matematica_-_etapa_4

5/11/2018 matematica_-_etapa_4 - slidepdf.com

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Fone: (0xx47) 3281-9000/3281-9090Home-page: www.uniasselvi.com.br

Curso de Nivelamento de MatemáticaCentro Universitário Leonardo da Vinci

OrganizaçãoCristiane Bonatti

Reitor da UNIASSELVIProf. Malcon Anderson Tafner

Pró-Reitor de Ensino de Graduação a DistânciaProf. Janes Fidélis Tomelin

Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a DistânciaProf. Hermínio Kloch

Diagramação e CapaDavi Schaefer Pasold

Revisão:

Diógenes SchweigertJosé RodriguesMarina Luciani Garcia

Todos os direitos reservados à Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVI

Fone/Fax: (47) 3281-9000/ 3281-9090

Copyright © Editora GRUPO UNIASSELVI 2011.

Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.



3

Copyright © Editora GRUPO UNIASSELVI 2011. Todos os direitos reservados.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equação é uma sentença matemática representada por

uma igualdade em que há pelo menos uma letra representandoum número desconhecido. Essa letra é chamada de incógnitaou variável. Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja, obter a solução ou a raizda equação.

Então, uma equação é do 1º grau quando apresentaapenas uma incógnita, quando pode ser escrita na forma:

ax = b, com a ≠ 0(zero).

Para entendermos o que é esse valor desconhecido,vamos pensar em uma situação bem simples, veja:

Exemplo:

Comprei 70 maçãs e custaram R$ 17,00. Quanto custacada maçã?

Nesse exemplo queremos saber quanto custou cadamaçã. Se fôssemos montar em equação, veja como ficaria:

esse símbolo (?) vai representar nossas maçãs.



4


70. ? = 17,00? = 17,00 ÷ 70

? ≅ 0,25

Isso quer dizer que cada maçã custou R$ 0,25.

Em uma equação, cada lado em relação ao sinalde igual é chamado de membro. Resolver uma equaçãoé determinar qual o valor da incógnita, ou seja, do valor desconhecido (x) da solução.

4x = 12

1º membro incógnita (x) 2º membro

Para a resolução da equação, podemos usar doisprincípios: princípio aditivo e princípio multiplicativo.

No princípio aditivo, a igualdade não se altera aoadicionarmos ou subtrairmos um mesmo número nos doismembros da equação.

No princípio multiplicativo, a igualdade se mantém aomultiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equaçãopelo mesmo número diferente de zero.



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Exemplos:

(a) Esse exemplo será resolvido através dos princípios citadosanteriormente

Vamos resolver a equação 2x + 3 = 6 e encontrar suasolução:

Primeiramente resolveremos essa equação peloprincípio da adição. Temos que verificar um elemento opostoao que temos para reduzir a equação; nesse caso, podemosverificar a existência do +3 – assim, seu oposto é -3 –, depois

de adicionarmos o -3, resolvemos as operações obtidas, ecom isso chegamos à forma da equação ax = b, agora

2x + 3 = 6 adicionamos (-3) a ambos os membros;2x + 3 – 3 = 6 – 3 resolvemos as subtrações.

2x = 3

x =

ou

2x . = 3 . se multiplicarmos ambos os termos por , quesignifica dividir os dois membros por 2;

x =

x =



6


x =

Portanto, x = é solução ou raiz da equação.

(b)

Vamos resolver a equação 7x - = 3x - 3 e encontrar suasolução:

Adicionamos (-3x) a ambos os membros da equação, para

satisfazer o princípio da adição onde podemos, com isso,cancelar um dos termos.

7x - 3x - = 3x - 3x - 3 resolve-se os termos semelhantes

4x - = - 3

agora adicionamos (+

) em ambos

os membros

4x - + = - 3 + resolve-se os termos semelhantes

4x = -3 +multiplicamos os dois membros por ¼(princípio multiplicativo) que equivale

dividir os dois membros por 4

4x . ¼ = -3 + . ¼

x =



7


Portanto, x = , é a solução ou raiz dessa equação.

(c)

Vamos resolver a equação 2(x + 3) = 2 - 4(2 + x) + 4 e encontrar sua solução:

Eliminamos os parênteses usando a propriedade distributiva;2x + 6 = 2 – 8 – 4x + 4 adicionamos (-6) a ambos os

membros2x + 6 – 6 = 2 – 8 – 4x + 4 – 6 agora adicionamos + x em ambos

os membros

2x + 4x = 2 – 8 – 4x + 4x + 4 – 66x = 2 – 8 + 4 – 6

6x = -8

x = dividimos ambos os membros por 2, equivale amultiplicá-lo por

x =

Portanto, é solução ou raiz da equação.

(d)

Vamos resolver a equação e encontrar sua solução:



8


reduzimos todos os termos ao

mesmo denominador

multiplicamos a equaçãopor 8, eliminando

os denominadores

2(x – 1) – 4(2x + 1) = 2x – 2 – 3 agora o procedimento é omesmo visto anteriormente

2x – 2 – 8x – 4 = 2x – 2 – 32x – 8x – 2x = – 2 – 3 + 2 + 4

- 8x = 1

- x = (-1) multiplicamos ambos os membros por -1

x = –

Assim, x = – é a solução da equação.

SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE ENVOLVEM ARESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMAVARIÁVEL

Dicas para obter sucesso no desenvolvimento da situação-

problema:



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• sempre leia com atenção a situação proposta e verifique oque se conhece e o que vai ser determinado, ou seja, vá

anotando o que o problema pede e os dados que ele traz;• sempre que você não souber o valor desconhecido,represente-o por uma letra minúscula;

• quando for montar a equação, use essa letra que vocêdeterminou;

• faça a prova real da situação para ver se o valor desconhecidoencontrado é o correto;• escreva a resposta do problema.



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Exemplo:

(a)(DANTE-2010 p. 129 nº 56) Francisca tinha certa quantiaem dinheiro e ganhou de sua mãe o dobro do que tinha. Comisso, cada uma ficou com R$ 186,00. Quanto de dinheiro tinhacada uma no início?

Prova Realx + 2x = 186 62 + 2.62 = 1863x = 186 62 + 124= 186

x = 186 = 186

x = 62

Francisca tinha no começo R$ 62,00 e sua mãe R$ 310,00

Porque, se Francisca tinha 62 e sua mãe lhe deu o dobro,que é 124, e agora as duas têm o mesmo valor, no início suamãe tinha 310 (124 + 186 = 310).

(b)

(DANTE-2010 p. 129 nº 49)Você conhece essa charada? O gavião chega ao pombal

e diz:- Adeus, minhas 100 Pombas! As pombas respondem em

coro:

- 100 pombas não somos nós; com mais dois tantos denós e com você, meu caro gavião, 100 pássaros seremos



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nós. Quantas pombas estavam no pombal?

Resolução:Veja: 100 é o total, quer dizer nossa igualdade.Com mais dois tantos de nós e com você: quer dizer:

não sabemos quanto vale esse quem somos nós, então eleé nosso valor desconhecido (x); como são mais dois tantos,

temos (2x) mais 1 do gavião.

Equação: x + 2x + 1 = 100

Resolvendo: vamos lembrar-nos das operações inversas

e dos princípios.x + 2x + 1 = 1003x = 100 – 13x = 99

x = x = 33 Resposta: Havia 33 pombas no pombal.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

São as equações que podem ser escritas na forma ax +by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

Alguns exemplos:

3x – 6y = 9 -4x + 3y = 6 x + 3m = 7 a – b = 15

12



12


Uma das maneiras de resolver a equação do 1º graucom duas incógnitas é através dos valores possíveisde x e y. Para isso montaremos uma tabela com essesvalores possíveis.

Veja: se tivermos a equação x + y = 6, iremos atribuir valores para x, assim acharemos valores para y.

x y x + y = 6 x y x+ y = 6

4 4 + y = 6 4 2 4+ y = 6

3 3 + y = 6 3 3 3+ y = 6

2 2+ y = 6 2 4 2+ y = 6

1 1+ y = 6 1 5 1+ y = 6

Os sistemas de equação não têm solução única parauma equação com duas incógnitas, mas, para os números

inteiros, têm.

13



13


Assim temos valores de x e y, as soluções da equaçãocom duas incógnitas podem ser representadas por pares

ordenados (x, y) e representados graficamente. Em relação àequação x = y = 6, os pares ordenados são (4,2), (3,3), (2,4),(1,5) e correspondem a algumas soluções.

Sendo assim, podemos atribuir infinitos valores para

x, obtendo infinitos pares ordenados. No plano cartesiano,esses pares ordenados são representados por pontos queconstituem uma reta.

Exemplo:

FIGURA 1: GRÁFICO WINPLOT DA EQUAÇÃO X + Y = 6 COM SEUS PARESORDENADOSFONTE: A autora

14



14


SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COMDUAS INCÓGNITAS

Demonstração através de uma situação-problema.

Em um sítio, temos galinhas e cachorros. Todavia, sósabemos que temos 11 cabeças e 36 pés. Quantas galinhas

e quantos cachorros há no sítio?

Para resolvermos esse problema, usamos o sistema deequação com duas incógnitas.

Iremos anotar os dados do problema, veja:

Sendo galinhas (x) e cachorros (y), representados por xe y, sabemos que são 11, e que as galinhas têm dois pés (2x)e os cachorros quatro (4x), totalizando 36 pés.

Com esses dados, podemos montar o sistema:

Isso ocorre porque as duas equações serão

satisfeitas ao mesmo tempo:Solução do Sistema

Os sistemas de equação não têm solução única para

uma equação com duas incógnitas, mas, sim, para osnúmeros inteiros.

15



15


Para resolvermos esses sistemas, existem duas maneiras:uma através do método da substituição e outra através

do método da adição.

Método da substituição

Exemplo:

1º passo: isolamos o primeiro membro de uma das equações.Nesse caso, pela primeira equaçãox + y = 11x = 11 – y isso quer dizer que o x agora vale 11 – y

2º passo: na outra equação, iremos substituir x por 11 – y.2x + 4y = 362(11 – y) + 4y = 36 veja: ao substituirmosxpor 11 – y,temos umaequação com uma incógnita;22 – 2y + 4y = 36 agora o procedimento é o mesmo visto

anteriormente-2y + 4y = 36 – 22

A solução do sistema é um par ordenado que satisfaçasimultaneamente as duas equações.

16



16


2y = 24

y =

y = 7

3º passo: como temos o valor de y, voltamos à primeira

equação para acharmos o valor de x.x = 11 – y Para tirarmos a prova real, é sóx = 11 – 7 substituir os valores na segundax = 4 para obtermos uma igualdade:

Veja: 2x + 4y = 36

2.4 + 4.7 = 368 + 28 = 3636 = 36

Resposta: No sítio temos 4 galinhas e 7 cachorros.

(b)Exemplo:

1º Isolamos uma das equações:5x + 4y = 125x = 12 – 4y

x = , temos uma fração na substituição do (x).

17



17


2º Substituição de x por na segunda equação:2x – y = 16

2. - y = 16 lembre das propriedades vistas

anteriormente, nesse caso primeira distributiva

- y = 16 reduzimos todos os termos aomesmo denominador

multiplicamos a equação por 5,

eliminando os denominadores

24 – 8y – 5y = 80

- 8y – 5y = 80 – 24- 13y = 56

- y = .(-1) multiplicamos ambos os membros

por – 1

y =

3º voltamos à primeira equação para encontrarmos o valor do

x, pois tempos que y = .

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x =

x =

x =

x =

x = =

x = A solução dessa equação x = e y = .

MÉTODO DA ADIÇÃO

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assim, poderemos cancelar o x pelométodo da adição.

Vamos utilizar o exemplo citado anteriormente das

galinhas e dos cachorros para você escolher qual a maneiraque achar mais conveniente para resolver.

Para resolvermos esse sistema, primeiramente temosque multiplicar uma das equações por um valor que cancele

um dos valores da segunda ou vice-versa. Nesse caso,iremos multiplicar todos os membros da primeira por (-2), poispara podermos cancelar um valor temos que nos lembrar dosnúmeros opostos.

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e, para encontrarmos o valor de x, é só substituir na equaçãoque não foi multiplicada. Nesse caso, a segunda equação:2x + 4y = 36 como y = 7

2x + 4.7 = 362x + 28 = 362x = 36 – 282x = 8

x = 2

8

x = 4

Solução x = 4 e y = 7; sendo assim, temos 4 galinhas e 7

cachorros, como visto anteriormente.

Gráfico ou geometricamente, a solução de um sistema deduas equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto deintersecção das duas retas, correspondentes às equações,

lembrando que a equação do 1º grau nos traz uma reta comosolução.

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FIGURA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ONDE X = 4 E Y = 7 PONTO DEINTERSECÇÃO DAS RETAS.FONTE: A autora

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INEQUAÇÕES

As desigualdades que contêm letras são chamadasde inequações. Essas inequações do 1º grau podem

ser escritas na forma ax > b ou ax < b ou ax ≥ b ouax ≤ b, com a ≠ 0 (zero).

Alguns sinais que identificam as desigualdades:≥: maior que ou igual a ≤: menor que ou igual a>: maior que <: menor que≠: diferente de

Resolver uma inequação é descobrir todas as suassoluções, diferente da equação, onde encontrávamos apenasuma solução para cada valor desconhecido.

Exemplo:

2x – 4 > 9 a resolução tem o mesmo princípio dasequações, mas agora uma desigualdade

2x > 9 + 42x > 13

x >

23




S=

Assim, as soluções da inequação são todos os números

racionais maiores que .

Na representação gráfica, também observamos, poistodas as soluções possíveis são a partir de um determinadovalor.

Observe:

24




PRINCÍPIO MULTIPLICATIVOPARA INCÓGNITAS NEGATIVAS

Temos que tomar cuidado na resolução ao aplicar o princípio multiplicativo das inequações, pois, quando aincógnita for negativa, multiplicamos todos os membros por (-1) e a desigualdade também.

Observe antes de resolver a inequação os seguintesexemplos:

-1 > -2 e 1 < 2,

-7 < 0 e 0 > -7-9 < -8 e -8 > -9

Exemplo:

– 5 – 9x < 13 somamos aos dois termos 5 – 5 + 5 – 9x < 13 + 50 – 9x < 18 – 9x < 18 . (- 1)9x > - 18

x >

x > -2

S = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

ATENÇÃO: multiplicamostodos os membros por (-1)quando primeiro termo for negativo. Assim, temosque inverter o sinal dadesigualdade.

25




Logo, a solução da inequação são todos os valoresmaiores que -2.

Temos que tomar cuidado com os sinais de desigualdadesna hora da solução da inequação:

Exemplos:

(a)x ≥ 3 solução, S = {3, 4, 5, 6, 7, ...}x > 3 solução, S = {4, 5, 6, 7, ...}

Observe que o sinal maior igual inclui o três, já no sinalmaior é a partir do três.

(b)x ≤ -6 solução, S = {..., -4, -5, -6}

x < -6 solução, S = {..., -4, -5}

Novamente o sinal menor igual inclui o -6 já no sinalmenor é a partir do -6.

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Em relação aos números positivos, quanto mais próximodo zero (ponto de origem) o número estiver, menor é a quantidade que ele representa. Já em relação aosnúmeros negativos, quanto mais próximo do zero (pontode origem) o número estiver, maior é a quantidadeque ele representa. Por isso, tome cuidado, pois quanto

menor o número negativo for, mais distante do zero(ponto de origem) ele estará.

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COMPARAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS

-11 > -12 -6 < -4 0 > -1 -2 < 0 -7 > -9 -11 < -3

Exemplo:

Prova Real substitui o x por qualquer valor da solução:

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RESUMO DO TÓPICO

EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Então, uma equação é do 1º grau quando apresentauma incógnita, quando pode ser escrita na forma: ax = b, coma ≠ 0 (zero). Porque não existe divisão por zero.

Para a resolução da equação, podemos usar doisprincípios:

No princípio aditivo, a igualdade não se altera aoadicionarmos ou subtrairmos um mesmo número nos dois

membros da equação.

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No princípio multiplicativo, a igualdade se mantém aomultiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação

pelo mesmo número, diferente de zero.Dicas para obter sucesso no desenvolvimento da

situação-problema:* sempre leia com atenção a situação proposta e

verifique o que se conhece e o que vai ser determinado, ouseja, vá anotando o que o problema pede e os dados que eletraz;

* sempre que você não souber o valor desconhecido,represente-o por uma letra minúscula;

* quando for montar a equação, use essa letra que vocêdeterminou;* faça a prova real da situação para ver se o valor

desconhecido encontrado é o correto;* escreva a resposta do problema.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

São as equações que podem ser escritas na forma ax +by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COMDUAS INCÓGNITAS

Os sistemas podem ser resolvidos de duas maneiras:

pelo método da adição ou pelo método da substituição.

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Gráfico ou geometricamente, a solução de um sistemade duas equações do 1º grau com duas incógnitas é o

ponto de intersecção das duas retas, correspondentes àsequações, lembrando que a equação do 1º grau nos traz umareta como solução.

INEQUAÇÕES

As desigualdades que contêm letras são chamadas deinequações. Essas inequações do 1º grau podem ser escritasna forma ax > b ou ax < b ou ax ≥ b ou ax ≤ b, com a ≠ 0 (zero).

Alguns sinais que identificam as desigualdades:≥: maior que ou igual a ≤: menor que ou igual a>: maior que <: menor que≠: diferente de

Lembrando que, quando multiplicamos valores por umnegativo (-1), inverte-se o sinal da desigualdade, observe: -5< -2 . (-1) = 5 > 2

31




1. Determine qual será a solução de cada equação, x – 1 =7 – 2x:

a)

b)

c) 6d) – 6

2. Determine qual será a solução de cada equação: 3(x + 3) – 1 = 2:

a) 0

b) – 2c) 1d) – 1

3. Encontre a raiz da equação 5(2x + 7) – 1 = 4(x – 5) + 9:

a)

b)

A UTOATIVIDADES

32




c)

d)

4. Encontre a raiz da equação :

a)

b) 7c) 7,35

d) –

5. A idade de Carlos é o quíntuplo da idade de Álvaro, e asoma das idades dos dois é 36 anos. Qual a idade de Carlos?

a) 30 anosb) 13 anosc) 26 anosd) 43 anos

6. Mauro tem 6 anos e seu irmão o triplo da sua idade maistrês. Quantos anos o irmão de Mauro tem?

a) 12 anosb) 17 anos

c) 21 anosd) 18 anos

33

7 A 18 t R$ 3 50 d 32 lá i




7. Ana comprou 18 canetas, a R$ 3,50 cada uma, e 32 lápis.Se o valor total da compra foi de R$ 87,00, o preço de cada

lápis foi:a) A metade do preço de cada caneta.b) A quarta parte do valor da caneta.c) O triplo de R$ 0,25.

d) Nenhuma das alternativas.8. A expressão “a metade da soma de um número inteiro como seu sucessivo”, simbolicamente, pode ser representada por:

a)

b)

c)

d)

9. As soluções possíveis da inequação,

é:

34




a)

b)

c)

d) Nenhuma das alternativas

10. O número 2 é a solução de qual inequação?

a) x – 8 > 0

b)

c)

d)

35




1. Determine qual será a solução de cada equação, x – 1 = 7 – 2x:

x – 1 = 7 – 2xx + 2x = 7 + 13x = 8

x = assim a sentença verdadeira é a letra A.

a)

b)

c) 6d) – 6

2. Determine qual será a solução de cada equação: 3(x + 3) – 1 = 2:

3(x + 3) – 1 = 23x + 9 – 1 = 2

3x = 2 – 9 + 13x = – 7 + 13x = – 6

x = 3

6−

x = - 2 assim a sentença verdadeira é a letra B

a) 0b) – 2c) 1d) – 1

G ABARITO

36

3 Encontre a raiz da equação 5(2x + 7) – 1 = 4(x – 5) + 9:




3. Encontre a raiz da equação 5(2x + 7) 1 4(x 5) + 9:5(2x + 7) – 1 = 4(x – 5) + 910x + 35 – 1 = 4x – 20 + 9

10x + 34 = 4x – 1110 x – 4x = - 11 – 346x = – 45

x =

Assim a sentença verdadeira é a letra A lembre-se que foi utilizada a simplificaçãode fração.

a)

b)

c)

d)

4. Encontre a raiz da equação :

assim a sentença verdadeira é a letra A

37




5. A idade de Carlos é o quíntuplo da idade de Álvaro, e a soma das idades dosdois é 36 anos. Qual a idade de Carlos?Idade de Álvaro = xIdade de Carlos = 5x

x + 5x = 36

6x = 36

x =

x = 6 assim a sentença verdadeira é a letra A.

a) 30 anosb) 13 anosc) 26 anosd) 43 anos

6. Mauro tem 6 anos e seu irmão o triplo da sua idade mais três. Quantos anos oirmão de Mauro tem?

Mauro = 6 anosIrmão de Mauro = 3.6 + 3 = xx = 3.6 + 3x = 18 + 3x = 21 Assim a sentença verdadeira é a letra C

38

a) 12 anos




)b) 17 anosc) 21 anos

d) 18 anos

7. Ana comprou 18 canetas, a R$ 3,50 cada uma, e 32 lápis. Se o valor total dacompra foi de R$ 87,00, o preço de cada lápis foi:

18 . 3,50 + 32.x = 8763 + 32x = 8732x = 87 – 6332x = 24

x = assim a sentença verdadeira é a letra C

x = 0,75

a) A metade do preço de cada caneta.b) A quarta parte do valor da caneta.c) O triplo de R$ 0,25.d) Nenhuma das alternativas.

8. A expressão “a metade da soma de um número inteiro com o seu sucessivo”,

simbolicamente, pode ser representada por:

a)

b)

c)

d)

39

9. As soluções possíveis da inequação,




é:

Desenvolvimento

a)

b)

c)

d) Nenhuma das alternativas

40

10. O número 2 é a solução de qual inequação?




Nessa questão é necessário desenvolver todas para saber a correta:

a) x > 0 + 8x > 8

b)

c)

d)

41

a) x – 8 > 0




b)

c)

d)

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