Matemática – Unidade 2. Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni...
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Matemática – Unidade 2
Educação a Distância – EaD
Professor: Flávio Brustoloni
Matemática
Cronograma: Turma ADG0096
Matemática
Data Atividade
20/102º Encontro
1ª Avaliação Disciplina
06/10 1º Encontro
27/103º Encontro
2ª Avaliação Disciplina
10/114º Encontro
3ª Avaliação Disciplina (FINAL)
06/10 1º Encontro
Objetivos desta Unidade:• Reconhecer relações entre grandezas variáveis dadas por gráficos,
tabelas e fórmulas;
1/92
• Desenvolver o conceito de função;
• Reconhecer e definir função;
• Analisar e determinar o domínio, contradomínio e imagem de uma função;
• Construir, ler e interpretar gráficos de funções;
• Reconhecer quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora;
• Analisar gráficos para estabelecer crescimento, decrescimento e raízes de uma função;
• Reconhecer e definir função polinomial e função exponencial.
Unidade 2
A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
2/92
TÓPICO 1
Relações e Funções
3/92
1 Introdução
Iremos estudar em um caso particular de relações entre dois conjuntos A e
B: são relações em que cada elemento de A está relacionado com
um único elemento de B. Uma relação que satisfaz a essa propriedade
recebe o nome de função ou aplicação binária.
(Estamos na página 69 da apostila)4/92
Tópico 1
1 IntroduçãoExemplo
(Estamos na página 69 da apostila)5/92
Tópico 1Conjunto
das ESPOSAS
Conjunto dos
MARIDOS
Cada item do conjunto B só pode relacionar-se com UM item do
conjunto A, ou seja, cada MARIDO só poderá ter UMA
ESPOSA e vice-versa.
A B
2 O Conceito de Função
Considere o seguinte exemplo:
Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas
partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1.200,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele
fez durante o mês.
(Estamos na página 69 da apostila)6/92
Tópico 1
2 O Conceito de Função
Como expressar, através de uma lei matemática, o salário mensal deste
vendedor?
Qual o salário do vendedor se, no período de um mês, ele vender
10.000 produtos?
(Estamos na página 70 da apostila)7/92
Tópico 1
2 O Conceito de Função
Salário Mensal = 1.200,00 + 0,08 . (total de vendas do mês)
(Estamos na página 70 da apostila)8/92
Tópico 1
S(q) = 1.200,00 + 0,08q
y = 1.200,00 + 0,08x
2 O Conceito de Função
S e q expressam, respectivamente, as variáveis salário e quantidade
vendida. A expressão S(q) simboliza que o salário depende da quantidade
vendida, ou seja, q é variável independente e S é variável
dependente.
(Estamos na página 70 da apostila)9/92
Tópico 1
2 O Conceito de Função
O gráfico a seguir representa o comportamento de uma substância intravenosa em um paciente com
câncer. O mesmo modelo se aplicaria à ingestão de uma bebida alcoólica ou
de um entorpecente, porém com variações distintas de tempo.
(Estamos na página 70 da apostila)10/92
Tópico 1
2 O Conceito de Função
(Estamos na página 70 da apostila)11/92
Tópico 1
01 2 3 4 5 6 7
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Figura 2 - COMPORTAMENTO DE UMA SUBSTÂNCIA INTRAVENOSAEM PACIENTE COM CÂNCER
Tempo em Meses
Qua
ntid
ade
da
Su
bst
ânci
a
2 O Conceito de Função
O comportamento desta função, denominada função exponencial,
pode ser expresso algebricamente pela lei matemática:
(Estamos na página 71 da apostila)12/92
Tópico 1
Q(t) = (1/2)t ou y = (1/2)x
2 O Conceito de Função
Q e t expressam, respectivamente, as variáveis quantidade de substância e tempo em meses. Na expressão Q(t)
simboliza que a quantidade de substância depende do tempo, logo, podemos classificar o tempo como
variável independente e a quantidade de substância como variável dependente.
(Estamos na página 71 da apostila)13/92
Tópico 1
3 Definição de Função
Função é um cálculo feito por meio de uma fórmula, regra ou lei algébrica,
isto porque muitos fenômenos físicos podem ser melhor compreendidos se modelados matematicamente através
de uma função.
(Estamos na página 72 da apostila)14/92
Tópico 1
4 Domínio e Imagem de uma Função
Quando estamos analisando uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis
para a variável independente.
(Estamos na página 72 da apostila)15/92
Tópico 1
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
a) f(x) = 3/x-2
(Estamos na página 73 da apostila)16/92
Tópico 1
• a função foi definida no conjunto dos números reais;• se x=2 teríamos 3/0, que não é definida nos reais;
D(f) = {x R |x 2} D(f) = R - {2} ou
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
b) f(x) = x
(Estamos na página 73 da apostila)17/92
Tópico 1
• não existe a possibilidade de x<0, pois invalida a operação de raiz quadrada;
D(f) = {x R |x 0} D(f) = R ou +
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
c) f(x) = 2x
(Estamos na página 73 da apostila)18/92
Tópico 1
• sem nenhum tipo de restrição algébrica;
D(f) = {x R} D(f) = R ou
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
(Estamos na página 73 da apostila)19/92
Tópico 1
Uma microempresa especializada em lanches investe R$ 1.500,00 em
equipamentos e gasta mais R$ 1,50 para cada lanche produzido. A equação
C(q) = 1.500 + 1,50q representa esta situação algebricamente, onde C é a
variável que expressa o custo em função da quantidade q de lanches.
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
(Estamos na página 73 da apostila)20/92
Tópico 1
O domínio da função refere-se ao conjunto de possíveis valores atribuídos a q
(quantidade de lanches produzida) que determinarão o custo C. Observe que q
pressupõe um valor inteiro não negativo, ou simplesmente um númeral natural:
D(f) = {q N} D(f) = Nou
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
a) f(x) = 3/x-2
(Estamos na página 74 da apostila)21/92
Tópico 1
• a imagem consiste no conjunto de valores que f(x) pode assumir dados os valores atribuídos a x. Observe que f(x) pode assumir valores inteiros, positivos, negativos, mas jamais poderá ser zero, pois não existe um valor para o qual 3 possa ser dividido, resultando em quociente zero.
Im(f) = {y R |y 0} Im(f) = R* ou
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
b) f(x) = x
(Estamos na página 74 da apostila)22/92
Tópico 1
• assim como no domínio, todos os reais não negativos;
Im(f) = {y R |y 0} Im(f) = R ou+
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
c) f(x) = 2x
(Estamos na página 73 da apostila)18/92
Tópico 1
• sem nenhum tipo de restrição algébrica;
Im(f) = {y R} Im(f) = R ou
4 Domínio e Imagem de uma FunçãoExemplos
(Estamos na página 73 da apostila)19/92
Tópico 1
Para o exemplo expresso por C(q) = 1.500 + 1,50q, o domínio ficou restrito ao conjunto dos números naturais, pois se referia à quantidade de lanches produzidos. Já o conjunto imagem
será os reais não negativos, visto que a produção de 9 lanches, por exemplo, irá gerar um custo de C(9) = 1.500 + 1,50(9) = 1.513,50
(que não pertence aos números naturais).
Im(f) = {C R } Im(f) = R ou +
5 Classificação das Funções5.1 Função Injetora
(Estamos na página 75 da apostila)20/92
Tópico 1
Uma função é dita injetora se é uma relação um a um, ou seja, se para cada elemento distinto do domínio, x A, está
associado um elemento distinto da imagem, y B.
5 Classificação das Funções5.1 Função Injetora
(Estamos na página 75 da apostila)21/92
Tópico 1
a) f(x) = x + 1
Observe que f é injetora, pois a cada elemento do conjunto de entrada A
está associado um elemento do conjunto de saída B.
5 Classificação das Funções5.1 Função Injetora
(Estamos na página 75 da apostila)22/92
Tópico 1
• -1
• 0
• 1
• 2
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
A Bf
f
f
f
5 Classificação das Funções5.1 Função Injetora
(Estamos na página 76 da apostila)23/92
Tópico 1
b) f(x) = x2
Esta aplicação não é injetora, pois dois valores distintos do conjunto de
entrada estão associados a um mesmo valor do conjunto de saída. Por exemplo, para x=3 e para x=-3
temos que f(3) = f(-3) = 9.
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 76 da apostila)24/92
Tópico 1
Uma função é dita sobrejetora se a imagem for constituída por todo
o conjunto B, ou seja, todos os elementos de B estiverem
envolvidos na relação.
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 76 da apostila)25/92
Tópico 1
a) f(x) = x2
Observe que esta função é sobrejetora, pois o conjunto imagem é Im(f) = R, que é próprio conjunto B.
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 76 da apostila)26/92
Tópico 1
• -2
• -1
• 0
• 1
• 4
• 1
• 0
A Bf
f
f
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 76 da apostila)27/92
Tópico 1
b) f: Z Z, y = f(x) = x
Observe que esta função é sobrejetora, pois para cada valor Z do domínio, há relacionada uma imagem
de mesmo valor em Z. Assim, dizemos Im(f) = Z = B.
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 77 da apostila)28/92
Tópico 1
Y
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1-1 2 3 4 5-2-3-4-5
X
Gráfico 1 - Representação Gráfica da Função
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 77 da apostila)29/92
Tópico 1
c) f: R R, f(x) = 2x2 + 4x -1
Observe que ao tentarmos encontrar um valor de x para o qual f(x) = -4, obtemos uma equação do segundo grau completa que após resolvida
não admite soluções reais:
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 77 da apostila)30/92
Tópico 1
f(x) = 2x2 + 4x -1 (função 2º Grau)
-4 = 2x2 + 4x -1 (equação 2º Grau)
2x2 + 4x +3 = 0 (equação 2º Grau completa)
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 78 da apostila)31/92
Tópico 1
x = -b - b - 4ac2+
2a
x = -4 - 4 - 4.2.32+
2.2
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 78 da apostila)32/92
Tópico 1
x = -4 - 16 - 24+
4
x = -4 - -8+
4Não há solução, uma vez que -8 R.
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 78 da apostila)33/92
Tópico 1
Gráfico 2 - Representação Gráfica da FunçãoY
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1-1 2 3 4 5-2-3-4-5
X
5 Classificação das Funções5.2 Função Sobrejetora
(Estamos na página 78 da apostila)29/92
Tópico 1
Observe pelo gráfico que as coordenadas do ponto mínimo para o
qual existe imagem é x = -1 que gera y = -3, que são as coordenadas do vértice
desta curva denominada parábola, gerada pela função f(x) = 2x2 + 4x +3.
Esta função não é classificada como sobrejetora.
5 Classificação das Funções5.3 Função Bijetora
(Estamos na página 79 da apostila)30/92
Tópico 1
Uma função é dita bijetora se for, simultaneamente, injetora e sobrejetora,
ou seja, se para diferentes valores de x A estiverem associados diferentes valores de y B e ainda se todos os
elementos de B possuírem um elemento do domínio associado através de f.
f(x) = 2x + 1
5 Classificação das Funções5.3 Função Bijetora
(Estamos na página 79 da apostila)31/92
Tópico 1
• 0
• 2• 1
• 5
• 7
A Bf
f
f• 3
f(x) = 2x + 1
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.1 Par Ordenado
(Estamos na página 80 da apostila)32/92
Tópico 1
Sejam os conjuntos A e B (não vazios); chamamos de par ordenado dos
elementos de A e B ao par (a, b), onde a A e b B, nesta ordem.
A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9}
(1, 2) é par ordenado de A e B, pois 1 A e 2 B.
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.1 Par Ordenado
(Estamos na página 80 da apostila)33/92
Tópico 1
A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9}
(4, 2) não é par ordenado de A e B, pois 4 A e 2 B.
?
(8, 2) é par ordenado de A e B, pois 8 A e 2 B.
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.2 Sistema Cartesiano Ortogonal
(Estamos na página 81 da apostila)34/92
Tópico 1
Y
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1-1 2 3 4 5-2-3-4-5
X
Quadrante II Quadrante I
Quadrante III Quadrante IV
• Ponto A(5,4)A • Ponto C(-3,1)
C
a) f(x) = 3x
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano
(Estamos na página 82 da apostila)35/92
Tópico 1
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=3x (x, y)-2 -6 (-2, -6)
-1 -3 (-1, -3)
0 0 (0, 0)
1 3 (1, 3)
2 6 (2, 6)
3 9 (3, 9)
b) f(x) = -x2
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano
(Estamos na página 83 da apostila)36/92
Tópico 1
x y=-x2 (x, y)-2 -4 (-2, -4)
-1 -1 (-1, -1)
0 0 (0, 0)
1 -1 (1, -1)
2 -4 (2, -4)
Y
0
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
1-1 2 3-2-3
X
Gráfico 6 – População Brasileira de 1940 a 1990
7 Função Crescente e Função DecrescenteExemplo de Função Crescente
(Estamos na página 84 da apostila)37/92
Tópico 1
0
20
40
60
80
100
120
140
1940 1950 1960 1970 1980 1990Anos
Milh
ões
de
Hab
itan
tes
Gráfico 7 – Tanque de Água se esvaziando
7 Função Crescente e Função DecrescenteExemplo de Função Decrescente
(Estamos na página 84 da apostila)38/92
Tópico 1
0
100
200
300
400
500
600
700
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tempo (em minutos)
Vo
lum
e (e
m li
tro
s)
Gráfico 8 – Comportamento de um Projétil
7 Função Crescente e Função DecrescenteExemplo de Função Crescente e Decrescente
(Estamos na página 85 da apostila)39/92
Tópico 1
h (m )
4 5
t(s )3
4 0
2 4
2 5
1 5 60
* No intervalo de 0 a 3 seg a função é crescente.
* No intervalo de 3 a 6 seg a função é decrescente.
TÓPICO 2
Função Polinomial do 1º Grau
40/92
2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim
(Estamos na página 91 da apostila)41/92
Tópico 2
Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado
em função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por:
f(x) = 230 – 50x
2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim
(Estamos na página 91 da apostila)42/92
Tópico 2
f(x) = 230 – 50x
Esta função é polinomial do 1º grau ou função afim pois atende à
seguinte definição:
Existem dois números a e b, tal que f(x) = ax + b, para todo x R.
a) f(x) = 2x
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau3.1 Função Linear
(Estamos na página 92 da apostila)43/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=2x (x, y)-2 -4 (-2, -4)
-1 -2 (-1, -2)
0 0 (0, 0)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
b) f(x) = -2x
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau3.1 Função Linear
(Estamos na página 93 da apostila)44/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=2x (x, y)-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 0 (0, 0)
1 -2 (1, -2)
2 -4 (2, -4)
a) f(x) = 3
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante
(Estamos na página 94 da apostila)45/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=3 (x, y)-2 3 (-2, 3)
-1 3 (-1, 3)
0 3 (0, 3)
1 3 (1, 3)
2 3 (2, 3)
b) f(x) = -3
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante
(Estamos na página 94 da apostila)46/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=-3 (x, y)-2 -3 (-2, -3)
-1 -3 (-1, -3)
0 -3 (0, -3)
1 -3 (1, -3)
2 -3 (2, -3)
a) f(x) = x
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.3 Função Identidade
(Estamos na página 94 da apostila)47/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=x (x, y)-2 -2 (-2, -2)
-1 -1 (-1, -1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 2)
a) f(x) = x + 2
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação
(Estamos na página 95 da apostila)48/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=x+2 (x, y)-2 0 (-2, 0)
-1 1 (-1, 1)
0 2 (0, 2)
1 3 (1, 3)
2 4 (2, 4)
b) f(x) = x - 2
3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação
(Estamos na página 95 da apostila)49/92
Tópico 2
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
x y=x-2 (x, y)-2 -4 (-2, -4)
-1 -3 (-1, -3)
0 -2 (0, -2)
1 -1 (1, -1)
2 0 (2, 0)
4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
(Estamos na página 96 da apostila)50/92
Tópico 2
Exemplo 1:
Dados o ponto P(2, 3), ou seja x=2 e y=3 (par ordenado) e o ponto Q(4, 5), ou seja x=4 e y=5, podemos encontrar a função que passa por estes pontos, levando em
consideração que y = ax + b.
4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
(Estamos na página 96 da apostila)51/92
Tópico 2
y = ax + b
xa + b = y
2a + b = 34a + b = 5
Ponto P(2, 3)
Ponto Q(4, 5)
-2a - b = -34a + b = 5
.(-1)
4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
(Estamos na página 96 da apostila)52/92
Tópico 2
-2a - b = -34a + b = 52a / = 2
a = 1
2a + b = 3
2.1 + b = 32 + b = 3b = 3 – 2
b = 1y = ax + by = x + 1
4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
(Estamos na página 96 da apostila)53/92
Tópico 2
Exemplo 2:
Dados o ponto P(1, 2) e o ponto Q(3, 7), determine a função polinomial do 1º
Grau.
4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
(Estamos na página 97 da apostila)54/92
Tópico 2
y = ax + b
xa + b = y
1a + b = 23a + b = 7
Ponto P(1, 2)
Ponto Q(3, 7)
-a - b = -23a + b = 7
.(-1)
4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
(Estamos na página 97 da apostila)55/92
Tópico 2
-a - b = -23a + b = 72a / = 5a = 5/2
a + b = 2
5/2 + b = 2b = 2 – 5/2b = (4-5)/2
b = -1/2y = ax + by = (5/2)x – 1/2
5 Função Afim Crescente e DecrescenteFunção Crescente: a>0
(Estamos na página 98 da apostila)56/92
Tópico 2
x1 < x2
f(x1) < f(x2)
y
f(x )2
x
(0 , b )
x 20
f(x )1
x 1
f(x )
5 Função Afim Crescente e DecrescenteFunção Decrescente: a<0
(Estamos na página 98 da apostila)57/92
Tópico 2
x1 > x2
f(x1) > f(x2)
y
f(x )2
x
(0 , b )
x 20
f(x )1
x 1
f(x )
TÓPICO 3
Função Polinomial do 2º Grau
58/92
2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
(Estamos na página 103 da apostila)59/92
Tópico 3
O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é
dado pela função abaixo, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de
unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para
que o custo seja mínimo?
C(x) = x2 – 86x + 2500
2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
(Estamos na página 103 da apostila)60/92
Tópico 3
C(x) = x2 – 86x + 2500
Esta função é polinomial do 2º grau ou função quadrática pois atende à
seguinte definição:
Existem números a, b e c, tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a 0 e
para todo x R.
2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
(Estamos na página 104 da apostila)61/92
Tópico 3
Outros exemplos:
• y = 2x2 – 4x + 3 (a=2, b=-4, c=3)
• f(x) = x2 - 4 (a=1, b=0, c=-4)
• y = 5x – 3x2 (a=-3, b=5, c=0)
a) f(x) = x2 - 1
3 Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
(Estamos na página 104 da apostila)62/92
Tópico 3
x y=x2-1 (x, y)-3 8 (-3, 8)
-2 3 (-2, 3)
-1 0 (-1, 0)
0 -1 (0, -1)
1 0 (1, 0)
2 3 (2, 3)
3 8 (3, 8)
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
b) f(x) = -2x2 - 1
3 Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
(Estamos na página 105 da apostila)63/92
Tópico 3
x y=-2x2-1 (x, y)-2 -9 (-2, -9)
-1 -3 (-1, -3)
0 -1 (0, -1)
1 -3 (1, -3)
2 -9 (2, -9)
X
Y
0 1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
1º Caso: >0 Implica 2 raízes reais e distintas.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 106 da apostila)64/92
Tópico 3
Dada a função y = 2x2 – x – 1, para obtermos os pontos de intersecção da
parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação
decorrente 2x2 – x – 1 = 0.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 106 da apostila)65/92
Tópico 3
2x - x - 1 = 0 = b - 4ac = (-1) - 4.2.(-1) = 1 + 8 = 9
2
2
2
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 106 da apostila)66/92
Tópico 3
x = -b - b - 4ac2+
2a
x = -(-1)-2.2
+
x = -(-1)-2.2
+ 9
x = 1-4
+3
x = 11
x = 221- = -0,5
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 107 da apostila)67/92
Tópico 3
y
x
0
1
2
3
4
5
6
0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5
-1
- 0 ,5-1-1 ,5-2
y = 2x2 – x - 1 Implica 2 raízes reais e distintas.
O coeficiente a = 2 implica que a concavidade da parábola seja para cima.
2º Caso: =0 Implica 2 raízes reais e iguais.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 107 da apostila)68/92
Tópico 3
Dada a função y = -x2 + 6x – 9, para obtermos os pontos de intersecção da
parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação
decorrente -x2 + 6x – 9 = 0.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 107 da apostila)69/92
Tópico 3
-x + 6x - 9 = 0 = b - 4ac = 6 - 4.(-1).(-9) = 36 - 36 = 0
2
2
2
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 107 da apostila)70/92
Tópico 3
x = -b - b - 4ac2+
2a
x = -6 -2.(-1)
+
x = -6 --2
+ 0
x = 1 x = 32
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 108 da apostila)71/92
Tópico 3
y = -x2 + 6x - 9 Implica 2 raízes reais e iguais.
O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo.
y
x0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5 6 7
3º Caso: <0 Implica a inexistência de raízes reais.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 108 da apostila)72/92
Tópico 3
Dada a função y = -x2 + 4x – 5, verifique a inexistência de raízes reais, atribuindo zero
à variável y e resolvemos a equação decorrente -x2 + 4x – 5 = 0.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 108 da apostila)73/92
Tópico 3
-x + 4x - 5 = 0 = b - 4ac = 4 - 4.(-1).(-5) = 16 - 20 = -4
2
2
2
4 Pontos Notáveis da Parábola4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X
(Estamos na página 109 da apostila)74/92
Tópico 3
y = -x2 + 4x - 5 Implica a inexistência de raízes reais.
O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo, porém sem ponto no eixo x.
y
x0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5 6 7
4 Pontos Notáveis da ParábolaSíntese sobre as raízes da função 2º Grau
(Estamos na página 109 da apostila)75/92
Tópico 3
> 0 (Duas raízes reais e distintas)
a > 0(concavidade para cima)
x1 x2 x
a < 0(concavidade para baixo)
xx1 x2
4 Pontos Notáveis da ParábolaSíntese sobre as raízes da função 2º Grau
(Estamos na página 109 da apostila)76/92
Tópico 3
= 0 (Duas raízes reais e iguais)
a > 0(concavidade para cima)
x1 x2 x
a < 0(concavidade para baixo)
=
x1 x2x=
4 Pontos Notáveis da ParábolaSíntese sobre as raízes da função 2º Grau
(Estamos na página 109 da apostila)77/92
Tópico 3
< 0 (não há raízes reais)
a > 0(concavidade para cima)
x
a < 0(concavidade para baixo)
x
4 Pontos Notáveis da Parábola4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y
(Estamos na página 110 da apostila)78/92
Tópico 3
Dada a função y = x2 - 6x + 5, construa o gráfico da parábola apresentando as
intersecções com o eixo x e a intersecção com o eixo y.
Para obtermos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y basta atribuirmos
zero à variável x.
4 Pontos Notáveis da Parábola4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y
(Estamos na página 110 da apostila)79/92
Tópico 3
x - 6x + 5 = 0 = b - 4ac = (-6) - 4.1.5 = 36 - 20 = 16
2
2
2
4 Pontos Notáveis da Parábola4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y
(Estamos na página 110 da apostila)80/92
Tópico 3
x = -b - b - 4ac2+
2a
x = -(-6)-2.1
+
x = 6 -2
+ 4
16
4 Pontos Notáveis da Parábola4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y
(Estamos na página 110 da apostila)81/92
Tópico 3
x = 6 - 4 = 2 = 11
2 2x = 6 + 4 = 10 = 52
2 2
4 Pontos Notáveis da Parábola4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y
(Estamos na página 110 da apostila)82/92
Tópico 3
y
4
2
1
-1
-2
-3
x0 1 2 3 4 5 6 7
3
4 Pontos Notáveis da Parábola4.3 O Vértice da Parábola
(Estamos na página 111 da apostila)83/92
Tópico 3
O vértice da parábola também é um ponto notável, pois determina valores de
máximo, ou de mínimo, que expressam importantes informações acerca de uma determinada situação-problema que seja
descrita pela função polinomial do 2º grau.
Xv = - (b/2a) Yv = - ( /4a)
5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau
(Estamos na página 111 da apostila)84/92
Tópico 3
Exemplo: a estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da função definida por y = -x2 + 120x – 2000, sendo y o
lucro em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base nisso, determine quantas unidades do produto
devem ser produzidas para que a empresa atinja o lucro máximo e qual é esse lucro máximo.
5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau
(Estamos na página 112 da apostila)85/92
Tópico 3
x = v2ab- = 120
2.(-1) = 120 - -
-2 = 120
2 = 60 unidades.
y = v4a
- = b - 4ac 2
- 4a
= 120 - 4.(-1).(-2000) 2
- 4.(-1)
= 14400 - 8000 - -4
= 6400 - -4
= 1.600,00
5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau
(Estamos na página 112 da apostila)86/92
Tópico 3
Assim, concluímos que devem ser fabricadas 60 unidades do produto para que o lucro seja máximo, no
valor de R$ 1.600,00.
TÓPICO 4
Função Exponencial
87/92
1 Introdução
(Estamos na página 115 da apostila)88/92
Tópico 4
A função Exponencial expressa um crescimento ou decrescimento
característico de alguns fenômenos da natureza, bem
como o funcionamento de juros compostos, importantes na
matemática financeira.
2 Função Exponencial
(Estamos na página 115 da apostila)89/92
Tópico 4
Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado
pela fórmula M = C(1+i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$ 2.000.000,00 a uma
taxa de 12% ao ano durante t anos, apresente a expressão algébrica que
descreve esta situação.
2 Função Exponencial
(Estamos na página 116 da apostila)90/92
Tópico 4
Substituindo os dados na fórmula, obtemos a seguinte expressão algébrica:
M = 2.000.000 .(1,12)t
3 Gráfico da Função Exponencial
(Estamos na página 117 da apostila)91/92
Tópico 4
a) f(x) = 2x
x f(x) (x, y)-2 1/4 (-2, 1/4)
-1 1/2 (-1, 1/2)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
2 Função Exponencial
(Estamos na página 117 da apostila)92/92
Tópico 4
Observe que no exemplo (a) a função y = 2x é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. Observe
também que, quanto menor for o valor de x, mais o gráfico da função se
aproxima da reta suporte do eixo x, sem, no entanto, atingí-la.
3 Gráfico da Função Exponencial
(Estamos na página 117 da apostila)91/92
Tópico 4
b) f(x) = (1/2)x
x f(x) (x, y)-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 1/2 (1, 1/2)
2 1/4 (2, 1/4)X
Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
2 3 4 5 6-1-2-3-4-5
2 Função Exponencial
(Estamos na página 117 da apostila)92/92
Tópico 4
Observe que no exemplo (b) a função y = (1/2)x é decrescente. Isso ocorre
sempre que a base estiver entre 0 e 1. Neste caso, quanto maior for o valor
de x, mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no entanto,
atingí-lo.
Parabéns!!! Terminamos a Unidade.
PRÓXIMA AULA:
Matemática
2º Encontro da Disciplina1ª Avaliação da Disciplina (Redação com consulta)