Matemática IIaula 20

Profª Débora Bastos

Integrais por substituições trigonométricas.

É impossível ver numa disciplina de cálculo TODOS os métodos de resolução de integrais. Hoje estudaremos as substituições trigonométricas para incrementar nossa gama em resolver integrais.A substituição trigonométrica é um artifício para resolver integrais com radicais, por exemplo:

Nos quais a é uma constante POSITIVA e que não tenhamos no nosso formulário.Nos casos de radicais com subtração podemos substituir x por x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cosdOux=a.cos 0 < < 2 dx=a.sindE daí a relação: sen2+cos2=1

22 xa 22 ax 22 ax

Substituições TrigonométricasFazendo a substituição:x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cosd

Aqui podemos considerar no intervalo inicial, pois a2 – x2 também deve ser positivo para a raiz existir, então o intervalo está compatível com o problema e só assim podemos considerar que o módulo é o próprio cosseno, pois está considerando só argumentos que o resultado é positivo.

2222222 sin1asinaaxa

cosacosacosa 2

Substituições TrigonométricasRadicais com subtração fazemos a

substituição:x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cosd

Exemplo:

cosaxa 22

22 x4x

dx1

dseccos

4

1

cos

d

4

1 22

kgcot4

1

cos2cos2

dcos22

x

2x4

2/x

2/2x4

sen

cosgcot

kx

x4

4

1 2

Substituições TrigonométricasRadicais com adição fazemos a substituição:x=a.tg 0 < < /2 dx=a. sec2dE daí a relação tg2 +1 = sec2

Exemplo:x=3tg dx = 3sec2

22222 atgaax

32

3

)9x(

dxx2

sec31tg99)tg3(9x 222

)1tg(a 22

secasecaseca 2

Substituições TrigonométricasExemplo:

x=3tg dx =

3sec2

32

3

)9x(

dxx2

sec39x2

3

23

)sec3(

dsec3tg27

sec

dtg3

3

sec

d

cos

sen3

3

3

2

3

cos

dsen3

dsen

cos

cos13dsen

cos

sen3

2

2

2

2

dsen3

cos

dsen3

2 kcos3sec3cos3cos

3

k9²x

99²x

9x

3cos

2

Exemplos:

0a

kavvlna21

av

dv25 22

22

xdxarcsin1

0a

ka

varcsin

va

dv19

22

kx1xarcsinxR 2tA

kx1

eR

xta

dx

)x1(

xe2

2

x

vduvuudvResolva as integrais 1 e 2 por partes:

Demonstre as fórmulas 19 e 25 pelo método da substituição trigonométrica, ou seja: