Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

1 - Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros;Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equivalênciafinanceira. 2 - Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo daoperação financeira; A equivalência de taxas de juros: taxas de juros proporcionais; A equivalência decapitais no regime de juros compostos. 3 - Juros compostos - Cálculo do montante, dos juros, da taxa dejuros, do principal e do prazo da operação financeira; A equivalência de taxas de juros: taxas de jurosequivalentes; Taxas nominais e taxas efetivas; A equivalência de capitais no regime de juros compostos. 4 -Desconto (operações financeiras de antecipação de recebíveis) - Desconto racional simples e composto;Desconto irracional simples e composto; Cálculo do valor atual, do valor nominal, da taxa de desconto. 5 -Operações financeiras com cláusula de correção monetária - Cálculo do montante em operações financeiraspós-fixadas; Taxas nominais x taxas reais. 6 - Séries de pagamentos - Séries variáveis e séries uniformes;Cálculo do valor futuro, do valor presente, do valor dos pagamentos de uma série variável e de umauniforme de pagamentos; A equivalência financeira de séries de pagamentos. 7 - Sistemas de amortização -Sistema americano (método do pagamento periódico dos juros); Sistema price (método das prestaçõesconstantes); Sistema sac (método das amortizações constantes); Sistema price com prazo de carência. 8 -Análise de investimentos (introdução) - Métodos de avaliação de investimentos; Taxa interna de retorno;Valor presente líquido.

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Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; Capitalização,regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equivalência financeira.

Muitos problemas da área financeira baseiam-se no conceito de encargos (juros) para a utilização dodinheiro de alguém por um determinado período de tempo.

O Valor do Dinheiro no Tempo ( VDT ) é o processo de se calcular o valor de um ativo no passado, nopresente ou no futuro. Está baseado na premissa de que o principal original crescerá seu valor no tempoatravés dos juros. Isto significa que um dólar investido hoje valerá mais amanhã.

Há dois tipos principais de problemas financeiros:

* Juros compostos

* Juros simples

Com os juros simples , somente o principal (o valor original do dinheiro) sofre a incidência de juros durantetodo a duração da transação. O principal, mais os juros ganhos, é amortizado em um único pagamento àvista.

Quando os juros simples são acrescentados ao valor principal em intervalos compostos especificados e,conseqüentemente, também sofrem a incidência de juros, os juros são compostos . Contas de poupança,hipotecas e leasings são cálculos de juros compostos.

Elementos de TVMHá cinco variáveis padrão utilizadas para descrever a maioria dos problemas de juros compostos (TVM):

n n n n Número de pagamentos Número de pagamentos Número de pagamentos Número de pagamentos

i Taxa de juros periódica

PV Valor presente

PMT Valor do pagamento em cada período (valor de pagamento periódico)

FV Valor futuro

O recurso TVM na calculadora HP 12C resolve vários problemas de juros compostos. Especificamente, afunção TVM pode ser utilizada para uma série de fluxos de caixa (dinheiro pago ou dinheiro recebido)quando:

• A quantia em dinheiro é a mesma a cada pagamento

• Os pagamentos ocorrem em intervalos regulares

• período de pagamento coincide com os períodos compostos

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Dados quaisquer quatro dos elementos principais acima, é possível resolver o problema para a quintavariável

Linha de Tempo e Notação

Lidando com fluxos de caixa que estão em pontos diferentes no tempo torna-se mais fácil usar uma linha detempo que mostra o instante e a quantia de cada fluxo de caixa numa série deles. Assim, uma série de fluxosde caixa de $100 ao final de cada um dos próximos 4 anos, pode ser desenhada numa linha de tempo comoesta da Figura 3.1.

Na figura, o 0 refere-se ao agora. Um fluxo de caixa que ocorre no instante 0 está, portanto, já no valorpresente e não precisa ter seu valor ajustado no tempo. Uma distinção deve aqui ser feita entre um períodode tempo e um ponto no tempo. A porção da linha de tempo entre 0 e 1 refere-se ao período 1, que, nesteexemplo, é o primeiro ano. O fluxo de caixa que ocorre no ponto "1" do tempo se refere ao fluxo de caixaque ocorre no final do período 1. Finalmente, a taxa de desconto, que é 10% neste exemplo, é especificadapara cada período sobre a linha de tempo e pode ser diferente para cada período. Estando os fluxos de caixano início de cada ano em vez do final de cada ano, a linha de tempo teria que ser redesenhada como aparecena Figura 3.2.

Note que em termos de valor presente, um fluxo de caixa que ocorre no começo do ano 2 é o equivalente deum fluxo de caixa que ocorre no final do ano 1.

Os fluxos de caixa podem ser ou positivos ou negativos; fluxos de caixa positivos são chamados de entradade caixa e fluxos de caixa negativos são chamados de saída de caixa.

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Capital, juros, taxas de juros

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como:Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicadonas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os jurospodem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condiçõesmistas.

RegimeRegimeRegimeRegime Processo de funcionamentoProcesso de funcionamentoProcesso de funcionamentoProcesso de funcionamento

SimplesSimplesSimplesSimples Somente o principal rende juros.

CompostosCompostosCompostosCompostosApós cada período, os juros são incorporados ao Capital,proporcionando juros sobre juros.

Taxa: é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operaçãofinanceira.

Regime de capitalização

Regime de capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do capital, este pode ser pelo regime decapitalização simples ou composta.

No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como base o capital inicial (VP), já noregime de capitalização composta as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos juros.

Exemplos:

a) Empréstimo de R$ 10.000,00 por seis meses, a taxa de 3% a.m.

Regime de Capitalização Simples

É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide somente e sempre sobre o capital inicial. Portanto,

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em todos os períodos de aplicação, os juros serão sempre calculados através do produto do capital inicialpela taxa de juro (J = C.i).

Exemplo:

a) Seja a aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime decapitalização simples. Calcule os juros totais e o montante?

Solução:

Sabemos que o regime é de capitalização simples e que C = $1.000,00 e i = 10% a.m. Então no fim doprimeiro mês teremos:

J1 = C.i logo J1 = 1.000. 10%

J1 = $100,00

No fim do segundo mês teremos:

J2 = C.i logo J2 = 1.000. 10%

J2 = $100,00

No fim do terceiro mês teremos:

J3 = C.i logo J3 = 1.000. 10%

J3 = $100,00

Logo, os juros totais poderão ser calculados através da soma dos juros em cada período (mês):

J = J1+ J2+ J3

J = 100 + 100 + 100

J = $300,00

O montante (M) será o capital acrescido dos juros totais, isto é:

M = C + J

M = 1000 + 300

M = $1.300,00

Regime de Capitalização Composta

É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, paragerar juro no período atual. Portanto, em cada período de aplicação, os juros serão calculados através doproduto do montante do período anterior pela taxa de juro. (J = M.i)

Um exemplo simples de capitalização composta é o da caderneta de poupança, onde você deposita seudinheiro em um mês esperando que no final do primeiro mês a mesma já apresente um montante igual aocapital inicial mais os juros, que foram gerados sobre o capital inicial (este era o único montante anterior),observe que a partir do primeiro mês, mesmo que você não deposite nada na caderneta de poupança, odinheiro lá existente vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que já estão na conta, sendo

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este processo conhecido como juros sobre juros ou capitalização composta.

Exemplo:

b) Seja a aplicação de um capital de $1.000 a taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime decapitalização composta. Calcule os juros totais e o montante?

Solução:

A situação é análoga a do exemplo anterior, sendo que o regime agora é de capitalização composta, C =$1.000,00 e i = 10% a.m.

Até o fim do primeiro mês temos uma unidade de tempo, logo, o juro em um mês será:

J1 = C.i logo J1 = 1.000 . 10%

J1= $100,00

M1 = C + J = 1.000 + 100

M1 = $ 1.100,00

Para formar o juro do segundo mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante do fim do primeiro mês. Logo:

J2 = M1.i logo J2 = 1.100 . 10%

J2 = $ 110,00

E o montante do segundo mês será:

M2 = C + J1 + J2

M2 = 1.000 + 100 + 110

M2 = $ 1.210,00

Para formar o juro do terceiro mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante no fim do segundo mês. Então:

J3 = M2.i

J3 = 1.210 . 10%

J3 = $121,00

E o montante ao final do terceiro mês será:

M3 = C + J1 + J2 + J3

M3 = 1.000 + 100 +110 +121

M3 = $1.331,00

A soma dos juros totais será de:

J = J1+ J2+ J3

J = 100 + 110 + 121

J = $ 331,00

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Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta

De acordo com os exemplos anteriores, referentes à capitalização simples e composta, os resultados obtidosforam dispostos na tabela seguinte de forma a permitirem uma melhor comparação:

Capitalização Simples Capitalização Composta

Período de tempo Juros Montante Juros Montante

1º ano 100 1.100 100 1.100

2º ano 100 1.200 110 1.210

3º ano 100 1.300 120 1.330

4º ano 100 1.400 130 1.460

Observações:

=> Independentemente do regime de capitalização, o aluno pode reparar que o juro e o montante obtidos aofinal do primeiro mês de capitalização serão sempre os mesmos. Daí se pode concluir que ao considerarmosum período único de tempo, não há diferença entre os regimes de capitalização, não havendo sentido em sedistinguir, para apenas um período, a capitalização simples da capitalização composta. Isto se dá por que aofinal do primeiro período os juros compostos são calculados sobre o montante do período anterior, queneste momento é o capital inicial, ficando igual ao cálculo dos juros simples. Veja:

J = M.i = C.i (para o primeiro período).

=> Observe ainda que, no regime de capitalização simples o montante aumenta de acordo com umaprogressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação aos juros (no exemplo, a razãoé 100, ou seja, a cada período o montante sobe de um valor constante e igual a 100). Já no regime decapitalização composta, o montante varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montanteaumenta segundo uma variação exponencial em relação aos juros (a razão da progressão geométrica é dadapor ( 1 + i ) = (1,1). Desse modo, em se tratando de juros ou rendimentos lineares estamos falando do regimede capitalização simples e em se tratando de juros ou rendimentos exponenciais estamos falando do regimede capitalização composta.

=> Será adotada a convenção de que os juros serão devidos ao final de cada período de tempo a que se referea taxa de juros considerada. Esta forma de se capitalizar os juros é também conhecida como jurospostecipados.

Fluxo de caixa e seus diagramas (gráficos)

Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitaro estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo,financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas nalinha de tempo com início no instante t=0.

Um típico exemplo é o gráfico:

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Fluxo de Caixa da pessoaFluxo de Caixa da pessoaFluxo de Caixa da pessoaFluxo de Caixa da pessoa

EoEoEoEo

0000 1111 2222 3333 ............ n-1n-1n-1n-1 nnnn

S1S1S1S1 S2S2S2S2 S3S3S3S3 ............ Sn-1Sn-1Sn-1Sn-1 SnSnSnSn

que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá esteempréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo é o valor que entrou no caixa dapessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, ..., Sn serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa(negativas).

No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao sentidos das setas do Fluxo deCaixa da Pessoa. Assim:

Fluxo de Caixa do bancoFluxo de Caixa do bancoFluxo de Caixa do bancoFluxo de Caixa do banco

E1E1E1E1 E2E2E2E2 E3E3E3E3 ............ En-1En-1En-1En-1 EnEnEnEn

0000 1111 2222 3333 ............ n-1n-1n-1n-1 nnnn

SoSoSoSo

O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido por convenção, e oFluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que:

1. t=0 indica o dia atual;

2. Ek é a Entrada de capital num momento k;

3. Sk é a Saída de capital num momento k.

Observação: Neste trabalho, o ponto principal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e poucaatenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha apena ser tratado, envie a sua sugestão.

Exemplos importantes

Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas(do ponto de vista da pessoa). Tais situações são muito comuns nas operações financeiras.

1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui há um mês.

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Fluxo de Caixa 01Fluxo de Caixa 01Fluxo de Caixa 01Fluxo de Caixa 01

10.00010.00010.00010.000

0000 1111

11.00011.00011.00011.000

2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 apartir do próximo mês.


10.00010.00010.00010.000

0000 1111 2222

6.0006.0006.0006.000 6.0006.0006.0006.000

3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias.


10.00010.00010.00010.000

0000 1111 2222

5.5005.5005.5005.500 6.5006.5006.5006.500

4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do mêsseguinte.


10.00010.00010.00010.000

0000 1111 2222 ............ 14141414 15151515

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1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000

5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas de R$ 876,54 a partirdo mês seguinte.


16.00016.00016.00016.000

0000 1111 2222 ............ 23232323 24242424

876,54876,54876,54876,54 876,54876,54876,54876,54 876,54876,54876,54876,54 876,54876,54876,54876,54 876,54876,54876,54876,54

6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00a partir de hoje.


16.00016.00016.00016.000

0000 1111 2222 ............ 23232323

840,00840,00840,00840,00 840,00840,00840,00840,00 840,00840,00840,00840,00 840,00840,00840,00840,00 840,00840,00840,00840,00

7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começamcom R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir domês seguinte.


12.00012.00012.00012.000

0000 1111 2222 ............ 19191919 20202020

500500500500 600600600600 ............ 2.3002.3002.3002.300 2.4002.4002.4002.400

8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começamcom R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga já nomomento inicial.


12.00012.00012.00012.000

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0000 1111 2222 ............ 18181818 19191919

500500500500 600600600600 700700700700 ............ 2.3002.3002.3002.300 2.4002.4002.4002.400

9. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir dopróximo mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?


VP=AVP=AVP=AVP=A

0000 1111 2222 ............ n-1n-1n-1n-1 nnnn

RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR

Solução matemática:

A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 +...+ R/(1+i)n

que também pode ser escrito na forma

10.Uma pessoa financia um objeto em 5 parcelas iguais e seguidas de R$1.000,00 a partir do próximomês. Se a taxa bancária de juros é de 7% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?


VPVPVPVP

0000 1111 2222 3333 4444 5555

1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000 1.0001.0001.0001.000

Solução matemática: Como i=7%=0,07; R=1000 e n=5, então pela Fórmula do ítem anterior, temosque:

11.Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir

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deste mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?


VP=AVP=AVP=AVP=A

0000 1111 2222 ............ n-1n-1n-1n-1

RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR

Solução matemática:

A=R+R/(1+i)+R/(1+i)2+R/(1+i)3 +...+ R/(1+i)n-1

que também pode ser escrito na forma

12.Considere o problema do ítem 10 e uma nova alternativa. Refinanciar a compra do objeto que custao Valor Presente (obtido no Fluxo de Caixa 10) em 4 parcelas iguais e seguidas a partir do mêsinicial. Considere a mesma taxa bancária de juros. Qual deverá ser o valor de cada nova parcela R?Qual será o percentual de aumento da prestação em relação à prestação anterior, com esta novaalternativa?


4.100,204.100,204.100,204.100,20

0000 1111 2222 3333

R ?R ?R ?R ? R ?R ?R ?R ? R ?R ?R ?R ? R ?R ?R ?R ?

Solução matemática: Como i=7%=0,07; VP=4.100,20 e n=4, então pela Fórmula do ítem anterior,temos que:

que pode ser escrito na forma

4.100,20 = R × 3,6243160444

de onde segue que

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R = 1.131,30

A nova parcela sobre a anterior aumentou 13,20%.

Observação: Este percentual poderá mudar se a taxa aplicada for alterada.

Equivalência financeira

O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da equivalência. O princípio daequivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo. Assim, umadeterminada quantia teria significados econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambientenão inflacionário.

A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia, situada em época futura, que tenha omesmo significado econômico, o mesmo valor, que certa quantia conhecida no presente. Em outraspalavras, um Valor Futuro (FV) equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemosimaginar que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia conhecida no futuro,ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto.

A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela correspondente aos juros (j). Os jurospodem ser definidos livremente como o aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entreelas podemos citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros fatores deprodução, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores de produção, os juroscorrespondem à remuneração do fator capital, da mesma forma, por exemplo, que os salários remuneram ofator trabalho.

Outra teoria é a do preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que dizque um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem futuro. Como a expectativade um bem futuro vale menos que a realidade do bem presente, os juros compensariam essa diferença.Assim, o Valor Futuro é o resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma dejuros:

FV = PV + j

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Questões de concursos

1 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo ) Acerca das questões básicas de matemática financeira, julgue os itens seguintes.

De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a inflação medida pelo índice de preços aoconsumidor amplo fechou 2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, as empresas de transportehidroviário tivessem reajustado seus preços em 10%, na média, poderse- ia dizer que o setor obteve, noperíodo, um ganho real inferior a 4%.

• ( ) Certo ( ) Errado

2 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo )

Considere que uma empresa tenha contratado um financiamento para a compra de um navio por 20milhões de reais, que deveria ser amortizado em 36 meses pelo sistema de prestações iguais a uma taxa dejuros compostos de 2% ao mês. Tomando-se 0,49 como valor aproximado de 1,02 3,6, se a empresa reservou780 mil reais de seu faturamento mensal para o pagamento do empréstimo, sua situação financeira emrelação ao contrato tenderá a se tornar crescentemente deficitária.


3 - ( FGV - 2010 - SEA-AP - Fiscal da Receita Estadual - Prova 1 )

As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. Adesvalorização total nesses três meses foi de:

• a) 60%.

• b) 56,6%.

• c) 53,4%.

• d) 51,2%.

• e) 48,8%.

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4 - ( FGV - 2010 - SEA-AP - Fiscal da Receita Estadual - Prova 1 )

Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeirosemestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenhohoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, asações valorizaram em:

• a) 60%.

• b) 66%.

• c) 70%.

• d) 75%.

• e) 100%.

5 - ( CESPE - 2010 - MPS - Técnico em Comunicação Social - Relações Públicas )

O INSS pagou, no dia 24 de novembro, terça-feira, a segunda parcela do 13.º salário. Os segurados devemficar atentos, pois a contribuição do imposto de renda relativa ao 13.º salário foi descontada na segundaparcela. A primeira parcela, referente a 50% do benefício, foi paga em agosto deste ano.O pagamento foi feito de acordo com o calendário normal do INSS. Naquele dia, puderam sacar osbeneficiários que ganharam até um salário mínimo e tinham cartão de benefício com final 1. Até o dia 30 denovembro, foram pagos os benefícios de quem ganha até um salário mínimo e tinha cartão de benefíciocom final de 1 a 5. De 1.º a 7 de dezembro, puderam sacar os segurados que ganharam acima do mínimo e orestante dos que receberam o piso previdenciário.

De acordo com as informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

Se a segunda parcela do 13.º salário de Carlos foi de R$ 850,00 e a contribuição do imposto de renda pagapor ele correspondeu a 7,5% de seu salário, então o salário de Carlos era inferior a R$ 1.500,00.


GABARITO:

1 - C 2 - C 3 - E 4 - A 5 - E

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Questões sobre Fluxo de Caixa

1 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo - Ciências Contábeis ) Acerca de aspectos financeiros dos investimentos, julgue os itens que se seguem.

Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta fluxo de investimento igual a R$1.500.000,00, custo de capital de 10% e fluxo de caixa esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível aoprojeto B, se este apresentar fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, custo de capital de 15% e fluxo decaixa esperado igual a R$ 3.200.000,00.


2 - ( ESAF - 2008 - Prefeitura de Natal - RN - Auditor do Tesouro Municipal - Prova 1 )

Apontando por V - Verdadeiro e F - Falso, indique a opção correta para as seguintes sentenças:

I. Um fl uxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa seqüência histórica (de datas). II. Dois (2) fl uxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmovalor em determinada data (valor atual, por exemplo). III. A taxa interna de retorno de um determinado fl uxo de caixa é a taxa para a qual o valor atual do fl uxoé nulo (igual a zero).

• a) V, F, V.

• b) F, V, F.

• c) V, V, V.

• d) F, F, F.

• e) V, V, F.

3 - ( FCC - 2010 - SEFIN-RO - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais )

Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00.A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de1,176.

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O valor de X é igual a

• a) R$ 17.280,00

• b) R$ 15.000,00

• c) R$ 14.400,00

• d) R$ 13.200,00

• e) R$ 12.000,00

GABARITO:

1 - E 2 - C 3 - A

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Juros simples - Juros compostos - Desconto

Juros simples

1. Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os jurossimples são calculados por:

j = P i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao anosão dados por:

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:

j = P r n / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao anosão dados por:

j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:

j = P r m / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2%ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato dedias) ou comerciais simples com a fórmula:

j = P r d / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de0,02% ao dia são dados por:

j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00

Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses doano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:

j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50

Montante simples

Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Emlíngua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dadopor uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um

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capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M=2P

Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo

n = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

PeríodoPeríodoPeríodoPeríodo Número de diasNúmero de diasNúmero de diasNúmero de dias

De 10/01 até 31/01De 10/01 até 31/01De 10/01 até 31/01De 10/01 até 31/01 21 dias21 dias21 dias21 dias




TotalTotalTotalTotal 92 dias92 dias92 dias92 dias

Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

Cálculo:

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

Das taxas

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operaçãofinanceira.

Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeirobrasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas dejuros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizadodesses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre aspartes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira'poluição' de taxas de juros."

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital nãocoincide com aquele a que a taxa está referida.

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Exemplos:

1. 1200% ao ano com capitalização mensal.

2. 450% ao semestre com capitalização mensal.

3. 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincidecom aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

1. 120% ao mês com capitalização mensal.

2. 450% ao semestre com capitalização semestral.

3. 1300% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxada inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu umrendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidademonetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona umrendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa dainflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 ea taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, ovalor de:

23

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77

Taxas equivalentes

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo,através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicaçãocom a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00

Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto,teremos:

S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00

Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmotrimestre.

Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao anocapitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês amês, porque:

i = 300/12 = 25

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre,aplicada a cada trimestre, porque:

i = 300/4 = 75

É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processosde capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro quetomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano

24

é indicado por Np.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1+ip)Np

onde

iaiaiaia taxa anual

ipipipip taxa ao período

NpNpNpNp número de vezes em 1 ano

Situações possíveis com taxas equivalentes

FórmulaFórmulaFórmulaFórmula TaxaTaxaTaxaTaxa PeríodoPeríodoPeríodoPeríodo Número de vezesNúmero de vezesNúmero de vezesNúmero de vezes

1+ia = (1+isem)21+ia = (1+isem)21+ia = (1+isem)21+ia = (1+isem)2 isemisemisemisem semestresemestresemestresemestre 2222

1+ia = (1+iquad)31+ia = (1+iquad)31+ia = (1+iquad)31+ia = (1+iquad)3 iquadiquadiquadiquad quadrimestrequadrimestrequadrimestrequadrimestre 3333

1+ia = (1+itrim)41+ia = (1+itrim)41+ia = (1+itrim)41+ia = (1+itrim)4 itrimitrimitrimitrim trimestretrimestretrimestretrimestre 4444

1+ia = (1+imes)121+ia = (1+imes)121+ia = (1+imes)121+ia = (1+imes)12 imesimesimesimes mêsmêsmêsmês 12121212

1+ia = (1+iquinz)241+ia = (1+iquinz)241+ia = (1+iquinz)241+ia = (1+iquinz)24 iquinziquinziquinziquinz quinzenaquinzenaquinzenaquinzena 24242424

1+ia =1+ia =1+ia =1+ia =(1+isemana)24(1+isemana)24(1+isemana)24(1+isemana)24

isemanisemanisemanisemanaaaa

semanasemanasemanasemana 52525252

1+ia = (1+idias)3651+ia = (1+idias)3651+ia = (1+idias)3651+ia = (1+idias)365 idiasidiasidiasidias diadiadiadia 365365365365

Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?

Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizadatrimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número detrimestres de 1 ano) que é 3%.

Vamos observar o fluxo de caixa da situação:

Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por

1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247

logo

i2 = 0,1268247 = 12,68247%

Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.

Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usadaé:

25

1+ia = (1 + imes)12

Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:

1,12 = [1 + i(mes)]12

Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 aambos os lados da igualdade para obter:

log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]0,004101501889182 = log[1+i(mes)]assim

100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]

Desenvolvendo a potência obtemos:

1,009488792934 = 1 + i(mes)0,009488792934 = i(mes)i(mes) = 0,9488792934%

A equivalência de capitais no regime de juros compostos

Equivalência no Regime CompostoEquivalência no Regime CompostoEquivalência no Regime CompostoEquivalência no Regime Composto

O que nós fizemos em juros simples, vamos repetir para juros compostos. A novidade é que vamos utilizarsomente um tipo de desconto para efetuar a equivalência, que é o DESCONTO RACIONAL COMPOSTO(não se usa desconto comercial composto em problemas de equivalência).Uma outra novidade – boa por sinal – é que a data focal pode ser qualquer, pois no regime de juroscompostos, diferentemente do regime de juros simples, se dois capitais são equivalentes para umadeterminada data, eles também o são para qualquer outra data.

Importância da Data FocalImportância da Data FocalImportância da Data FocalImportância da Data Focal

Do ponto de vista teórico, a escolha da data focal é indiferente – ela pode ser qualquer - , mas do ponto devista prático, isto é, levando-se em conta a grande quantidade de cálculos que você terá que realizar, não.Quando for resolver problemas de equivalência composta, você deve estrategicamente escolher a data focalque facilite o máximo possível o trabalho de cálculo (geralmente é a data que mais se projeta no futuro).

Dependendo da data focal escolhida, um determinado capital poderá ser movimentado para frente ou paratrás com relação ao eixo dos tempos. Quando o capital for movimentado para frente (a favor do eixo dostempos), precisaremos calcular o seu MONTANTE, isto é, deveremos capitalizá-lo (incorporar juros a ele).Quando o capital for movimentado para trás (em sentido contrário ao do eixo dos tempos), precisaremosdescapitalizá-lo, calculando o seu VALOR ATUAL. No regime de desconto racional composto, tudo istosignifica que teremos que multiplicar ou dividir o capital pelo fator (1 + i)n.

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Portanto, se quisermos levar o capital para frente, devemos mutiplicá-lo pelo fator (1 + i)n, onde “i”é a taxade juros considerada e “n”o número de períodos que devemos percorrer com o capital. Se quisermos levar ocapital para trás, devemos dividi-lo pelo fator de acumulação composta (1 + i)n, utilizando o mesmocritério.

Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicaçãode um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta depoupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

TempoTempoTempoTempo DataDataDataData Valor PrincipalValor PrincipalValor PrincipalValor Principal JurosJurosJurosJuros MontanteMontanteMontanteMontante

0000 01/01/9401/01/9401/01/9401/01/94 100,00100,00100,00100,00 0000 100,00100,00100,00100,00

1111 01/02/9401/02/9401/02/9401/02/94 100,00100,00100,00100,00 50,0050,0050,0050,00 150,00150,00150,00150,00

2222 01/03/9401/03/9401/03/9401/03/94 150,00150,00150,00150,00 75,0075,0075,0075,00 225,00225,00225,00225,00

3333 01/04/9401/04/9401/04/9401/04/94 225,00225,00225,00225,00 112,50112,50112,50112,50 337,50337,50337,50337,50

4444 01/05/9401/05/9401/05/9401/05/94 337,50337,50337,50337,50 168,75168,75168,75168,75 506,20506,20506,20506,20

5555 01/06/9401/06/9401/06/9401/06/94 506,25506,25506,25506,25 253,13253,13253,13253,13 759,38759,38759,38759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aosmontantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5.Assim:

S1=100(1,5)1S1=100(1,5)1S1=100(1,5)1S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2S2=100(1,5)2S2=100(1,5)2S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3S3=100(1,5)3S3=100(1,5)3S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4S4=100(1,5)4S4=100(1,5)4S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5S5=100(1,5)5S5=100(1,5)5S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

SnSnSnSn Soma ou montante

PPPP Valor Principal aplicado inicialmente

iiii taxa unitária

nnnn número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos comrespeito à unidade de tempo.

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Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número deperíodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capitalaplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

Desconto (operações financeiras de antecipação de recebíveis)

Notações comuns na área de descontos:

DDDD Desconto realizado sobre o título

AAAA Valor Atual de um título

NNNN Valor Nominal de um título

iiii Taxa de desconto

nnnn Número de períodos para o desconto

Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmotítulo.

D = N - A

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Tipos de descontos

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculosexponenciais.

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Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples,substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por foraDesconto por foraDesconto por foraDesconto por fora Juros simplesJuros simplesJuros simplesJuros simples

D = N i nD = N i nD = N i nD = N i n j = P i nj = P i nj = P i nj = P i n

N = Valor NominalN = Valor NominalN = Valor NominalN = Valor Nominal P = PrincipalP = PrincipalP = PrincipalP = Principal

i = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de desconto i = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de juros

n = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodos n = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos jurossimples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentroDesconto por dentroDesconto por dentroDesconto por dentro Juros simplesJuros simplesJuros simplesJuros simples

D = A i nD = A i nD = A i nD = A i n j = P.i.nj = P.i.nj = P.i.nj = P.i.n

N = Valor AtualN = Valor AtualN = Valor AtualN = Valor Atual P = PrincipalP = PrincipalP = PrincipalP = Principal

i = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de desconto i = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de juros


O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1 + i n)

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculodos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.

Desconto composto por foraDesconto composto por foraDesconto composto por foraDesconto composto por fora Juros compostosJuros compostosJuros compostosJuros compostos

A = N(1-i)nA = N(1-i)nA = N(1-i)nA = N(1-i)n S = P(1+i)nS = P(1+i)nS = P(1+i)nS = P(1+i)n

A = Valor AtualA = Valor AtualA = Valor AtualA = Valor Atual P = PrincipalP = PrincipalP = PrincipalP = Principal

i = taxa de desconto negativai = taxa de desconto negativai = taxa de desconto negativai = taxa de desconto negativa i = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de juros


Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicaçõesrepetidas do desconto simples para 1 período.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo,substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:

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A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

An = N(1-i)n

Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então

D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como ocapital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando emconsideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazode vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

Solução:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento deR$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições deresgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxade juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Número de períodos para o desconto: n=12-5=7

Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n

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Questões de Concursos – Parte 1

1 -( FEPESE - 2010 - SEFAZ-SC - Auditor Fiscal da Receita Estadual - Parte I )

Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

• a) $ 2.691,43

• b) $ 3.691,43

• c) $ 4.691,43

• d) $ 5.691,43

• e) $ 6.691,43

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2 - ( CESPE - 2008 - INSS - Analista do Seguro Social - Ciência Atuariais )

Um cliente contraiu empréstimo em uma instituiçãofinanceira comprometendo-se a pagá-lo em 3 prestações mensais,iguais, consecutivas de R$ 1.870,00, vencendo a primeiraprestação 1 mês após a tomada do empréstimo. A taxa de juroscompostos praticada pela instituição financeira foi de 2% ao mês.

Considerando essa situação, julgue os itens a seguir, supondo que

Considere que, para facilitar o pagamento do empréstimo, diminuindo o valor da prestação e aumentandoos prazos, o gerente da instituição tenha proposto ao cliente pagá-lo em 4 prestações iguais de R$ 1.470,00,a serem pagas daqui a 1, 3, 4 e 5 meses. Nessa situação, o valor atual dos planos de pagamentos são iguais, ouseja, nem a instituição financeira nem o cliente serão prejudicados quanto a valores monetários.


3 - ( FCC - 2008 - MPE-RS - Assessor - Área Administração )

Considere que em uma mesma data:

I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante 15 meses. II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre, durante umano.

O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o valor do montantecorrespondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo aplicou no início foi de

• a) R$ 12.500,00.

• b) R$ 17.500,00.

• c) R$ 16.500,00.

• d) R$ 15.000,00.

• e) R$ 16.200,00.

4 - ( CESGRANRIO - 2008 - ANP - Analista Administrativo )

A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 3 meses, obtendo umataxa de juros compostos de 2% ao mês. O valor que a empresa vai resgatar no vencimento da aplicação, emreais, será

• a) 10.612,08

• b) 10.620,00

32

• c) 10.822,34

• d) 10.888,34

• e) 10.913,56

5 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Especialista em Regulação - Economia )

Um comerciante dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa dejuros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros compostos igual a 5% aomês, para remuneração de um fundo de investimentos próprio. O valor nominal do referido título é de R$11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses.

Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir,

tomando 1,2155 como valor aproximado para

No referido banco, a taxa de juros efetiva bimestral para desconto racional composto é menor que 10%.



Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante não são suficientes para o pagamento do título hoje.



Se o comerciante aplicar hoje todo o dinheiro no fundo de investimentos do banco, então poderá saldar suadívida daqui a 2 meses e ainda lhe restarão R$ 1.025,00.


8 -( CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa )

Pedro Santos entrou na justiça contra uma empresa construtora por quebra de contrato, pois, mesmo tendopago o serviço contratado, este sequer havia sido começado. Após o julgamento, foi decidido que a empresaconstrutora pagaria a Pedro Santos uma indenização de R$ 100.000,00, além de multa contratual e mais umvalor a título de dano moral. Na decisão judicial constou que, na data do pagamento, o valor de R$100.000,00 correspondente à indenização deveria ser corrigido a uma taxa nominal de juros compostos de24% ao ano,com capitalização mensal, contados a partir de 1.º de janeiro de 2002.

Considerando essa situação hipotética e tomando 1,13 como valor aproximado para (1,02)6, julgue os itensseguintes.

33

Se, com honorários de advogados, tiverem sido gastos R$ 15.000,00, e essa soma tiver correspondido a 12%do valor recebido por Pedro Santos, é correto afirmar que o valor da indenização paga foi superior a R$126.000,00.


9 - ( CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa )

As taxas de juros compostos de 24% ao ano e de 2% ao mês são taxas proporcionais.


10 - ( CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa )

Ainda considerando a situação hipotética anterior e o valor numérico de aproximação mencionado, julgueos itens que se seguem.

Uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização anual, é equivalente a uma taxa de juroscompostos de 4% ao bimestre, com capitalização bimestral.


GABARITO:

1 - X 2 - E 3 - D 4 - A 5 - E 6 - E 7 - C 8 - E 9 - C 10 - E

Questões de Concursos – Parte 2

1 - ( CESPE - 2009 - TCE-AC - Analista de Controle Externo - Ciências Contábeis ) Em um supermercado, um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixaregistrou um valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o operadordo caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente pagasse apenas ovalor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na embalagem do produto era igual a

• a) 106,50.

• b) 109.

• c) 110,50.

• d) 112.

• e) 113,35.

34

2 - ( FCC - 2010 - DNOCS - Administrador )

Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira:

Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes éigual a

• a) R$ 1.260,00.

• b) R$ 1.268,80.

• c) R$ 1.272,60.

• d) R$ 1.276,40.

• e) R$ 1.278,90.

3 - ( FGV - 2009 - SEFAZ-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1 )

O valor presente de um título que paga o valor de R$ 500,00 todo mês, perpetuamente, a uma taxa de jurosde 2% ao mês, no regime de juros compostos, é de:

• a) R$ 500,00.

• b) R$ 5.000,00.

• c) R$ 50.000,00.

• d) R$ 100.000,00.

• e) R$ 25.000,00.

4 - ( CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade )

Um título no valor de R$ 20.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontado a uma taxa de 4% ao mês(desconto simples). O valor do desconto monta, em reais, a

• a) 880,00

• b) 960,00

35

• c) 1.240,00

• d) 1.980,00

• e) 2.400,00

5 - ( CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade )

A Empresa Deltamática Ltda. descontou no banco um título no valor de R$ 18.000,00, com prazo devencimento de 3 meses, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. O valor líquido liberado pelobanco, em reais, foi de

• a) 16.861,40

• b) 16.941,45

• c) 16.941,77

• d) 17.123,56

• e) 17.899,99

6 - ( FUNIVERSA - 2009 - ADASA - Advogado )

Paulo tem R$ 1.200,00 e pretende adquirir uma bicicleta que hoje custa R$ 1.560,00. O gerente da lojainformou que o próximo aumento de preços ocorrerá daqui a quatro meses. Paulo resolveu, então, aplicar odinheiro em um investimento que remunera em 10% ao mês (capitalização composta) com o a intenção deadquirir a bicicleta daqui a três meses. A respeito dessa situação hipotética, assinale a alternativa correta,considerando o resultado ao final de três meses.

• a) Paulo terá a quantia exata para adquirir a bicicleta.

• b) Sobrarão menos de cinquenta reais após a aquisição da bicicleta.

• c) Sobrarão mais de cem reais após a aquisição da bicicleta.

• d) Faltarão menos de dez reais para a aquisição da bicicleta.

• e) Faltarão mais de trinta reais para a aquisição da bicicleta.

GABARITO:

1 - B 2 - E 3 - E 4 - E 5 - B 6 - B

36

Operações financeiras com cláusula de correção monetária - Cálculo do montante em operações financeiraspós-fixadas; Taxas nominais x taxas reais

Como já vimos, o cálculo do montante em operações financeiras pós-fixada é o mesmo definido paracapitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentesao prazo da aplicação ou da divida.

A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o período e i, a taxa.A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vistapara a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinteproblema:

Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.

Dados:

C = 1.000,00n = 5 mesesi = 4% ao mêsM = ?

O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.

Mês capital inicio juros cor. montante final

(t) mês (Pt) mês (Jt) mês (mt)

1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00

2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60

3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86

4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86

5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65

O valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor docapital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamosdeduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior,sem no entanto efetuar os cálculos ali demonstrados.

M0 = 1.000,00M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2..........M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4 = 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5

O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 =1,21656 Þ m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.Substituindo cada n da expressão M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos M = C ( 1 +i)n, em que a expressão (1 + i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital parapagamento simples ou único.

Na calculadora HP12C a simbologia é a seguinte:

37

PV = capital inicialFV = montantei = taxan = prazo/tempo/período

HP12C = 1.000,00 CHS PV 4 i 5 n FV = 1.216,65.

1 - Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês.

Dados: C = 15.000,00n = 9 mesesi = 2% ao mêsM = ?

Solução:

M = C(1 + i)nM = 15.000,00 (1 + 0,02)9M = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35

O valor atual (ou valor presente) de um pagamento simples, ou único, cuja conceituação é a mesma jádefinida para capitalização simples, tem sua fórmula de cálculo deduzida da fórmula, como segue.

em que a expressão é chamada Fator de valor atual para pagamento simples (ou único)

2 - A loja “Topa Tudo” financia um bem de consumo de uso durável no valor de R$ 16.000,00, sem entrada,para pagamento em uma única prestação de R$ 52.512,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobradapela loja?

Dados:M = 52.512,15C =16.000,00n = 27 mesesi = ?

Solução:

M = C (1 + i)n52.512,15 = 16.000,00(1 + i )2752.512,15 / 16.000,00 = (1 + i)273,28201 = (1 + i)27i = 3,282011/27i = 1,045 = 1,045 - 1 x 100 = 4,5% ao mês.HP12C = 52.512,15 FV 16.000,00 CHS PV 27 n i = 4,5% ao mês

Taxas nominais x taxas reais

38

Na hora de contratar um financiamento ou pagar alguma dívida o consumidor deve ficar atento se a taxaestipulada em contrato é nominal ou efetiva. Muitas vezes, sem saber a diferença, ele acaba pagando maisdo que esperava.

Os contratos de financiamento, em geral, informam a taxa de juros nominal. Entretanto, a querealmente vigora para o cálculo das prestações e do saldo devedor é a taxa real, que é sempre maior do que aprimeira. Uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponderá, na prática,a uma taxa efetiva de 12,6825%.

A taxa efetiva é aquela que realmente incide em determinada operação. Já a nominal é a taxa que édivulgada para um período. Mas a que sempre nos é cobrada é a efetiva.

Quem pega um financiamento de 1 ano, com taxa nominal de 12% ao ano capitalizada mensalmente,estará pagando juros efetivos de 12,6825% por um motivo simples: no primeiro mês, será cobrado 1% dejuro. No segundo, o juro também será de 1%, mas incidirá sobre o saldo do mês anterior (já somado ao jurodo mês anterior), e assim sucessivamente. É que esses financiamentos são calculados no regime de juroscompostos (juro sobre juro). Acompanhe o exemplo:

Financiamento de R$ 1.000, em 12 meses, com taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. Ataxa mensal será de 1%:

Dívida no 1º mês:R$ 1.000 + 1% = R$ 1.010,00

Dívida no 2º mês:R$ 1.010,00 + 1% = R$ 1.020,10

Dívida no 3º mês:R$ 1.020,10 + 1% = R$ 1.030,30

Dívida no 4º mês:R$ 1.030,30 + 1% = R$ 1.040,60

Dívida no 5º mêsR$ 1.040,60 + 1% = R$ 1.051,01

Dívida no 6º mêsR$ 1.051,01 + 1% = R$ 1.061,52

Dívida no 7º mêsR$ 1.061,52 + 1% = R$ 1.072,13

Dívida no 8º mês

39

R$ 1.061,52 + 1% = R$ 1.082,85

Dívida no 9º mêsR$ 1.082,85 + 1% = R$ 1.093,68

Dívida no 10º mêsR$ 1.093,68 + 1% = R$ 1.104,62

Dívida no 11º mêsR$ 1.104,62 + 1% = R$ 1.115,67

Dívida no 12º mêsR$ 1.115,67 + 1% = R$ 1.126,82

Agora, basta fazer o cálculo: quem pegou um financiamento de R$ 1.000 e desembolsou, no fim doprazo R$ 1.126,82, pagou 12,68% de juros, e não 12% como informado. Se a taxa efetivamente cobradativesse sido de 12%, a dívida final seria de R$ 1.120,00.

É importante que o tomador de empréstimo peça sempre o cálculo da taxa efetiva. Se for umfinanciamento de um imóvel, por exemplo, que tem prazo longo, a diferença final é realmente muitogrande. No caso de um financiamento em 25 anos, com juros nominal de 12% ao ano pagará, de taxaefetiva, um total de 1.878,84%. Se a taxa nominal anunciada estivesse mesmo valendo, o juro seria bemmenor: 300%.

Diferença prática entre a taxa nominal e a efetiva:

TAXA NOMINAL TAXA REAL (EFETIVA)

12% ao ano, capitalizados mensalmente 12,6825% ao ano

6% ao ano, capitalizados mensalmente 6,1678% ao ano

12% ao semestre, capitalizados mensalmente 12,6162% ao semestre

9% ao trimestre, capitalizados mensalmente 9,2727% ao trimestre

4% ao mês, capitalizados diariamente (dias úteis) 4,0773% ao mês

Veja a diferença conceitual de cada uma das taxas:

Taxa real o efetiva – É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade detempo dos períodos de capitalização. Assim, são taxas efetivas: 3% ao mês, capitalizados mensalmente; 4%ao mês, capitalizados mensalmente, e assim por diante.

Taxa nominal – É aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade detempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais e osperíodos de capitalização podem ser semestrais trimestrais ou mensais. Exemplos de taxas nominais: 12% aoano, capitalizados mensalmente; 24% ao ano, capitalizados mensalmente.

40

Séries de pagamentos - Séries variáveis e séries uniformes; Cálculo do valor futuro, do valor presente, dovalor dos pagamentos de uma série variável e de uma uniforme de pagamentos; A equivalência financeirade séries de pagamentos.

Mais um tópico cobrado no edital que já vimos boa parte na apostila.

Valor presente e valor futuro

Na fórmula S = P (1 + I) n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante S é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Aliás, estas são as designações utilizadas na máquina HP12C.

A fórmula anterior pode então ser escrita:

FV = PV (1 + I) n e, como conseqüência, vem imediatamente que:

Isto pode ser representado graficamente através da figura abaixo, que representa um diagrama de fluxo decaixa, assunto que abordaremos mais detalhadamente na seqüência do assunto.

Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa de juros i.Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer da apostila. É conveniente registrar queexiste a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro recebido) e seta para baixo, sinalnegativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante, inclusive quando se usa a calculadora HP12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP numa calculadora financeira, o fazemos seguindoesta convenção, mudando o sinal da quantia considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, quesignifica uma abreviação de "change signal", ou seja, "mudar o sinal". É conveniente ressaltar que seentrarmos com o PV positivo, a calculadora expressará o FV como um valor negativo e vice versa, já que ascalculadoras financeiras, e aí inclui-se a HP 12C, foram projetadas, considerando esta convenção de sinais.Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e em conseqüência, sinal positivo para FV.

Voltemos agora ao uso da calculadora HP12C

Apresentaremos a seguir a seqüência de comandos na HP12C, para determinação de PV (valor presente),FV (valor futuro), i (taxa de juros) e n (número de períodos).

Cálculo de FV

41

• digite o valor presente PV

• tecle CHS

Nota: o CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o valor de PV (present value) -dinheiro pago, conforme convenção.

• tecle PV

• digite 0

• tecle PMT

• digite a taxa i ( em %; ex.: i = 12% , digite 12)

• tecle i

• digite o número de períodos n

• tecle n

• tecle FV

Resposta no visor: o valor futuro procurado.

NOTA: Por enquanto, não se preocupe com a tecla PMT, que será explicada adiante. Basta saber que PMT éuma abreviação de payment , que significa pagamento, em inglês. O algarismo 0 (zero) digitado antes deteclar PMT, significa que você anulou o pagamento periódico PMT, uma vez que realmente êle nãoocorreu.

Cálculo de PV

• entre com o valor de FV

• CHS ......FV

• 0

• PMT

• entre com o valor de n

• tecle n

• entre com o valor de i

• tecle i

• tecle PV

Cálculo de n

• entre com o valor de PV

• CHS ......PV

• 0

• PMT


42

• tecle FV

• entre com o valor de i

• tecle i

• tecle n

Cálculo de i

• entre com o valor de PV

• CHS PV

• 0

• PMT


• tecle FV

• entre com o valor de n

• tecle n

• tecle i

Séries de pagamentos - Séries variáveis e séries uniformes; Cálculo do valor futuro, do valor presente, dovalor dos pagamentos de uma série variável e de uma uniforme de pagamentos; A equivalência financeirade séries de pagamentos

As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou recebimentos X1, X2,X3..., Xn, e com vencimentos sucessivos t1, t2, t3..., tn

Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de cada período (termosvencidos ou postecipados) ou no início (termos antecipados). Este entendimento é de fundamentalimportância.

43

PMT PMT PMT PMT PMT

PV

1 2 3 4 n0

...

...

FV

No dia-a-dia podemos verificar vários apelos de consumo e de poupança através de planos de pagamentosque se adaptam aos mais diversos orçamentos. Onde são possíveis através do parcelamento ou recomposiçãode débitos.

O estudo das séries nos fornece o instrumental necessário para estabelecer planos de poupança, definanciamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimentos.

Define-se série, renda, ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas,destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital.

Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo de uma renda e conforme sejamiguais ou não, a série se denominará, respectivamente, uniforme ou variável.

Se os pagamentos forem exigidos em épocas cujos intervalos de tempo são iguais, a série se denominaráperiódica; em caso contrário, se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a série sedenominará não-periódica.

Se o primeiro pagamento for exigido no primeiro intervalo de tempo a que se referir uma determinada taxade juros, teremos uma série antecipada, caso contrário, ela será diferida.

Teremos uma série temporária ou uma perpetuidade conforme seja, respectivamente, finito ou infinito onúmero de seus termos.As séries periódicas e uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas.

Séries Postecipadas

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos sãoefetuados no fim de cada intervalo de tempo a que sereferir a taxa de juros considerada, e cuja representaçãográfica é a seguinte:

O valor presente representa a soma das parcelasatualizadas para a data inicial do fluxo, considerando amesma taxa de juros. O valor presente corresponde àsoma dos valores atuais dos termos da série. Valor presente dos termos da série:

n

n

i

PMT

i

PMT

i

PMTPV

)1(...

)1()1( 22

21

+++

++

+=

Resumindo esta fórmula através da soma dos termos progressão geometria, tem-se a seguintes fórmulas:

Encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual – FVA;

( )

( )

+×

−+×=

n

n

ii

iPMTPV

1

11

44

Encontrar o valor futuro ou Fator de formação de capital – FFC;

( )

−+×=

i

iPMTFV

n 11

Encontrar o valor da PMT existe duas fórmulas, onde a primeira é utilizando quando se tem o PV e asegunda quando se tem o FV;

Fator de recuperação de capital – FRC

( )

( )

−+

+××=

11

1n

n

i

iiPVPMT

Fator de acumulação de capital – FAC

( )

−+×=

11 ni

iFVPMT

Exemplo:Calcular o valor do montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais mensaisde R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5%ao mês.

Séries AntecipadasSéries AntecipadasSéries AntecipadasSéries Antecipadas

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos sãoefetuados no início de cada intervalo de tempo a que sereferir a taxa de juros considerada, e cuja representaçãográfica é a seguinte:

As fórmulas para encontras PV, PMT, FV, possuem umapequena diferença das séries postecipada, apresentam(1+i), ou seja, parte paga na data Zero. São elas:

Encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual – FVA;

( )

( )

+×

−+×+×=

n

n

ii

iiPMTPV

1

11)1(

Encontrar o valor futuro ou Fator de formação de capital – FFC;

( )

−+×+×=

i

iiPMTFV

n 11)1(

Fator de recuperação de capital – FRC

( )

( )

−+

+××

+×=

11

1

)1(

1n

n

i

ii

iPVPMT

Fator de acumulação de capital – FAC

45

PMT PMT PMT PMT PMT

PV

1 2 3 4 n0

...

...

FV

PMT

( )

−+×

+×=

11)1(

1n

i

i

iFVPMT

Exemplo:Calcular o valor do montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais mensaisde R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos antecipado, sabendo-se que a taxa de juros é de3,5% ao mês.

Séries diferenciadasSéries diferenciadasSéries diferenciadasSéries diferenciadas

São aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento só é efetuado depois de decorridos períodos detempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representação gráfica é a seguinte:

Caso de postecipado: Caso de antecipado:

Exemplo:Calcular o valor do montante, no final de 2,5 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais mensaisde R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos antecipado e postecipados. Apresentando 6 mesesde carência, sem o pagamento de juros, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês.

Série perpetuaSérie perpetuaSérie perpetuaSérie perpetua

No caso de os pagamentos ou recebimentos serem infinitos, teremos então o que se denomina deperpetuidade; como o número de pagamentos é infinito, não tem sentido o cálculo do montante, maspodemos calcular o valor presente.Assim, tem-se que:

iPVPMT ×= f Postecipado

)1( i

iPVPMT

+

×=

f Antecipado

46

PMT

PV

1 2 3 40

...

...

PMT

n

FV

PMT

5

Carênc

ia

PMT

PV

1 2 3 40

...

...

PMT

n

FV

PMT

5

Carênc

ia

PMT

Situação Problema

Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?

Solução:

R = 500 (valor da parcela mensal)

i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008

n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais

47

Utilizando a expressão (1):

VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58

Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, apartir do montante conhecido, através da seguinte expressão:

Situação Problema

Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos.

Solução:

n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres

VF = 25.000 (valor futuro)

i = 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculo

Utilizando a expressão (2), temos:

R = 25.000.{0,035 / [(1+0,035)20 -1]} = 884,03

Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz deliquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a serpago em prestações uniformes e periódicas.

Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor

presente de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação , substituindo o VF da

48

expressão (1) na equação anterior determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes comosendo:

VP R R R R R

n

Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma série uniforme

Situação problema

Determine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendo-se que os juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m.

Solução:

n = 6 (número de parcelas mensais)

R = 200 (valor de cada parcela mensal)

i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de cálculo.

VP = 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } = 1.015,14

Para a determinação do valor de cada uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) éconhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade.

Assim, o valor de R é obtido pela seguinte expressão:

49

Situação Problema:

Uma pessoa adquire um freezer por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensalpara um financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m.

Solução:

Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500;

Taxa i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05

n = 4 parcelas mensais

Usando expressão (4) temos:

R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141

SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS

Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada períodounitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data docontrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série depagamentos, ou recebimentos.

50

Situação problema:

Um eletrodoméstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, sabendo-seque a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra,qual foi o valor financiado?

Esquematicamente temos:

VP (valor financiado)

0 1 2 3 4 5 Meses

Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 51

100 100 100 100 100 100 (note que a primeira parcela está sendo paga a vista)

Dados:

VP = ?

n = 6

i = 5% mês

R = 100 por mês

Solução:

Perpetuidade

A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente.Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, umdividendo anual etc.

52

6 parcelas mensais

O valor presente de uma perpetuidade VP, deduzido a partir do cálculo do limite da expressão (3), com ntendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula.

(5)

Situação problema

Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa dejuros de mercado de 1,0 % a.m.

Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (5)chega-se ao seu valor teórico:

VP= 1.000 / 0,01 = 100.000

Agora resolva este !

Supondo que o tempo tende ao infinito

P = R/i

Qual o valor equivalente de uma perpetuidade mensal de R$ 100,00 sendo i 0,05?

P = 100/0,05 = 2000

É equivalente receber então R$ 2000 a vista ou R$ 100 por mês, eternamente

53

Sistemas de amortização - Sistema americano (método do pagamento periódico dos juros); Sistema price(método das prestações constantes); Sistema sac (método das amortizações constantes); Sistema price comprazo de carência.

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizadosem função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capitalou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

1. Sistema de Pagamento único:

Um único pagamento no final.

2. Sistema de Pagamentos variáveis:

Vários pagamentos diferenciados.

3. Sistema Americano:

Pagamento no final com juros calculados período a período.

4. Sistema de Amortização Constante (SAC):

A amortização da dívida é constante e igual em cada período.

5. Sistema Price ou Francês (PRICE):

Os pagamentos (prestações) são iguais.

6. Sistema de Amortização Misto (SAM):

Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.

7. Sistema Alemão:

Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento quecorresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldodevedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago aofinal de 5 meses à taxa mensal de 4%.

Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e cominformações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabelabásica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:

Sistema de AmortizaçãoSistema de AmortizaçãoSistema de AmortizaçãoSistema de Amortização

nnnn JurosJurosJurosJuros Amortização doAmortização doAmortização doAmortização do PagamentoPagamentoPagamentoPagamento Saldo devedorSaldo devedorSaldo devedorSaldo devedor

54

Saldo devedorSaldo devedorSaldo devedorSaldo devedor

0000 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

1111

2222

3333

4444

5555 0000

TotaisTotaisTotaisTotais 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

Sistema Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza opagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os jurosdo 5o. período.

Sistema AmericanoSistema AmericanoSistema AmericanoSistema Americano

nnnn JurosJurosJurosJurosAmortização doAmortização doAmortização doAmortização doSaldo devedorSaldo devedorSaldo devedorSaldo devedor

PagamentoPagamentoPagamentoPagamento Saldo devedorSaldo devedorSaldo devedorSaldo devedor

0000 0000 0000 0000 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

1111 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

2222 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

3333 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

4444 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

5555 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00 312.000,00312.000,00312.000,00312.000,00 0000

TotaisTotaisTotaisTotais 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00 360.000,00360.000,00360.000,00360.000,00

Sistema Price (Sistema Francês)

Todas as prestações (pagamentos) são iguais.

Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dadopela fórmula

onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:

55

P = K × Vf = 67.388,13

Sistema Price (ou Sistema Francês)Sistema Price (ou Sistema Francês)Sistema Price (ou Sistema Francês)Sistema Price (ou Sistema Francês)



0000 0000 0000 0000 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

1111 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 55.388,1355.388,1355.388,1355.388,13 67.388,1367.388,1367.388,1367.388,13 244.611,87244.611,87244.611,87244.611,87

2222 9.784,479.784,479.784,479.784,47 57.603,6657.603,6657.603,6657.603,66 67.388,1367.388,1367.388,1367.388,13 187.008,21187.008,21187.008,21187.008,21

3333 7.480,327.480,327.480,327.480,32 59.907,8159.907,8159.907,8159.907,81 67.388,1367.388,1367.388,1367.388,13 127.100,40127.100,40127.100,40127.100,40

4444 5.084,015.084,015.084,015.084,01 62.304,1262.304,1262.304,1262.304,12 67.388,1367.388,1367.388,1367.388,13 64.796,2864.796,2864.796,2864.796,28

5555 2.591,852.591,852.591,852.591,85 64.796,2864.796,2864.796,2864.796,28 67.388,1367.388,1367.388,1367.388,13 0000


Prazo de carência

Considerando uma anuidade antecipada, é o intervalo existente entre a data do início do financiamento(data zero) e a data da primeira amortização, desde que esse prazo seja, no mínimo, o dobro do menorperíodo de amortização. Vamos explicar melhor: consideraremos prazo de carência se o primeiropagamento ocorrer do período 2 em diante, pois se ocorrer no período 1 consideraremos que os pagamentossão postecipados.

Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação

Sistema de Amortização Constante (SAC)Sistema de Amortização Constante (SAC)Sistema de Amortização Constante (SAC)Sistema de Amortização Constante (SAC)



0000 0000 0000 0000 300.000,00300.000,00300.000,00300.000,00

1111 12.000,0012.000,0012.000,0012.000,00 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00 72.000,0072.000,0072.000,0072.000,00 240.000,00240.000,00240.000,00240.000,00

2222 9.600,009.600,009.600,009.600,00 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00 69.600,0069.600,0069.600,0069.600,00 180.000,00180.000,00180.000,00180.000,00

3333 7.200,007.200,007.200,007.200,00 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00 67.200,0067.200,0067.200,0067.200,00 120.000,00120.000,00120.000,00120.000,00

4444 4.800,004.800,004.800,004.800,00 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00 64.800,0064.800,0064.800,0064.800,00 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00

5555 2.400,002.400,002.400,002.400,00 60.000,0060.000,0060.000,0060.000,00 62.400,0062.400,0062.400,0062.400,00 0000

56


Análise de investimentos (introdução) - Métodos de avaliação de investimentos; Taxa interna de retorno;Valor presente líquido.

Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem nanossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas

A análise de investimentos envolve decisões de aplicação de recursos com prazos longos (maiores que umano), com o objetivo de propiciar retorno adequado aos proprietários desse capital.

Orçamento de capital é um processo que envolve a seleção de projetos de investimento e a quantificaçãodos recursos a serem empregados e busca responder a questões como:

1. O projeto vai se pagar?

2. O projeto vai aumentar a riqueza dos acionistas ou vai diminuí-la?

3. Esta é a melhor alternativa de investimentos?

O orçamento de capital requer uma estimativa de fluxos de caixa livres que serão obtidos com o projeto deanálise. As previsões de investimentos em ativos, de vendas, também de preços, de custos e despesas devemser elaboradas da forma mais realista a acurada possível.

De qualquer modo, a incerteza em orçamentos de capital é elevada, pois envolve cenários econômicos epolíticos de longo prazo.

Os métodos mais comuns de avaliação de projetos de investimento são:

• Payback;

• Payback descontado;

• Valor presente líquido – VPL;

• Taxa interna de retorno – TIR.

Payback é o período de tempo necessário para que as entradas de caixa do projeto se igualem ao valor a serinvestido, ou seja, o tempo de recuperação do investimento realizado.

Se levarmos em consideração que quanto maior o horizonte temporal, maiores são as incertezas, é naturalqu as empresas procurem diminuir seus riscos optando por projetos que tenham um retorno do capitaldentro de um período de tempo razoável.

Payback Descontado é o período de tempo necessário para recuperar o investimento, avaliando-se os fluxosde caixa descontados, ou seja, considerando-se o valor do dinheiro no tempo.

O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL, leva em conta o valor do dinheiro no tempo. Portanto, todas asentradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente. O VPL de um investimento é igual ao valorpresente do fluxo de caixa líquido do projeto em análise, descontado pelo custo médio ponderado de capital.

A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido emum projeto. Em outras palavras, é a taxa que iguala o VPL de um projeto a zero.

Um aspecto que deve ser considerado é que a utilização exclusiva da TIR como ferramenta de análise pode

57

levar ao equívoco de se aceitar projetos que não remuneram adequadamente o capital investido, por issodeve ser uma ferramente complementar à análise.

Análise entre dois Investimentos

Se tivermos dois Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos foremindicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona; maiorretorno ao investidor, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Invest1 é melhor do que Invest2

Análise entre dois Financiamentos

Se tivermos dois Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos foremindicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona omenor retorno para a pessoa que financiou, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Financ1 é pior do que Financ2

A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV)

Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar emconsideração algumas possibilidades:

Operação com parcelas iguais (Begin)

Operação com parcelas iguais (End)

Operação com parcelas diferentes

Operação com parcelas iguais (Begin): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante nperíodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo decaixa aparece na tabela:

tttt 0000 1111 2222 3333 4444 ............ n-1n-1n-1n-1 nnnn

RendaRendaRendaRenda RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR 0000

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = R + R/u + R/u²+ R/u³ +...+ R/un-1

ou a forma mais simples

NPV = R [un - 1]÷[iun-1]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0?

Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 - 1]÷[0,015(1,015)23] = 2.033,09

Operação com parcelas iguais (End): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante N

58

períodos, com uma renda r em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado I. O fluxo decaixa aparece na tabela:

tttt 0000 1111 2222 3333 4444 ............ n-1n-1n-1n-1 nnnn

RendaRendaRendaRenda 0000 RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR


NPV = R/u + R/u²+ R/u³+...+R/un

ou na forma mais simples

NPV = R.[un - 1]÷[i.un]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, por n=24meses, à taxa de i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1?

Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 - 1] ÷[0,015 (1,015)24]= 2.003,04

Operação com parcelas diferentes: Tomemos a situação que um indivíduo invista durante algum tempoparcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode servisto na tabela:

tttt 0000 1111 2222 3333 4444 ............ n-1n-1n-1n-1

RendaRendaRendaRenda R0R0R0R0 R1R1R1R1 R2R2R2R2 R3R3R3R3 R4R4R4R4 ............ Rn-1Rn-1Rn-1Rn-1


NPV = Ro + R1/u1 + R2/u² + R3/u³ +...+ Rn-1/un-1

Exemplo: Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) de alguns Investimentos de acordo com a tabelaabaixo, à taxa de mercado i=1,25% ao mês.

TempoTempoTempoTempo 0000 1111 2222 3333 4444

RendaRendaRendaRenda 0000 1.0001.0001.0001.000 2.0002.0002.0002.000 1.5001.5001.5001.500 2.5002.5002.5002.500

Tomando u=1+i=1,0125, obteremos:

NPV = 1000/u + 2000/u² + 1500/u³ +2500/u4 = 6.762,51

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Questões de Concursos

1 - 1 - 1 - 1 - ( FGV - 2010 - SEFAZ-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1 ) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de umasérie uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juroscompostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será:

• a) R$ 525,68.

• b) R$ 545,34.

• c) R$ 568,24.

• d) R$ 576,19.

• e) R$ 605,00.

2 - ( FCC - 2009 - SEFAZ-SP - Agente Fiscal de Rendas - Prova 1 )

A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juroscompostos de 2% ao período:

O preço de venda de um equipamento é igual a R$ 100.000,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintesopções:

I. À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda.

II. Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra.

Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que ovalor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelasduas opções é, desprezando os centavos, igual a

• a) R$ 9.500,00

• b) R$ 9.180,00

• c) R$ 8.550,00

• d) R$ 8.330,00

• e) R$ 8.150,00

60

3 - ( CESPE - 2009 - TCE-AC - Analista de Controle Externo )

Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês após a compra e ovendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como valor aproximado para 1,025-24, écorreto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi

• a) inferior a 16.800.

• b) superior a 16.800 e inferior a 17.300.

• c) superior a 17.300 e inferior a 17.800.

• d) superior a 17.800 e inferior a 18.300.

• e) superior a 18.300.

GABARITO:

1 - D 2 - D 3 - B

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Matemática Financeira

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