Leandro Rios Leão

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois REGIMES: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do DINHEIRO. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc.

Raramente encontramos uso para o REGIME de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

O REGIME de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.

Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

𝐽 = 𝑃 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛Onde:

OBS: O P pode ser representado também por C.

J = juros

P = principal (capital)

i = taxa de jurosn = número de períodos

Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo REGIME de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + JurosMontante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

𝑀 = 𝑃 ∗ (1 + 𝑖 ∗ 𝑛 ) Exemplo:

Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:M = P . ( 1 + (i.n) )M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros.

Primeiramente iremos calcular o valor do capital.

A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:

M= R$ 4.300,00

J= R$ 1.800,00

M=C+J => C=M-J => C=4300-1800 = 2500

Podemos transformar a taxa ou o tempo, depende de como achar melhor, e também podemos resolver seguindo os cálculos de transformação.

Ex:

𝐽 = 𝑃 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 => 1800 = 2500*0,36*n

𝑛 =1800

900= 2 𝑎𝑛𝑜𝑠

0,03

𝑖=

1121

⇒ 𝑖 =0,03 ∗ 1

112

⇒ 𝑖 = 0,03 ∗ 1 ∗ 12 = 0,36 𝑎. 𝑎

2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material?

Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total.

Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00)

M= 38.664

C= 27.000𝐽 = 𝑀 − 𝐶 = 38.664 − 27.000 ⇒ 𝑗 = 11.664

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

𝑖 =0,024∗1

1

12

= 0,024 ∗ 1 ∗ 12 ⇒ 𝑖 = 0,288 a.a

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

C= 27.000

i = 0,288

J = 11.664

Para calcular o período (tempo):

𝑛 =11.664

27.000 ∗ 0,288Logo:

n = 1,6 anos

3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00):

M = 74.932

J = 22.932

C = M-J = 52.000

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

Resolvendo:

3

𝑛=

1

3,5⇒ 𝑛 = 3 ∗ 3,5 = 10,5 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

C = 52.000

J = 22.932

n = 10,5 bimestres

Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:

𝑖 =𝑗

𝐶 ∗ 𝑛

Substituindo o valor dos termos temos:

𝑖 =22.932

52.000∗10,5= 0,042

Logo a taxa é:

4,2 % a.b

4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00):

M = 2.450

C = 2.000

J = M-C = R$ 450

Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades.

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

C = 2.000

J = 450

n = 1 mês = 30 dias

Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:

𝑖 =𝑗

𝐶 ∗ 𝑛

𝑖 =450

2000 ∗ 30= 0,0075

Logo:

i = 0,75%

Conforme estudado no tópico juros simples, vimos que o valor dos juros apurado a cada período não é acrescentado ao valor principal, por isto, na prática tal modalidade de juros não é utilizada pelas instituições financeiras.

Vejamos a seguinte situação:

Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses?

Os dados para o cálculo dos juros são:

C=R$ 100.000,00

i=1% a.m

N=100 meses

Na modalidade de juros simples teríamos:

J=C*i*n

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

M=C+j

Substituindo j pela fórmula de juro:

𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 ⇒ 𝑀 = 𝐶 ∗ 1 + 𝑖 ∗ 𝑛

𝑀 = 100000 ∗ 1 + 0,0𝑖 ∗ 100

𝑀 = 100000 ∗ 2 = 200000

Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem mil referentes ao valor principal.

Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto:

Os dados para o cálculo seriam os mesmos:

Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem mil referentes ao valor principal.

Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto:

Os dados para o cálculo seriam os mesmos:

C = R$ 100000

i= 1% a.m

n=100 meses

A seguir temos a fórmula para o cálculo na modalidade de juro composto:

𝑀 = 𝐶 ∗ (1 + 𝑖)𝑛

Substituindo as variáveis:

𝑀 = 𝐶 ∗ (1 + 0,01)100

𝑀 = 100000 ∗ 1,01100

𝑀 = 100000 ∗ 2,7048138𝑀 = 270481,38

Isto é, pagaríamos um montante de R$ 270.481,38. A diferença de R$ 70.481,38 entre o cálculo realizado na modalidade juros simples e o cálculo na modalidade de juros compostos se refere aos juros que foram cobrados sobre os próprios juros apurados no período.

Na modalidade de juros compostos pagaríamos R$ 170.481,38 de juros, bem mais que os R$ 100.000,00 da modalidade de juros simples. Esta diferença será percentualmente maior, quanto maior forem a taxa de juros e o período da operação.

Apenas a título de exemplo, os mesmos R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 5% a.m., após 240 meses produzirão um juros total de R$ 1.200.000,00 na modalidade simples e de R$ 12.173.857.374,22 na modalidade composta.

Percebeu porque não é interessante se manter uma dívida de cartão de crédito ou de cheque especial por um longo período de tempo?

1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do problema:

C=R$15.000

i=1,7% a.m

n= 1 ano

Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema.

Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante:

𝑀 = 𝐶 ∗ 1 + 𝑖 𝑛

Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

𝑀 = 15000 ∗ 1 + 0,017 12

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

𝑀 = 15000 ∗ 1,01712

𝑀 = 15000 ∗ 1,224197𝑀 = 18362,96

Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:

𝑗 = 𝑀 − 𝐶𝑗 = 18362,96 − 15000

𝑗 = 3362,96

Portanto:

Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.

2) Paguei de juros um total de R$2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juros composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital emprestado?

Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado:

j=R$ 2447,22

n=8 meses

i=1,4% a.m

Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro composto é:

𝑀 = 𝐶 ∗ 1 + 𝑖 𝑛

Mas como estamos interessados em calcular o capital, é melhor que isolemos a variável C como a seguir:

Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:

C=𝑀

(1+𝑖)𝑛

OBRIGADO!!!