8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

1/9

Sistemas Lineares

Equao linear

Equao linear toda equao da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1,a2, a3, ... , anso nmeros reais, que recebem o nome de coeficientesdasincgnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b um nmero real chamado termo independente( quando b=0, a equaorecebe o nome de linear homognea).

Veja alguns exemplos de equaes lineares:

3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4

(homognea)

As equaes a seguir no so lineares:

xy - 3z + t = 8 x2- 4y = 3t - 4

Sistema linear

Um conjunto de equaes lineares da forma:

um sistema linear de m equaes e n incgnitas.

A soluo de um sistema linear a n-upla de nmeros reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn)que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incgnitas do sistema.

Em relao ao sistema:

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

2/9

a matriz incompleta :

matriz completa: matriz B que se obtm acrescentando matriz incompleta uma ltimacoluna formada pelos termos independentes das equaes do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa :

Sistemas homogneos

Um sistema homogneo quando todos os termos independentes da equaes so nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) sempre soluo de um sistema homogneo com n incgnitas e recebeo nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.

Classificao de um sistema quanto ao nmero de solues

Resolvendo o sistema , encontramos uma nica soluo: o par ordenado (3,5).Assim, dizemos que o sistema possvel (tem soluo) e determinado (soluo nica).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8),

(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...so algumas de suas infinitas solues. Por isso, dizemos que osistema possvel (tem soluo) e indeterminado (infinitas solues).

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

3/9

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente asequaes. Portanto, o sistema impossvel (no tem soluo).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possvel e determinado (soluo nica);b) possvel e indeterminado (infinitas solues);c) impossvel (no tem soluo).

Sistema normal

Um sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e odeterminante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero.

Se m=n e det A 0, ento o sistema normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma nica soluo dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A o determinante da matriz incompleta associada ao sistema,e Dxi o determinante obtido pela substituio, na matriz incompleta, da coluna i pela colunaformada pelos termos independentes.

Discusso de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equaes e n incgnitas, ele pode ser:

a) possvel e determinado, se D=det A 0; caso em que a soluo nica.

Exemplo:

m=n=3

Ento, o sistema possvel e determinado, tendo soluo nica.

b) possvel e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essacondio s ser vlida se no houver equaes com coeficientes das incgnitasrespectivamente proporcionais e termos independentes no-proporcionais.

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

4/9

Um sistema possvel e indeterminado apresenta infinitas solues.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema possvel e indeterminado, tendo infinitas solues.

c) impossvel, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema no tem soluo.

Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema impossvel e no apresenta soluo.

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo.

Por exemplo, dados os sistemas:

e

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico. Logo, S1 e S2 soequivalentes: S1 ~ S2.

Propriedades

a) Trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

e

S1 ~S2

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

5/9

b) Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero K (K IR*), obtemosum sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2

c) Adicionando a uma das equaes de um sistema o produto de outra equao desse mesmosistema por um nmero k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado , substituindo a equao (II) pela soma do produto de (I) por -1com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) soluo de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o nmero deequaes (m) igual ao nmero de incgnitas (n). Quando m e n so maiores que trs, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a tcnica do escalonamento, quefacilita a discusso e resoluo de quaisquer sistemas lineares.

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente no-nulo em cadaequao, est escalonado se o nmero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente nonulo aumenta de equao para equao.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1 equao uma das que possuem o coeficiente da 1 incgnita diferente dezero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1incgnita das demais equaes.

c) Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o sistema se torne escalonado.

Vamos ento aplicar a tcnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas (m=n)

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

6/9

Exemplo 1:

1passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao, aplicando aspropriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posio a 1 equao com a 2 equao, de modo que o 1 coeficientede x seja igual a 1:

Trocamos a 2 equao pela soma da 1 equao, multiplicada por -2, com a 2

equao:

Trocamos a 3 equao pela soma da 1 equao, multiplicada por -3, com a 3equao:

2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita a partir da 3 equao:

Trocamos a 3 equao pela soma da 2 equao, multiplicada por -1, com a 3equao:

Agora o sistema est escalonado e podemos resolv-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

7/9

Ento, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:

1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao:

Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por -2 com a 2 equao:

Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por -3 com a 3 equao:

2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao:

Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por -1 com a 3 equao:

Dessa forma, o sistema est escalonando. Como no existe valor real de z tal que 0z=-2, osistema impossvel.

II) O nmero de equaes menor que o nmero de incgnitas (m < n)

Exemplo:

1 passo: Anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita a partir da 2 equao:

Trocamos a 2 equao pela soma do produto da 1 equao por -2 com a 2 equao:

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

8/9

Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 1 equao por -1 com a 3 equao:

2 passo: Anulamos os coeficientes da 2 incgnita, a partir da 3 equao:

Trocamos a 3 equao pela soma do produto da 2 equao por -3 com a 3 equao

O sistema est escalonado. Como m

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Sistemas Lineares

9/9

Conhecidos z,t e y, substitumos esses valores na 1 equao:

Assim, a soluo do sistema dada por S= , com IR.

Para cada valor que seja atribudo a , encontraremos uma qudrupla que soluo para osistema.