma função constante.e)

(UFF) Considere as funções reais 13. f, g e h definidas por f(x) = log2 x 2 , g(x) = log2 x e h(x) = log 2/3 x. Determine o valor de h (g (f(4))).

(UFCE) Considere a função f(x) = 14. cx

dx + 3 definida para

todo número real x tal que dx + 3 0, onde c e d são

constantes reais. Sabendo que f(f(x)) = x e f(5)(3) = f(f(f(f(f(3))))) = –3/5, podemos afirmar que c2 +d2 é igual a:

(UFF) Na figura, o ponto R representa a localização, 9. à beira-mar, de uma usina que capta e trata o esgoto de certa região. Com o objetivo de lançar o esgoto tratado no ponto T, uma tubulação RQT deverá ser construída.

800 m

2 km

Q Rcais

T

Px

O ponto T situa-se a 800m do cais, em frente ao ponto P, que dista 2km de R, conforme ilustração acima.

O custo da tubulação usada no trajeto retilíneo RQ, subterrâneo ao longo do cais, é de 100 reais por quilômetro, e o custo da tubulação usada na continuação QT, também retilínea, porém submarina, é de 180 reais por quilômetro.

Sendo x a medida de PQ, a função f que expressa o custo, em real, da tubulação RQT em termos de x, em quilômetro, é dada por:

f(x) = 2 – x + a) 800 + x

f(x) = 200 – 100x + 180 b) 0,64 + x2

f(x) = c) 0,64 + x2 + x2 + x

f(x) = 200 + d) 0,64 + x2

f(x) = 200 – 100x + 0,8xe) 2


19EM

_V_M

AT

_004

5a)

25b)

61c)

113d)

181e)

(UFF) Considere a função f definida por 15. 4x , | x | < 4 f(x) = Pede-se:

x3 , | x | ≥ 4

f(0);a)

(fof) (–2);b)

o valor de m tal que f(m) = –125;c)

f d) –1 (1/4).

(UFMG) Nesta figura, está representado o gráfico da 16. função y = f(x), cujo domínio é o conjunto {x ∈ R: –6 ≤ x ≤ 6} e cuja imagem é o conjunto {y ∈ R: -2 ≤ y ≤ 3}:

y

x1

3

24

60

-2

-3

-6

Sendo g(x) = f(x) +2 e h(x) = f(x +2),

1. Determine g(0) e h(0).

2. Esboce o gráfico de:

y = g(x)a)

y = h(x)b)

3. Determine os domínios das funções g e h.

(UFRN) Uma calculadora apresentava, em sua tela, o 17. resultado da soma dos gastos do mês realizados por um pai “coruja” que permitiu a seu filho apertar algu-mas teclas, alterando esse resultado. O pai observou

que o menino havia apertado as teclas , + ,

1 e , nessa ordem e uma única vez.

Para recuperar o resultado que estava na tela, o pai deverá apertar as teclas

x2a) , 1 , - e x2 .

x2b) , - , 1 e x2 .

x2c) , + , 1 e x2 .

x2d) , 1 , + e x2 .

(UNIRIO) Sob pressão constante, conclui-se que 18. o volume V, em litros, de um gás e a temperatura T, em graus Celsius, estão relacionados por meio da equação:

V = Vo + Vo

273 T ,

onde Vo denota o volume do gás a 0ºC. Assim, a expressão que define a temperatura como função do volume V é:

Vo

273T = V – Voa)

V – Vo

273 Vo

T =b)

273V – Vo

Vo

T =c)

V – 273Vo

Vo

T =d)

V – Vo

Vo

T = 273e)

(ITA) Sejam f, g: R 19. R definidas por f(x) = x3 e g(x) = 103⋅cos 5x. Podemos afirmar que

f é injetora e par e g é ímpar.a)

g é sobrejetora e gof é par.b)

f é bijetora e gof é ímpar.c)

g é par e gof é ímpar.d)

f é ímpar e gof é par.e)

(UFF) Considere as retas 20. r, s e t cujas equações são, respectivamente, x/p + y = 1, x – py = p e 2x + 3y = 6, com p ≠ 0.

Determine:

o valor de a) p para o qual r, s e t interceptam-se em um único ponto M;

as coordenadas do ponto de interseção M.b)

(UFF) Com relação ao triângulo ABC sabe-se que:21.

o ponto A pertence ao eixo das abscissas; •

o ponto B pertence ao eixo das ordenadas; •


20 EM

_V_M

AT

_004

a equação da reta que contém os pontos A e C é x + •y + 5 = 0;

a equação da reta que contém os pontos B e C é 2x – •y – 2 = 0.

Determine as coordenadas dos pontos A, B e C.

(UFF) Um motorista de táxi cobra, em cada corrida, o va-22. lor fixo de R$3,20 mais R$0,80 por quilômetro rodado.

Indicando por a) x o número de quilômetros rodados e por P o preço a pagar pela corrida, escreva a ex-pressão que relaciona P com x.

Determine o número máximo de quilômetros roda-b) dos para que, em uma corrida, o preço a ser pago não ultrapasse R$120,00.

(UFF) Um restaurante cobra, no almoço, até as 16h, o preço 23. fixo de R$15,00 por pessoa. Após as 16 h, esse valor cai para R$12,00. Em determinado dia, 50 pessoas almoçaram no restaurante, sendo x o número de pessoas que almo-çaram até as 16h. Sabendo que o custo de um almoço é R$ 8,00 por pessoas e o lucro obtido pelo restaurante naquele dia foi maior que R$250,00 e menor que R$300,00, determine o menor e maior valor possível de x.

(UFF) Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros 24. de água, começa a receber água a uma razão constante de três litros por segundo, ao mesmo tempo que uma torneira deixa escoar água desse reservatório a uma razão, também constante, de um litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o reservatório começou a receber água, de-termine:

o volume de água no reservatório decorridos dez a) segundos (t = 10) a partir do instante inicial;

uma expressão para o volume (V), em litro, de água b) no reservatório em função do tempo decorrido (t), em segundo, a partir do instante inicial.

(UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três 25. opções de pagamento:

Opção I: R$40,00 de taxa de adesão anual, mais a) R$1,20 por DVD alugado.

Opção II: R$20,00 de taxa de adesão anual, mais b) R$2,00 por DVD alugado.

Opção III: R$3,00 por DVD alugado, sem taxa de c) adesão.

Um cliente escolheu a opção II e gastou R$56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique a sua resposta.

(UFRJ) Maria faz hoje 44 anos e tem dado um duro 26. danado para sustentar suas três filhas: Marina, de 10 anos; Marisa, de 8 anos; e Mara, de 2 anos. Maria decidiu que fará uma viagem ao Nordeste para visitar

seus pais, no dia do seu aniversário, quando sua idade for igual à soma das idades de suas três filhas. Com que idade Maria pretende fazer a viagem?

(UFF) A reta r contém o ponto P( −5, 0), tem coeficiente 27. angular negativo e forma, com os eixos coordenados, um triângulo de área igual a 20. Determine a equação de r.

(UFF) Um grande poluente produzido pela queima 28. de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista “Science” em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2, estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico abaixo: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura.

C0 100 700

97115

N

Com base nos dados apresentados, a relação entre N e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por:

N = 100 – 700Ca)

N = 94 + 0,03Cb)

N = 97 + 0,03Cc)

N = 115 – 94Cd)

N = 97 + 600Ce)


21EM

_V_M

AT

_004

B1.

A2.

C3.

C4.

x5. ∈ [0, 1] ∪ [3, 5]

–2, 0 e 5/26.

C7.

8.

f(-1) = 0 ea) f(0) = 1

2b)

Df = {x9. ∈ R x ≥ 3}

V, F, V, F, V10.

Dom f = (– 2, 1)11. ∪ (1, + ∞)

E 12.

A 13.

14.

0 ea) 3 3

8b)

15.

h(x) = –6x – 5a)

1 1x 1 x 2f (x) e g (x)

3 2− −− − −

= =b)

16.

1a)

–1b)

1c)

1d)

17.

2

2(x 1)f(x)

x 2x 3

−=

− −a)

D(f) = {xb) ∈ R x < −1 ou x > 3}


22 EM

_V_M

AT

_004

C18.

19.

x a)

1 x 1f (x)

x 1− +

=−

b)

20.

Df = { xa) ∈ R x ≥ 1/2}

gb) –1 (x) = 1 –10x

B21.

Im (fogoh) = [ -3; + 22. ∞ [

23.

(fog) (x) = xa) 2

S {x | x k , k Z}2π

= = + π ∈b)

A24.

B25.

C26.

D27.

28.

840a)

100 horas.b)

29.

18a)

5b)

12,5m.30.

24,26 bilhões de dólares.31.

D32.

B33.

R$34,00.34.

D35.

B36.

C37.

B38.

0,21.

Df = {x2. ∈ R –1 < x < 1}

D3.

4.

D(f) = R* e Im(f) = R −{3}a)

Gráfico.b)

y

x0 2–1

5.

D(f) = {xa) ∈ R −1 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 1}

Demonstração.b)

Basta racionalizar a expressão de f.

2 2

2 2

( 1 x + 1 x ) 1 1 xf(x)

x( 1 x ) ( 1 x )

+ − + −= =

+ + −

6.

x, 1 x 0

0, 0 x 1g(x)

2x 2, 1 x 2

2, 2 x 4

− − ≤ < ≤ <= − ≤ < ≤ ≤

a)

b) [0,2]

c) 1, 0 x 2f(x)

x 1 , 2 x 4

≤ < − ≤ ≤

B7.

D8.

B9.

C10.

11.

101a)

–7/5b)

12.

bI)

aII)

–113.

B14.


23EM

_V_M

AT

_004

15.

0a)

–512b)

–5c)

1/16d)

(1.) g(0) = 2 e h(0) = −2 16.

(2.)

a)

x

g(x)

2 6-3

3

-6

5

b)

-8-5

-2

X

h (x)

1

3

4

(3.)

D(g) = {x R: −6 ≤ x ≤6} e D(h) = {x R: −8 ≤ x ≤ 4}

B17.

E18.

E19.

20.

p = 3a)

(3, 0)b)

21.

A (–5, 0)

B (0, –2)

C (–1, –4)

22.

P = 3,20 +0,80xa)

146km.b)

O menor valor possível para x é 17 e o maior valor pos-23. sível para x é 33.

24.

420 litros.a)

V(t) = 400 +2tb)

Não, a melhor opção seria a opção III.25.

56 anos.26.

y = (-8/5) x - 827.

B28.


24 EM

_V_M

AT

_004


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