1

POTENCIAÇÃO

Conceito: Potência é um produto de fatores iguais.

Seja a um número real e n um número natural, logo

Obs: a = base e n = expoente

Da definição decorre que:

a) c)

b)

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

Base Negativa : Expoente par = resultado positivo

Expoente ímpar = resultado negativo

Exercícios:

Calcular

a)(-3)3

b)(-2)1

c)34

d)17

e)

f)

g)

h)(-4)2

2

Propriedades:

1)

2)

3)

4)

5)

Potência de expoente negativo

Exercícios Extras:

1-Calcule o valor das potências:

a)35=

b)04=

c)-33=

d)

e)

f)(-3)4=

g)26=

h)

i)

j)

k)

3

l)

m)

n)

2-Reduza a uma única potência usando as propriedades:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

Respostas exercícios extras:

1-a)243

b)0

c)- 27

d)

e)

f)81

g)64

4

h)

i) j) k) l) m)4 n)

Exercício 2:

a)x4.y2

b)x9.y12

c)x26.y12

d)x15.y9

e)x15.y12

f)22

g)3

h)44

i)54

j)3-2

k)517

RADICIAÇÃO

Define-se como raiz enésima de um número a expressão , onde dizemos

que n é o índice da raiz e a o radicando. Só existirá o valor numérico da raiz quando

satisfizer a relação :

I - Propriedades dos Radicais

1)

2)

5

II - Operações com Radicais

1) Adição e Subtração Algébrica de Radicais : serão efetuadas as operações

quando os radicais forem iguais, devendo ser somados ou subtraídos somente

os fatores externos aos radicais.

Obs.: Não se define as operações de soma e subtração de radicais de índices

diferentes, ficando apenas indicada a sua soma. Ex.:

2) Multiplicação e Divisão de Radicais :

6

1. Calcule:

a)

b)

c)

d)

Respostas:

1)a)

b)

c)

d)105 – 30

Exercícios Extras: Radiciação:

1-Simplifique os radicais abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

2)Simplificar as expressões:

a)

b)

7

3)Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Respostas:

Exercício 1

a)4

b)24

c)

d)

e)12

f)18

g)9

h)14

i)5

j)

k)

l)

m)

Exercício 2: a) b)

Exercício 3:a)33

b)

c)

d)

e)

8

f)

PRODUTOS NOTÁVEIS

a) Quadrado da Soma de Dois Termos:

( a + b )2 = ( a + b ).( a + b )

= a2 + a . b + b . a + b2

= a2 + a . b + a . b + b2

= a2 + 2 . a . b + b2

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

b) Quadrado da Diferença de Dois Termos:

( a - b )2 = ( a - b ).( a - b )

= a2 - a . b - b . a + b2

= a2 - a . b - a . b + b2

= a2 - 2 . a . b + b2

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

“O quadrado da soma de dois termos é

igual ao quadrado do primeiro termo, mais

duas vezes o produto do primeiro pelo

segundo, mais o quadrado do segundo

termo.”

“O quadrado da diferença de dois termos

é igual ao quadrado do primeiro termo,

menos duas vezes o produto do primeiro

pelo segundo, mais o quadrado do

segundo termo.”

9

c) Produto da Soma pela Diferença :

( a + b ) . ( a - b ) = a2 - a . b + a . b - b2

= a2 - b2

( a + b ) . ( a - b ) = a2 - b2

Exercícios Extras: Produtos Notáveis

1)(x+5)2

2)(7+y)2

3)(2x+4)2

4)(3y+1)2

5)(2x+3xy)2

6)(x2+y2)2

7)(2x3+5)2

8)(am3+n)2

9)(x + ½)2

10)(2x + y/2)2

11)(x/3 + y)2

12)(x2 + 2y/3)2

13)(x/y + 2y)2

14)(ab + 3/b)2

15)(x – 3)2

16)(y – 4)2

17)(2y – 3x)2

18)(3b – a)2

19)(1 – x2)2

“O produto da soma pela diferença de

dois termos é igual ao quadrado do

primeiro termo menos o quadrado do

segundo termo.”

10

20)(x3 – y2)2

21)(5x2 – 3y)2

22)(3x2 – 2y3)2

23)

24)

25)

26)

27)(m + 4)(m – 4)

28)(a – 2b)(a + 2b)

29)(ab2 + c2)(ab2 – c2)

30)(2x3 –1)(2x3 + 1)

31)

32)

33)

34)

Respostas:

1)x2 + 10x + 25

2)49 + 14y + y2

3)4x2 + 16x + 16

4)9y2 + 6y + 1

5)4x2 + 12x2y + 9x2y2

6)x4 + 2x2y2 + y4

11

7)4x6 + 20x3 + 25

8)a2m6 + 2am3n + n2

9)x2 + x + ¼

10)4x2 + 2xy + y2/4

11)x2/9 + 2/3 xy + y2

12)x4 + 4/3 x2y +4/9 y2

13)x2/y2 + 4x + 4y2

14)a2b2 + 6ª + 9/b2

15)x2 – 6x + 9

16)y2 – 8y + 16

17)4y2 – 12xy + 9x2

18)9b2 – 6ab + a2

19)1 – 2x2 + x4

20)x6 – 2x3y2 + y4

21)25x4 – 30x2y + 9y2

22)9x4 – 12x2y3 + 4y6

23)4x2y2 – xy + 1/16

24)

25)

26)

27)m2 – 16

28)a2 – 4b2

29)a2b4 – c4

30)4x6 – 1

31)x2 – ¼

32)y2 – 1/16

33)m2 – 1/9 n2

34)4/25 x2 – 9/4 y2

parei

FATORAÇÃO

12

Fatorar um número significa decompor esse número em um produto

de números primos ( números que possuem apenas dois divisores distintos: o

próprio número e o número um).

Exemplos:

a) Fatorar o número 160: b) Fatorar o número 140:

160 2 140 2

80 2 70 2

40 2 35 5

20 2 7 7

10 2 1 140 = 22 . 5 . 7

5 5

1 160 = 25 . 5

I - Fator Comum em Evidência

Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um

fator comum a todos os seus termos. Observe a igualdade:

5a + 5b = 5.a + 5.b = 5. ( a + b )

Assim, dizemos que fatoramos a expressão 5a + 5b, pondo o fator

comum 5 em evidência.

Vamos procurar um fator comum para a parte numérica e outro

para a parte literal nas seguintes expressões algébricas:

a) 8x + 4xy

- parte numérica: 8 = 2.2.2 = 23

4 = 2.2 = 22

portanto, o fator comum da parte numérica é 2.2 = 22 = 4

- parte literal: devemos considerar as “letras” que aparecem em comum em todos os

termos, com o menor expoente: neste caso, x

Assim, o fator comum da expressão é 4x. Divide-se cada termo da

expressão dada pelo fator comum, obtendo:

8x + 4xy = 4x.( 2 + y )

13

b) 2x + 4y - 6z

- parte numérica: 2 = 21

4 = 22

6 = 2.3

Portanto, o fator comum da parte numérica é 2.

- parte literal: não tem fator comum.

Logo, a forma fatorada da expressão é 2.(x + 2y - 3z).

c) 7a3b2 - 5a2b4 + 3a3b5

- parte numérica: como são todos números primos, não há fator comum na parte

numérica.

- parte literal: fatorando os termos, teremos:

a3b2 = a . a . a . b . b

a2b4 = a . a . b . b . b . b

a3b5 = a . a . a . b . b . b . b . b

Portanto, podemos perceber que o fator comum entre os três

termos é a2 b2. Assim, temos:

7a3b2 - 5a2b4 + 3a3b5 = a2b2.( 7a - 5b2 +3ab3 )

Exercícios:

1. Fatore as expressões abaixo:

a) a3 - a2x = a2.( a - x )

b) 25x4 + 35x3 - 15 x6

c)

d) 5x3 + 25x5y2

e) 64a7 - 64a4 + 16a

f) 7x3y4 - 6x4y3 + 3x2y3

Respostas:

b) 5 x3 (5 x+7 -3 x3 )

c)1/3 (a + 1/3 b)

d)5x3(1 + 5x2y2)

e)16 a (4a 6 – 4a 3 + 1)

f)x2y3(7xy – 6x2 + 3)

14

II - Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio é chamado de trinômio quadrado perfeito quando dois

de seus termos possuem raiz quadrada exata e o outro termo é igual ao duplo

produto dessas raízes quadradas. Por exemplo, o trinômio x2 + 2xy +y2 é um trinômio

quadrado perfeito, pois dois dos seus termos ( x2 e y2 ) possuem raiz quadrada exata

( x e y ) e o terceiro termo é igual ao duplo produto das raízes quadradas dos outros

dois ( 2xy ).

Um trinômio quadrado perfeito pode ser decomposto no quadrado

da soma ou da diferença das raízes quadradas dos termos que possuem raiz

quadrada exata, ou seja:

x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2

x2 - 2xy + y2 = ( x - y )2

Dizemos que :

• (a + b)2 é a forma fatorada de a2 + 2ab + b2

• (a - b)2 é a forma fatorada de a2 - 2ab + b2

Exemplos: Vamos fatorar as seguintes expressões:

a) 4x2 + 12x + 9

, onde 2.( 2x ).( 3 ) = 12x

Logo: 4x2 + 12x + 9 = ( 2x + 3 )2 .

b) x2 - 6xy + 9y2

, onde 2.( x ).( 3y ) = 6xy

Logo: x2 - 6xy + 9y2 = ( x - 3y )2

15

Obs.:

1. O sinal entre os termos da forma fatorada da expressão é fornecido pelo

termo relativo ao duplo produto entre as raízes.

2. O trinômio quadrado perfeito, uma vez fatorado, se transforma no quadrado

de uma soma ou de uma diferença, dependendo do sinal do termo que

representa o duplo produto.

Exercícios:

1. Fatore as expressões abaixo, utilizando o trinômio do quadrado perfeito:

a) 9x2 + 30xy + 25y2

b) 4x2 + 4x + 1

c) 16 - 8x + x2

d) x2 - xy + y2

e) m8 - m4 +

f) a6 + a3b4c2 + b8c4

Respostas:

a)(3x + 5y)2

b)(2x + 1)2

c)(4 – x)2

d)(1/2 x – y)2

e)(1/3 m4 – 3/2)2

f)(1/4 a3 + ½ b4c2) 2

III - Diferença de Dois Quadrados

Em produtos notáveis, vimos que: ( a + b ).( a - b ) = a2 - b2. Logo,

podemos escrever que ( a + b ).( a - b ) é a forma fatorada de a2 - b2.

Do mesmo modo, podemos fazer:

16

a) a2 - 1 = (a)2 - (1)2 = ( a + 1 ).( a - 1 )

b) 9x2 - 25 = (3x)2 - (5)2 = ( 3x + 5 ).( 3x - 5 )

c) 4x2 - y2 = (2x)2 - (y)2 = ( 2x + y ).( 2x - y )

d) - a4 = - (a2)2 = ( + a2 ). ( - a2 )

Exercícios:

1. Fatore os seguintes binômios:

a) x2 - y2

b) x2 -

c) 25a2 - 1

d)

e) 36a2b2 - 16

f) 9a4 - 25c2

g) a6 – 49

Respostas:

a)(x + y)(x – y)

b)(x + ¼)(x – ¼)

c)(5a + 1)(5a – 1)

d)(a/2 + 3)(a/2 – 3)

e)(6ab + 4)(6ab – 4)

f)(3a2 + 5c)(3a2 - 5c)

g)(a3 – 7)(a3 + 7)

Exercícios Extras(fatoração)

1º exercício:Fatore as expressões abaixo:

1)6a3 - 12a2 + 18a=

2)15x2 - 20x3 - 30x4=

3)5a3 - 12a4 + 20a5=

4)3x2y - 9xy2=

5)64a7 - 64a4 + 16ab=

17

6)7/3 a2 - 4/3 a3 + 5/3 a4=

7)100 - x2=

8)16a2 - 9b2

9)y2 - 36/25

10)1 - a2x2

11)x2y2 - 4z2

12)h2 - 81p2

13)a2b2c2 - 49

14)121a2 - 100

15)m2n2 - ¼ p2

16)y2 - 14y + 49

17)25p2 + 30px + 9x2

18)m2 - 4m +4

19)a6 + 22a3 + 121

20)9a4 + 24a2b2 + 16b4

21)81x4y2 - 54x3y3 + 9x2y4

22)4/9 x2 - 2/3 xy + ¼ y2

23)a2x2 + abxy + ¼ b2y2

24)4/9 x4y2 - 2ax2y + 9/4 a2

25)1/4 x2 - 3xy + 9y2

2º exercício:Simplifique as expressões abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

Respostas:

1º exercício

18

1)6a (a2 - 2a + 3)

2)5x2 (3 - 4x - 6x2)

3)a3 (5 - 12a + 20a2)

4)3xy (x - 3y)

5)16a (4a6 - 4a3 + 1b)

6)1/3 a2 (7 - 4a + 5a2)

7)(10 +x)(10 - x)

8)(4a + 3b)(4a - 3b)

9)(y + 6/5)(y - 6/5)

10)(1 + ax)(1 - ax)

11)(xy + 2z)(xy - 2z)

12)(h + 9p)(h - 9p)

13)(abc +7)(abc - 7)

14)(11a + 10)(11a - 10)

15)(mn + ½ p)(mn - ½ p)

16)(y - 7)2

17)(5p + 3x)2

18)(m - 2)2

19)(a3 + 11)2

20)(3a2 + 4b2)2

21)(9x2y - 3xy2)2

22)(2/3 x - ½ y)2

23)(ax + ½ by)2

24)(2/3 x2y + 3/2 a)2

25)(1/2 x - 3y)2

2º exercício:

a)(x + 3)

b)x3 + 3y

c)x2 - 1

d)

e)

19

FUNÇÃO

Chamamos de função constante a qualquer função de IR em IR definida por

f(x) = c, onde c é um número real.

O gráfico de uma função constante f(x) = c, é uma reta paralela ao eixo

x passando pelo ponto ( 0, c ) :

FUNÇÃO IDENTIDADE

Chamamos de função identidade à função de IR em IR definida por f(x)

= x.

x y

-2 -2

-1 -1

20

f :IR IR definida por f(x)=c, cR

0 0

1 1

2 2

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Chamamos de função do 1º grau ou afim a qualquer função IR em IR

definida por f(x) = ax +b, onde a e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f : IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR * e b IR

OBS:

a-) O gráfico da função do 1º grau é uma reta.

b-) O conjunto imagem da função do 1º grau é IR

c-) A função do 1º grau com b= 0 , ou seja, f(x)= ax é chamada linear.

EXEMPLO: Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes

funções de IR em IR :

i)

21

f: IR IR definida por f(x) =x

Im = IR

ii)

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma

reta que passa pela origem ( 0, 0 ), pois para x = o temos y = 0, para

construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto.

RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Dada a função do 1º grau y = ax +b, chama-se raiz ou zero da função,

o valor de x para o qual ax + b = 0 , ou seja, o valor de x que anula a função. Então,

para determinarmos a raiz ou o zero da função, fazemos y = 0 e resolvemos a

equação.

EXEMPLO : Determine a raiz das seguintes equações :

i-) ii-)

22

Im = IR

Observe que em y = 3x – 6 , y = 0 e x = 2 , calculado

anteriormente, o ponto ( 2, 0 ) é a intersecção da reta com

o eixo x.

EXERCÍCIOS

1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma

parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma

comissão de 8 % do total de vendas que ele fez durante o mês.

a) Expressar a função que representa seu salário mensal.

b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$

10.000,00 em produtos.

2) Uma empresa tem um custo fixo de fabricação de R$1.000,00 por mês. Seu

custo variável é de R$5,00 (quanto custa produzir cada unidade).

a) Qual a função que representa e função custo desta empresa.

b) Qual o custo da empresas para uma produção de 500 unidades.

3) Construir o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = 3x + 4

23

b) f(x) = 1/3 x + 6

c) f(x) = - 4x + 8

d) y = 6 – 3x

e) y = 2/3 + 4x

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Chamamos de função quadrática, qualquer função de IR em IR

definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a IR* , b IR e c IR.

EXEMPLOS : a-) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2

b-) f(x) = x2 + 2x – 3 a = 1 b = 2 c = -3

c-) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0

d-) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5

Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer

não teremos mais uma função do 2º grau, e sim uma função do 1º grau.

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico da função quadrática é uma parábola.

EXEMPLOS :

i-) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 + 2x – 3

24

ii-) Esboce o gráfico da função f(x) = -x2 + 4x – 3 .

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

a > 0 concavidade da parábola voltada para cima

a < 0 concavidade da parábola voltada para baixo

RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

25

Raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os

valores de x para os quais a função se anula (y = 0)

Determinamos as raízes da função quadrática resolvendo a equação:

ax2 + bx + c = 0

o que pode ser feito aplicando a fórmula resolutiva:

onde:

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS RAÍZES

Se a função tem dois zeros reais desiguais ( x’ e x” ).

Se a função tem um zero real duplo ( x’= x” ).

Se a função não tem zero real.

26

VÉRTICE DA PARÁBOLA

O que é vértice de uma parábola?

            - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Veja os exemplos abaixo:

27

As coordenadas do vértice são adquiridas através das fórmulas:

e

EXERCÍCIOS

1) Dada a função f(x) = x2 – 2x –3 , determine:

28

i. As raízes da função

ii. Vértice da parábola

iii. O gráfico da função

2)Faça o mesmo com as funções abaixo:

a)y = x2 – 3x – 4

b)y = -x2 + 6x – 8

c)y = x2 – 4x + 10

d)y = x2 – 2x + 2

e)y = -x2 + 4x

f)y = x2 – 4

g)y= x2 – 12x + 36

h)y= 2x2 – 4x + 3

      

    

E X E R C I C I O S E X T R A S

1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas

que representam as seguintes funções:

a) f(x) = x2 – 6x + 5 b) f(x) = -x2 + 2x -2

2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse

mínimo:

a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 b) f(x) = -x2 + 2x –2

1) Determine o conjunto imagem das seguintes funções:

a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 b) f(x) = -x2 + 5x + 6

2) Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine:

29

a) as raízes da função;

b) vértice da parábola;

c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo;

d) o conjunto imagem da função;

e) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

5) A representação cartesiana da função f(x) = ax2 + bx + c é a parábola

abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a<0, <0 e c>0 (B) a>0, >0 e c<0 (C) a>0, >0 e

c>0 (D) a<0, >0 e c<0

(E) a<0, >0 e c>0

6) O valor mínimo do polinômio f(x) =x2 + bx + c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:

(A) –1 (B) –2 (C) -9/4 (D) -9/2 (E)-3/2

7) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito

pela equação y =-40x2 + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo

projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o

tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente,

a:

(A)6,25 m, 5s (B) 250 m, 0 s (C) 250 m, 5s (D) 250

m, 200 s (E) 10.000 m , 5s

30

8) O vértice da parábola que corresponde à função y=(x-2)2 + 2 é:

(A)(-2, -2) (B)(-2, 0) (C) (-2, 2) ( D) (2, -2) (E)

(2, 2)

APLICAÇÕES ECONÔMICAS DAS FUNÇÕES DO 1º e 2º GRAU

Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funções,

podemos relacionar as variáveis x e y como:

a) Custo de produção de um dado produto e a matéria-prima utilizada;

b) Quantidade do produto vendido e o preço de venda desse produto;

c) Custo total de produção e a quantidade produzida.

OFERTA

A

B

Indústria

Comércio

Prest. De serviços

Mercado

Diversões

DEMANDA

O administrador deverá ter como objetivo estabelecer as funções econômicas

e procurar maximizar lucros e minimizar custos.

31

“LEI” DA DEMANDA OU DA PROCURA

A quantidade de um produto demandado depende de várias variáveis, dentre

elas, podemos citar: renda do consumidor, preço unitário do produto, gosto do

consumidor, etc.

A lei da procura determina em quanto menor o preço de um determinado

produto, mais será a quantidade demandada por unidade de tempo, ou seja,

mantidas constantes as demais condições.

Configuremos os conjuntos A e B e chamaremos o conjunto A de p( preço) e o

conjunto B de qd( quantidade de demanda).

Na teoria das funções podemos associar (qd) com a variável y e (p), com a

variável x, ou seja:

qd = ap + b (linear afim) ou qd = ap2 + bp + c (quadrática)

Verificamos que, normalmente o gráfico de qd em função de p é uma reta

decrescente, pois as duas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja,

quanto maior for o preço, menor será a quantidade de demanda, e vice-versa.

qd

p

INTERCEPTOS

Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) são chamados de interceptos da função.

Os pontos de forma(p, 0), são os interceptos de p, pois se um valor qd é zero, a reta

intercepta(corta) o eixo de p (eixo das abscissas, por analogia) e quando temos o

ponto (0, qd) a reta intercepta o eixo de qd ( eixo das ordenadas).

EXEMPLOS

32

1) Determine os interceptos, dada à função demanda:

a) qd = -p + 1

Resolução:

p=0 qd = 0 qd

q = ? p=?

qd = - p + 1 qd = - p + 1

qd = 0 + 1 0 = -p + 1 1

qd = 1 -1 = -p . (-1)

(p, qd) (p, qd)

(0, 1) (1, 0)

Se p = 0, temos que qd = 1

Se qd = o, temos que p =1

p

Interceptos: A = { 0, 1} 0 1

B = {1, 0}

2) A quantidade de demanda de televisores da marca KW-20” é dada pela “lei”

qd = 100 - 20p, onde qd representa a quantidade de demanda e o p o preço em

reais. Represente graficamente a função qd em função do preço p.

Resolução:

Encontrando os interceptos:

Se p = 0 qd = 100 – 20 . 0 qd = 100

Se qd = 0 0 = 100 – 20p

-100 = -20p . (-1)

100 = 20p

p = 100 p = 5

20

Interceptos:

p = 0 qd = 100

qd = 0 p = 5

33

qd

100

p 0 5

Obs.:

1) A função demanda( procura) qd é decrescente, isto é, aumentando o preço a

demanda diminui.

2) O preço é positivo (p 0) e a quantidade também é positiva (qd 0), pois não

há sentido em algum deles ser negativo.

3) Se p é R$ 5,00 (valor máximo) a procura é nula.

3) Quando o preço de venda de um videocassete de marca KW é de R$ 120,00,

nenhum vídeo é vendido, porém quando o preço é “liberado” gratuitamente, 100

vídeos são vendidos. Sabendo-se que a representação é uma reta, determinar:

a) A função demanda.

b) Esboçar o gráfico.

c) Dar a demanda se o preço for R$ 60,00.

d) Qual o preço de vídeo se a demanda é de 75 unidades.

Resolução: (a)

vamos resolver por sistema de duas equações:

Se p = 0 qd = 100

Se qd = 0 p = 120

A função demanda é qd = ap + b

I 100 = a . 0 + b

Substituindo

II 0 = a . 120 + b multiplica-se a 2a por ( -1), temos:

100 = a . 0 + b

(+)

0 = a . 120 - b

100 = -120 a

34

a = - 100 a = -5

120 6

Se a = -5 100 = a . 0 + b

6 100 = -5 . 0 + b

6

b = 100

Então: qd = -5 p+ 100 função demanda

6

(b)Gráfico

Interceptos: A( 0, 100)

B( 120, 0)

(c) Se p = 60, então :

qd = -5 p+ 100 pela “ lei”

6

qd = -5 . 60 + 100

6

qd = -5 . 60 + 100

6

qd = -5 (10) + 100

qd = -50 + 100

35

qd 100

p 0 120

qd = 50 50 vídeos serão vendidos se o preço for R$ 60,00

(d) Se qd = 75, então:

qd = -5 p+ 100 pela “ lei”

6

75 = -5 p + 100

6

75 - 100 = -5 p

6

-25 = -5 p . (-1)

6

25 = 5 p

6

25 . 6 = 5p 150 = 5p p = 150/5 p = 30,00 se foram vendidos 75

vídeos, o preço foi R$ 30,00

4) Se uma concessionária compra sempre 10 carros para qualquer preço do

mercado, esboçar o gráfico.

Resolução:

A demanda será sempre constante, ou seja, para qualquer preço p 0, sempre q =

10. neste caso temos uma função constante.

qd

10

36

0 p

5) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Penalty é dada pela lei qd

= 1600 – p2:

a) Esboçar o gráfico;

b) Qual a demanda se o preço for R$ 30,00 a unidade.

Resolução:

(a) A função de demanda é uma equação do 20 grau (quadrática), portanto devemos

encontrar as raízes da equação. Através dos interceptos podemos calcular como:

Se p = 0 Se qd = 0

qd = 1600 – p 0 = 1600 – p2 (equação incompleta)

qd = 1600 – 0 p2 = 1600 a > 0

qd = 1600 p =

p = 40

Interceptos: qd

A (0, 1600)

B (40, 0) 1600

C (-40, 0)

37

- 40 0 40 p

(b) Se p = 30, então:

qd = 1600 – p2

qd = 1600 – (30)2

qd = 1600 – 900

qd = 700 serão vendidas 700 bolas, se o preço unitário for de R$ 30,00.

Exercícios

1. Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de permanência é

R$ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço

cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo linear a curva de

demanda, obtenha sua equação e esboce o gráfico.

2. Em um supermercado, a quantidade de demanda de CD’s de Chitãozinho e

Xororó é dada pela lei qd=225 – p2, para o preço de R$ 10,00 a unidade, qual

a quantidade de demanda?

3. Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês. Se o preço

unitário é de R$ 5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o

número de unidades vendidas será 50% maior.

a) Obter a equação de demanda admitindo-se ser uma equação de 10 grau;

b) Esboce o gráfico através dos interceptos.

“LEI” DA OFERTA

Analogamente à “lei” da demanda, a quantidade de ofertada pelo “produtor”

depende de vários fatores, como: o preço da matéria-prima, o preço do bem,

tecnologia, etc.

38

A “lei” da oferta determina que quanto maior o preço de um determinado

produto, maior será a quantidade maior será a quantidade procurada por

unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condições.

Configuremos os conjuntos A e B e chamemos o conjunto A de p(preço) e o

conjunto B de qo( quantidade ofertada).

Na teoria das funções podemos associar (qo) com a variável y e (p), com a

variável x, ou seja:

qo = ap + b (linear afim) ou qo = ap2 + bp + c (quadrática)

No gráfico verificamos que qo em função de p é uma reta crescente,( ao

contrário da quantidade de demanda), pois as grandezas são diretamente

proporcionais, ou seja, quanto maior for o preço(p), maior será a quantidade

ofertada(qo) e vice-versa.

qo

P

EXEMPLOS

1) Quando o preço unitário de um produto é R$10,00, 5000 unidades de um

produto são colocados no mercado por mês; se o preço for R$12,00, 5500

unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 10 grau

e linear afim, obtenha suas equações e esboce o gráfico.

Resolução:

Se é uma função do 10 grau, linear afim, teremos:

f(x) = ax + b (função linear afim)

qo = ap + b (função quantidade oferta)

39

Pelo problema temos:

Se p = 10 qo = 5000u (I)

Se p = 12 qo = 5500u (II)

Devemos montar o sistema de equações lineares, para encontrar os termos a e b.

I 5000 = 10a + b multiplicando a 1a equação por (-1),

temos,:

II 5500 = 12a + b

-5000 = -10a - b

(+)

5500 = 12a + b

5000 = 2a

a = 500 a = 250

2

Substituindo em I ou II, temos:

5000 = 10 . 250 + b

5000 = 2500 + b

5000 – 2500 = b

b = 2500

Portanto a equação da “lei”da oferta será:

qo = 250p+ 2500

Interceptos:

Se p = 0 qo = 2500

Se qo = 0 p = - 10

A(0, 2500)

40

qo 2500

-10 0 p

B(-10, 0)

2) A função dada por qo = -5 + 1/2p, com 10 < p < 20, onde p é o preço por

unidade e qo é a correspondente oferta de mercado. Construa o gráfico.

Resolução:

p = 0 qo = -5

p = 10 qo = 0

p = 20 qo = 5

Exercícios – “lei” da oferta

1. Seja a oferta de mercado de um produto dada por: qo = p2 – 11p + 28, com p <

60 (reais).

a) A partir de que preço haverá oferta?

b) Qual o valor da oferta para p = R$ 50,00?

2. Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: qo = -20 + 2p, com p < 270

(reais).

a) A partir de que preço haverá oferta?

b) Qual o valor da oferta para p = R$ 270,00?

c) A que preço a oferta será de 180 unidades?

41

qo 5

0 10 20 p

-5 (oferta) 10 < p < 20, (qo > 0)

3. A empresa WP, analisou a venda do produto lanterna à pilha, e verificou-se

que ao se fazer investimentos em propaganda desse produto, suas vendas

seriam 20% maiores a cada aumento de R$ 2,00 no preço unitário da lanterna.

Quando o preço é de R$ 12,00 a empresa vende 500 unidades. Sabendo-se

que a representação é uma reta qual é a “lei” da oferta?

EQUILÍBRIO DE MERCADO

Ponto de equilíbrio de mercado é o ponto de intersecção do gráfico entre a qd

e a qo, ou seja é o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas

coordenadas são preço de equilíbrio (pe) e a quantidade de equilíbrio (qe).

Podem ocorrer gráficos como:

1) q

qo

PE

qd

p

2) q qo

PE qe

qd

pe p

3) q

42

O gráfico tem PE(pe, qe), localizado no 1o quadrante. Isso quer dizer que podemos considerá-lo como ponto de equilíbrio significativo.

Neste gráfico temos um preço negativo, dizemos que é um PE não significativo.

qo

qd

pe

p

qe PE

Exemplos:

1)Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e

demandadas obedecem respectivamente as funções lineares de preço abaixo:

qd = 24 – p

qo = -20 + 10p

Pede-se:

a) o preço e a quantidade de equilíbrio

b) esboçar o gráfico da situação

Resolução:

a)Se PE é a igualdade entre qo e qd, então:

PE qo = qd ou qd = qo, teremos o PE:

24 – p = 10p + p

24 + 20 = 10p + p

44 = 11p

44/11= p

p = 4

substituindo em qd ou qo, temos:

qd = 24 – p qo = -20 + 10(4)

qd = 24 – 4 qo = -20 + 40

qd = 20 qo = 20 Logo, pe = 4 e qe = 20

b)Gráfico p q

interceptos de qd p = 0 qd = 24 A(0, 24)

43

Neste gráfico temos uma quantidade negativa, dizemos que é um PE não significativo.

qd = 0 p = 24 B(24, 0)

interceptos de qo p = 0 qo = -20 C(0, -20)

qo = 0 p = 2 D(2, 0)

qo, qd

24 qo

20 PE(4, 20)

qd

2 4 24 p

-20

2) Dadas: qd = 16 – p2 e qo = -3,5 + 3,5p, determinar o preço de

equilíbrio e a quantidade de equilíbrio (qe).

Resolução:

pe qd = qo

16 – p2 = -3,5 + 3,5p

16 + 3,5 = p2 + 3,5p

19,5 = p2 + 3,5p

p2 + 3,5p –19,5 =0

= b2 – 4ac

= 3,52 – 4(1)(-19,5)

= 12,25 + 78

= 90,25

44

p = - b 2ap = - 3,5 90,25 2.1p = - 3,5 9,5 2p’ = -3,5 + 9,5 p’ = 6 = 3 2 2p” = -3,5 - 9,5 p’’ = -13 = -6,5 2 2

qe = ?

Substituindo em qd ou qo, temos:

qd = 16 – (3)2 qo = -3,5 + 3,5p

qd = 16 – 9 qo = -3,5 + 3,5(3)

qd = 7 qo = -3,5 + 10,5 qo = 7

Logo, pe = 3 e qe = 7

Exercícios – Equilíbrio de Mercado

1. Determinar o preço de equilíbrio em cada um dos seguintes casos:

a) qd = 20 - 5p e qo= 2p – 8

b) qd = 10 – 0,2p e qo = 1/2p - 11

2. Determinar o preço de equilíbrio, a quantidade de equilíbrio.

qd = 34 – 5p

qo = -8 + 2p

3. Em uma certa localidade, a função oferta anual de um produto agrícola é

0,01qo = p + 3, onde p é o preço por Kg e qo é expresso em toneladas:

a) que preço induz uma produção de 500 toneladas?

b) Se o preço por kg for R$ 3,00, qual a produção anual?

c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado, se a função demanda anual for

0,01qd = -p + 10?

TÓPICO III – Expressões numéricas

As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números.

Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão

numérica.

45

Resumidamente:

1) Parênteses

2) Colchetes

3) Chaves

4) Potência ou Radiciação

5) Multiplicação

6) Soma ou Subtração

Veja o exemplo abaixo:

[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / 1 - 2

[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 1 - 2

[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 1 - 2

[6 + 60 - 2] / 1 - 2

64 / 1 - 2

64 - 2

62

TÓPICO IV – Expressões Algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São

também denominadas expressões literais.

Exemplos

A = 2a + 7b

B = (3c + 4) – 5

C = 23c + 4

46

    As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de

cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

Potenciação ou

Radiciação

Multiplicação ou Divisão

Adição ou

Subtração

Observações:

Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a

operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou às vezes sem sinal,

desde que fique clara a intenção da expressão.

Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores

negativos.

Exemplos:

Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

P = 2(5) + 10

P = 10 + 10

P = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor

numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9,

teremos:

A = 2(9) + 10

47

A = 18 + 10

A = 28

Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:

X = 4.(5) + 2 + 7 – 7

X = 20 + 2 – 0

X = 22

Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.

Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então :

Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)

Y = 18 + 2 + 9 + 1 –16

Y = 30 –16

Y = 14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Operações Algébricas

Adição e Subtração

Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes.

Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou

subtrair a parte numérica e conservar a parte literal.

Solução: (7-1+5).xy = 11 xy.

OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por

um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses,

colchetes ou chaves.

Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3x

48

b) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5

Multiplicação de monômio por polinômios

Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio.

Ex: 4a . (2 a – 3x ) Propriedade distributiva

Solução: 8 a2 – 12 ax

Multiplicação de polinômio por polinômio

Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro

polinômio e a seguir reduzimos a termos semelhantes através das operações de

adição e subtração.

Ex: (2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva

Solução: 8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo a termos semelhantes)

8x2 + 2x – 15

Modo Prático

Solução: 2x + 3

4x - 5

8x2 + 12x

- 10x -15

8x2 + 2x -15

Divisão de monômio por polinômio

Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

Ex: (15x3 – 4x2) : (- 5x)

49

Solução =

Divisão de polinômio por polinômio

Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos.

Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4)

1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente;

2º Passo: Colocar a chave de divisão;

3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor

(x) e obtenha o primeiro termo do quociente

2x2 – 5x –12 x – 4 .

2x

4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor,

colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do

dividendo.

5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)

2x2 - 5x -12 x – 4 .

-2x 2 + 8x 2x

+ 3x – 12

6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine.

2x2 - 5x -12 x – 4 .

-2x 2 + 8x 2x +3

50

+ 3x -12

- 3x +12

0

Resposta: 2x+3

Exercícios

1) Calcule o V.N. das expressões algébricas:

a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), para x = - 4 Resp: -6

b) , para a = 3 e b = 4 Resp: 5

c) + , para x = 4

Resp: 8

d) 3x + x , para x = 2 Resp: 81

e) , para x = 1 e y = 3 Resp: - 8

f) x = , calcule x, para a=3,b=- 7 e c=2 Resp: 2

2) Efetue:

a) (2x2-9x+2) + (3x2+7x-1) Resp: 5x2-2x+1

b) (x2-5x+3) + (-4x2-2x) Resp: -3x2-7x+3

c) (4x-y-1) – (9x+y+3) Resp: -5x-2y-4

d) (6x2-6x+9) – (3x2+8x-2) Resp: 3x2-

14x+11

51

e) (x2+2xy+y2) – ( y2+x2+2xy) Resp: 0

3) Calcule os produtos:

a) a2.(m+a3) Resp: a2m+a5

b) 2x.(x-2x+5) Resp: -2x2+10x

c) (3x2-4x-3).(x+1) Resp: 3x3-x2-7x-3

d) (x2+x+1).(x-3) Resp: x3.2x2-2x-3

e) (2x+5).(2x-5) Resp: 4x2-25

4) Efetue as divisões:

a) (x3+2x2+x ) : (x) Resp: x2+2x+1

b) (3x4-6x3+10x2): (-2x2) Resp:

c) (x2+5x+6) : (x+2) Resp: x+3

d) (2x2+6x+4) : (x+1) Resp: 2x+4

e) (x3-27) : (x-3) Resp: x2+3x+9

f) (x2-9) : (x-3) Resp: x+3

NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

52

Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1,

pela sua direita ( Valores maiores que 1 ) e pela sua esquerda ( Valores menores

que 1 ), e calcular y.

À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1

( x 1 ), y tende a 3 ( y 3 ), então temos a notação ...

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

53

y= 2x + 1

0

3

1

x

y

lim ( 2x + 1 ) = 3 x 3

Genericamente temos ...

lim f(x) = b

x a

… mesmo que em alguns casos para x = a resulte y

b.

Vejamos agora :

1 )

; x 1, como x² + x – 2 = ( x – 1 ).( x + 2 ) ; x 1

f(x) =

2, se x = 1 2 se x = 1

► Podemos notar que para x 1, f(x) 3, embora para x = 1, f(x) = 2 3 . Ocorre

porém que procuramos o comportamento da função no primeiro caso ( x 1 ), logo

temos

lim f(x) = 3.

x 1

g (x)

Comprovando . . . lim f(x) = lim ( x -1 ).( x + 2 ) = lim ( x + 2 ) =

1 + 2 = 3

x 1 x 1 x – 1 x 1

Se g : R R e g(x) = x + 2 , lim g(x) = lim ( x + 2 ) = 1 + 2 = 3 , embora

x 1 x 1

54

x

y

3

1

2

0

f(x)

g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

2 ) lim x² - 4 = lim ( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4

x 2 x – 2 x 2 ( x – 2 ) x 2

► Nota-se a impossibilidade de calcularmos para x = 2 ( Indeterminação ).

Trocamos então por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando quando x =

2.

3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim x –1 = 3 – 1 = 2 = 1

x 3 x² - 9 x 3 ( x + 3 )( x – 3 ) x 3 x + 3 3 + 3 6 3

55

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Limite da Soma ou Limite da Diferença

O limite da soma ou da diferença de duas funções é igual à soma ou a diferença

dessas funções, isto é:

lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) = a b

x a x a x a

Exemplos :

a) lim ( x + 4x² ) = lim x + lim 4x² = 2 + 4.2² = 2 + 4.4 = 2 + 16 = 18

x 2 x 2 x 2

b) lim ( 4x² - x ) = lim 4x2 - lim x = 4.2² - 2 = 4.4 - 2= 16 - 2 = 14

x 2 x 2 x 2

Limite do Produto

O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções,

isto é:

lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = a . b

x a x a x a

Exemplo :

56

n

3

a) lim 4x2 = lim 4 . lim x2 = 4 . 32 = 4 . (3.3) = 4 . 9 = 36

x 3 x 3 x 3

Limite do Quociente

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções

( exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:

Exemplo :

lim ( x + 3 )

a) lim ( x + 3 ) = x 2 = 2 + 3 = 5

x 2 ( x + 4 ) lim ( x + 4 ) 2 + 4 6

x 2

Limite de uma potência

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do

limite dessa função, isto é:

lim f(x)n = lim f(x) , n N* = an se a > 0

x a

Exemplo :

a) lim ( x² - 2 )3 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )3 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8

57

x 2 x 2

Limite de uma raiz

O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa

função., isto é:

( Se f(x) 0, n é ímpar )

Exemplo :

EXERCÍCIOS :

1) Calcular

a ) Resposta:10

b ) = Resposta:10

c ) = Resposta: - 5

d ) Resposta: 2

58

e ) lim 3x - 9 = Resposta: 3

x 5 x - 3

f ) lim x 2 – 7x = Resposta: 0

x 7 x + 2

g ) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0

x 1 3x² + 2x - 1

h) lim x 5 - 4 = Resposta: 9

x - 2 x - 2

i) lim 2x – 5 = Resposta:2

x 6

j lim x² + 3 = Resposta:2

x √3 x2

l) lim x² + 3 Resposta: 13

x 7 4

m) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43

x 5

n) lim ( 5 + 3x )7 = Resposta: -1

x - 2

59

o) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| = Resposta: 4

x 0

p) lim = Resposta:

x 1

CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR

TENDEM A ZERO.

Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de

limites, devemos solucionar o problema através da fatoração e simplificação da

função, pois ela não é definida para aquele valor de x.

EXEMPLOS: Calcular:

1) lim x 2 - 9 = 3 2 - 9 = 9 - 9 = 0

x 3 x - 3 3 - 3 9 - 9

Observe que f(x) = x 2 - 9 não é definida para x = 3, e o numerador e o

denominador

x - 3

da fração tendem a zero quando x se aproxima de 3. Portanto, temos que:

Fatorar e simplificar para obtermos o valor :

lim x 2 – 9 = lim ( x + 3 ) . ( x – 3 ) = lim ( x + 3 ) = 3 + 3 = 6

x 3 x - 3 x 3 x - 3 x 3

60

2) Calcular:

lim x 3 – 1 = 1 3 – 1 = 0 , ou seja f(x) = x 3 –1 não é definida para x =1, temos

que

x 1 x - 1 1 - 1 0 x - 1

dividir os polinômios para que obtenhamos o resultado.

1º Passo: colocar em ordem algébrica decrescente as potências;

2º Passo: Dividir, sucessivamente, trocando o sinal do resto até que termine o

divisor.

x3+0x2 +0x - 1 x - 1

-x +x 2 x2 + x + 1

x2 +0x

-x 2 + x

x - 1

-x + 1

0

Logo: lim x2 + x + 1 = 12 + 1+ 1 = 3

x 1

EXERCÍCIOS:

1) Ache o valor de:

a) lim x² - 1 = Resposta: 2

x 1 x – 1

b) lim x 2 – 25 = Resposta: -10

x -5 x + 5

c) lim x 2 + x = Resposta: 1/4

x 0 4x

d) lim x 2 + 5x = Resposta: -5

61

x -5 x + 5

e) lim x 2 - 81 = Resposta: -18

x 9 x + 9

f ) Resposta: 2

2) Calcule:

a) lim x 2 – 10x + 25 = Resposta: 0

x 5 x - 5

b) lim x – 2 = Resposta: 4

x 2 - 2

c) lim x 2 +5x - 14 = Resposta: 9

x 2 x - 2

d) lim x² - 7x + 10 = Resposta: -

x 2 x2 - 4

3) Calcule:

a) lim x 3 - 3x 2 + 3x -1 = Resposta: 0

x 1 x - 1

c) lim x 3 - 1 = Resposta: 3

x 1 x –1

62

d) Resposta: -3

e) Resposta: -

f) lim = Resposta: 7

x 4

g ) Resposta:10

h ) = Resposta:10

i) = Resposta: - 5

j ) Resposta: 2

k ) lim 3x - 9 = Resposta: 3

x 5 x - 3

l) lim x 2 – 7x = Resposta: 0

x 7 x + 2

m ) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0

x 1 3x² + 2x - 1

n) lim x 5 - 4 = Resposta: 9

x - 2 x - 2

p) lim 2x – 5 = Resposta:2

x 6

q) lim x² + 3 = Resposta:2

x x2

63

r) lim x² + 3 Resposta: 13

x 7 4

s) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43

x 5

t) lim ( 5 + 3x )7 = Resposta: -1

x - 2

u) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| = Resposta: 4

x 0

v) lim = Resposta:

x 1

2) Calcule os limites indicados, caso existam.

a) lim x² -1 = Resposta: 2

x 1 x - 1

b) lim x² - 4 = Resposta: - 4

x -2 x + 2

c) lim 2x² - 3x = Resposta: -3

x 0 x

d) lim 2z 2 - 8 = Resposta: 8

z 2 z - 2

64

EXERCÍCIOS EXTRAS: Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule:

a) Resp.=3

b) Resp.=1

c) = Resp.=1

d) (x2 + 1)= Resp.=5

e) = Resp.=6/5

Exercícios:

1-Calcule os seguintes limites, utilizando as propriedades:

a) Resp.=4

b) Resp.=4/7

c) Resp.=2

d) Resp.=2

e) Resp.=4

65

f) Resp. = -12

g) Resp. = 2

h) Resp. = 2

i) Resp. = 4

j) Resp.= 6

k) Resp.= 2/5

l) Resp.= -7/3

m) Resp. = 7/11

n) Resp. = 3/2

o) Resp.= 2

Exercícios Extras:

Calcule o limite das funções abaixo:

a)

b)

c)

d)

66

e)

f)

g)

h)

i)

j)

K)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

Respostas Exercícios Extras:

a)-8 b)2 c)1/6 d)-6 e)- 1/14 f)0 g)12 h)1/2 i)0 j)1/7 k)0

l)- 5/2 m)0 n)4/3 o)-5/2 p)2 q)-1 r)3

TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO

67

Consideremos uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio; sejam

f(x0) e f(x1) as correspondentes imagens.

Chamamos de taxa de variação de f, ao quociente:

e tal taxa mede o ritmo de variação de f(x) ou y em relação a x.

Usando o símbolo ∆ para indicar uma variação, podemos indicar a taxa de variação f

pela relação:

Exemplo: Seja a função f(x) = x2 ou y = x2. Calcular e interpretar o valor da taxa

média de variação no intervalo [1,3].

Isto significa que se x varia 2 unidades, a variação de y será 4 vezes.

68

Exemplo 2: Seja a função y = x2 -8x. Calcular e interpretar o valor da taxa média de

variação no intervalo [2,6].

No intervalo [2,6] a função tem crescimento médio nulo.

Exercícios:

Calcular e interpretar o valor da taxa média de variação das funções nos intervalos

dados:

a)y = 3x + 10 [2,5]

b)y = 10x – x2 [0,2]

c)y = x + 1 [5,8]

d)y = 3 – 2x [1,3]

e)y = 2x2 [3,5]

Consideremos novamente a função y = 3x + 10 e calculemos a taxa média de

variação a partir de um ponto genérico x0 = x e um acréscimo também genérico ∆x.

[x0,x1] = [x, x+∆x]

Exercícios: Fazer o exercício anterior, desconsiderando os intervalos dados.

Exercícios extras:

Calcule a fórmula da taxa média de variação nas funções abaixo:

a)y = 2x2 +3

b)y = 5x +4

c)y = -3x

d)y = x2 – 4

e)y = 2

69

f)y = 3x + 5

g)y = 5x + 8

h)y = -8x + 5

i)y = 2 – 4x

j)y = 3x2 + 1

Respostas:

a)4x + 2∆x

b)5

c)-3

d)2x +∆x

e)0

f)3

g)5

h)-8

i)- 4

j)6x + 3∆x

CONCEITO DE DERIVADA

Seja f(x) uma função e x um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de f no

ponto x o limite dado por

e indica-se por f’(x) ou y’.

Exemplo: Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x0=3?

70

Isso significa que um pequeno acréscimo ∆x dado a x, a partir de x=3 , acarretará

um correspondente acréscimo ∆f que é aproximadamente 6 vezes maior que o

acréscimo ∆x ou seja ∆f = 6.∆x

2º exemplo:Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x= - 2?

f’(x)=lim∆x→0 2x + ∆x = 2(-2)= -4 logo ∆f = -4∆x (decréscimo 4 vezes maior)

Importante

f’(x) é aproximadamente igual a ∆f/∆x para ∆x pequeno.

Exercícios:

Calcule a derivada para as funções abaixo:

a)y = 2x + 3

b)y = -4x

c)y = x2 -4

d)y = x2 -3x

e)y = 5x

f)y = 6 + x

g)y = 2x2 + 2

Respostas: a)2 b)-4 c)2x d)2x-3 e)5 f)1 g)4x

Exercícios Extras:

Cacule a derivada para as funções abaixo:

a)y = 7x

b)y = -2x

c)y = 2x + 9

d)y = 5 – 3x

e)y = x – 3

f)y = 6x – 1

g)y = 4x2

h)y = 6x2

i)y = x2 + 5

71

j)y = x2 + 7

k)y = 8x2 + 3

l)y = 7x2 + 5

m)y = 2x2 + x

n)y= 3x2 – x

o)y = 5x2 + 2x

Respostas: a)7 b)-2 c)2 d)-3 e)1 f)6 g)8x h)12x i)2x j)2x k)16x

l)14x m)4x +1 n)6x -1 o)10x +2

DERIVADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES

1 – Derivada da função constante

Se f(x) = c (função constante), então f’(x) = 0 para todo x real.

Ex: f(x) = 2 então f’(x) = 0

2 – Derivada da função potência

Se f(x) = xn então f’(x) = n.xn-1

Ex: f(x) = x2 logo f’(x) = 2x

f(x) = x8 logo f’(x) = 8x7

f(x) = 3x2 logo f’(x) = 6x

f(x) = 4x3 logo f’(x) = 12x2

f(x) = 5x logo f’(x) = 5

72

Propriedades Operatórias:

Se f(x) = u(x) + v(x) então f’(x) = u’(x) + v’(x) (o mesmo para a subtração de

funções)

Exemplo: y = 4x2 + 8x então y’ = 8x + 8

y = 3x3 – 5x2 então y” = 9x2 – 10x

Exercícios calcular a derivada das funções abaixo:

1)y = 5 2)y = -8 3)y = x3

4)y = x5 5)y = x20 6)y = 6x

7)y= -6x3 8)y = 2x4 9)y = 1/3 x

10)y = ¾ x 11) y=3x2 12)y = 5x3

13)y = ¼ x2 14)x2 + 3x + 1 15)y = 3x2 + 4x – 10

16)y = x3 + 4x2 + 2x 17)y = x3 + 2x3 18)y = x7 + 2x4 + 3x5

19)y = 4 + 2x 20)y = 3 + 5x6 21)y = 4x – 5x6

22)y=2 – 6x 23)y = 4x2 – 2/3 24)y = 2/3 x + 1/3 x2

Respostas:

1) y’=0 2) y’=0 3) y’= 3x2 4) y’= 5x4 5) y’= 20x19 6) y’=6 7) y’= -18x2 8)

y’= 8x3

9) y’= 10) y’= 11) y’=6x 12) y’=15x2 13) y’= 14) y’= 2x+3 15) y’=6x+4

16) y’= 3x2 +8x + 2 17) y’=3x2 +6x2 logo 9x2 18) y’=7x6 +8x3 +15x4 19) y’=2

73

20)y’= 30x5 21) y’= 4-30x5 22) y’=-6 23) y’=8x 24)=y’=

DERIVADA DO PRODUTO E DO QUOCIENTE

Sejam u(x) e v(x) funções deriváveis. Então y = u(x) . v(x) logo y’ = u’.v + u.v’

(deriva,copia + copia, deriva)

Exemplo:

y = (2x).(x2) logo y’ =2.x2 + 2x(2x) = 2x2 + 4x2 = 6x2

Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis.

Então

Exemplo:

Então

Exercícios:

Derivar as funções abaixo:

1)

2) 3) 4)

5) 6)y = x2.(3x2 – 7x + 2) 7)y = x3. (2x2 – 3x)

8)y= (x3 -7).(2x2 + 3) 9)y = 2x.(x3 -7) 10)y = x3.(x4 + 8x)

74

11)y=(2x3 – 5x – 1).(6x2 +1) 12)y=(x2 -1).(x2 +1) 13)y = (x-1).(2x – 3)

14) 15) 16)

17) 18) 19)y=(x3 +4).(x4 -1)

20)y = x.(x2) 21) 22)y=

Respostas:

1) y’= 2) y’= 3) 4) 5)

6) 7) y’=10x4 –12x3 8) y’=10x4 +9x2 –28x 9) y’=8x3 –14

10) y’= 7x6+ 32x3 11) y’= 60x4 –84x2 –12x –5 12) y’= 4x3 13) y’= 4x-5 14)

15) 16) 17) 18)

19) y’= 7x6+16x3-3x2 20) y’= 3x2 21) 22)

75

PESQUISA DE PONTOS DE MAXIMOS E MINIMOS

ATRAVES DO ESTUDO DO SINAL DA DERIVADA

1º Momento – Cálculo das coordenadas (abscissas e ordenadas) de pontos de

máximos e/ou mínimos absolutos.

2º Momento – Cálculo de áreas e volumes de algumas figuras planas.

Demonstrações

Consideremos y = f(x) uma função de variável real com as seguintes

condições:

- Definida – Existe o valor numérico para qualquer ponto de intervalo

considerado.[a,b] = , seja [a,b] – condição de ser

definida: .

- Derivável – Existe o limite da função para x tendendo a qualquer ponto do

intervalo considerado:

- Contínua – O valor numérico deverá ser igual ao limite de f(x)

Portanto, sendo a função dada definida, derivável e contínua podemos esboçar

graficamente:

76

Os pontos B, D e F são pontos de mínimo relativos.

O ponto F é chamado de mínimo absoluto.

Os pontos A,C e E são pontos de máximo relativos.

O ponto E é chamado de mínimo absoluto.

Nosso objetivo está focado em calcular os pontos de máximos e mínimos absolutos.

Descreveremos a seguir um roteiro, ou seja, uma seqüência de procedimentos para

chegarmos ao nosso objetivo:

Dada f(x),

I) Calcular a derivada de 1ª ordem da função dada. (f’(x));

II) Transformar a função derivada de 1ª ordem numa equação.(f’(x) = 0)

III) Achar as raízes da função obtida.

sendo e raízes da função

IV) Calcular derivada de 2ª ordem. (f’’(x));

V) Estudar o sinal de f’’(x) para as raízes obtidas.

Se:

, então abscissa de mínima.

, então nem máxima nem mínima.

, então abscissa de máxima.

77

a

A.

.

.

.

.

. b

x

B

C

D

E

F

Mesmo procedimento para ;

VI) Para calcular a ordenada basta achar o valor numérico da função para as

raízes obtidas, (substituir na função raiz).

Exemplo:

Dada a função , determine os pontos de máximos e mínimos

da função, se houver:

I)

II)

III)

; raízes = 4 e 1

IV)

V) para x = 4 ‘para x = 1

então, abscissa de mínima então, abscissa de máxima

VI) para x = 4 para x = 1

78

Solução: o par ordenado é um ponto de máximo e o par ordenado é

um ponto de mínimo.

Exercícios:

1. Determine os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções:

a)

b)

c)

d)

e)

Ex:

A) tmv=3

B) tmv=8

C) tmv=1

D) tmv=-2

E) tmv=16

79

80